Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika, termasuk pengertian, contoh, dan cara menyatakan relasi dan fungsi dengan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

1. Relasi dan Fungsi

2. SELAMAT BELAJAR
SEMOGA BERHASIL
DAN SUKSES
04/08/13 2

3. A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B
adalah pemasangan anggota-anggota A
dengan anggota-anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari ,
kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan
sebagainya .
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi
“ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat
ditunjukkan pada gambar di bawah :
04/08/13 3

4. Kurang dari
A B Diagram disamping dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan
nama relasinya adalah
“ kurang dari “
1. .1
2. .2
3. .3
4.
04/08/13 4

5. 2. Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3
cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan
Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah
Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka
basket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalah
himpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .
04/08/13 5

6. Suka akan
A B
Anto . . Voli
Andi . . Basket
Budi . . Bulutangkis
Badri . . Sepakbola
04/08/13 6

7. 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan
Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram
panah yang menyatakan relasi dari P
dan Q dengan hubungan :
a. Setengah dari
b. Faktor dari
Setengah dari
Jawab : a. P Q
1. .2 1
2 . .4
3 . .6
4 . .8
04/08/13 7

8. b. P Faktor dari Q
1 . .2
2 . .4
3 . .6
4 . .8
04/08/13 8

9. b. Diagram Cartesius
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang
menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan :
a. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat dari
04/08/13 9

10. Jawab :
a . Satu lebihnya dari
10
9
8
Himpunan B 7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Himpunan A
04/08/13 10

11. Jawab :
b. Akar kuadrat dari
10
9
8
Himpunan B
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
04/08/13 Himpunan A 11

12. C. Himpunan pasangan berurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari
c. Satu kurangnya dari
04/08/13 12

13. Jawab :
a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }
b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),
(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }
c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7),
(7,8), (8,9), (9,10) }
04/08/13 13

14. B. FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan yang
memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan
(daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari
himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan
nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi
tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh
berikut :
04/08/13 14

15. Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini :
B
A
. 1
0.
. 2
2. Daerah hasil/
. 3 Range
4.
. 4
6.
. 5
Daerah asal/
Domain Daerah kawan/
kodomain
04/08/13 15

16. Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
04/08/13 16

17. 2. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .
04/08/13 17

18. Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga
cara yaitu dengan diagram panah , diagram
cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 ,
i2,u1,e4,o2.
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
04/08/13 18

19. Jawab :
a . Diagram panah
A B
a.
.1
i .
.2
u.
.3
e.
.4
o.
04/08/13 19

20. b. Diagram cartesius
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 a i u e o
04/08/13 20

21. c. Himpunan pasangan berurutan
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
04/08/13 21

22. 3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak
pemetaan yang mungkin terjadi dari
himpunan A ke B adalah ba dan
himpunan B ke A adalah ab
Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut :
a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}
b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }
04/08/13 22

23. c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}
Jawab :
a. n(A) = 1 , n(B) = 1
Banyak pemetaan 11 = 1
b. n(C) = 1 , n(D) = 2
Banyak pemetaan 21 = 2
04/08/13 23

24. c. n(E) = 2 , n(F) = 1
Banyak pemetaan 12 = 1
d. n(G) = 1 , n(H) = 3
Banyak pemetaan 31 = 3
e. n(I) = 2 , n(J) = 2
Banyak pemetaan 22 = 4
f. n(K) = 5 , n(L) = 3
Banyak pemetaan 35 = 243
g. n(M) = 4 , n(N) = 5
Banyak pemetaan 54 = 625
04/08/13 24

25. 4. Merumuskan suatu fungsi
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x ∈ A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
04/08/13 25

26. Jawab :
a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15 x + 2 = 15
x = 15 – 2
04/08/13 x = 13 Jadi nilai x = 13 26

27. 5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya
terlebih dahulu , tentukan banyaknya
pemetaan yang mungkin dari :
a. A = {a, b, c} B = {1, 2}
b. A = {1, 2} B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}
04/08/13 27

28. C. Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x  5x -3
Tentukan :
a. Rumus funsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
04/08/13 28

29. Jawab :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan
x = -1 adalah -8
04/08/13 29

30. 2.
Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika g (a) = -5
04/08/13 30

31. Jawab :
a. g (x) = -4x + 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
=8+3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a = 2
04/08/13 31

32. D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
04/08/13 c. Bayangan dari – 3 32

33. Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8  -4a + b = -8 -
6a = 18
a = 3
untuk a = 3  2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b =4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
04/08/13 33

34. b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4
c. Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
=-9+4
=-5
04/08/13 34

35. E. Menggambar Grafik Fungsi
Untuk menggambar grafik fungsi ada
cara yang mudah yang dapat dilakukan
terlebih dahulu yaitu membuat tabel
dengan mendaftar semua daerah asalnya .
1. Grafik Fungsi Linier
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1
dengan domain {x/0 ≤ x ≤ 5 , x ∈ C}
04/08/13 35

36. Jawab :
f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }
x 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
x+1
{x,f(x)} (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)
04/08/13 36

37. Grafiknya :
f (x) = x + 1 , x ∈ c (0,1,2,3,4,5)
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
10
9
8
x+1 7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5
04/08/13 37
x

38. 2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1 dengan
daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !
b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :
(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !
(ii) himpunan pasangan berurutan !
(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada
bidang cartesius , kemudian
hubungkan titik-titik tersebut sehingga
menjadi suatu garis lurus.
04/08/13 38

39. Jawab :
a. g (x) = - 2x + 1
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
8 6 4 2 0 -2 -4 -6
-2x
1 1 1 1 1 1 1
1 1
g (x) 9 7 5 3 1 -1 -3 -5
04/08/13 39

40. b. (i) Bayangan dari :
-2 adalah 5
0 adalah 1
2 adalah -3
(ii) Himpunan pasangan berurutan :
{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1),
(2,-3),(3,-5) }
04/08/13 40

41. g (x) = -2x + 1
(iii) Grafiknya :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
04/08/13 41

42. 04/08/13 42