16.03.2015 Beyza& Seda 1
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Fach Mathematik
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Gliederung
● Biografie
● Leistungen/Auswirkungen
● Lineares Gleichungssystem
● Eliminationsverfah...
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Biografie
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Biografie
● Geb. 4.Mai 1777
● Gestorben 23.Februar 1855
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Biografie
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auf.
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● Guter Freund von Gauß
(1743–1819)
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Leistungen/Auswirkungen
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„ Für mich wenigstens sind und blei...
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Lineares
Gleichungssystem
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● Aus linearen Gleichungen aufgebaut
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Eliminationsverfahren
● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen:
● → Vorwärtselimination
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1x + 4y + 3z = 1
1y + 2z = 4
1Z = 2
Stufenform auch Dreiecksform genannt
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Eliminationsverfahren
● Umformungen von der Matrix auf die Dreiecksform
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● Von der Form (1) zu einem System der Form (2) zu
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● Ergebnis der zweiten Umformung...
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Eliminationsverfahren
● Damit ist die Dreiecksform erreicht und wir können
mit Rückwärtseinsetzen...
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Anwendung
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Anwendung
● Nicht nur für LGS angewendet sondern auch als Hilfsmittel der
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Fazit
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  1. 1. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Herzlich Willkommen zu unserer PA- Präsentation im Fach Mathematik
  2. 2. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Gliederung ● Biografie ● Leistungen/Auswirkungen ● Lineares Gleichungssystem ● Eliminationsverfahren ● Anwendung ● Fazit
  3. 3. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Biografie
  4. 4. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Biografie ● Geb. 4.Mai 1777 ● Gestorben 23.Februar 1855
  5. 5. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Biografie ● Die Aufgabe lautete: Summieren Sie alle ganzen Zahlen von 1- 100 auf. ● 1+2=3,3+3=6,6+4=10, 10+5=15…usw ● 1+2+3+4+5+6.+7+8+9+10…98+99+100 ● 1+100=101 2+99= 101 3+98=101... usw 50 Paare ● 101*50=5050
  6. 6. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Biografie ● Johann Christian Martin Bartels ● Guter Freund von Gauß (1743–1819)
  7. 7. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Leistungen/Auswirkungen
  8. 8. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Leistungen/Auswirkungen ● Gauß-Krüger-Koordinatensystem ● Gauß – Markow- Theorem ● Gauß-Newton-Verfahren ● Gaußscher-Raum ● Gaußsche- Fehlerfortpflanzungsgesetz ● Gaußscher- Integralgesetz ● Gaußsche-Krümmung ● Gauß-Berg ● Gauß-Klammer ● Gaußsche Planetenkarte
  9. 9. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Leistungen/Auswirkungen ● Brief vom 6 Januar 1819 schrieb er: „ Für mich wenigstens sind und bleiben die Untersuchungen der höheren Arithmetik, bei weitem das Allerschönste der Mathematik, und der Genuss, den ich auch an de schönsten astronomischen Untersuchung finde, ist gar nichts, verglichen mit dem, welchen die höhere Arithmetik gewährt.“
  10. 10. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Lineares Gleichungssystem
  11. 11. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Lineares Gleichungssystem ● Teil der linearen Algebra ● Aus linearen Gleichungen aufgebaut ● Lineare Gleichungen bestehen aus Summen von Termen wie: ● Allgemeine Form a1 x1 + a1 x1 … + an xn = b ● Enstehung durch mehrere lineare Gleichungen ● Drei unterschiedliche Verfahren lösbar: ● Einsetzungs-, Additions- & Gleichsetzungsverfahren ● Eine, mehrere oder garkeine Lösung
  12. 12. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren
  13. 13. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● größten Mathematiker überhaupt ● Gaußsches Algorithmus ● Gaußsche Glockenkurve oder Gaußsche Normalverteilung ● Wichtigsten nummerisches Verfahren ● Vor 2000 Jahren im chinesichen Mathebuch angewendet
  14. 14. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen: ● → Vorwärtselimination ● → Rückwärsteinsetzen
  15. 15. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen: ● → Vorwärtselimination – Das Gleichungssystem auf Stufenform – (Dreiecksform) zu bringen ● → Rückwärsteinsetzen
  16. 16. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren 1x + 4y + 3z = 1 1y + 2z = 4 1Z = 2 Stufenform auch Dreiecksform genannt
  17. 17. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Eliminationsverfahren besteht aus 2 Etappen: ● → Vorwärtselimination – Das Gleichungssystem auf Stufenform – (Dreiecksform) zu bringen ● → Rückwärsteinsetzen – Die Unbekannten durch – Rückwärtseinsetzen lösen
  18. 18. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Umformungen von der Matrix auf die Dreiecksform ● 1. eine der Gleichungen mit einem Faktor k ≠ 0 durchmultiplizieren und subtrahieren ● 2. eine Gleichung des Systems zu einer anderen addieren oder ● 3. die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen Durch die Umformungen wird die Lösungsmenge nicht verändert!
  19. 19. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Beispielaufgabe (1) (2) 1x + 4y + 3z = 1 1x + 4y + 3z = 1 3x +13y +11z = 7 1y + 2z = 4 2x + 9y + 9z = 8 1z = 2
  20. 20. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Beispielaufgabe (1) (2) 1x + 4y + 3z = 1 1x + 4y + 3z = 1 3x +13y +11z = 7 1y + 2z = 4 2x + 9y + 9z = 8 1z = 2
  21. 21. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Von der Form (1) zu einem System der Form (2) zu ● kommen, beachtet man die zwei Hauptschritte. 1.Schritt: Die erste Zahl aus der zweiten, dritten und Gleichung zu eliminieren. *x1 +*x2 + *x3 =* *x2 + *x3 =* *x2 + *x3 =* Die erste Zahl soll nur in der ersten Gleichung vorkommen
  22. 22. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Ergebnis der ersten Umformung... 1 4 3 1 1 4 3 1 3 13 11 7 0 1 2 4 2 9 9 8 0 9 9 8
  23. 23. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● 2.Schritt: Die Zweite Zahl aus der dritten Gleichung zu eliminieren. *x1 +*x2 + *x3 = * *x2 + *x3 = * *x4 = * Die zweite Zahl soll nur in der 1& 2 Gleichung vorkommen
  24. 24. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Ergebnis der zweiten Umformung... 1 4 3 1 1 4 3 1 0 1 2 4 0 1 2 4 0 9 9 8 0 0 3 6
  25. 25. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Eliminationsverfahren ● Damit ist die Dreiecksform erreicht und wir können mit Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
  26. 26. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Anwendung
  27. 27. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Anwendung ● Nicht nur für LGS angewendet sondern auch als Hilfsmittel der linearen Algebra z.B: – Determinante einer Matrix zu berechnen – Berechnung der Inversen ● Heutige Anwendung: – GTR anwendbar – Das Verfahren wird heutzutage nicht angewendet
  28. 28. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Fazit
  29. 29. 16.03.2015 Beyza& Seda 1 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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