Lista de exercícios de Matrizes, Determinantes e Sistemas

1. (01) Considere as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij= i + j; i = j e B = (bij)2x2 , tal que (bij) = 2i – 3j.
0, i ≠ j
Determine A+B.
(02) Seja A = 1 2
3 6 . Ache uma matriz B = (bij)2x3 , com todos os elementos distintos, tal que
AB = 0 (AB não implica A = 0 ou B = 0).
(03) Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:
aij = 2i + j
; i < j
i² – j + 1; i ≥ j
(04) Dadas as matrizes A = a 0
0 ae B = 1 b
b 1, determine a e b de modo que AB = I , em que I
é a matriz identidade.
(05) Dada a matriz A = 1 −2
0 3 , calcule A³.
(06) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais de ordem 2:
0 0
x 0. 0 x
0 0= x−y 0
x z + z−y 0
y−z 0
(07) Nos problemas abaixo, supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e
inversíveis, resolva as equações matriciais nas quais X é a variável.
(a) A B X = C
(b) C A XT
= C
LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Turma: 0002001DP2
Professor: Anderson

2. (c) A D X = A B C
(08) Dada a matriz M =
cos x −sen x 0
sen x cos x 0
0 0 1, calcule Q = MMT
e classifique a matriz Q.
(09) Dadas as matrizes A =
2 3 8
−5 9 6
7 4 −1, B =
−3 7 1
−4 2 6
6 9 4e C =
7 −8 3
4 −3 2
9 −5 1, calcule A + B,
C – A e 3A – 2B + 4C.
(10) Dadas as matrizes A =
−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3e B =
−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1. Verifique se B é a inversa de A.
(11) Dadas as matrizes A = 9 5
7 4e B = 4 n
m 9, calcule m e n para que B seja a inversa de A.
(12) Dada a matriz A =
6 1 4
−3 8 −5
2 −6 7 , encontre PT
, sendo que P = A – AT
.
(13) Reduza a matriz abaixo à forma escalonada.
A =

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 6

(14) Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(a) A = 7 5
2 4(b) B =
2 5 7
3 1 4
6 8 2
(15) Resolver as equações:
(a)
∣x−2 x−3 x−1
2 1 3
3 2 1 ∣=60 (b)
∣x 3 2
5 x 1
1 3 1∣=12 (c)
∣3 5 7
2 x x 3 x
4 6 7 ∣=39

3. (16) Calcule o determinante da matriz abaixo:
det D =
∣
0 a b 1
0 1 0 0
a a 0 b
1 b a 0
∣
(17) Determine x e y de modo que as matrizes A = 1 2
1 0e B = 0 1
x ycomutem.
(18) Obter todas as matrizes B = (bij)2x2 que comutem com A = 1 −1
3 0 .
(19) Considere A =  2 x2
2 x−1 0 . Se AT
= A, calcule x.
(20) Resolva:
5 x – 2 y + 3 z = 2
3 x + y + 4 z = -1
4 x – 3 y + z = 3
(21) Sejam A = 2 1 0
1 2 1, B = 0 0 2
6 4 2e C = 3 2 0
0 1 0, matrizes de M2X3 (ℝ).
Calcular 3 ( A - ½ B) + C.
(22) Determinar a matriz X ∈ M2X3 (ℝ) tal que ½ ( X + A) = 3 (X + (B – A)) – C, sendo A, B e C
matrizes do exercício anterior.
(23) Determinar X e Y ∈ M2X3 (ℝ) tais que:
2 X – Y = A
X + 3 Y = B , em que A e B são as matrizes do exercício 21.
(24) Determinar x, y, s e t, números reais, sabendo-se que:
x 1
1 2+ 2 y
0 −1 = 3 2
z t .
(25) Determine a.b, sabendo-se que:

4. 1 a
b 2. 2 3
1 0 = 4 3
2 0
(26) Dadas as matrizes A = a b 1
−1 1 ae B = 1 −1 0
0 1 0com a, b ∈ ℝ. Se A.BT
= 3 4
−2 1,
determine a e b.
(27) Determine o valor do seguinte determinante: det A = ∣k−1 2
4 k−3∣.
(28) Encontre todos os valores de m para que os quais det (A) = 0 em cada item:
(a) A = m−1 −2
1 m−4 (b) Agora, considere A =
m−6 0 0
0 m −1
0 4 m−4.
(29) Calcule o determinante da matriz A =
1 x x2
1 2 4
1 −3 9 e os valores de x que anulam esse
determinante.
(30) Dada a matriz M = −1 0
0 1, determinar o número real k, tal que M + M-1
= k M.
(31) Seja o sistema:
3 x + y = k² - 9
x – 2 y = k + 3
Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
(32) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
(a) x + 2y – z = 2 (b) x + y – 10 = 0
2 x - y + 3 z = 9 x – z – 5 = 0
3 x + 3 y – 2 z = 3 y – z – 3 = 0
(33) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

5. x – y = 1 mx – ny = - 1
2 x + y = 5 nx + my = 2
(34) Resolver por escalonamento:
(a) x – 2 y - 3 z = 0 (b) Escreva o sistema na forma matricial.
S : x + 4 y – z = 1
2 x - y + z = 2
(35) Resolva os seguintes sistemas:
(a) x + 2 y + 3 z = 1 (b) x + 2 y + z = 0
4 x + 7 y + 7 z = 3 4 x + 10 y + 10 z = 0
2 x + 3 y + z = 0 x + 3 y + 4 z = 0
(36) Sejam A = 1 2
0 −1, B = 0 −3 4
1 2 −1e C = 1 1 1
2 −1 0. Determine a matriz X tal que
X + 2C = A² (B – 3C)
(37) Determine a matriz inversa, se houver:
(a) A = 2 −1
6 −4 (b)
2 1 3
2 3 −2
−1 0 −3
(38) Sejam A = 3 2
4 1e 2 3
1 1. Determine det [ (A.B)t
] -1
(39) Sejam 3 7
−1 −2, C = 0 2
2 −1e 1 6
3 2. Sabendo que A.B + C = A. D. A-1
, determine
det (B).
(40) Calcule o determinante da matriz D =
2 −2 0
7 5 1
3 0 7pelas regras de Sarrus e Laplace.
(41) Calcule a matriz inversa usando operações elementares:

6. (a)A = 1 2
3 −4 (b) B =
1 2 −1
3 4 2
1 1 1  (c) C =
0 3 −1
3 −1 2
2 1 1 
Respostas:
(01) 1 −4
1 2 (02) 2 4 6
−1 −2 −3(03)
1 8 16
4 3 32
9 8 7 (04) a =1, b = 0 (05) 1 −26
0 27 
(06) x = 0, y = 0, z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 (07) (a) X = B-1
A-1
C (b) X = (A-1
) T
(c) X = D-1
B C
(08) Matriz Identidade de ordem 3 (10) não (11) m= -7, n =-5 (12)
0 −4 −2
4 0 −1
2 1 0 
(13)

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24
(14) (a) 18 (b) 156 (15) (a) x = 24 (b) x = 3 ou x = 2 (c) x = 3
(16) a² + b² (17) x = ½ e y = - ½ (18)  a b
−3b ab a, b ∈ ℝ (19) x = 1 (20) SPI, S = {(-k, -1-k, k)/
k ∈ ℝ} variável livre z = k. (21) 9 5 −3
−6 1 0 
(22)  4 11/5 −12/5
−29/5 −8/5 −1 (23) X = 6/7 3/7 2/7
9/7 10/7 5/9, Y = −2/7 −1/7 4/7
11/7 6/7 3/7
(24) x = y = z = t = 1 (25) a.b = 0 (26) a = 7, b = 4 (27) k² – 4 k – 5 (28) (a) m = 2 ou m = 3 (b) m = 6
ou m =2 (29) det A = 5 x² – 5 x + 30, x = -3 ou x = 2 (30) k = 2 (31) k = -3 (32) (a) S = { (1, 2, 3)}
(b) S = {(6, 4, 1)} (33) m =0 e n = 1 (35) (a) SI (b) S = {( 5k, -3k, k) / k ∈ ℝ} variável livre k = z.