Monografia Érica Matemática 2012

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOA

ERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS

SENHOR DO BONFIM

2012



Monografia apresentada ao Departamento de
Educação da Universidade do Estado da Bahia–
UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para
conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.

Prof.ª Msc. Maria Celeste Souza Castro

(Orientadora)

Senhor do Bonfim

2012

FOLHA DE APROVAÇÃO



BANCA EXAMINADORA

Prof.ª Msc (orientadora) Maria Celeste Souza de Castro_____________________

Universidade do Estado da Bahia - UNEB

Mestre em Educação Matemática/UNEB

Prof. Ivan Souza Costa_________________________________________


Mestre em Física/UFBA

Prof. Alayde Ferreira dos Santos_______________________________________


Mestre em Educação Matemática/QUEBEC-UNEB

Senhor do Bonfim, março-2012

Dedico à Edgard Lisboa (in memorian)

AGRADECIMENTOS

Agradecer às pessoas que muito contribuíram para que este trabalho fosse realizado
também é uma forma de demonstrar o quanto precisamos do outro e somos
pequenos sozinhos. Neste meu percurso tenho muitas pessoas para agradecer, que
de uma forma ou de outra me ajudaram com o seu incentivo, apoio, materiais,
críticas e sugestões valiosas, contribuindo para melhorar meus escritos ao longo da
jornada.

Primeiramente, agradeço a Deus, pela oportunidade de realizar este sonho, que em
muitos momentos me pareceu bastante difícil.

Agradeço à minha orientadora e professora Maria Celeste, que se mostrou sempre
disponível para me ajudar em minhas angústias enquanto licencianda. Não poderia
deixar de agradecer a banca examinadora nas pessoas do Professor Ivan Costa e a
Professora Alayde Ferreira e a coordenadora do curso Elizete barnosa. À minha
família, principalmente à minha mãe Ivonete e irmãos Helbert e Érick, que muito me
incentiva a seguir o caminho, estando sempre, ao meu lado.

Aos meus colegas, com os quais aprendi muito, assim como com os meus mestres,
que estavam sempre prontos para fornecer informações e ideias.

Quero também agradecer aos meus amigos que, apesar da minha ausência,
compreenderam o momento sempre com uma palavra otimista e de estímulo.

Agradeço, de forma especial, à minha colega Ademaria, amiga de todas as horas,
que esteve ao meu lado compartilhando alegrias e percalços neste percurso e
também às minhas colegas e amigas Ana Paula, Paula Jeane, Sheila, Eliene,
Etelvina, Manuela, Naat, Luciara, Deise.

Enfim, agradeço a todos que colaboraram para que pudesse subir mais este degrau.
Sorte minha ter tantas pessoas especiais em minha vida. Muito obrigada.

RESUMO
Este estudo tem como foco principal investigar quais os erros mais frequentes
cometidos pelos alunos na resolução de problemas algébricos tendo como sujeitos
investigados os alunos do 8º ano do Colégio Estadual José da Silva Marques,
localizado no município de Campo Formoso. Utilizando os conceitos de Cury (2007),
Pinto (2000), Booth (1995), entre outros, o presente estudo, de cunho qualitativo e
quantitativo, relata um estudo através de testes investigativos realizado no âmbito
escolar com os estudantes supracitados. Na análise foram identificados os erros a
partir de categorias definidas pela matriz SAEB tendo uma análise qualitativa e
quantitativa. Os resultados obtidos apontam que a maioria dos erros identificados na
análise das resoluções tem suas origens em conhecimentos aritméticos mal
formados, bem como no uso incorreto de regras e procedimentos aritméticos. Assim,
reafirma-se a importância da análise e reflexão sobre os erros dos estudantes na
resolução de problemas matemáticos.

Palavras-chave: Erros. Aritmética. Álgebra.

ABSTRACT

This study focuses primarily investigate what the most frequent errors made by
students in solving algebraic problems with students as subjects investigated the 8th
year of the State College José Marques da Silva, located in Campo Formoso. Using
the concepts of Cury (2007), Pinto (2000), Booth (1995), among others, the present
study, a qualitative and quantitative reports a study conducted by investigative tests
in schools with students above. In analyzing the errors were identified based on the
categories defined by the matrix SAEB having a qualitative and quantitative analysis.
The results obtained indicate that the majority of errors identified in the analysis of
the resolutions has its origins in malformed arithmetic skills, as well as the misuse of
rules and procedures arithmetic. Thus, we reaffirm the importance of analysis and
reflection on the mistakes of the students in solving mathematical problems.

Keywords: Errors. Arithmetic. Algebra.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

ILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista. .................... 31

ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda. .................. 32

ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal. ......................... 32

ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi. ............................ 33

ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio. ....................... 36

ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina. ................... 37

ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata. .......................... 39

ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha. ............. 40

ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante. .................... 40

ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade........................... 41

ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix. .......................... 44

ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa. .................. 45

ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua. .................. 45

ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira. ........................ 48

ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita. .................. 49

ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita. ................ 49

ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita. ..................... 50

ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo. ........................ 50

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01. ......................................................................... 30

GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01. ............ 31

GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 02 .......................................................................... 35

GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02 ............. 36






GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05. .......... 48

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12

CAPITULO I .............................................................................................................. 18

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 18

1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra ................................................. 18

1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu
conhecimento ..................................................................................................... 19

1.3.O erro na visão de alguns autores ................................................................ 22

CAPÍTULO II ............................................................................................................. 26

2. METODOLOGIA ............................................................................................... 26

CAPÍTULO III ............................................................................................................ 29

3.ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................................... 29

3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos .............. 29

3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam. ...... 33

3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que revelou o
teste investigativo. .............................................................................................. 41

3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os erros. .. 45

3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre os
testes investigativos. ........................................................................................... 51

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 52

Referências ............................................................................................................... 57

APÊNDICE ................................................................................................................ 63

INTRODUÇÃO

O surgimento da questão de pesquisa: Estudo de erros cometidos pelos
alunos da 8º ano do Ensino Fundamental II na resolução de problemas algébricos
surgiu de inquietações vividas ao longo da trajetória escolar. O ingresso na
universidade permitiu perceber que dificuldades apresentadas em determinadas
disciplinas, eram oriundas de deficiência de conteúdos matemáticos que deveriam
ser aprendidos na Educação Básica.

Durante o Ensino Fundamental II no ensino de matemática, há os conteúdos
que envolvem problemas aritméticos contendo as quatro operações, trabalhadas
numa complexidade crescente. Inicialmente letras são usadas somente para
representar grandezas como “g” para grama, “l” para litro, “m” para metro. No ensino
Fundamental, a partir da 6ª série surgem as primeiras aproximações com a álgebra,
parte da matemática que envolve números e letras. A mesma apresenta-se como
um veículo para a resolução de certos problemas de matemática, onde desenvolve
meios para a compreensão, já que nem toda situação-problema é resolvida somente
com a aritmética. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998):

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de
álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as
atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações
problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar
padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar,
resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por
meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis,
incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe”
(regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p. 50 - 51).

É interessante lembrar que a Álgebra tem destaque significante, apesar de
ser constatada que para muitos discentes “a compreensão em Álgebra é uma fonte
de confusão” (Booth 1986, pág. 299). Essa confusão que os discentes fazem com o
uso das variáveis leva também ao não entendimento para calcular o valor numérico
de uma expressão algébrica, ou seja, a compreensão do significado da álgebra e do
conteúdo dado. O ensino de Álgebra enfatiza demais os procedimentos formais de
transformação de expressões simbólicas e resolução de equações que buscam
determinar o valor desconhecido de variáveis (FEY, 1990, 70)

No entanto percebe-se que o trabalho com o estudo algébrico não vai muito
adiante de manipulações de símbolos que na maioria das vezes não possuem
nenhum significado, sendo o seu estudo desenvolvido de forma mecânica.Como
salienta Nery (2008) que “ Fazendo uma analogia, seria acreditar que dar uma caixa
de ferramentas para um aluno já seria suficiente para transformá-lo num
mecânico.”(p.20). Esta forma de ensino tem sido limitadora, na qual o papel do
discente se restringe a memorização de regras já que não propicia relação dos
procedimentos algébricos com situações reais. De acordo com os PCN’s:

[...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os
conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de
significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado,
e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é
preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é
possível dizer a idéia de conhecer assemelha-se a idéia de tecer uma teia.
(BRASIL, 1998, p. 75)

De fato, é possível que muitas das dificuldades que os alunos encontram na
aprendizagem da Álgebra sejam resultados de um ensino pautado em
procedimentos e regras, limitando a capacidade dos discentes de compreender os
conceitos, as representações e as atividades que são importantes neste domínio do
conhecimento. Mas o que se sabe sobre como os alunos produzem significado para
a Álgebra? Como eles fazem Álgebra, ou seja, o que se sabe sobre sua “atividade
algébrica”?

Hoje já se sabe muito sobre as dificuldades que discentes e docentes
enfrentam no ensino e aprendizagem da Álgebra. O pesquisador americano James
Fey (1990) resumiu estas dificuldades assim:

Na Matemática escolar atual os estudantes empregam um tempo enorme
em tarefas envolvendo variáveis, enquanto nomes literais para números
desconhecidos, e com equações e inequações, que impõem condições
nestes números. (pag.70)

Face à leitura de pesquisas em artigos relacionados á conteúdos algébricos e
erros, e após a percepção de que a maioria dos docentes de matemática relata uma
grande dificuldade por parte dos discentes na compreensão deste conteúdo

matemático, surgiu a necessidade de saber quais os fatores que tem contribuído
para os erros e dificuldades de compreensão em relação aos conteúdos algébricos.

É necessário conhecer avanços e retrocessos enfrentados pela disciplina
matemática ao longo de sua constituição enquanto saber matemático. Fatos como o
Movimento da Matemática Moderna, desencadeado no Brasil na metade do século
passado, que trazia a promessa de um ensino mais atraente e descomplicado, em
superação à rigorosa matemática tradicional. Porém a brusca mudança do
conteúdo/forma do livro didático de matemática naquele momento histórico trouxe,
acima de tudo, uma grande resistência de seus principais usuários, ou seja, os
professores. (PINTO, 2005). Para Piaget (1984, pág. 14), “mesmo no campo da
matemática, muito fracassos escolares se deve àquela passagem muito rápida do
qualitativo (lógica) para o quantitativo (numérico)”, referindo-se ao ensino da
Matemática Moderna.

Alguns estudos, como o de Carraher (1989), têm mostrado que as pessoas
realizam cálculos matemáticos próprios, diferentes daqueles ensinados pela escola.
Isso nos leva a pensar que as dificuldades dos discentes e os erros por eles
cometidos na matemática escolar talvez não sejam decorrentes do caráter abstrato
da disciplina, mas originário de sua descontextualização. Godet apud Pinto (1994)
afirma que:

a matemática é uma maneira de conceptualizar certos aspectos do mundo
real.Como matéria escolar, não pode perder todo seu poder explicativo da
realidade; portanto, não pode ser concebida como um objeto já construído,
passível de ser transmitido por si mesma, fora de todo contexto.(GODET,
1994 P. 70).

Neste sentido a compreensão de que existem lacunas no ensino-
aprendizagem da Álgebra e que estes podem ocorrer pela falta de compreensão dos
significados, nos leva a refletir sobre os obstáculos no sentido colocado por
Brosseau (1983) apud Cury (2008):

O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como
se acredita nas teorias empiristas ou behavioristas da aprendizagem, mas o
efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu interesse, seu sucesso,
mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadaptado. Os erros
desse tipo não são instáveis e imprevisíveis, eles são constituídos em
obstáculos. (p.171).

E no sentido colocado por Pais apud Cury (2008):

“No plano pedagógico é mais pertinente se referir à existência de obstáculos
didáticos, [...] conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados
no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do
saber escolar”. (p. 44. Grifo do autor).

Essas reflexões são importantes para situar o estudo dos erros cometidos
pelos alunos na resolução de problemas algébricos.

Pinto (2000) esclarece que “o erro é o componente mais arraigado do
processo educativo – mais do que qualquer outro elemento”. (p. 36). Analisando
numa perspectiva formal, muitas vezes, em Educação, o erro é visto como algo ruim,
algo mau, algo a ser evitado e punido. Outra idéia formal do erro é a de que deve ser
apagado, corrigido o mais depressa possível. O que interessa, em último lugar, é se
o discente aprendeu ou não.

Podemos considerar que a compreensão das causas dos erros deve estar
ligada a uma realidade de uma comunidade escolar ou a um Sistema de Ensino do
qual os alunos fazem parte.

No entanto, o erro pode acontecer por diversos motivos; seja por falta de
atenção, dificuldades com os conteúdos que conseqüentemente ainda não são
dominados pelo aluno e quando este utiliza resoluções inadequadas.Por isso o
professor deve estar atento às condições em que os erros acontecem e quais as
maneiras e as estratégias para superá-los. Nessas condições, pretende-se que o
professor também possa desenvolver com alunos essa observação, a fim de que
tome consciência da fragilidade de um suposto fracasso escolar diante dele.
Segundo Cury (1995):

Se focalizarmos a natureza da Matemática em si, a eliminação do erro está
ligada ao entendimento da incompreensão do aluno sobre o conceito
apresentado e à retomada do assunto sob novos enfoques, se pretendemos
explorar o erro, esse pode nos levar à reflexão sobre os limites e
características da própria Matemática. (p.09)

Todavia analisar os erros nas provas e testes dos alunos faz parte da rotina
do professor de Matemática, é um hábito. Muitos educadores, ao corrigir os testes,
avaliam o erro de seus educandos atribuindo uma nota de acordo com o número de
acertos e erros obtidos em cada teste, sendo o mesmo observado pelo professor
como um indicador do mau desempenho do aluno, sem jamais ser utilizado para o
redimensionamento do ensino, ao contrário do que propõe Cury. Mas, vale ressaltar
que o erro pode ser considerado como ponto de partida, como fonte de informação,
proporcionando aprendizagens. Deve ser encarado como uma etapa a ser vencida
pelos discentes. Ele denuncia o percurso que o discente traçou, o caminho que ele
percorreu até chegar a uma determinada resposta, e esses caminhos, esses
percursos fazem parte de possibilidades na construção do seu conhecimento.

Hoje, o erro é objeto de estudos e debates, pois a partir dele pode aprender.
Quando queremos entender suas causas e conseqüências, o erro pode parecer uma
falha no processo de ensino e aprendizagem, mas é condizente com o processo de
construção de conhecimento matemático. Segundo Cury:

Se estamos interessados no processo de aprendizagem da Matemática, o
erro pode ser visto como instrumento de identificação dos problemas do
currículo e da metodologia, e, ao resolvê-los, os erros serão eliminados; se,
no entanto, queremos explorar o erro, esse pode constituir-se em
instrumento para a compreensão dos processos cognitivos. (1995, p. 9-10),

O erro configura-se como elemento integrante de seu processo de construção
do conhecimento, sinalizando ao professor a existência de níveis provisórios de
aproximação com relação ao objeto de conhecimento.

Tendo como pressuposto de que o erro é uma fonte de dualizações do
processo de construção do conhecimento é que surge a questão de objeto de
estudo: quais são os erros e dificuldades mais freqüentes dos alunos da 8º ano do
Ensino Fundamental II da Escola Estadual José da Silva Marques, na resolução de
problemas algébricos?

Para responder a esse questionamento faz-se necessário:

 Identificar e categorizar as estratégias e os tipos de erros que os discentes
cometem com maior frequência durante a resolução de problemas algébricos

 Analisar e classificar os erros elencados;

 Refletir a cerca dos erros cometidos pelos alunos na resolução do teste
investigativo.

Este trabalho é composto por três capítulos. O capítulo I busca suporte teórico
para a pesquisa e está dividido em três momentos: o primeiro trás o histórico do
ensino da álgebra, o segundo fala sobre a aprendizagem através da resolução de
problemas algébricos e consequentemente dos erros na construção do
conhecimento e o terceiro momento trás algumas concepções do erro.

O capítulo II trata do desenvolvimento da pesquisa contemplando: lócus da
pesquisa, sujeitos da pesquisados, instrumentos, procedimentos da coleta e a
finalidade da pesquisa.

O capítulo III trás a análise e interpretação dos dados e dos resultados
encontrados. Nas considerações finais é feito a conclusão da pesquisa.

CAPITULO I

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra

O cenário atual do ensino de álgebra no Brasil pode ser um reflexo de como a
álgebra evoluiu com o passar dos tempos e, uma breve revisão do ensino dessa
parte da matemática torna-se necessária para compreender o que hoje acontece
com o seu ensino.

Na década de sessenta, com o surgimento do Movimento da Matemática
Moderna, que possuía como um dos seus objetivos a unificação dos três campos
fundamentais da matemática, através da introdução de elementos unificadores,
como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas, a álgebra passou a ocupar
um lugar de destaque. O Movimento da Matemática Moderna também tinha a
preocupação de superar a forma mecânica e reprodutiva do ensino da Álgebra.
Sobre as principais alterações no ensino da Matemática durante a implantação da
Matemática Moderna, Miorim, Miguel e Fiorentini (1993), destacam que:

[...] há uma tentativa de superar o caráter pragmático, mecânico e não
justificado do ensino de álgebra, substituindo-o por uma abordagem que
enfatiza a precisão da linguagem matemática, o rigor e a justificação das
transformações algébricas através das propriedades estruturais; [...] (p. 21).

As modificações que a Educação Matemática sofreu foram sempre através de
influências de outros países, sem um posicionamento crítico sobre estas e sem
avaliações do que estava dando certo ou não nestas modificações. Após a
implantação da Matemática Moderna e seu declínio, os educadores movimentaram-
se para recuperar o ensino da Geometria, e a Álgebra acaba perdendo o seu lugar
de destaque, que havia adquirido com o Movimento da Matemática Moderna,
através dos elementos unificadores, indicando uma tendência de a Geometria
ocupar este lugar. Com estas novas propostas, a Álgebra parece retornar ao papel
exercido anteriormente, conforme o citado abaixo:

Mas se, por um lado, na proposta da CENP (Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas) a Geometria passa a dar sustentação à metodologia
do ensino da Aritmética e da Álgebra, por outro lado, o próprio ensino de
Álgebra não apenas perde aquelas características que a Matemática
moderna lhe havia atribuído como também parece retomar – sem, é claro,
aquelas regras e aqueles excessos injustificáveis do algebrismo - o papel
que ele desempenhava no currículo tradicional, qual seja o de um estudo
introdutório – descontextualizado e estático – necessário à resolução de
problemas e equações (MIGUEL, FIORENTINI E MIRIOM, 1992, p.51).

O papel significativo da álgebra, assumido no MMM, trás para a atualidade, a
ocupação de um lugar privilegiado nos livros didáticos, mas as reflexões realizadas
sobre o seu ensino ainda não foram suficientes para minimizar o problema das
dificuldades de compreensão dos seus conceitos e procedimentos.

1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu
conhecimento

As necessidades cotidianas fazem com que os indivíduos desenvolvam
capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes
permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões.
Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta
melhor resultado.

É consensual a idéia de que, a principal razão de estudar matemática é
aprender como resolver problemas, ou problemáticas e assim estimular nos alunos a
aplicação de regras, raciocínio lógico, criatividade e ter a capacidade de resolver os
problemas dados em sala de aula e conseqüentemente, no cotidiano da vida adulta.
Como afirma Dante (2002)

As finalidades do ensino de matemática indicam, como objetivo do ensino
fundamental, resolver situações-problemas, sabendo validar estratégias, e
resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como
dedução, indução, intuição, analogia, estimativa e utilizando conceitos e
procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos,
disponíveis (Dante, p. 15).

No entanto todo problema requer uma solução e para isso é preciso buscar as
alternativas. Em matemática “problema é uma situação que um indivíduo ou grupo
quer ou precisa resolver e para o qual não dispõe de um caminho rápido e direto que
o leve a solução” (LESTER 1983 apud OLIVEIRA et al 2009,pág 18)

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

No processo de ensino aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas, ou seja, de situações em que os
alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégias para
resolvê-las. (BRASIL, 1998, p. 40)

Os problemas de Matemática devem envolver muito mais aspectos do que a
simples aplicação de operações é necessário desenvolver habilidades que permitam
pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para
obter a solução.

O modelo proposto por Polya (1994), para resolução de problemas, prevê
quatro etapas para a resolução de um problema: (a) compreensão do problema, (b)
construção de uma estratégia de resolução, (c) execução da estratégia escolhida e,
(d) revisão da solução.

O primeiro passo para a resolução do problema é a interpretação do mesmo,
a forma como o aluno formula, os métodos e as estratégias que ele utiliza. “Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta
e a estruturar a situação que lhe apresentada” (PCNEM, 1997, pág 42). No processo
de interpretação o aluno constrói um campo de conceito que dá sentido ao
problema.

Diante do mundo globalizado e tecnológico que estamos inseridos, surge
mais um desafio, acompanhar a informação tecnológica para apresentar propostas
de acordo com o meio que os alunos estão inseridos, e assim facilitar na vivencia do
dia-a-dia e fazê-los pensar produtivamente. Segundo Lima(2007) apud Rodrigues:

... As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para
obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde
problemas triviais do dia a dia a questões mais sutis que surgem noutras
áreas, quer científica, quer tecnológica, quer mesmo social. As aplicações
constituem a principal razão pelo qual o ensino da matemática é tão
difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de
hoje e certamente Cada vez mais no futuro[...] (2011 pág. 25).

Após a compreensão do problema, deverá ser traçado um plano para
alcançar os resultados que satisfaçam a situação. Depois de ter sido traçado um
plano, o terceiro passo é a execução desse plano, ou seja, desenvolver o que havia

sido planejado e transformar o problema através do algoritmo que mais se adequar
na situação em questão. E por último, o quarto passo, que é não somente chegar na
solução do problema, mas também checar sua validade, ou seja, analisar a resposta
obtida e verificar se ela satisfaz as condições iniciais do problema proposto.

Segundo Pozo:

“ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de
habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a
atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve
ser encontrada uma resposta”. (1998, p.14)

O estudo algébrico envolve uma interpretação exigindo a tradução da
linguagem escrita para a linguagem matemática, e muitas vezes as dificuldades
apresentadas pelos alunos na tradução de situação da linguagem corrente para a
linguagem formal residem na interpretação. Não sendo capaz de interpretar, o aluno
não conseguirá representar formalmente a situação.

Dentre alguns fatores influentes na apropriação do conceito algébrico está a
sua relação com a aritmética. Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuram
na Álgebra pelo fato do aluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadas
do aprendizado no contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico,
procedimentos aritméticos que não procedem.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs de Matemática):

“a ênfase que os professores dão a esse ensino não garante o sucesso dos
alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática como pelo
desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas
escolas. Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente
atingem um índice de 40% de acerto em muitas regiões do país.” (BRASIL,
1998, p.115-116).

De acordo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a linguagem simbólica, na
álgebra, desempenha um papel essencial para a formação do pensamento abstrato,
pois é através dele que se pode solucionar um problema matemático, abrangendo
todo o contexto da situação, além de simplificar os cálculos.

No entanto o pensamento algébrico é muito amplo, revela-se em todas as
áreas da matemática e outros campos do conhecimento, sendo que, a construção
do mesmo não é feita de maneira isolada, mas juntamente com tais áreas e campos.

Hoje a Álgebra tem muitas aplicações se mostrando muito útil como estratégia
de resolução de problemas, mas assim como os outros campos da Matemática, a
sua aprendizagem apresenta dificuldades.

1.3.O erro na visão de alguns autores

Em termos de ensino de Matemática em sala de aula, o foco de atenção
ainda está nos conteúdos que serão trabalhados, e qual conteúdo deve ser
apropriado pelo aluno em cada série e nas aulas de Matemática, valoriza-se
prioritariamente o acerto como resultado de aprendizagem dos conteúdos, sendo o
“erro”, nesse caso, condição de “fracasso”.
Diante disso, muitos professores, deixam de explorar em seus alunos, o
questionamento, a experimentação, a criatividade, a inquietação, reduzindo as aulas
de Matemática a um mero treinamento baseado na repetição e memorização.
(ROCHA, 1998)

O conhecimento em matemática alimenta o raciocínio, promove à auto-
estima, a imaginação e compensa o reforço em aprender. O aprendizado exige
dedicação e principalmente treino, que significa prática e aprender com os erros. O
erro, segundo Aurélio, significa o raciocínio incoerente, falta de atenção, a
incompreensão do enunciado. “Na aprendizagem o erro é inevitável, porque se faz
inúmeras tentativas buscando estratégias a partir do que se conhece para solucionar
os problemas propostos” (CARVALHO, 2005).

Entre professores há pontos de vista controversos a respeito do erro, alguns
defendem o ponto de vista de que não se pode permitir que o erro aconteça, pois
uma vez fixado dificilmente será eliminado. Outros ainda defendem que o erro deve
ser apagado, corrigindo-o o mais rápido possível, pois ele é sentencioso.

Esses pontos de vista indicam que os erros não têm sido problematizados
para poderem ser discutidos e, a partir dele tomar novas direções, o que precisa
ficar claro, e não é compreendido, é que, para o aluno chegar ao “errado” ele precisa
raciocinar e o entendimento do que foi trabalhado está representado no processo
que conduz à resposta errada.

[...] de modo geral os erros devem ser vistos como um indicativo de que o
aluno sabe alguma coisa, porém não totalmente ou corretamente e que,
portanto, é preciso trabalhar com esses erros e não apenas ignorá-los,
lembrando que, dependendo da natureza do erro e que se determina qual
conduta pedagógica deve ser adotada na busca de sua superação. Essa é
uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de
diminuir o fracasso escolar. (CADERNO AVA 2000, p.55).

A teoria piagetiana discorre sobre o papel construtivo dos erros dizendo que,
o desenvolvimento da criança é permeado de invenções e descobertas em que os
erros e acertos são inevitáveis na construção do conhecimento e reconhecidos como
parte intrínseca desse processo.

A produção da criança é entendida como parte de um processo e, por trás de
seu erro, há um rico processo de construção de conhecimento; o erro é relativizado,
é entendido como um momento de síntese provisória, que revela o movimento do
indivíduo em seu processo de conhecimento (ESTEBAN, 1992).

É necessário considerar que, quando o discente dá uma resposta errada a um
problema ou questão, é preciso avaliar se isso ocorreu por confusão ou
esquecimento de um dado, por raciocínio incorreto ou por aplicação errônea de
princípios ou regra que evidencie lacunas na aprendizagem. É necessário que o
professor saiba distinguir os tipos de erros, bem como conhecer a origem deles,
tomando-os como sinal de uma estruturação em construção para, então, direcionar a

sua ação pedagógica a fim de criar condições para que o aluno possa reelaborar o
problema em questão.

Outro fato a considerar é que os acertos casuais podem também ser
identificados pela justificativa do discente. Às vezes o aluno dá uma resposta certa,
mas a justificativa que apresenta não é coerente ou se mostra incorreta diante da
resposta. Por isso, é importante que os alunos sejam levados a justificar suas
respostas, pois esse ato leva o sujeito a refletir sobre a questão e a demonstrar
melhor seu nível de compreensão do problema.

Na visão de Centeno (1988), conhecimentos insuficientes devem ser
considerados como uma etapa necessária para alcançar o conhecimento pleno e
seu aparecimento é de grande valia para o professor.

A análise da produção escrita de estudantes, em qualquer nível de ensino, é
uma possibilidade de trabalho que pode ser considerada sob o ponto de vista da
investigação ou do ensino.

Cury (2007) defende a idéia de que a análise de erros é uma abordagem de
pesquisa e também uma metodologia de ensino, se for empregada em sala de aula
com o objetivo de levar os alunos a questionarem suas próprias soluções.

Uma ênfase muito comum em pesquisas envolvendo Análise de Erros é a
proposição de sistemas de classificação para os erros em Matemática
cometidos por estudantes em diversos níveis, que existem desde o início do
século XX e persistem até os dias atuais, porém, com enfoques diferentes.
O ponto forte dessas pesquisas é que, além de proporem maneiras de
classificar os erros cometidos pelos alunos, elas acabam suscitando
discussões interessantes sobre a natureza destes erros de acordo com o
foco que utilizam para classificá-los (BARICHELLO, 2008 p.32-33)

Cury discorre que Bardin assinala três etapas básicas para o trabalho de
análise de erros: pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados,
afirmando que “a categorização tem por primeiro objectivo (da mesma maneira que
a análise documental), fornecer, por condensação, uma representação simplificada
dos dados brutos”. (Bardin(1979) apud Cury et al, p. 3).

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais fala-se da necessidade de repensar
as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia. Enfatizando que a tarefa
do avaliador deve ser um permanente exercício de interpretação de sinais, de
indícios, e da reunião de elementos que lhe permitem uma reorganização da sua
atividade pedagógica. O professor deve, não somente buscar indícios sobre o
desempenho dos alunos, mas também ter claro o que pretende obter, bem como o
uso que fará desses indícios. Nesse sentido, segundo os PCN (1998), a análise do
erro pode ser uma pista interessante e eficaz.

Se numa avaliação seletiva, o erro tem um papel delimitado pelos
resultados, ao perder sua função controladora, ele passa a ocupar um papel
relevante na aprendizagem: o erro é um conhecimento; ele mostra o
caminho do acerto que já está ali implícito. Nesta dialética, o erro aparece
como um divisor de águas de duas tendências fortes na educação. Se na
pedagogia tradicional, centrada no professor, o relevante era saber o que se
ensina na pedagogia nova a preocupação do professor é saber como as
crianças aprendem. (PINTO, 2000, p. 12).

Por isso no processo de ensino e aprendizagem, não basta apenas conhecer
os erros e os acertos, a correção ou incorreção das respostas dos discentes
justificá-los ou evitá-los, mas sim, e principalmente, conhecer os processos que o
levam a produzir estas respostas, analisando-os e transformando-os numa situação
de aprendizagem. Mais do que medir determinados comportamentos, importa
compreender as razões do erro.

CAPÍTULO II

2. METODOLOGIA

A pesquisa em educação é uma ocasião privilegiada que reúne pensamento e
ação na elaboração dos conhecimentos sobre os aspectos da realidade. Essa
pesquisa pode ser abordada de forma empírica (quantitativa) ou de forma qualitativa
(Baraldi, 1999). Minayo (1999) diz que a abordagem qualitativa não pode pretender
o alcance da verdade, com o que é certo ou errado; deve ter como preocupação
primeira a compreensão da lógica que permeia a prática que se dá na realidade.

Os procedimentos para a execução desta pesquisa foram de cunho qualitativo
e quantitativo, pretendendo identificar e categorizar as estratégias e os tipos de erros
que os discentes cometem com maior freqüência durante a resolução de problemas
que envolvem conteúdos algébricos. A pesquisa foi predominantemente qualitativa,
e inicialmente foi feito um levantamento bibliográfico sobre o tema abordado.
Segundo Amaral (2007) é imprescindível, antecipar em todo e qualquer trabalho
científico uma esgotante pesquisa bibliográfica sobre o tema em estudo, e
posteriormente iniciar a coleta os dados.

Os sujeitos da pesquisa foram 33 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do
Colégio Estadual José da Silva Marques situado à Praça Onze, no município de
Campo Formoso. A escolha da referida Escola, se deve ao fato de ter realizado os
estágios na escola supracitada e pelo fato da mesma ser referencia no município.
Os instrumentos utilizados para a coleta de dados desta pesquisa consistiu na
aplicação de teste investigativo sobre equação de 1º grau aos alunos do referido
colégio. Quanto à série, a escolha efetuou-se por acreditar que o aluno nesta série,
se depara com um cenário novo, e algumas vezes contraditório ao dos
procedimentos aritméticos que estava acostumado pelos seus vários anos de
estudo, notando-se que o discente tem grande dificuldade em compreender os
procedimentos que fazem parte do estudo algébrico que são enfatizados nesta série
e serão utilizados até o final do Ensino Médio.

Porém, os dados foram analisados com maior ênfase na pesquisa qualitativa.
Segundo Chizzotti (2003) apud Silva (2006) a pesquisa qualitativa é uma dinâmica
entre a pessoa e o mundo real, entre o sujeito e o objeto, entre o mundo da
objetividade e da subjetividade. A interpretação do fenômeno é baseada no sujeito-
pesquisador e este faz parte de todo o processo de análise, dando significância ao
trabalho. Portanto não é um individuo isolado, inerente e neutro.

Como essa pesquisa foi realizada onde ocorrem os problemas dos erros
matemáticos, mais especificamente dentro da sala de aula, trata-se de uma
pesquisa de campo. Também, como ela ocorreu de forma natural no ambiente onde
acontecem esses erros, sem a manipulação intencional em mudar os dados
encontrados, essa pesquisa é naturalística. (LÜDKE, ANDRÉ, 1986).

Fiorentini e Lorenzato (2006) completam que a pesquisa de campo:

[...] é aquela modalidade de investigação na qual a coleta de dados é
realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e
pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-
ação, aplicação de questionário, teste, entre outros. (p. 106).

Para elaborar esses instrumentos, foi feito consultas desse conteúdo em
livros didáticos do Ensino Fundamental. Várias foram às referências, porém os
escolhidos foram “A Conquista da Matemática” de, Giovanni Jr e Castrucci (2009) e
“Matemática fazendo a diferença” de Bonjorno e Ayrton( 2006). A escolha destes
exemplares se deve ao fato de serem os livros utilizados pela professora da
disciplina. Copiadas as questões abertas com o objetivo de que pudéssemos
perceber o caminho percorrido pelo aluno para a resolução das questões propostas
no teste investigativo.

Foi analisada uma amostra de 33 testes com questões abertas, pois a
produção escrita dos discentes pôde revelar muito do conhecimento apropriado
durante o ciclo educacional. Para Rudio (1986)

Amostra é, portanto, uma parte da população com uma regra ou plano. O
mais importante, ao selecioná-la, é seguir determinados procedimentos, eu
nos garantam representação adequada da população, donde foi retirada,
dando-nos assim confiança de generalizar para o universo o que nela for
observado. (RUDIO, 1986, p. 62)

Portanto foi desenvolvida uma investigação com a abordagem interpretativa
na busca da compreensão por meio da análise de dados construída através do teste
investigativo desenvolvido pelos sujeitos pesquisados, onde foram feitas
transcrições das resoluções, análise dos erros cometidos, descrição destes erros,
levantamento de hipótese sobre suas causas, construções gráficas para elucidar
valores numéricos e posteriormente comentários fundamentados sobre cada
resposta realizada pelos objetos de pesquisa.

Para identificar os erros tivemos como base os descritores SAEB1. Feita a
análise dos testes investigativos, observando a forma de resolução e na análise e
interpretação, foi feito um cruzamento com os descritores e os objetivos propostos
por questão a partir da compreensão de Aritmética e Álgebra.

É sabido que a superação ou a erradicação do erro no processo ensino-
aprendizagem é inatingível, pois é por meio dos erros que os alunos podem se
conscientizar de suas dificuldades e construir seu conhecimento, mas acredito que é
necessário, através de uma pesquisa, questionar e problematizar essas dificuldades.
Moraes (2004, p.14) alerta que “Questionar o conhecer é problematizar o
conhecimento” e ainda acrescenta “Entretanto não podemos ficar no questionar. O
problema faz-nos agir.” (p. 15).

1
SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica.

CAPÍTULO III

3.ANÁLISE DOS DADOS

3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos

A pesquisa Análise de erros cometidos pelos alunos do 8º ano do Ensino
Fundamental na resolução de problemas algébricos, foi realizada com a aplicação
de testes investigativos, à turma supracitada da Escola Estadual José da Silva
Marques no município de Campo Formoso.

Optamos pela a análise quantitativa e qualitativa para a análise dos dados
para fornecer elementos para uma melhor interpretação. A análise quantitativa trás
os dados organizados em gráficos e permite visualizar o quantitativo de alunos que
erraram e acertaram as questões. Cada questão será representada por um gráfico
que trará a porcentagem de erros, acertos e em branco, permitindo assim uma
visualização imediata da situação encontrada.

A partir dos erros, serão feitas interpretações dos mesmos, cometidos pelos
alunos na resolução da questão proposta e suas respectivas causas, seguida da
análise qualitativa de cada questão. Esta trás um detalhamento sendo distribuídos
por temas que relacionam um conjunto de objetivos educacionais conforme os
descritores da matriz SAEB. . Essas categorizações foram feitas baseadas nas
matrizes de Matemática que são estruturadas por anos e séries avaliadas. Para
cada uma das questões foram escolhidos descritores que melhor se encaixavam na
questão de estudo observando objetivos propostos para a questão e habilidades que
deve ter sido desenvolvida nessa fase de ensino.

Na matriz SAEB temos os seguintes temas: Tema I – Espaço e forma, Tema
II – Grandezas e medidas, Tema III – Número e operação/Álgebra e funções e Tema
IV – Tratamento da informação.

Com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções. Este
tema foi utilizado para a questão 01 do teste investigativo, tendo como referencia o
descritor D 30.

Segundo a matriz esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno realizar
as quatro operações da aritmética. As regras das operações e suas justificativas
devem ser destacadas, como por exemplo, a operação distributiva e a não
existência da divisão por zero, sem esquecer de destacar que a divisão de dois
inteiros pode não resultar em um número inteiro. (PROVA BRASIL, 2008)

Analisando a questão 012 proposta no teste investigativo do objeto de estudo
que tem no seu enunciado:

Resolva a equação5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x

Analisando quantitativamente a questão 01, observa-se que 97% (noventa e
sete por cento) dos alunos erraram e 3% (três por cento) deixaram em branco e 0%
(zero por cento) acertou. O gráfico abaixo mostra o desempenho dos alunos quanto
aos resultados da questão em análise:

GRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01.

2
Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo a
diferença dos autores Bonjorno & Ayrton.

Estes foram classificados em:

 Erro 01: refere à falta de habilidade em balancear os membros da equação;
 Erro 02: que se refere ao jogo de sinal na resolução do cálculo;
 Erro 03: diz respeito à propriedade distributiva e
 Erro 04: que demonstra cálculos incoerentes, sendo classificado em outros
tipos de erros.

Abaixo segue o gráfico com os dados referentes aos erros seguidos de uma
interpretação das possíveis causas dos erros cometidos pelos alunos na resolução
da questão proposta.

35%

30%

25% Erro 01
Erro 02
20%
Erro 03
15%
Erro 04
10%

5%

0%
Questão 01

GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01.

Em relação aos erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, têm
diversas origens:

01)Erros de sinal na mudança de membro:

3
ILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista .

3
A designação dada aos alunos pesquisados deu-se ao fato de Campo Formoso ser considerada a terra das
pedras preciosas.

A possível causa consiste na incompreensão do processo que implica o
isolamento da incógnita em um dos membros e a realização da operação inversa
para desfazer a operação inicial (incompreensão da notação do símbolo de
igualdade como um equilíbrio em dois sentidos em operações algébricas).

02)Erro de cálculo e regras/jogo de sinais:

ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda.

Os alunos efetuaram com acerto a operação que envolve a propriedade
distributiva, mas erraram nos cálculos (- 4. (1) = - 4 ) e na manipulação das regras
de sinais. Sinalizamos que 31% dos alunos erraram na situação descrita acima, mas
conseguem isolar os termos semelhantes corretamente e pelo erro cometido
anteriormente finalizam a questão com a solução incorreta.

03)Dificuldade em operar com a propriedade distributiva

ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal.

Nesta questão encontramos vários alunos com o mesmo erro (31%) o que
levou a erros mais simples como adição de termos semelhantes, operação de
simplificação de frações.

Este erro evidencia a compreensão insuficiente dos princípios da propriedade
distributiva bem como dos procedimentos para resolução de uma equação.

04)Demonstra cálculos incoerentes sendo classificado em: Outros tipos de
erros

ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi.

Nota-se que o aluno desenvolve a propriedade distributiva, porém soma os
elementos que se encontram depois da igualdade.

3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam.

Compreendo que a manipulação dos números com operações e o significado
destas é um dos requisitos necessários para o tratamento com números e suas
operações são indispensáveis no dia-a-dia dos alunos. Os números, presentes em
diversos campos da sociedade, além de utilizados em cálculos e na representação
de medidas, sem falar no papel fundamental para o exercício da cidadania.

Os descritores deste tema enfocam os números com suas operações, noções
de álgebra e funções. Porém diante do levantamento dos tipos de erros e da
inferência de possíveis causas, fica evidente que grande parte dos erros que os
alunos cometem ao trabalhar com expressões algébricas tem origem, na

insuficiência de aprendizagens anteriores, que vão se sobrepondo e reaparecendo
de diferentes maneiras. É possível perceber que os alunos não têm domínio
suficiente das propriedades básicas como a distributiva, bem como dos
procedimentos operativos para resolução da expressão.

Podemos destacar assim que, dentre alguns fatores influentes na
apropriação do conceito algébrico está a sua relação com a aritmética. Para Oliveira
(2002) algumas barreiras se configuram na álgebra pelo fato do aluno trazer para o
contexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético ou
por estenderem para o estudo algébrico, procedimentos aritméticos que não
procedem o que ficou comprovado com esta investigação.

O uso das letras em álgebra constituiu uma grande dificuldade para os
alunos. As letras, em aritmética, já eram conhecidas por eles, mas serviam para
representar apenas medidas como metro (m), litro (l), etc., e não número ou
quantidade qualquer. Na álgebra, as letras aparecem de uma maneira diferente que
na aritmética. Elas indicam valores numéricos e essa mudança, comumente, causa
confusão.

Ao analisar os erros cometidos pelos alunos na aprendizagem de Álgebra,
Booth (1995) considera que a Álgebra e a Aritmética, apesar de suas diferenças,
não são isoladas, e que, em vários aspectos a álgebra apresenta-se como uma
Aritmética generalizada. Para a autora, a fonte de dificuldades em álgebra é a
aritmética, ou seja, as relações e procedimentos aritméticos não apreendidos afetam
o desempenho em Álgebra, então as dificuldades em álgebra não são tanto de
álgebra propriamente dita, mas de problemas em aritmética que não foram
corrigidos (BOOTH, 1995, p. 33).

Podemos destacar que os alunos que participaram esta pesquisa tem seu
desempenho em álgebra prejudicados porque não conseguem construir conceitos
aritméticos básicos como expressão numérica, propriedade da adição, regra e/ou
jogo de sinal, soma te termos semelhantes.

Questão 02

Para a questão 02, ainda em referencia ao Tema III - Números e operações/
Álgebra e funções foi utilizado o descritor D33, que objetiva a habilidade de o aluno
exprimir, com uma equação ou inequação do 1º grau, situações apresentadas em
problemas contextualizados (PROVA BRASIL, 2008).

Abaixo temos exemplos do item que são as questões 02 e 04 propostas no
teste investigativo:

QUESTÃO 02: Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual ao
seu quádruplo diminuído de 21?4

Abaixo temos o gráfico que demonstra o desempenho dos alunos na
resolução da questão 02 proposta no teste investigativo:

70%

60%

50% Errada
40% Em branco

30% Correta

20%

10%

0%
Questão 02

GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 02

4

Percebe-se que 64% (sessenta e quatro por cento) dos alunos erraram, 12% (doze
por cento) deixaram em branco e 24% (vinte e quatro por cento) acertaram a
questão proposta no teste investigativo.

Em relação aos erros, entendemos ter diversas origens conforme podemos
ver no gráfico abaixo:

GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02

Os erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, e classificando como:

 Erro 05: referente à representação matemática a partir do problema proposto;
 Erro 06 que diz respeito à resolução do cálculo aritmético – Expressar a
equação na questão dada.

Fazendo uma análise qualitativa podemos perceber que as origens dos erros
são:

05)Tradução para a linguagem simbólica (Representação matemática)

ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio.

Foi utilizada a resposta dada pelo aluno Topázio considerando que há uma
semelhança com os erros cometidos por outros alunos. Nota-se que a aluna não
constrói a equação corretamente, porque aparentemente não consegue expressar
algebricamente o enunciado de uma situação-problema.

A possível causa da incompreensão consiste na dificuldade que os alunos
sentem na generalização das relações e procedimentos aritméticos dentro do
contexto algébrico.

06)Procedimento da resolução da equação

ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina.

Nota-se que o aluno não compreende o sinal de igualdade como uma
representação de equivalência entre os membros, mas sim como antecessor do
resultado. por este motivo ele comete os seguintes erros: erros na troca de sinal,
erro nas operações algébricas.

Questão 04

Outro exemplo de questão que envolve a compreensão da transformação da
linguagem corrente para a representação matemática é a questão 04, a qual se
encontra a seguir:

Questão 04 – No estacionamento de um edifício há carros e motos,
totalizando 13 veículos e 46 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse
estacionamento?5

Analisando quantitativamente o gráfico abaixo demonstra os dados do
desenvolvimento dos alunos na resolução da questão proposta:

50%
45%
40%
35% Errada
30% Em branco
25%
Correta
20%
15%
10%
5%
0%
Questão 04


A partir da leitura do gráfico percebemos que 45% (quarenta e cinco por
cento) acertaram 9% (nove por cento) deixaram em branco e 46% (quarenta e seis
por cento) dos alunos erraram a questão e em relação aos erros podemos constatar
as possíveis causas dos erros cometidos classificando em:

 Erro 07: o aluno que apenas assinala uma alternativa errada;
 Erro 08: referente a representação matemática;
 Erro 09: outros tipos de erros caracterizado pelo pensamento incoerente;
 Erro 10: no desenvolvimento do cálculo.

55
Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro A conquista da matemática
dos autores Giovanni Jr & Castrucci.


Em relação aos erros podemos perceber que o aluno:

07)Apenas assinala a alternativa errada.

ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata.

Nota-se que o aluno preocupa-se apenas em assinalar uma alternativa de forma
aleatória sem desenvolver o cálculo preocupando-se apenas em dar uma resposta à
questão.

08)Representação matemática

ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha.

Percebe-se que o aluno não consegue traduzir da linguagem corrente para a
linguagem matemática.

09) Incoerência de pensamento – Dificuldade em realizar as operações
agébricas.

ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante.

Nota-se que o aluno não consegue representar algebricamente a questão e
demonstra não ter domínio no desenvolvimento da expressão.

10)Desenvolvimento do cálculo – Adição de termos semelhantes.

ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade.

A aluna traduz da linguagem corrente para a linguagem simbólica com
clareza, porém se atrapalha no cálculo o que provoca o erro na questão.

3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que
revelou o teste investigativo.

Tendo a Matemática uma linguagem própria, com uma grande variedade de
símbolos, pode fazer uma codificação desta simbologia para a tradução de um
problema na linguagem escrita para a linguagem matemática. É notório que uma das
barreiras enfrentadas pelos alunos no estudo da Álgebra está na hora de fazer a
passagem de uma situação-problema na linguagem corrente para a linguagem
algébrica. Parte da dificuldade de interpretação está relacionada com o fato de o
aluno ter uma deficiência na linguagem escrita. Talvez falte propiciar um espaço
para que os alunos expliquem as suas formas de raciocínio. Malta (2002, p.216)
ilumina essa discussão quando afirma que:

[...] o desenvolvimento da capacidade de expressão do próprio raciocínio
promove o desenvolvimento da capacidade de compreensão matemática. O
desenvolvimento da capacidade de expressão está acoplado ao
desenvolvimento da capacidade de leitura [...].

De início, a dificuldade dos alunos em resolver uma equação simples, com
incógnitas somente no primeiro membro mostra-se significativa. Mais adiante,
quando as incógnitas passaram a aparecer também no segundo membro e que,
para determinar o Conjunto Verdade, o aluno teria que isolar a incógnita no primeiro
membro e os termos conhecidos no segundo, realizando operações inversas (ou
inversão de sinal) ao migrar de um membro para o outro, o índice de erros
aumentou. É também possível perceber que eles não compreenderam a
representação do sinal de igualdade na resolução de equações como uma relação
de equivalência, como um equilíbrio em dois sentidos, diferentemente do que ocorre
em operações da aritmética que geralmente é interpretado como um símbolo que
precede a escrita de uma resposta (BOOTH, 1994).

Percebe-se também, que os alunos não conseguiram identificar a operação
correta, subtraindo os valores ao invés de adicioná-los, o que evidencia a falta de
habilidade em realizar os cálculos necessários (algoritmos). No entanto, tal
inabilidade se explique na passagem entre Álgebra e Aritmética, quando existe a
continuidade, procedimentos aritméticos que procedem no contexto algébrico, os
alunos trazem consigo as dificuldades da Aritmética, fator que causa dificuldades no
estudo algébrico.

Questão 03

Ainda com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções
foi proposto aos alunos, objeto de estudo, a questão 03 a qual foi utilizado o
descritor D12. Segundo a Matriz com esse descritor o aluno deve resolver problema
envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. (PROVA BRASIL, 2008),
demostrando a habilidade de o aluno calcular o perímetro de uma figura plana cujo
contorno é uma única linha poligonal fechada.

A seguir temos um exemplo do item que é a questão 03 do teste investigativo
aplicado aos alunos estudados:

Questão 03: As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas em
metros e estão indicadas na figura. Para cercá-lo com arame farpado, foram gastos
134 metros desse material. Quais são as dimensões desse terreno?6

Analisando quantitativamente temos o gráfico que representa os dados da
resolução da questão pelos alunos:


A partir do gráfico acima podemos perceber que 94% (noventa e quatro por
cento) dos alunos erraram, 6% (seis por cento) deixaram em branco e 0% (zero por
cento) acertaram. Em relação aos erros classificamos em:

 Erro 11: interpretação do enunciado,

 Erro 12: pela incompreensão do conceito de perímetro

 Erro 13: na resolução das operações no desenvolvimento da questão.

Abaixo temos o gráfico que mostra o desempenho dos alunos a partir dos
erros cometidos e as possíveis causas desses erros na resolução da questão:

6


Analisando qualitativamente a questão podemos concluir que os erros
cometidos pelos alunos são:

11)Interpretação do enunciado

ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix.

O aluno demonstra ter noção de perímetro e encontra o valor de “x”, mas não
atenta para o enunciado e não encontra as dimensões do terreno que era o que
pedia o enunciado.

12)Falhas conceituais

ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa.

Podemos perceber que a aluna não demonstra o conhecimento de perímetro,
pois a mesma multiplica o valor da área do terreno por quatro.

13)Procedimento do cálculo – Balanceamento da equação

ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua.

O aluno demonstra ter conhecimento de perímetro, mas no desenvolvimento
da questão ao tentar balancear a equação para encontrar o valor de x se atrapalha.

3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os
erros.

Segundo Pérez Echeverría (1998) e Mialaret (1975) apud Spolar (2002), a
compreensão de um problema matemático pode ser influenciada por diversos
fatores como: o conteúdo das tarefas; a sua relação com os conhecimentos que o

aluno detém; o vocabulário utilizado no enunciado; o contexto no qual ocorre. Enfim,
a forma de linguagem que as expressões assumem faz com que haja uma variação
considerável na sua tradução para as representações matemáticas, influindo
decisivamente na forma de resolvê-las e, conseqüentemente, no êxito do aluno na
resolução do problema proposto.

Como é possível notar, o índice de erros no cálculo de perímetro mostra-se,
talvez ao fato de a figura apresentar somente a medida de um dos lados da largura e
do comprimento, onde o grau de dificuldade aumentou e foi comum a apresentação
da soma apenas dos dados presentes. A idéia de perímetro, para Backendorf (2010,
p. 136), está ligada a capacidade de medir. Além disso, é preciso enfatizar que
perímetro é a medida do tamanho do contorno de determinada figura. (ANDRINI e
VASCONCELLOS, 2006). Porém de um modo geral, neste item, a origem das
dificuldades e erros provém de conhecimentos anteriores, principalmente
relacionados aos procedimentos de cálculos no que se refere às operações
matemáticas. Apesar da grande maioria dos alunos demonstrarem ter compreendido
a idéia envolvida no problema muitos cometeram erros na resolução do algoritmo,
pois como já observado os alunos apresentam, maior dificuldade na resolução da
operação a ser utilizada.

Questão 05

Por fim, ainda dentro do Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções,
para a questão 05, proposta no teste investigativo, foi utilizado o descritor D36.
Segundo a matriz esse descritor objetiva resolver problema envolvendo informações
apresentadas em tabelas e/ou gráficos (PROVA BRASIL, 2008). O aluno deverá
expressar a habilidade de analisar tabelas ou gráficos, extrair informações neles
contidas e, a partir destas, resolver problemas.

Pra exemplificar este item foi proposto aos alunos a questão 05, como
podemos ver abaixo:

Questão 05 – Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três
pessoas da seguinte forma:

Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?7

O gráfico a seguir mostra o desempenho dos alunos na resolução da questão
proposta:

70%

60%

50% Errada
40% Em branco

30% Correta

20%

10%

0%
Questão 05


A partir do gráfico acima podemos perceber que 24% (vinte e quatro por
cento) acertaram, 9% (nove por cento) deixaram em branco e 67% Sessenta e sete
por cento) dos alunos erraram a questão 05 proposta no teste investigativo. Em
relação aos erros cometidos pelos alunos temos que estes foram classificados em:
 Erro 14: relativo ao desenvolvimento da questão proposta,
 Erro 15: referente à dificuldade de representação matemática,
 Erro 16: na utilização das operações adequadas para resolução da questão
proposta,
 Erro 17: incoerência de pensamento

7

 Erro 18: interpretação do enunciado.

O gráfico a seguir traz os dados quanto aos erros cometidos pelos alunos na
resolução da questão em estudo:

GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05.

Em relação aos erros cometidos pelos alunos na resolução da questão
proposta, podemos perceber que estes foram:

14)Desenvolvimento da questão – Dificuldade em realizar as operações
algébricas

ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira.

A aluna arma a expressão através da leitura do gráfico, demonstrando ter
compreendido que para encontrar o resultado teria que somar os dados expressos
no gráfico. Porém não efetua as operações, deixando a entender que para chegar
ao resultado a mesma apenas dividiu o total da conta por três.

15)Representação matemática

ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita.

O aluno não consegue expressar algebricamente a questão e posteriormente
resolvê-la.

16)Interpretação (uso das equações)

ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita.

O aluno não consegue utilizar a operação adequada para a resolução da
questão, além de se atrapalhar no desenvolvimento da questão.

17)Pensamento incoerente -

ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita.

O aluno se preocupa em dar a resposta não conseguindo ter clareza no
procedimento utilizado para a resolução da equação.

18) Interpretação - Falta de conclusão

ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo.

Nota-se que os alunos compreendem o enunciado desenvolve acertadamente
a questão, porém por falta de atenção não concluem a questão. Acreditam que só
precisam encontrar o valor de “x” e esquecem que deveriam ver a quantia paga por
cada um dos garotos.

3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre
os testes investigativos.

A capacidade de ler gráfico e tabelas também devem ser consideradas na
formação do leitor nas aulas de matemática. A leitura e a interpretação de gráficos e
tabelas desenvolvem as habilidades de questionar, levantar e verificar hipóteses,
bem como procurar relações, habilidades inerentes ao processo de ler qualquer tipo
de textos e posteriormente resolver o problema solicitado. A resolução de um
problema algébrico consiste em determinar o valor da incógnita, ou seja, de um
termo desconhecido apresentado no problema. Isso requer uma leitura atenta do
enunciado, sua compreensão, mudança da linguagem escrita para a linguagem
simbólica da Matemática, identificação das operações a serem efetuadas e
processos de resolução, ou seja, requer o uso de uma série de habilidades, técnicas
e procedimentos que já devem ser de domínio dos alunos. É possível perceber a
falta de domínio dos alunos quanto aos procedimentos para resolver essa equação
ou talvez por falta de atenção. Há alunos, também, que perante um enunciado,
depois de uma rápida leitura, tendem a resolver a tarefa de forma imediata, sem
reflexão prévia; se atiram, simplesmente, para as operações sem terem a visão do
conjunto do problema. Fazem qualquer coisa, precipitam-se, somam ou dividem ao
acaso, porque entendem (ou lhes é cobrado) que devem atuar, transformando, por
vezes, os dados do problema em solução.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este texto reflexivo não quer, nem de longe, encerrar qualquer discussão que
se abra sobre os erros cometidos pelos alunos na resolução de problemas
algébricos, visa antes, dar impulso para posteriores investigações mais profundas a
este respeito.

Refletirmos sobre o erro escolar e, conseqüentemente, sobre a avaliação nos
leva a criar novas hipóteses. Ao buscarmos algumas possíveis respostas, também
nos deparamos com novas perguntas ou com novos modos de organizar antigas
questões, ou ainda, com outras possibilidades de percepção das trajetórias
realizadas e dos nós atados e desatados no percurso. Assim, vamos criando novas
possibilidades de compreensão, de formulação e de atuação.

Analisar as estratégias utilizadas e os tipos de erros mais freqüentes durante
a resolução de problemas envolvendo conceitos algébricos auxilia a obter uma visão
geral da situação dos alunos quanto ao desenvolvimento desses conceitos durante a
transição do pensamento aritmético ao pensamento algébrico.

Após a análise dos testes investigativos, percebeu-se que os alunos, objetos
do estudo, não possuem todas as habilidades e competências desejadas, na parte
algébrica da matemática para este nível de ensino. Isso foi observado pela
porcentagem de acertos e erros das questões aplicadas na pesquisa. Vale ressaltar
que as questões foram retiradas de livros de Ensino Fundamental, todas com
conteúdos já vistos pelos alunos deste nível do Ensino. Mesmo assim, os alunos
demonstraram muitas deficiências algébricas e alguns conceitos equivocados, tais
como perímetro.

Embora o desempenho dos alunos possa ser considerado baixo para a série
em que se encontram, achamos importante destacar que os professores precisam
conhecer essas formas de pensamento dos alunos e considera-las como um ponto
de partida para elaboração do pensamento algébrico.

Os achados desse estudo foram encontrados na aplicação individual e
resolução escrita dos testes investigativos, o qual pôde constatar os mais diversos
tipos de erros.

Segundo Davis e Espósito (1991), erros de naturezas distintas exigem
condutas pedagógicas diferenciadas. Conforme vimos, erros considerados
construtivos são aqueles que exigem analogias, uso de teorias, mesmo que logo o
aluno tenha que abandoná-las num processo de idas e vindas, de conflitos e
momentos de longa elaboração; são erros que evidenciam progressos na atividade
mental, que sinalizam a formação de novas estruturas e indicam possibilidades de
progresso. Os chamados não-construtivos diferem dos demais por não estarem
relacionados com a construção do conhecimento; revelam que o aluno já possui a
estrutura de pensamento necessária à solução da tarefa, ou seja, ele já
compreendeu e sabe como chegar à resposta correta, mas erra por distração ou por
falta de fixação de algum procedimento.

Os erros que reaparecem de forma sistemática no teste investigativo, durante
a pesquisa que são os erros de cálculo e os erros que envolvem troca de operações
e regras de sinais. Sendo assim, o aluno precisa ter bem claro o significado do sinal
do número e da operação para poder conviver com essa simultaneidade.

A superação de dificuldades como estas necessita primeiro que elas sejam
diagnosticadas e depois analisadas para que se identifique a origem e a natureza e
depois que haja uma intervenção para suscitar reformulações conceituais de modo a
produzir modificações na maneira que o aluno trabalha levando-o a pensar e
descobrir que estava errado ao fazer a generalização e vir a visualizar onde e por
que estava errando.

Possivelmente a dificuldade seja em decorrência da metodologia usada pelo
professor que trabalhou com conteúdos prontos sem que o aluno tivesse a
percepção clara de equacionamento, sem uma preparação adequada para trabalhar
com estruturas algébricas.

É sabido que a aprendizagem por processos de memorização e repetições
não leva a uma compreensão significativa: trata-se de processos superficiais e mais
vulneráveis ao esquecimento e a confusões perceptivas que levam o aluno a
cometer erros sistemáticos. E essa pode ser uma das principais causas dos erros
constatados. Os erros podem ter ocorrido por falta de atenção ou por falta de
compreensão.

Notou-se, que alguns dos alunos, aplicaram corretamente o conceito de
perímetro, escrevendo a expressão correspondente ao perímetro da figura. No
entanto, ao finalizarem a questão, isto é, ao agruparem os termos semelhantes,
confundiram processos de resolução das operações.

Diante dos resultados obtidos, creio poder afirmar que os erros constituem
uma importante ferramenta que possibilita o diagnóstico dos problemas presentes no
processo tanto de ensino como de aprendizagem. Ressalte-se que no processo de
ensino, os erros podem ajudar o professor a concluir que a estratégia de ensino
adotada se mostra inadequada e necessita ser redefinida mediante novas ações
metodológicas e pedagógicas. Na aprendizagem, os erros podem ser tomados como
objeto de reflexão; como fonte de tomada de consciência proporcionando ao aluno a
possibilidade de reavaliar as suas ações, as estratégias e o caminho seguido em
busca do resultado que se revelou inadequado; de compreender o seu erro e então
retomar o processo de construção do seu conhecimento.

Tornar relevante o papel educacional do erro pode até provocar mudanças
em atitudes e crenças com relação à disciplina, tanto por parte do aluno como do
professor. Portanto, promover atividades estimulantes sobre determinados tipos de
erros nos ajudam a descobrir quão longe sua análise pode levar-nos ajudando-nos a
alterar concepções e crenças, vencer preconceitos tanto em relação ao próprio erro
como à disciplina e a proporcionar ganhos extremamente importantes para o
professor e para o aluno.

Não basta dizermos quais são os caminhos corretos e qual é o caminho que
nossos educandos devem percorrer em suas estratégias para a superação de seus

próprios erros. Mas é necessário que o aluno reconheça suas dificuldades, que os
seus conhecimentos ainda são insuficientes, pois só assim ele perceberá que, se
insistir nas estratégias erradas, continuará tendo dificuldades e não chegará a
conhecer o que a comunidade escolar considera como saber básico.

Segundo Rico (1995), o aparecimento de erros nas produções dos alunos
acontecem por várias causas, entre elas, as concepções inadequadas sobre os
aspectos fundamentais da Matemática, resultados de utilização de procedimentos
imperfeitos que, às vezes, não podemos reconhecer ou exemplos de métodos e
estratégias inventadas, não formais mais originais, para solução de alguns
problemas propostos.

Vejo, assim, que a análise de erros constitui um importante campo de estudo
e investigação em Educação Matemática, sendo também referenciada como ponto
de partida para inovações dentro do ensino de Matemática.

A Matemática é uma das Ciências que trabalha o raciocínio lógico, através da
exploração de diversos caminhos nas resoluções de problemas. Podem-se cometer
erros nessa caminhada, que também podem ser aproveitados para promover novas
aprendizagens. Este olhar sobre a Matemática é único, pois, se compararmos com a
área médica ou outras, como a Economia, por exemplo, as conclusões após um erro
podem ser desastrosas. Na Matemática, podem-se visualizar os erros como fonte de
motivação para os alunos, quando discutimos estratégias de resoluções, exploramos
de forma criativa as atividades valiosas de planejamentos e resoluções de
problemas.

Portanto o erro pode assumir, no ensino, o papel de um instrumento que
possa identificar problemas, de acordo com o nível e as séries envolvidas. Quando
os erros são analisados, podem ser superados, pois erro e acerto faz parte do
processo do ensino e aprendizagem. Por outro lado, a investigação que parte da
análise dos erros permite compreender o processo cognitivo dos nossos alunos e
assim auxiliá-los a construir novos conhecimentos. Esta é a idéia que ficou deste
trabalho e espero ter contribuído para que novas pesquisas sejam feitas sob o

mesmo enfoque, para que a análise de erros seja mais uma ferramenta para auxiliar
professores e alunos em sua caminhada na busca de uma aprendizagem
matemática mais adequada às necessidades da sociedade.

Alerta-se para a necessidade do educador identificar e refletir sobre os erros
cometidos pelos educandos, como sugerem autoras como Cury (2007) e Pinto
(2000), para através dessa análise, desenvolver propostas didáticas pedagógicas
que auxiliem os alunos a transpor esses obstáculos e construir conhecimentos bem
estruturados, bem como auxiliar os estudantes para que aos poucos, estes também
sejam capazes de refletir sobre seus próprios erros e corrigi-os autonomamente.
Apesar deste estudo não ter contemplado um retorno aos alunos em forma de
propostas didático-pedagógicas, buscou-se auxiliá-los na compreensão e correção
dos erros.

Referências

AMARAL, João J. F. Como fazer uma pesquisa bibliográfica. Fortaleza, 2007.
Disponível em: br.geocities.com/abs5famed/bibliografia.pdf . Acesso em: 15 de maio
de 2011.

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo Praticando Matemática.
Volume 4. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 248p.

BACKENDORF, V. R. Uma seqüência didática de medidas de comprimento e
superfície no 5° ano do ensino fundamental: um estudo de caso. 2010. 187f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Matemática,
UFRGS, Porto Alegre, 2010. Disponível em:
<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25221/000752787.pdf?sequence=
1>. Acesso em: 05 de janeiro de 2012.

BARALDI, I. M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru, SP: Editora
Edusc, 1999.

BARICHELLO, L. Análise de resolução de problemas de cálculo diferencial em um
ambiente de interação escrita. Dissertação de Mestrado. Rio Claro, SP:
Universidade Estadual Paulista/IGCE. 2008. Disponível em:
<http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/brc/33004137031P7/2008/barichel
lo_l_me_rcla.pdf>. Acesso em: 25 de outubro de 2011.

BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; AYRTON, Olivares.
Matemática: Fazendo a diferença 8º ano. 1ª Ed. São Paulo: FTD, 2006 – Coleção
Fazendo a diferença.

BOOTH, L. R. Children’s difficulties in beginning Álgebra. 1986. P.299-306.
Disponível em:
<http://elementaryalgebra.cmswiki.wikispaces.net/file/view/Childrens+Difficulties+in+

Beginning+Algebra.pdf/142535729/Childrens+Difficulties+in+Beginning+Algebra.pdf>
. Acesso em : 09 dezembro de 2011

BOOTH, L. R. Dificuldades das Crianças que se Iniciam em Álgebra. In: COXFORD,
A. F.; SHULTE, A. P. (Orgs.). As Idéias da Álgebra. Tradução por Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

BOOTH, R. L. Dificuldades das crianças que se iniciam com álgebra. In: COXFORD,
A. F. & SHULTE, A. P. (org.). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental - Brasília: MEC/SEF, 1998.

CADERNO AVA 2000 Matemática: uma análise pedagógica. Secretaria de Estado
da Educação. Curitiba 2001. Disponível em:
<http://dc142.4shared.com/doc/w_OluzZt/preview.html>. Acesso em: 04 de maio de
2011

CARRAHER, T. N., SCHLIEMANN, A. D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo:
Cortez Editora, 1989.

CARVALHO, Marlene. Alfabetizar e letrar: um diálogo entre a teoria e a prática.
Petrópolis: Vozes, 2005.

CENTENO, J. P. Números Decimales. Por qué? Para qué? Madrid: Editorial
Sínteses, 1988. Disponível em:
<http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/2ESO_PROFESOR/datos/05/02/02.
pdf>. Acesso em: 21 e Setembro e 2010.

CURY, H. N. Retrospectiva história e perspectivas atuais da análise de erros em
educação matemática. Zetetiké, v.3, n.4, p. 39-50, nov. 1995.

Cury, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos
alunos. Belo Horizonte: Autêntica.

CURY, Helena Noronha; BISOGNIN, Eleni; BISOGNIN, Vanilde. A ANÁLISE DE
ERROS COMO METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO. Disponível em:
<http://www.apm.pt/files/142359_CO_Cury_Bisognin_Bisognin_4a36c5d50a09a.pdf>
Acesso em: 23 de setembro de 2011

DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática.12ª ed.,
São Paulo: Ática, 2002

DAVIS, C. ; ESPÓSITO, Y. O Papel e a Função do Erro na Avaliação Escolar.
Revista Brasileira de estudos Pedagógicos, Brasília, v.72, n.171, p. 196-206, 1991.

ESTEBAN, M. T. Repensando o trabalho escolar. In: O sucesso escolar: um desafio
pedagógico. Caderno Cedes. São Paulo: Papirus, 1992.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigações em educação matemática; percursos
teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.

GIOVANNI, R. J.;CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR. R.J. A Conquista da Matemática.
São Paulo: FTD, 2009.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M.E.D.A. Pesquisa em educação; abordagens qualitativas. São
Paulo: EPU, 1986.

MALTA, Iaci. Sobre um Método não Tradicional para Aprender Cálculo. In:
CARVALHO, L. M.; GUIMARÃES, L. C. (org.). História e Tecnologia no Ensino de
Matemática, vol 1. Rio de Janeiro: IME - UERJ, 2002.

MEIRA, Luciano. Produção de sentidos na atividade algébrica. In: Atividade
Algébrica: Atividade algébrica e o problema do significado. Disponível em:

<http://www.moderna.com.br/lumis/portal/file/fileDownload.jsp?fileId=4028818B2DE8
5E2F012DEB57644E5092>. Acesso em: 06 de novembro de 2011.

MIGUEL, Antônio; FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela. Álgebra ou
Geometria: Para onde Pende o Pêndulo? Pró-Posições, v. 3, n. 1(7), p. 39 – 54, mar.
1992.

MINAYO, M. C. S. O desafio do conhecimento - pesquisa qualitativa em saúde. São
Paulo: Hucitec, 1999. Disponível em:<http://www.scielo.br/pdf/csp/v9n3/02.pdf>
Acesso em: 10 dezembro de 2010.

MIORIM, Maria Ângela; MIGUEL, Antônio; FIORENTINI, Dario. Ressonâncias e
dissonâncias do movimento pendular entre álgebra e geometria no currículo escolar
brasileiro. Zetetiké, São Paulo, ano 1, n. 1, p. (19 – 39), 1993.

MORAES, R. Semeadores semeando suas sementes: A sala de aula na perspectiva
do educar pela pesquisa. 2004.

NERY, Chico. A Geometria Analítica no ensino médio. In: Revista do Professor de
Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Nº 67, 3º quadrimestre de 2008. P.
19-30. ISSN 0102-4981

OLIVEIRA, Ana Teresa de C.C. Reflexões sobre a aprendizagem da Álgebra.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA, ANO 09, N. 12, P 35-39, JUNHO DE
2002.

OLIVEIRA, Glenda Tharciana Felix Silva de et al. Aprendendo Matemática na
Educação Infantil. São Paulo- SP. 2009. Disponível em:
http://revistapaideia.unimesvirtual.com.br/index.php?journal=paideia&page=article&o
p=viewPDFInterstitial&path%5B%5D=129&path%5B%5D=70. Acesso em: 12 de
Fevereiro de 2012.

SPOLAR, Sueli. Erros em matemática UM ESTUDO DIAGNÓSTICO COM ALUNOS
DE 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL. Maríla-SP. 2002. Disponível em:
<http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA
/Sueli.pdf>. Acesso em 12 e Janeiro de 2012.

PIAGET, J. Para onde vai a educação? 8 ed. Rio de Janeiro: José Olympio Editora,
1984.

PINTO, N. B. O Erro como Estratégia Didática. Campinas: Papirus, 2000.

PINTO, N.B. Marcas históricas da matemática moderna no Brasil. Curitiba:
Champagnat. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. Revista Diálogo
Educacional. V.5, n.16, 2005, pp. 25-38.

POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método
matemático. Tradução e Adaptação Heitor Lisboa Araújo. Rio de Janeiro:
Interciência, 1994.

POZO, Juan Ignacio. A solução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1998.

RICO, L. Errores en el Aprendizaje de las Matemáticas. In: KILPATRICK J. ; GOMEZ
P. ; Rico, L. Educación Matemática. Colômbia: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995.
p. 69-108.

ROCHA, I. C. B., Ensino da Matemática: Formação para exclusão ou para a
cidadania? Educação Matemática em Revista. Sociedade Brasileira de Educação
Matemática. nº 9/10. Abril 2001. São Paulo. p.22-31

RODRIGUES, Wagner Pulido. Uma abordagem conceitual de volumes no Ensino
Médio. São Paulo – SP. 2011. Disponível em:
http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/wagner_pulido_rodrigues.pdf Acesso
em 22 e Outubro de 2011.

RUDIO, Franz Victor. Introdução ao projeto de pesquisa científica. Petrópolis, RJ:
Vozes, 1986.

SILVA, E. L. e MENEZES, E. M. Metodologia da Pesquisa e Elaboração de
Dissertação. Florianópolis: UFSC, 2001. Disponível em:
<http://projetos.inf.ufsc.br/arquivos/Metodologia%20da%20Pesquisa%203a%20edica
o.pdf>. Acesso em 25 de Junho de 2010.

APÊNDICE

Universidade do Estado da Bahia – UNEB

Departamento de Educação de Senhor do Bonfim – DEDC Campus VII

Curso: Licenciatura em Matemática Semestre 2011.2

Disciplina: TCC III

Nome completo do aluno(a):________________________________________________________________

QUESTÃO 01

Resolva a equação 5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x.

QUESTÃO 02

Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu quádruplo
diminuído de 21?

QUESTÃO 03

As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas em metros e estão
indicadas na figura. Para cerca-lo com arame farpado, foram gastos 134 metros
desse material. Quais são as dimensões desse terreno?

QUESTÃO 04

No estacionamento de um edifício há carros e motos, totalizando 13 veículos e 46
rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

a) 11 carros e 2 motos
b) 10 carros e 3 motos

c) 9 carros e 4 motos
d) 8 carros e 5 motos

QUESTÃO 05
Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três pessoas da
seguinte forma:

Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?

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