Este documento apresenta um estudo do método Monte Carlo e seu uso para o cálculo de integrais definidas no ambiente Octave. O autor realiza testes do método para determinar o valor de π e calcular integrais de funções conhecidas.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA
ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O
CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS
NO AMBIENTE OCTAVE
RODRIGO VITOR DA SILVA
SENHOR DO BONFIM – BA
MARÇO DE 2010

2. RODRIGO VITOR DA SILVA
ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O
CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS
NO AMBIENTE OCTAVE
Monografia apresentada ao Departamento
de Educação, Campus VII da Universidade
do Estado da Bahia, como avaliação
parcial da disciplina Monografia e um dos
requisitos para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Ivan Souza Costa
Senhor do Bonfim
2010

3. RODRIGO VITOR DA SILVA
ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O CÁLCULO DE
INTEGRAIS DEFINIDAS NO AMBIENTE OCTAVE
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________
Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho
(Examinador)
______________________________________________
Prof. Wagner Ferreira de Santana
(Examinador)
______________________________________________
Prof. Ivan Souza Costa
(Orientador)

4. A Deus meu melhor amigo.
A minha amada esposa Elicelia Reis,
pelo apoio e compreensão, oferecidos de
modo tão espontâneo durante a
elaboração deste trabalho, bem como ao
longo do curso.

5. .
AGRADECIMENTOS
À Universidade do Estado da Bahia pelo compromisso com a Educação de
qualidade por todo o Estado.
Ao Campus VII da UNEB e todo seu corpo de professores e funcionários.
Aos meus familiares e minha esposa Elicélia Reis, pelo apoio e motivação
durante este período.
Ao professor Ivan Souza Costa pela valiosa orientação.
Aos colegas do Campus VII, especialmente a turma de Matemática de
2002.1.
A todos que contribuíram para a realização deste trabalho.

6. RESUMO
O estudo de métodos numéricos tem sido uma importante área da matemática
aplicada a qual compreende uma vasta modalidade de métodos. Estes métodos
são tratados normalmente a partir da graduação nos cursos de Cálculo Numérico
objetivando a resolução de uma ampla gama de funções, equações e integrais
para a solução dos diversos problemas de interesse. O método a ser tratado
neste trabalho é o Monte Carlo. Ele faz parte do ramo do Cálculo Numérico o
qual consiste na solução de problemas baseados em números aleatórios. Este
método vem sendo extensivamente utilizado desde a década de 1950 em
diversos campos tanto da Matemática quanto da Física bem como em outras
áreas científicas como a Química, a Biologia e a Medicina. Este trabalho
caracteriza-se por um estudo introdutório do referido método no qual após a
apresentação do mesmo faremos alguns testes para comprovação de sua
eficácia através da determinação do valor de π e do cálculo de integrais
definidas de funções conhecidas.
Palavras-chave: Métodos numéricos, números aleatórios, método Monte Carlo.

7. LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva dada pela
K
função f(x) para o cálculo da integral ∫ f ( x) dx
0
pelo Método Monte Carlo...16
Figura 02- ícone para a chamada do programa Octave.....................................................18
Figura 03 - Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação de π
pelo Método Monte Carlo...............................................................................20
Figura 04 – Região delimitada pela curva f 2 ( x) para o teste do Método Monte Carlo
1
∫x
2
no cálculo da Integral dx ........................................................................21
0
Figura 05 – Região delimitada por uma curva f 3 ( x) para o teste do Método Monte Carlo
e x −1
1
no cálculo da Integral ∫ dx .....................................................................22
0
e −1

8. LISTA DE QUADROS
Quadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método Monte
Carlo .................................................................................................24
Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n.............25
Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n...............26
Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n=5000.................................27
1
∫x
2
Quadro 05- Programa para determinação da integral dx usando o Método
0
Monte Carlo.......................................................................................28
1
∫x
2
Quadro 06- Cálculo da área pela dx usando o Método Monte Carlo para
0
diferentes valores de n.....................................................................29
e x −1 1
Quadro 07- Programa para determinação da integral ∫ e −1 dx usando o
0
Método Monte Carlo..........................................................................30
1
e x −1
Quadro 08 - Cálculo da integral ∫ e −1 dx usando o Método Monte Carlo
0
para diferentes valores de n...........................................................31

9. SUMÁRIO
Capítulo I ....................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ..........................................................................................................................9
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................................9
1.2. JUSTIFICATIVA ..........................................................................................................10
1.3. OBJETIVOS ..................................................................................................................11
1.3.1. OBJETIVO GERAL ..............................................................................................11
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................11
1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................12
Capítulo II .................................................................................................................................13
MÉTODO DE MONTE CARLO .............................................................................................13
2.1. APRESENTAÇÃO.......................................................................................................13
2.1.1. Determinação dos números aleatórios ...................................................................15
2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método.......................................16
2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo ..........................................................17
2.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE .........................................................18
Capítulo III................................................................................................................................20
PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS....................................................................................20
3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo ...................20
1
∫x
2
3.2. Problema 2 – Cálculo da Integral dx pelo Método Monte Carlo.......................21
0
1
e x −1
3.3. Problema 3 – Cálculo da integral ∫ dx pelo Método Monte Carlo..................22
0
e −1
Capítulo IV ...............................................................................................................................23
4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1.............................................................23
4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2 ............................................................27
4.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3 ............................................................30
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS34

10. 9
Capítulo I
INTRODUÇÃO
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
As integrais, sejam elas definidas ou indefinidas, possuem uma ampla
variedade de aplicações cujo estudo faz parte dos cursos de Cálculo Diferencial e
Integral, Estatística, Cálculo Numérico, dentre outros. Possuem ampla aplicação na
Física e na Engenharia. No caso específico da Física, freqüentes e importantes
problemas referem-se à resolução de integrais e suas diversas aplicações. Na
maioria dos casos, normalmente podem ser resolvidas por métodos analíticos já
bastante consagrados na literatura matemática.
Entretanto, é comum nos depararmos com situações onde a formulação de
um modelo matemático para representar a realidade é uma tarefa difícil. Outras
vezes existem dificuldades metodológicas na resolução do modelo proposto. Para
isto, uma proposta alternativa é a utilização de técnicas de simulação para encontrar
soluções aproximadas destas integrais. Dentre estas técnicas temos o Método de
Monte Carlo. “A idéia principal por trás de Monte Carlo na abordagem desses
problemas, é aproveitar ao máximo a força da análise teórica, e ao mesmo tempo
evitar suas fraquezas substituindo a teoria por experimento, onde quer que a
primeira falhe.” (ROSA et all, 2002, p. 01).
O Método de Monte Carlo, o qual será objeto de estudo deste trabalho,
fundamenta-se na Distribuição de Probabilidade, fazendo uso de amostras
aleatórias. “Para que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo
basta que este faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.”
(ANGELOTTI, 2008, p. 01)
9

11. 10
1.2. JUSTIFICATIVA
Devido à busca de valores finais e decisivos, comum nas áreas da
Matemática Aplicada como em Engenharia, Física, Economia e Estatística, sem
demasiado exagero se observa o pragmatismo necessário para a obtenção de
resultados em valores numéricos. Um dos principais motivos que justificam tal fato é
a morosidade com que alguns métodos requerem ou a forma muitas vezes
complexas com que estes precisam ser abordadas, e por esse motivo consomem
um tempo que na maioria das vezes o engenheiro ou cientista não dispõe. Além
disso, deve-se levar em conta a dificuldade de encontrar uma função que possa
represente o modelo a ser tratado. Mesmo em caso positivo, é provável recair em
uma equação nem sempre tão simples de se calcular pelos métodos de solução
analítica, sendo necessário que o engenheiro lance mão de métodos alternativos,
que simulem o sistema em questão.
Dentro da Física, freqüentemente encontram-se trabalhos que requerem
aplicações de integrais definidas, fazendo-se necessário encontrar o resultado
efetivo que possa ser solução de acordo com os dados numéricos e analíticos
fornecidos.
Devido aos argumentos expostos acima, surgiu a necessidade da busca de
um método alternativo que também possa ser solução e forneça resultados
satisfatórios para as Integrais Definidas. Naturalmente, dentro do grau de certeza
com que o caso a ser considerado deve apresentar. Por conseguinte, naturalmente,
surgem exemplos de indagações como as seguintes: Como outro método, de
natureza decisiva e dentro dos moldes da aritmética pode ser solução de um
problema que é fornecido pela Integral Definida que estando nos moldes da
analiticidade, e devido à sua formalidade, fornecem-se valores exatos? Quão
confiante pode ser tal método para que possa ser usado na resolução de tal
10

12. 11
questão? Quanto tempo pode ser reduzido utilizando um método alternativo? Em
quais casos o método é adequado?
É através desses questionamentos, que surgiu a vontade e o planejamento de
se executar um trabalho que tivesse aspecto monográfico. Dessa forma, o trabalho
será desenvolvido no direcionamento das questões levantadas acima, sem ter, no
entanto, a presunção de responder pronto e decisivamente aos questionamentos
levantados.
1.3. OBJETIVOS
1.3.1. OBJETIVO GERAL
• Iniciar o estudo sobre aplicações do método de Monte Carlo na resolução de
problemas simples como o cálculo do valor de π e integrais definidas no
ambiente Octave.
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Provocar o interesse de outros estudantes a realizarem futuros trabalhos
também utilizando o método Monte Carlo, para aplicações diversas.
• Analisar o quanto tal método é possível de ser efetivo na busca do
fornecimento de valores dentro das especificidades das áreas da Matemática
aplicada.
• Apresentar o ambiente Octave para desenvolvimentos de programas
envolvendo Cálculo Numérico.
11

13. 12
1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO
Esta monografia está dividida em quatro capítulos, sendo esta a introdução, o
capítulo I, onde começamos com as considerações iniciais sendo colocado o
problema. Em seguida é apresentada a justificativa da escolha do tema seguido da
apresentação dos objetivos a serem alcançados.
O capítulo II, consta da apresentação do método Monte de Carlo com as
equações a serem utilizadas, bem como uma descrição dos procedimentos para a
sua aplicação. Em seguida é feita uma breve explanação sobre a origem do nome
do método. Ainda neste capitulo é apresentado o ambiente Octave onde foram
realizados os programas para determinação da solução das integrais pelo referido
método.
No capítulo III serão apresentados os problemas a serem tratados. Divide-se
em duas partes: Descrição do modelo que será usado e os procedimentos para
executá-lo.
No capítulo IV apresentaremos a solução dos problemas através da
simulação. Para melhor compreensão os resultados serão apresentados em tabelas
de acordo com o número de iterações realizadas, para em seguida ser feita uma
análise dos resultados obtidos. Faremos também algumas propostas para possíveis
aprimoramentos do método estudado e proposição de futuros trabalhos utilizando o
método em questão.
Por último chega-se à conclusão do trabalho, com a apresentação dos
principais resultados, enfatizando os resultados obtidos com os objetivos propostos.
12

14. 13
Capítulo II
MÉTODO DE MONTE CARLO
2.1. APRESENTAÇÃO
A forma mais comum de dividir a matemática em áreas de estudo é classificá-
la como a matemática pura e a matemática aplicada. Mas existem muitos outros
modos de classificá-la. Um modo alternativo seria a matemática experimental e a
matemática teórica tal como ocorre com a física. No caso da matemática
experimental o computador tem se tornado uma ferramenta essencial para a
realização dos experimentos, restando aos ditos teóricos o uso de lápis e papel que
deduzem conclusões a partir dos postulados, diferente dos experimentalistas que
inferem conclusões a partir das observações de determinado fenômeno. Tais linhas
de ação mostram a diferença entre a dedução e a indução, ou mesmo entre a
indução matemática indução empírica.
A “indução empírica” nas Ciências Naturais procede de uma série particular
de observações de um certo fenômeno até o enunciado de uma lei geral
que regula toda as ocorrências desse fenômeno. (...) De um modo bastante
diferente, a indução matemática é utilizada para demonstrar a veracidade
de um teorema matemático em uma sequência infinita de casos, o primeiro,
o segundo, o terceiro, e assim por diante, sem exceção. (COURANT, 2000,
p. 12).
O fazer da matemática experimental consiste na realização de experimentos
com objetos matemáticos, tais como números, ou equações, ou figuras geométricas.
Recentemente uma importante área da matemática experimental é a modelagem
matemática onde os modelos tratados são descritos por uma variedade de equações
desde as mais simples como a do primeiro e segundo grau, muito utilizadas na
descrição dos movimentos de partículas tratados na cinemática, quanto as
complexas equações diferenciais com utilizações mais aprofundadas numa
variedade de sistemas.
13

15. 14
Cada tipo dessas equações diferenciais requer métodos específicos para
solução, as quais culminam na resolução de integrais. Muitas destas soluções
podem ser obtidas analiticamente, porém, ainda assim, existem muitas delas que
possuem uma solução analítica muito difícil o que termina por exigir métodos
numéricos mais adequados para encontrar sua solução. Um destes métodos, aqui a
ser tratado, é o Método de Monte Carlo.
O método de Monte Carlo compreende uma área da matemática experimental
o qual está preocupado em realizar experimentos com números aleatórios. Ele tem
sido usado extensivamente há bastante tempo na solução de problemas que vão
além da matemática experimental atingindo numerosos outros campos da ciência,
incluindo química, física nuclear, biologia e medicina. “O método de Monte Carlo
(MMC) é um método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversas
aplicações em áreas como a física, matemática e biologia.” (ANGELOTTI, 2008, p.
01).
No método de Monte Carlo o resultado será uma função
R(ξ1 , ξ 2 , ξ3 ,..., ξ N , ) (01)
da sequência de números aleatórios ξ1 , ξ 2 ,... . Estes números são o estimador da
1 1
integral ∫ ...∫ R(x1,..., xN )dx1... dxN .
0 0
(02)
O problema de avaliar integrais é um importante passo no aprendizado do
método de Monte Carlo, servindo assim, de base para o aprimoramento de técnicas
de aplicações mais gerais deste método. Sendo assim, por questão de simplicidade,
iremos apresentar neste trabalho o procedimento para a resolução da integral
1
unidimensional Θ = ∫ f ( x ) dx. (03)
0
Apesar do fato de que tais integrais possam ser avaliadas mais eficientemente por
meios numéricos convencionais que não o método Monte Carlo. Vamos supor que a
1
solução da integral Θ = ∫ f ( x ) dx existe. Então, se ξ1 , ξ 2 ,...ξ N são números aleatórios
0
independentes distribuídos retangularmente entre 0 e 1, então as quantidades
f i = f (ξ i ) (04)
14

16. 15
são variedades aleatórias independentes com valor esperado Θ . Ficando o valor
médio da função acima dada por
N
1
f=
N
∑fi =1
i (05)
O valor de Θ , tem como variância a expressão
1
1
σ2
∫ ( f (x )− Θ)
2
dx = (06)
N 0
N
ficando o erro padrão de f dado por
σ
σf = . (07)
N
Vemos assim que o Método Monte Carlo consiste de “um método estatístico
que envolve a geração de observações de distribuições de probabilidades, a serem
usados para aproximar funções a serem integradas” (WIKIPÉDIA, acesso em set
2009). O processo de simulação é possível de ser factível e rápido, se contado com
o poder de processamento dos computadores na aplicação da enorme quantidade
de experimentos que precisam ser feitos.
Isto se deveu principalmente na redescoberta de técnicas de simulação
relativamente simples, mas extremamente poderosas, que puderam ser
implementadas graças ao avanço nas capacidades computacionais.
(EHLERS, 2003, p. 01).
Assim, o trabalho será desenvolvido de acordo com o exposto acima, e
formulado através do que se tornou o tema: Um estudo introdutório ao método de
Monte Carlo: Uma aplicação no cálculo de integrais definidas no ambiente Octave.
2.1.1. Determinação dos números aleatórios
A geração de números aleatórios é uma importante etapa na aplicação do
Método Monte Carlo. Na verdade trata-se de números pseudo-aleatórios, pois são
gerados por algoritmos geralmente contidos em pacotes de softwares, em
calculadoras ou em aplicativos, tais como o Maple, o Excell, o Octave entre outros.
No Octave eles são gerados pela função rand.
15

17. 16
2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método
Após a apresentação do método no início deste capítulo, com as
apresentações das equações a serem utilizadas, será feito a seguir, um apanhado
dos procedimentos em que se baseia o método Monte Carlo.
Como serão trabalhadas funções no plano cartesiano, é feita a geração dos
números que levarão a pontos no plano. Portanto no eixo das abscissas, será feita
também a geração de números no intervalo de interesse , e, de forma
análoga, no eixo das ordenadas será feita também a geração de pontos no intervalo
. Os pontos que serão marcados no plano cartesiano serão dados pelas
coordenadas dos valores aleatórios encontrados correspondentemente no eixo das
abscissas e das ordenadas, respectivamente. (HASHIMOTO, 2004).
De acordo com o método Monte Carlo, a área a ser determinada pela Integral
Definida será dada pela quantidade de pontos internos à área delimitada pelos eixos
coordenados e abaixo da função f(x). Na figura abaixo encontra-se um diagrama
esquemático desta região, cujo pontos internos estão representados por círculos.
Quando alguns destes pontos caem dentro do retângulo (M x K), mas acima da
região delimitada pela função f(x) e os eixos coordenados eles são rejeitados como
é o caso do ponto preto de coordenadas (x1, y1). Caso contrário eles serão aceitos.
y f ( x)
(x1, y1)
●
M
.......... .........
x
K
Figura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva
K
dada pela função f(x) para o cálculo da integral ∫ f ( x) dx pelo Método Monte Carlo.
0
16

18. 17
Vamos supor ainda que os valores da função no intervalo [0, K] são menores
ou iguais a um valor conhecido, digamos M, e além disso que o valor função f(x) é
positivo no intervalo [0, K]. Inicialmente é gerada aleatoriamente a seqüência (x1 , y1),
(x2 , y2), ... , (xn , yn) de pontos onde 0 ≤ xi ≤ K e 0 ≤ yi ≤ M. É calculada então a
proporção de pontos que estão entre a curva e o eixo das abscissas, isto é, a
proporção de pontos tais que 0 ≤ yi ≤ f(xi).Na figura 01 estes pontos estão
representados por círculos. (Citado acima por HASHIMOTO).
Ou seja, para cada número gerado para o intervalo no eixo das abscissas,
será gerado um número para o intervalo no eixo das ordenadas, e dessa forma será
formado o par coordenado. Saber-se-á, contudo, quando o ponto coordenado que
fora gerado estará abaixo ou acima da curva dada pela função em consideração da
seguinte maneira: para cada valor gerado (xi) do intervalo do eixo das abscissas,
será substituído na função em consideração, verificando se o valor (f(xi)) será maior
ou menor do que o respectivo valor de (yi) gerado no eixo das ordenadas. Os pontos
dentro da região de interesse serão mantidos e do contrário rejeitados. Assim a área
será estimada pela razão entre a quantidade de pontos internos Pint para a
quantidade de pontos totais Ptot dentro do retângulo delimitado pelos eixos
cartesianos e as retas x=K e y=M.
2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo
O nome e o uso sistemático do desenvolvimento do método Monte Carlo data
a partir de 1944. O termo método de Monte Carlo se originou a partir do nome da
cidade de Mônaco no Mediterrâneo conhecida pelos seus cassinos. O primeiro a
utilizar a técnica foi o matemático John Von Neumann, ao usar o método para
estudar a difusão aleatória de nêutrons durante o desenvolvimento da bomba
atômica. Atualmente, a denominação método de Monte Carlo tornou-se expressão
geral associada ao uso de números aleatórios e estatística de probabilidade. Para
que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo basta que este
faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.
17

19. 18
2.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE
A computação numérica permitiu a realização de uma ampla gama de
problemas em diversas áreas científicas, tais como a engenharia, a física, a
matemática, química entre outras. Ao longo da evolução da história dos
computadores surgiram diversos ambientes computacionais que possibilitaram o
desenvolvimento das mais diversas tarefas. Dentre eles podemos citar: Matlab,
Maple, Mathemathica, SciLab, Octave, entre outros.
Neste trabalho utilizamos o ambiente Octave, por tratar-se de uma alternativa
livre de ambientes matemáticos. Vale ressaltar que embora diferentes, os programas
Matlab e Octave possuem semelhanças a ponto de seus arquivos poderem ser
processados em ambos os ambientes, daí, possuírem a mesma extensão (m). Na
figura abaixo apresentamos o ícone para a chamada deste programa.
Octave-3.2.2.lnk
Figura 02- ícone para a chamada do programa Octave
Para aprender a usar o Octave existem muitos materiais disponíveis na
internet, sendo que própria fonte de ajuda encontra-se no próprio programa, onde
uma série de informações a respeito de um comando podem ser obtidas utilizando-
se o comando help-i nome-do-comando.
Dentre as operações usuais ele permite a realização das operações
fundamentais aritméticas, onde são contemplados todos os tipos de operadores com
18

20. 19
números reais e inteiros. Assim são possíveis a soma (+), subtração (-), divisão (/),
multiplicação (*) divisão reversa () e exponencial (ˆ).
Além das operações aritméticas, pode-se realizar as operações lógicas e
testes de decisão. Os operadores lógicos mais usuais no octave são: maior (>), ou
maior ou igual (>=), menor (<), ou menor ou igual (<=), igual (==) e diferente (~=). O
sinal de igualdade (=) é usado para o comando de atribuição.
Ao abrir o programa aparece o pronpt: octave>, onde deve ser indicado a
operação desejada. Passado esta informação tem como resposta: ans
=.valornumérico. Além destas operações, o octave dispõe de uma vasta biblioteca
de funções pré-instaladas que permite o cálculo de uma série de funções como as
funções trigonométricas, hiperbólicas, de Bessel, e uma infinidade de outras.
Além das funções pré-instaladas ele permite a criação de outras pelo usuário.
Para isto deve ser criado um arquivo com extensão .m no diretório corrente. No
nosso trabalho utilizamos o diretório /bin. Outra vantagem do octave é que ele
permite a realização de gráficos. Para isto é utilizado o programa GNU-PLOT.
Do mesmo modo que em outras linguagens de programação, a realização de
um programa no octave utiliza estrutura de repetição e de seleção. Para as
estruturas de repetição temos os comandos: for e while. Para o comando for, as
operações usam um contador com incrementos constantes. Já o comando while é
utilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cada
iteração do problema. Para as estruturas de seleção temos o comando IF. A seleção
consiste na realização de comparações diretas ou seleção e serve para direcionar o
fluxo do programa em função de seu resultado. Além do comando IF pode-se
também utilizar o comando switch o qual permite a seleção de uma alternativa entre
diversas. Ele pode ser substituído por um conjunto de if’s em cascata.
19

21. 20
Capítulo III
PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS
Para a aplicação do Método Monte Carlo foi proposto dois problemas básicos
presentes na matemática. O primeiro deles consistiu na determinação do valor de π .
Com ele determinou-se área de um círculo. O segundo problema foi o cálculo de
integrais definidas de duas funções conhecidas num intervalo de 0 a 1. A seguir
faremos a apresentação dos referidos problemas.
3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo
Tomemos um quadrado unitário colocado no plano x-y com o vértice inferior da
esquerda colocado na origem do sistema cartesiano conforme mostra-se na figura
abaixo. Em seguida inscreve-se neste quadrado a quarta parte de um círculo
unitário.
Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 1 ( x ) = 1 − x 2
em [0;1]
y
1
........
...........
.............
...............
.................
0 1 x
Figura 03 – Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação de π pelo
Método Monte Carlo.
20

22. 21
1
∫x
2
3.2. Problema 2 – Cálculo da Integral dx pelo Método Monte Carlo
0
Dando prosseguimento à proposição de problemas para aplicação do Método Monte
Carlo propomos o cálculo da área da curva parabólica delimitada entre 0 e 1 através
1
∫x
2
do cálculo da integral definida dx a ser realizada pelo método Monte Carlo.
0
Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 2 ( x) = x 2 em
[0;1]
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Figura 04– Região delimitada pela curva f 2 ( x) para o teste do Método Monte Carlo
1
∫x
2
no cálculo da Integral dx .
0
21

23. 22
1
e x −1
3.3. Problema 3 – Cálculo da integral ∫ dx pelo Método Monte Carlo
0
e −1
Com este problema escolheu-se uma função que apresenta uma complexidade
maior do que a família de funções polinomiais para testarmos a eficiência do método
Monte Carlo. Mais uma vez escolhemos avaliar a integral para o cálculo da área no
intervalo fechado [0;1] cujo gráfico encontra-se abaixo.
e x −1
Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 3 ( x) =
e −1
em [0;1]
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Figura 05 – Região delimitada por uma curva f 3 ( x) para o teste do Método
1
e x −1
Monte Carlo no cálculo da Integral ∫ e −1 dx
0
22

24. 23
Capítulo IV
ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1
A solução do problema pelo método Monte Carlo consiste em escolher pontos
aleatórios (x, y) dentro do quadrado e verificar quais destes pontos encontram-se
dentro do quarto do círculo. Conhecida área do quadrado e a do círculo, determina-
se uma expressão para o cálculo do valor de π .
Considerando o quadrado em questão de lado a, a sua área será A= a 2 e a
área do quarto do círculo será
1
A = .π r 2 (08)
4
Pelo Método Monte Carlo a área do quarto de círculo é dada por
Pint
A = a2 × (09)
Ptotal
Sendo :
- Pint os pontos lançados aleatoriamente que ficaram dentro do quarto do
círculo;
- Ptotal o número total de pontos gerados dentro do quadrado.
Substituindo (08) em (09) tem-se:
Pint 1
a2 × = π a2 (10)
Ptotal 4
De forma que o valor de π fica dado por
Pint
π = 4× (11)
Ptotal
23

25. 24
Para a obtenção do valor de π realizamos um programa, descrito a seguir, o
qual consiste das seguintes etapas:
1) Entrar com o número de iterações, n:
2) Gerar números aleatórios para x entre 0 e 1;
3) Gerar números aleatórios para y entre 0 e 1;
4) Verificar quais desses números encontravam-se dentro do quarto de
círculo;
5) Caso afirmativo calcular a soma dos pontos internos ( Pint ) e o pontos total
dentro do quadrado ( Ptot ). Esta soma equivale ao somatório expresso na
equação (05). Porém ao transformá-la na linguagem de programação ela,
conforme veremos abaixo, é posta sob a forma de um acumulador, ao
fazer Pint=Pint+1 dentro de um comando de repetição conhecido por for.
Concluída esta etapa de contagens e somatórios calcula-se o valor de π
usando-se a equação (11).
O programa por nós proposto foi realizado no programa Octave e foi
denominado Teste_M_C.m, o qual encontra-se listado abaixo:
Quadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método Monte
Carlo
% Programa para usar o Método Monte Carlo
% Cáculo de pi
n=5000; % n - número de interações
Pint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada.
for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado.
x=rand;
y= rand;
if (x^2+y^2<=1)
Pint=Pint+1;
endif
endfor
Pi=4*Pint/Ptot
Area=Pi/4
24

26. 25
A seguir apresentaremos alguns resultados para diferentes valores de interação n.
Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n
n π Área
10 3,6000 0,90000
20 3,2000 0,80000
30 3,4000 0,85000
40 2,4000 0,60000
50 3,2000 0,80000
60 3 0,75000
70 2,9333 0,73333
80 2,9000 0,72500
90 2,9333 0,73333
100 3,2400 0,81000
1000 3,0400 0,76000
2000 3,1080 0,77700
3000 3,1523 0,78133
4000 3,1380 0,78450
5000 3,1488 0,78720
A princípio o quadro acima mostra a validade do método embora com certa
flutuação com o aumento do número de iterações n. No entanto, mesmo com esta
flutuação percebe-se que os resultados obtidos encontram-se próximos do valor de
π , ficando em torno de 3. À medida em que se aumentou o valor de n obteve-se
valores próximo do valor de ( π = 3,1416) tomado aqui como referência.
Aproveitando o valor de π , determinou-se o valor da área do quarto de círculo
através da fórmula usual dada pela geometria expressa pela equação (01),
resultando num valor aproximado de 0,78 cm2.
25

27. 26
Com o intuito de estimarmos a margem de erro “experimental’ tomamos como
referência o valor de π = 3,1416 com o qual determinou-se o erro relativo percentual
que encontra-se listado abaixo. Porém antes de apresentar estes resultados vale
lembrar que a expressão do erro relativo percentual é dada por
Pii −3,1416
e (%) = ×100 (12)
3,1416
Onde, conforme já foi mencionado, foi tomado como valor de referência para π (pi)
o valor 3,1416.
Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n
n π Erro relativo (%)
10 3,6000 14,591
20 3,2000 1,858925
30 3,4000 8,225108
40 2,4000 -23,6058
50 3,2000 1,858925
60 3 -4,50726
70 2,9333 -6,63038
80 2,9000 -7,69035
90 2,9333 -6,63038
100 3,2400 3,132162
1000 3,0400 -3,23402
2000 3,1080 -1,06952
3000 3,1523 0,340591
4000 3,1380 -0,11459
5000 3,1488 0,229183
O quadro acima mostra mais uma vez a flutuação dos resultados, porém
confirmando a validade do método, uma vez que, com exceção do valor de π para
n=10, para as demais iterações o erro relativo percentual foi menor do que 10%,
faixa esta bastante aceitável.
26

28. 27
Antes de encerrar esta seção vale mencionar um fato curioso sobre o método
Monte Carlo, mas que não o invalida. É que, em virtude do método utilizar números
aleatórios a cada chamada do programa ocorre que cada vez que efetuamos um
cálculo para o mesmo valor de n, isto é, mesmo número de iterações, o resultado
obtido é diferente. Para melhor destacarmos este fato apresentamos no quadro
abaixo o dez valores de π para um mesmo valor de n, no caso n = 5000.
Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n = 5000
n π Área
5000 3,1488 0,78720
5000 3,1096 0,77740
5000 3,1560 0,78900
5000 3,1232 0,78080
5000 3,1464 0,78660
5000 3,1112 0,77780
5000 3,1496 0,78740
5000 3,1448 0,78620
5000 3,1432 0,78580
5000 3,1720 0,79300
Média 3,14048 0,78512
Percebe-se que mesmo com estas flutuações o valor fica em torno da média
que é para π = 3,14048 e para a área o valor de 0,78 85 cm2.
4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2
1
∫x
2
O segundo problema consistiu no Cálculo da Integral dx pelo Método
0
Monte Carlo. Para melhor ilustrá-lo apresentamos a seguir o gráfico da função citada
dentro do intervalo [0; 1]. Trata-se de uma parábola, a qual encontra-se delimitada
por um quadrado de lado unitário. De ante mão tomemos como referência o valor da
27

29. 28
integral acima a qual tem como resultado no intervalo em questão o valor de
1
≅ 0,333 .
3
De maneira análoga o cálculo desta integral pelo Método Monte Carlo
consistiu da geração de números aleatórios para x e para y, formando os pontos
aleatórios de pares ordenados (x, y) dentro do quadro de uma unidade de lado 1,
verificando em seguida quais destes pontos encontram-se dentro da região
delimitada pela parábola mostrada na figura 4.
A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para a
realização destes cálculos.
1
∫x
2
Quadro 05- Programa para determinação da integral dx usando o Método
0
Monte Carlo
% Programa para aplicar o Método Monte Carlo
% Integrando com função quadrática (parábola).
n=5000; % n - número de interações
Pint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada.
for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado.
x=rand;
y= rand;
if (y-x*x<=0)
Pint=Pint+1;
endif
endfor
area=Pint/Ptot
28

30. 29
No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto.
1
∫x
2
Quadro 06- Cálculo da área pela dx usando o Método Monte Carlo para
0
diferentes valores de n
n Área
10 0,40000
50 0,30000
100 0,31000
200 0,34000
500 0,34000
1000 0,34100
2000 0,34650
3000 0,34567
4000 0,33575
5000 0,34120
Mais uma vez como finalidade didática, optou-se pelo cálculo de integrais
simples e já conhecidas. Para o problema 2 em questão o valor de referência foi
0,333. A partir de n= 50 o resultado se aproxima do valor esperado o que mostra
mais uma vez a eficácia do método.
Muitos testes podem ser explorados com este método. Um deles é estender
os limites de integração, mas como tal adaptação exige um maior esforço
computacional o que demanda um gasto maior de tempo deixando estas tarefas
para trabalhos futuros. Também vale aqui ressaltar as diferenças obtidas nos
resultados fixando os números de iterações. Para não se tornar tão repetitivo
optamos por não apresentar neste item, deixando para sua apresentação no
problema 3 a seguir.
Para o próximo problema trataremos de usar uma função não polinomial para
verificarmos a eficácia do método.
29

31. 30
4.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3
1
e x −1
O terceiro problema consistiu no Cálculo da Integral ∫ e −1 dx pelo Método
0
Monte Carlo. O gráfico da função que faz parte do integrando encontra-se na figura
05. Trata-se de uma função exponencial delimitada no primeiro quadrante pelos
eixos coordenados e a reta y=1, estando assim delimitada por um quadrado de lado
unitário. Mais uma vez, por questão de controle, tomou-se como referência o valor
da integral acima obtida pelos métodos usuais do cálculo diferencial e integral
e− 2
resultando no valor = 0,418023 .
e −1
A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para a
aplicação do Método Monte Carlo.
1
e x −1
Quadro 07- Programa para determinação da integral ∫ e −1 dx usando o Método
0
Monte Carlo
% Programa para aplicar o Método Monte Carlo
% Integrando com função exponencial.
n=5000
Pint=0;
for Ptot=1:n;
x=rand;
y= rand;
D=(exp(x)-1)/(exp(1)-1);
if (y-D<=0)
Pint=Pint+1;
endif
endfor
área=Pint/Ptot
30

32. 31
No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto.
1
e x −1
Quadro 08- Cálculo da integral ∫ dx usando o Método Monte Carlo para
0
e −1
diferentes valores de n.
n Área – rodada 1 Área-rodada 2
10 0,5000 0,6000
100 0,4400 0,3500
500 0,406 0,4500
1000 0,402 0,430
1500 0,434 0,42867
2000 0,42750 0,41800
3000 0,43133 0,42300
4000 0,42150 0,42650
5000 0,41100 0,41700
Conforme já mencionado, tomaremos como referência para a integral o valor
0,418023. A partir de n= 100 o resultado se aproxima do valor de referência o que
mostra mais uma a eficácia do método. Vale destacar também que em virtude da
geração dos números aleatórios, ainda que para um mesmo valor de iterações n, os
resultados dão diferentes, porém próximos, conforme mostra-se no quadro 08,
quando apresentamos resultados para duas rodadas.
Para encerrar a apresentação dos resultados vale ressaltar que em todos
eles, os cálculos das integrais foram realizadas no intervalo entre 0 e 1. Para
trabalhos futuros fica como sugestão a realização de programas para estender a
faixa do intervalo de integração [a; b], com a e b quaisquer,
31

33. 32
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para os três problemas proposto os resultados obtidos mostraram a eficiência
e funcionalidade do método. Os erros relativos percentuais ficaram abaixo de 10% o
que confirma a sua validade.
Um item a ser destacado é quanto à convergência do resultado para
pequenas iterações. Já a partir de n=100 os resultados eram bastante satisfatórios,
no entanto à medida em que este número aumentava percebeu-se uma melhora
significativa nos resultados, ocorrendo uma maior proximidade entre os valores
“experimentais”, obtidos pelo método Monte Carlo, com os tomados como referência,
os quais foram obtidos pelos métodos usuais de integração.
Em virtude de se lidar com números aleatórios, na verdade, pseudo-aleatórios
para uma mesma iteração os resultados obtidos sempre são diferentes entre se,
porém próximos, o que não invalida o método.
Retomando aos questionamentos levantados no final da seção 1.2 do
primeiro capítulo, temos as seguintes observações a fazer fundamentadas nos
resultados obtidos com a pesquisa. Para facilitar o leitor retomamos as questões
levantadas seguindo com as devidos comentários:
A primeira destas questões foi: para a realização de integrais definidas, o
método fornece valores exatos? Conforme mencionado ao longo do trabalho e
fundamentado com os resultados obtidos conclui-se que o método não fornece
valores exatos, porém isto não o invalida. O que se observou foi que os resultados
são aproximados com um erro percentual baixo, menor do que 10%, o que é
perfeitamente aceitável.
Ainda especulando-se a validade do método, foi questionado quanto à sua
confiança quando o autor lança a pergunta: quão confiante pode ser tal método para
32

34. 33
que possa ser usado na resolução de problemas, especificamente no cálculo da
integral definida? Mais uma vez a pesquisa mostrou que embora o método não
forneça resultados exatos, sua confiança encontra-se fundamentada nos baixos
valores dos erros percentuais apresentados. Além disso, conforme apresentado na
equação (07) tais erros podem ser estimados através do erro padrão, cuja
expressão apresenta no denominador o valor do número de iterações, daí, quanto
maior o número de iterações utilizado mais preciso será o resultado.
Uma questão também interessante foi posta ao indagar sobre a redução de
tempo que se ganha ao se optar pelo método Monte Carlo em detrimento de outros
métodos convencionais. Considerando tratar-se de um método cujos resultados são
obtidos mediante o uso de recursos computacionais, então este tempo dependerá
de diversos fatores, cujas variantes levariam em consideração desde o tipo de
máquina empregado, a habilidade do programador, e claro, a complexidade do
problema a ser tratado. Porém, para os casos específicos tratados nesta pesquisa
percebeu-se que o tempo de processamento foi muito pequeno em virtude da
rapidez apresentada, mas é preferível não utilizarmos este critério para a utilização
ou não deste método por não termos quantificados tais intervalos de tempo.
Por fim a última questão levantada foi saber em quais casos este método é
adequado. Como toda metodologia, não goza de uma propriedade geral, daí
observarmos que o método Monte Carlo deve ser utilizado em situações-problemas
em que possa ser tratado por meios probabilísticos calcados em números aleatórios.
Mas como foi dito ao longo deste trabalho trata-se de um método muito abrangente
e aplicado extensivamente ao longo dos anos em diversas áreas científicas como é
o caso da física, química e biologia, entre outras.
Para trabalhos futuros fica como sugestão estender o intervalo de integração
com o desenvolvimento de programas para o cálculo de integrais definidas além dos
limites entre 0 e 1.
33

35. 34
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