1. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES 1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 3º 1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS 3º Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N. 3º Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, - 10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z.

2. Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:  Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)  Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2) Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal  Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234  Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234  Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4

3. Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q. 3º Los números irracionales son aquellos que no son racionales: , 2 , 1’01001.... (Números decimales no periódicos)

4. La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

5. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

6. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real i es la unidad imaginaria: Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0

7. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

8. 1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL 3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. 3º Ejemplos:  4 8 = 2  Natural  2,25 4 9   Decimal exacto  1,333333.... 1,3 3 4     Decimal periódico puro  1,166666.... 1,16 6 7     Decimal periódico mixto

9. Decimales exactos: N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero. 100N = 238 Despejar N N = 100 238 Simplificar la fracción, si es posible  N = 50 119 3º Decimales periódicos puros: N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo. 100N = 238,38 Restarlos 99N = 236 Despejar N N = 99 236 Simplificar la fracción, si es posible  N = 99 236

10. Decimales periódicos mixto: N = 2,38  Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico puro 10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo. 100N = 238,8 Restarlos 90N = 215 Despejar N N = 90 215 Simplificar la fracción, si es posible  N = 18 43

11. CONTROL DEL ERROR COMETIDO 3º Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. 3º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medición, en valor absoluto (en positivo) Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición | 4º Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que una pizarra, por tanto definimos: El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real

14. REGLAS DE DIVISIBILIDAD, MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

15. Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0,250000… ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). (3√7 + 1)/2 = 1.456465591386194… Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que divide, divisor o denominador.

16. NOTACIÓN CIENTÍFICA 4º 1.4.1 INTRODUCCIÓN 4º Los números siguientes están puestos en notación científica: 2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma) 7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7) 4º La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

17. 1.4.2 DEFINICIÓN 4º Un número puesto en notación científica consta de : - Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades) - El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. - Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. N = a , bcd...... x 10n a = Parte entera (sólo una cifra) bcd..... = Parte decimal 10n = Potencia entera de base 10 4º Si n es positivo, el número N es “grande” Si n es negativo, el número N es “pequeño”

18. SUMA Y RESTA DE REALES Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar: · Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera... -3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real. · Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor. Ej: 5 – 3 = 2 -5 + 3 = -2 En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2. Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.

19. SUMA Y RESTA DE REALES Mira estos otros ejemplos: -7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3 7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3 -4-2-5-10= -21 4+2+5+10= 21 -4+5-10-20+15-7+9 Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así: -4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29 Y luego restar: -41+29 = -12 Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

20. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que: Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

21. Leyes de los exponentes:

22. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4

23. Leyes de los radicales Los radicales se rigen por las leyes de los exponentes, porque:

24. Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

25. Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10

26. Ejemplo 11 Si exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la misma forma el término an de la sucesión, en donde n es un número entero positivo. Nótese que: Solución Entonces:

27. Problema de aplicación: Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tiene un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más pequeño es Plutón con un diámetro aproximado de 3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?

28. Sea el volumen de Júpiter y sea el volumen de Plutón, entonces: Solución Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Júpiter.

29. Exponenciación Podemos decir que la exponenciación es una operación que se define en lo que es un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach. Lo importante de esto es que se generaliza la función exponencial de los números reales.Cuando por ejemplo a y b corresponden a dos números enteros la operación puede definirse en términos algebraicos elementales. Pero ciertos números de problemas físicos llevaron a tratar de generalizar la fórmula anterior a valores de b no siendo enteros. Cuando b = 1/2 la operación es equivalente a lo que llamamos una raíz cuadrada. De modo que la exponenciación trata de generalizar una operación como:

30. Habitualmente dicha operación puede ser reducida al cálculo de la siguiente operación: Se generaliza entonces este tipo de operación a casos donde el exponente no es precisamente un número real. Para que sea mas sencillo entender lo que es una exponenciación y saber a que nos referimos cuando hablamos de exponente, prestemos mucha atención a lo siguiente. Tomemos como ejemplo una expresión matemática que tenga incluidos dos términos, los cuales se denominan base a y exponente n. Un exponente se utiliza para indicar la multiplicación repetida, elevando una base a n. El proceso de elevar una base a un exponente se llama potenciación. Entonces si a es un número real y n un número real se definirá como:

31. Entonces: Esto varía según el conjunto numérico al cual pertenezca dicho exponente. Si a es un número real no nulo, se define entonces como: De lo anterior podemos deducir cuales serían las reglas que habitualmente se utilizan en la exponenciación, veamos cuales serían:

32. Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado. La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a. Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0. Radicando = (Raíz exacta)2 Cuadrados perfectos Son los números que poseen raíces cuadradas exactas. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... Raíz cuadrada entera Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

33. Algoritmo de la raíz cuadrada 1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha. 2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda. ¿Qué número elevado al cuadrado da 8? 8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente. 3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando. El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4. 4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior. Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. 49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

34. 5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz , multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando. Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior. 6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz. 7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores. Como 5301 > 5125, probamos por 8. Subimos el 8 a la raíz 8Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir: Radicando= (Raíz entera)2 + Resto 89 225= 2982 + 421

35. Números imaginarios Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo. Definición Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo: Intentos 2 × 2 = 4(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)0 × 0 = 00.1 × 0.1 = 0.01 ¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero. Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

36. Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto: i × i = -1 ¿Sería útil, qué podríamos hacer con él? Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1: Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo. Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9? Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

37. Números Complejos Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad: Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas. Representación binomial Cada complejo se representa en forma binomial como: z = a + ib a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así: a = Re (z) b = Im (z)

38. Plano de los números complejos Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos. Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos. Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad). Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

39. Suma de Números Complejos Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i Propiedades de la Suma de Números Complejos La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades: · Conmutativa Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad: (a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi ) Ejemplo: (2 − 3i ) + (−3 + i ) = (2 − 3) + i (−3 + 1) = −1 − 2i (−3 + i ) + (2 − 3i ) = (−3 + 2) + i (1 − 3) = −1 − 2i · Asociativa Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple: [(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )] Ejemplo: [(5 + 2i ) + (3 − 4i )] + (−9 + 8i ) = (8 − 2i ) + (−9 + 8i ) = −1 + 6i (5 + 2i ) + [(3 − 4i ) + (−9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (−6 + 4i ) = −1 + 6i · Elemento neutro El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que (a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero». · Elemento simétrico El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (− a − bi ): (a + bi ) + (−a − bi) = 0 + 0i = 0 Ejemplo: El simétrico de 2 − 3i es −2 + 3i pues (2 − 3i ) + (−2 + 3i ) = 0

40. Operaciones fundamentales con números complejos. Ejemplos Suma y resta de números complejos. 1.− ( 3+5i ) − ( 5−3i ) = −2+8i 2.− ( 9+7i ) − ( −9+7i )+( −18+i ) = ( 9+9−18 )+( 7−7+1 )i = i Multiplicación de números complejos. 2 2 1.− ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2−i ) = 15+9i+6−3i+25i+15i +10i−5t = 34+64i 2 2 2.− ( 3−2i ) ( 2+i ) ( 1−i ) = ( 6+3i−4i−2i ) ( 1−i ) = ( 8−i ) = 8−8i−i+i = 7−9i División de números complejos. 2 1.− 3 − i − ( 3 − i ) ( 3 − 2i ) − 9 − 6i − 3i + 2i − 7 − 9i − 7 − 9i − 7 − 9i 3 +2i −( 3 + 2i ) ( 3 − 2i )− 9 + 4 − 9 + 4 − 13 − 13 13 2 2 2.− ( 3 + 4i ) ( 1 − 2i ) −3 − 6i + 4i − 8i − ( 11 − 2i ) ( 1 − i )− 11 − 11i − 2i + 2i − 1 + i − 1 + i − ( 1 + i ) ( 1 + i ) − 1 + i − − 9 − 13i − 9 − 13i − 2 − 2 2 12

41. Gracias por su Atención