Trabajo robótica 4º industriales

QUIROBOT

ALUMNO: MARTÍNEZ VERDÚ, Jaime
ALUMNO: AZNAR GOMIS, José Luís
ASIGNATURA: Control de Robots
INGENIERÍA INDUSTRIAL
CURSO: 4º

CAPÍTULO 1: ROBÓTICA QUIRÚRGICA.

1. CIRUGÍA ROBÓTICA VS TELECIRUGÍA 1–2
CIRUGÍA ROBÓTICA
ROBOTS EN TELECIRUGÍA

2. LA ROBÓTICA MÉDICA HOY EN DÍA 1–3

3. VENTAJAS DE LA CIRUGÍA ROBÓTICA 1–6

4. LA SIGUIENTE FRONTERA 1–7

5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1–7

6. SOLUCIÓN AL PROBLEMA 1–8

CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT.

1. EL FORMALISMO DE DENAVIT-HARTENBERG 2–1

2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA DIRECTA 2–7

3. IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO DE LA CINEMÁTICA DIRECTA 2 – 21

4. EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA 2 – 23

5. LA CINEMÁTICA DIRECTA COMO VENTAJA: EL JACOBIANA 2 – 24

CAPÍTULO 3: CINEMÁTICA INVERSA DEL QUIROBOT.

1. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DIRECTO 3–4

2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA INVERSA 3–5

3. IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO DE LA CINEMÁTICA INVERSA 3 – 10

4. EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA 3 – 12

5. LA CINEMÁTICA DIRECTA COMO VENTAJA: LA JACOBIANA INVERSA 3 – 13

CAPÍTULO 4: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL QUIROBOT.

1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN MatLab® USANDO ALAMBRES 4–1
1. Explicaciones sobre el funcionamiento de la función de representación 3D 4–1
2. Implementación del código de la función de representación 3D: DIBUJAROBOT 4–2
3. Ejemplos de utilización de la función implementada 4–3

2. ANIMACIÓN GRÁFICA EN MATLAB® USANDO ALAMBRES 4–4
1. Explicaciones sobre el funcionamiento de la función de representación 3D 4–4
2. Implementación del código de la función de representación 3D: ANIMA 4–4
3. Implementación del código de la función de representación 3D: PLANIFICA 4–4
4. Ejemplos de utilización de la función implementada 4–6

CAPÍTULO 5: DINÁMICA DE ROBOTS.

1. DINÁMICA INVERSA 5–2

2. DINÁMICA DIRECTA 5–9

CAPÍTULO 6: SELECCIÓN DE SERVOACCIONAMIENTOS.

1. REQUISITOS QUE DEBEN SATISFACER NUESTROS MOTORES 6 –2

2. BÚSQUEDA DE MOTORES APROPIADOS EN CATÁLOGO 6–5

CAPÍTULO 7: CINEMÁTICA INVERSA DEL QUIROBOT.

1. DISEÑO DE LOS PID 7–1

2. SIMULACIÓN GLOBAL 7–6

ROBÓTICA QUIRÚRGICA

Capítulo 1

"AL PRINCIPIO CREÓ DIOS EL CIELO Y LA TIERRA…"
El libro del Génesis

La cirugía robótica parece una idea tomada de una película de ciencia ficción y,
seguramente, la visión que tenemos de ella ha sido influida por imágenes como las de la
película Star wars, en la que Luke Skywaker es atendido médicamente por unos robots
que incluso le implantan un brazo robótico. Las posibilidades de aplicación de robots en
la cirugía han motivado la investigación en este campo, y hoy en día ya son una
realidad. La palabra robot proviene del checo; según el diccionario de la lengua
española de la Real Academia quiere decir "trabajo o prestación personal" y la define
como: "una máquina o ingenio electrónico programable, capaz de manipular objetos y
realizar operaciones antes reservadas sólo a las personas".

El concepto de robot lo empleó por primera vez, en 1921, el escritor Karel
Kapek, en su obra titulada R.U.R. (Robots Universales Rossum). El término se deriva
del checoslovaco robota, que significa una labor tediosa o servil. En su libro, Kapek
plantea que se crearon robots para servir a la sociedad, pero eventualmente hubo una
rebelión que culminó en matanzas y en la esclavitud de los humanos. La idea de los
robots "malignos" que pueden dañar al hombre se popularizó posteriormente en un gran
número de novelas. Por esta razón, Isaac Asimov planteó en Yo, robot tres reglas
inviolables para asegurar que los robots permanezcan siempre bajo el control de sus
creadores.

Tabla 1.1: Diferentes robots empleados en medicina, se incluye su tipo y aplicación.

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Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis


1. CIRUGÍA ROBÓTICA VS TELECIRUGÍA.

CIRUGÍA ROBÓTICA.

La cirugía robótica es un paso más avanzado de lo anterior, ya que se trata del
proceso mediante el cual es el robot el que efectúa un procedimiento quirúrgico bajo el
control de un programa de computación.

En este caso, el cirujano participa generalmente en la planificación del
procedimiento, pero es un observador en la implementación del plan ya que la ejecución
del mismo es realizada exclusiva-mente por el robot.

¿Qué es lo que se obtiene con esta práctica? Se logra - entre otras cosas - que no
existan desviaciones de la trayectoria planificada, alta seguridad con velocidades de
ejecución y maniobras totalmente predecibles.

ROBOTS EN TELECIRUGÍA.

Mientras que en la cirugía robótica es el robot el que - una vez programado -
realiza por sí mismo la operación, en la telecirugía existen robots que efectúan
íntegramente los procedimientos pero bajo la guía del cirujano.

Como sabemos, telepresencia implica un cirujano operando desde una localidad
remota, ya sea en la habitación de al lado o en las antípodas del mundo. Ello se logra
manipulando brazos robóticos mediante una complicada interface que combina
retroalimentación visual, auditiva y táctil. Esta interface es fundamental, ya que el
cirujano sólo cuenta con los datos brindados por los sensores robóticos que actúan sobre
el paciente.

Los movimientos de las manos del cirujano son transmitidos a los brazos
robóticos que los reproducen fielmente. Para los ojos del cirujano la manija que mueve
en la consola y el instrumento que reproduce ese movimiento en el paciente constituye
una única entidad. Esto junto al 'haptic' (dispositivo de 'force-feedback') que le da a sus
manos la sensación de tacto y resistencia sobre los tejidos que manipulan los brazos
robóticos, incrementan notoriamente la sensación de inmersión.

Aunque la cirugía robótica y la telecirugía tienen muchos puntos en común, los
métodos usados para el control del robot y de la interface hombre-computadora varían
significativamente. Debido a la complejidad de esta interface, la telecirugía se usa
principalmente para las cirugías mínima-mente invasivas, en donde se actúa con
instrumentos que ingresan por pequeñas incisiones, sin usar las manos dentro de la
cavidad que se está operando. Más aún, recientemente se han realiza-do experimentos
usando mini-robots que inyectados en los vasos femorales son guiados hasta los vasos
cerebrales de hasta 1.5 mm de diámetro.

Si bien los robots totalmente autónomos están todavía en su etapa de desarrollo
experimental, existen ya en el mercado algunos equipamientos robotizados de uso en
cirugía (AESOP®, Robo-doc®, Regulus®, etc.)

1-2


2. LA ROBÓTICA MÉDICA HOY EN DÍA.

Actualmente, los robots han sido integrados en diferentes campos, entre los que
se encuentran la manufactura de automóviles, el manejo de materiales peligrosos para el
hombre, e incluso nos sustituyen en viajes al espacio que implicarían un gran riesgo y
serían demasiado prolongados para un ser vivo. Específicamente en medicina se han
empleado diversas tecnologías robóticas que han facilitado el tratamiento de varios
padecimientos.

Tal es el caso, por ejemplo, de la cirugía del ojo asistida por computadora, en la
que se proporciona la información acerca de la geometría y características del globo
ocular a un sistema computarizado, el cual guía los cortes a realizar para corregir las
deficiencias visuales. Sin embargo, robots que tengan una inteligencia artificial
semejante a la humana todavía no existen; es factible que en un futuro no tan lejano se
diseñen robots con algo comparable a una conciencia y mente propias, que junto con
una libertad de movimiento superior a la del hombre (gracias a los materiales con los
que estén construidos), les van a permitir realizar actividades imposibles para nosotros o
con una mejor eficiencia que la de los humanos. En la medicina esto suena atractivo a
pesar de que hasta la fecha ninguna máquina cumple con lo anterior. En este ámbito, el
cirujano robot correspondería a un manipulador controlado por computadora, capaz de
percibir las partes del cuerpo humano y de mover los instrumentos quirúrgicos para
efectuar una cirugía. En la actualidad se clasifica a los robots como pasivos, cuando
permiten ubicar y mantener en posición algunos instrumentos para facilitar al cirujano el
procedimiento quirúrgico, y activos, cuando el robot mueve los instrumentos y realiza la
cirugía.

Figura 1.1: Componentes del robot maestro-esclavo tipo Da Vinci utilizado hoy en día
en muchos hospitales del mundo.

Dentro de estos últimos existe lo que se conoce como los sistemas maestro-
esclavo, en los que el robot manipula los instrumentos, pero es el cirujano el que le
indica al robot cómo hacerlo. De acuerdo con esta clasificación se han construido varios
robots pasivos que permiten la realización de cirugías relativamente simples, como las
biopsias estereotáxicas, en las que el neurocirujano alimenta las características del
tumor a operar en un sistema computacional que controla un robot encargado de
introducir la aguja para la toma de la muestra de tejido sospechoso.
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Entre los robots activos destaca uno creado por IBM, denominado Robodoc. Se
trata de un sistema experimental que permite implantar una prótesis de cadera con
mayor superficie para su fijación, en un perro. El primer robot del tipo activo utilizado
en humanos es el Probot, creado por el Imperial College en Londres y que ayuda a
realizar una resección de tejido benigno de la próstata; este robot incorpora en su punta
un sistema de ultrasonido que le permite crear una imagen tridimensional de la próstata,
así el cirujano selecciona qué partes del tejido debe cortar el Probot (Tabla 1.1).

Se busca que los robots mejoren los resultados de la cirugía tradicional
volviendo los procedimientos menos agresivos; esto explica por qué la mayoría de los
avances en cirugía robótica se han dado en el campo emergente de la cirugía
mínimamente invasiva, conocida como cirugía laparoscópica. Ésta consiste en la
introducción en el cuerpo de una cámara e instrumentos mediante los cuales se realiza la
cirugía; para ello se han implementado diferentes robots, y uno de los primeros fue el
robot activado por voz conocido como AESOP (siglas en inglés de Sistema Óptimo de
Posicionamiento Endoscópico Automatizado), que actualmente se utiliza en forma
rutinaria en centros especializados en cirugía laparoscópica Este robot consiste en un
brazo mecánico conectado a una computadora que reconoce órdenes verbales sencillas y
que el robot traduce en movimientos de la cámara laparoscópica. El AESOP libera un
brazo del cirujano y así se disminuye el número de personas que se requieren para la
cirugía, con la ventaja de que la imagen de la cirugía no va a moverse ni a temblar como
lo haría un cirujano que sostiene una cámara durante un periodo largo de tiempo. El
costo promedio de este robot es de 90,000 dólares.

Figura 1.2: Se observa cómo el robot maestro-esclavo tipo Da Vinci traduce los
movimientos de la mano del cirujano en movimientos del instrumental.

Robots de una nueva generación son los sistemas maestro-esclavo, que incluyen
a los robots Da Vinci y Zeus. Estos sistemas permiten lo que conocemos como cirugía
asistida por robot, en la cual el cirujano utiliza brazos mecánicos que repiten los
movimientos que realiza en una consola. En la consola computarizada se tiene un visor
que transmite la imagen que es captada por la cámara laparoscópica ubicada en uno de
los brazos mecánicos. El sistema consta de un conjunto de manivelas que se adaptan al
dedo pulgar e índice del cirujano, con los cuales controla el movimiento de los brazos
mecánicos. Los brazos mecánicos son tres, uno para sostener la cámara laparoscópica, y
otros dos que manipulan los instrumentos quirúrgicos (tijeras, pinzas, electrocauterios,
porta-agujas, etcétera). Una característica importante de estos instrumentos es su
libertad de movimiento en seis y siete diferentes ángulos, que intenta emular los arcos
de movimiento efectuados por la articulación de la muñeca humana. Esto es un gran
avance si consideramos que toda la cirugía laparoscópica tiene como limitante que los
movimientos se realizan sin poder flexionar los instrumentos, siendo el cirujano el que
se adapta a estas restricciones durante la cirugía.
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Entre las ventajas que ofrece la consola se encuentra que el cirujano
puede realizar la cirugía sin estar en contacto con el paciente, y no debe vestirse con
ropa estéril. La imagen que se observa en el visor es tridimensional, gracias a un sistema
de dos cámaras laparoscópicas en el paciente, esto le permite al cirujano tener una
percepción de profundidad que podría en alguna forma sustituir la deficiencia de tacto
que se tiene en este tipo de cirugía. Por otra parte, la manipulación de las manivelas para
controlar los movimientos de los instrumentos por los brazos mecánicos se realiza en
tiempo real. Esto tiene una importancia fundamental si consideramos que la cirugía
implica movimientos rápidos y delicados para evitar un daño en el paciente. En la
tecnología que se utiliza para los instrumentos se incluye la articulación tipo muñeca
(Endowrist), que permite que se flexionen sobre su eje, dando una libertad de
movimiento para el instrumental quirúrgico de más de tres ejes. Además, el sistema
computacional tiene la capacidad de escalar los movimientos desde 2:1 hasta 5:1, así
como filtrar el temblor del cirujano, haciendo posible la realización de cirugía con
desplazamientos mínimos del cirujano y sin las restricciones debidas a su pulso. Aunado
a esto existe la posibilidad de coordinar los movimientos de la cámara e instrumental
con los movimientos del paciente; esto es especialmente útil cuando se trata de cirugía
cardiaca, en la que no se requiere que el corazón del paciente se detenga. Se pueden
aplicar suturas en el corazón mientras late, puesto que el cirujano gracias a los filtros de
la computadora ve una imagen estática del corazón, así mismo esto permite colocar
suturas para la realización de by-pass coronario (puentes arteriales en casos de infartos)
y otras cirugías de corazón. La gran mayoría de cirugías asistidas por robot se realizan
en procedimientos laparoscópicos como ya se mencionó, en esta cirugía se introducen
en el paciente los denominados puertos, unos instrumentos que permiten inflar con gas
la cavidad que se va a operar, para poder crear un espacio en el cual disponer los
instrumentos y la cámara para efectuar la cirugía.

Figura 1.3: Brazos mecánicos. El central sostiene y mueve la cámara de visión interna,
y los dos laterales permiten la introducción y movimiento del instrumental.

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La cirugía laparoscópica se inició cuando se encontró que insuflando aire en el
abdomen de un animal experimental era posible insertar una cámara de cistoscopia
(cámara utilizada para revisar la vejiga), que permitió observar los órganos abdominales
del animal. La laparoscopia, en la práctica, comenzó a utilizarse en ginecología
alrededor de 1940 para diagnosticar alteraciones en el útero; para 1986 empezó a tener
un gran auge en la cirugía gastrointestinal y a finales de los años 1990, en urología.
Actualmente en casi todas las especialidades quirúrgicas se utiliza la cirugía
laparoscópica. Esta técnica quirúrgica reduce el daño a los tejidos, provoca menos
sangrado y dolor postoperatorio, y facilita una más rápida recuperación de los pacientes.
Por ello, este tipo de cirugía se está ya realizando en diferentes partes del mundo en
forma rutinaria.

Es importante mencionar que otro campo de aplicación de los robots es el
entrenamiento de cirujanos. La cirugía laparoscópica tiene una curva de aprendizaje
muy lenta, lo que obliga a un entrenamiento especializado y de larga duración. Se ha
planteado que los robots asociados a simuladores podrían contribuir significativamente
en la preparación de cirujanos; también con los sistemas maestro-esclavo se podría
facilitar el uso del instrumental reduciendo el tiempo de entrenamiento para el cirujano.

3. VENTAJAS DE LA CIRUGÍA ROBÓTICA.

Las ventajas que aporta la robótica a las operaciones son, por ejemplo;

• Permite una mayor precisión en los movimientos. El robot ejecuta las acciones que
le son ordenadas por el médico, editándola por medio de un sistema de cómputo, es
decir eliminando errores como el temblor que la mano humana tiene por naturaleza.

• Posee un sistema de movimientos a escala de 1 a 1, de 1 a .3 y de 1 a .5, que les
permite a los cirujanos hacer cirugía de alta precisión.

• Las imágenes por medio de los visores telescópicos logran aumentar hasta 20 veces
el tamaño normal, lo que permite al cirujano ver los órganos con más detalle.

• Disminuye el sufrimiento de los pacientes, pues las incisiones que se realizan son
entre 5 y 10 milímetros de diámetro, lo que representa suficiente espacio para
permitir la entrada de los instrumentos del robot.

• Reduce el tiempo de estancia hospitalaria de los pacientes, quienes pueden
reincorporarse a sus actividades normales en un lapso no mayor a siete días.

• Otorga mayor libertad de movimiento al cirujano que en una cirugía Laparoscópica
tradicional.

• Permite realizar operaciones a distancia, lo cual evita desplazarse tanto al paciente
como al médico que la efectúa.

1-6


4. LA SIGUIENTE FRONTERA.

En el año 2000, la FDA (Food and Drug Administration), organización
encargada de regular la práctica médica y el uso de medicamentos en los Estados
Unidos, aprobó el sistema quirúrgico Da Vinci para su uso en quirófanos; esto lo hace el
primer sistema robotizado para cirugía en humanos. Lamentablemente, el costo del
robot es de cerca de un millón de dólares, sin incluir el material desechable empleado
para cada cirugía (cada pinza, tijera o cauterio cuesta alrededor de 2,000 dólares y
solamente se puede utilizar en 10 cirugías).

Sin embargo, a pesar de su alto costo, las ventajas de la cirugía robótica parecen
prometedoras ya que permitirá, por ejemplo, que un mismo cirujano controle varios
robots en diferentes quirófanos, o incluso efectuar telecirugías, en las que el cirujano no
se encuentre ni siquiera cerca de la sala de cirugía. Podemos imaginar a un especialista
realizando una intervención a distancia, incluso en el espacio, donde los astronautas
colocarán al paciente bajo los brazos robotizados, y el cirujano en la Tierra llevará a
cabo la cirugía.

5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

José María Sabater nos propuso una de las necesidades principales que se exigía
a nuestro robot y que era utilizarlo para la realización de incisiones en la tibia o el fémur
de modo que, mediante un fijador externo, se posibilite la unión de ambas partes de
hueso fracturado y se permita que, tras un período de tiempo, ambas partes de hueso
roto queden soldadas. También debía ser capaz de introducir las varillas de metal por el
interior de las incisiones (ver Figura 1.4)

Figura 1.4: Artroscopia de rodilla y estructura metálica fijadora.

También tenemos como objetivo la utilización del robot para la realización de
endoscopias que permitirán a un doctor inspecciones visuales en determinadas partes
del cuerpo del paciente.

La endoscopia es una técnica diagnóstica utilizada sobre todo en medicina que
consiste en la introducción de un endoscopio a través de una incisión quirúrgica para la
visualización de un órgano hueco o cavidad corporal. La endoscopia además de ser un
procedimiento de diagnóstico mínimamente invasivo, también puede realizar maniobras
terapéuticas como una colecistectomía laparocópica, artroscopia o la toma de biopsias.
En nuestro caso, orientaremos al robot a la realización de artroscopias que es la
visualización de una cavidad articular, generalmente de las rodillas.

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6. SOLUCIÓN AL PROBLEMA.

Utilizaremos para realizar todas estas tareas un robot de 5 GDL tal y como
podemos observar en la Figura 1.5, donde en el modelo alámbrico del robot es posible
diferenciar dos grupos claros de articulaciones y una última adicional:

3 articulaciones de carácter PRISMÁTICO.

• Una ventaja de estas articulaciones es que nos permiten una colocación del
robot ya sea atornillado al techo como incluido dentro de un bastidor de
preparado para la higiene necesaria de un quirófano. Si lo sujetamos del
techo tenemos la gran ventaja de que podríamos tenerlo arriba del todo
cuando no se usase dando más espacio a la sala de operaciones. Además, su
espacio de trabajo será tan grande como sea de grande la sala de operaciones.

• Estas articulaciones son las que contribuyen con la mayor parte de todo el
espacio de trabajo del cual dispone el robot. Es decir, casi la totalidad del
espacio del trabajo que presenta el robot es básicamente debido a estas tres
articulaciones.

• Estas articulaciones serán las que esencialmente aporten la posición del
efector final, es decir, será las que más "peso" tengan en el posicionamiento
del efector final.

2 articulaciones de carácter ROTATIVO.

• Este grupo de articulaciones, a diferencia de las anteriores, se caracteriza por
ser el grupo de articulaciones que proporcionará, en gran medida, la
orientación a nuestro efector final.

• No es una muñeca esférica pues son únicamente dos articulaciones
rotacionales.

Con cinco grados de libertad tendríamos suficiente siempre que "atacáramos" a
la rodilla desde arriba con un abanico de 180º máximo. Nos haría falta un grado de
libertad más si quisiéramos realizar incisiones a la altura de1 gemelo pero como no es
así no utilizamos ese grado de libertad. En lugar de eso, utilizamos una herramienta que
sea capaz de realizar un movimiento de carácter PRISMÁTICO ADICIONAL.

El último eslabón consta de dos partes que en el dibujo están definidas. Una
parte es el eslabón cuyo final es donde se sujetará la Black&Decker y el resto hace
referencia a la propia Black&Decker que suponemos es capaz de realizar un
movimiento lineal. Tendríamos un robot de 5 GDL + "1" que es ajeno al robot en
cuanto a cinemática.

La herramienta actuará como una articulación tipo prismática que será la que
realice el movimiento lineal de incisión. Esto es así para superar el problema que
conlleva realizar un movimiento lineal en el espacio con una muñeca esférica pues ésta
provocaba errores de imprecisión tal y como vimos en el tema de planificación de
trayectorias.
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De igual modo, es un 5 GDL + "1" si le añadimos el taladro y un 5 GDL + "2" si
le añadimos la cámara.

d1(t)

Tres articulaciones prismáticas
d3(t)

d2(t)

Dos articulaciones de rotación

θ3(t)

BLACK&DECKER
"Articulación" extra prismática θ4(t)

Figura 1.5: Esquema general del Quirobot.

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CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT

Capítulo 2

"TODO LO QUE SE MUEVE ES MOVIDO POR OTRO"
Aristóteles

Después de todo lo visto, estamos ya en condiciones de abordar el problema de
la cinemática directa, el cual trata de encontrar la forma explícita de la función que
relaciona el espacio articular con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. Esta
función:

f : J → ℜ6

toma como argumento un vector en el espacio de articulaciones, que tiene tantas
componentes como grados de libertad tenga la cadena cinemática que se considere (que
en nuestro caso es únicamente de 5 grados de libertad), y devuelve un vector de 6
componentes; las tres primeras serán la posición en el espacio del punto terminal de la
cadena, expresada en un sistema de referencia externo, y las tres últimas, la orientación,
expresada bien como las componentes (ax, ay, az) del vector de aproximación, bien
como ángulos de orientación (Euler o roll, pitch and yaw).

1. EL FORMALISMO DE DENAVIT-HARTENBERG.

La forma en que conseguiremos conocer el vector de ℜ 6 antes mencionado será
mediante la construcción de la matriz de transformación homogénea T que relaciona el
sistema solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo arbitrariamente
escogido, que llamaremos sistema del mundo. En principio, cada una de las
componentes (nx, ny, nz, ox, oy, oz, ax, ay, az, px, py, pz) de la matriz T será función de
algunas o todas las variables articulares, y asimismo de las constantes geométricas del
manipulador.

Según se vio en clases de teoría al detallar la forma explícita de la matriz T,
multiplicándola por el vector (0; 0; 0; 1), que expresa las coordenadas homogéneas del
punto terminal respecto a su propio sistema, obtendremos éstas respecto al sistema del
mundo. Y, por otra parte, según se vio en la en el capítulo 3 del libro Fundamentos de
Robótica de Antonio Barrientos Herramientas matemáticas para la localización
espacial, existen fórmulas que relacionan los ángulos de orientación en cualquiera de
sus expresiones con los elementos de la submatriz de rotación de T.

2-1


Seguidamente se describe con detalle el proceso de construcción de T para
cadenas cinemáticas abiertas, en las que cada articulación tenga un sólo grado de
libertad. El caso de articulaciones con más de un grado de libertad no presenta ningún
problema: bastaría con considerar la articulación como si se tratase de dos, unidas por
un enlace ficticio de longitud nula.

Sustancialmente, el proceso consiste en fijar un sistema de coordenadas a cada
enlace, que se moverá con él, de acuerdo a un conjunto de normas fijas. A continuación,
se identifican ciertos parámetros geométricos que lo relacionan con el sistema fijo al
siguiente enlace, y se utilizan para escribir la matriz de transformación homogénea entre
cada par de sistemas i–1Ai. En último lugar, el producto de todas las matrices de
transformación generará la matriz T.

El conjunto de normas que establece cómo deben fijarse los sistemas de
coordenadas se conoce como convenio de Denavit-Hartenberg, descrito por éstos en
1955, y a los parámetros geométricos que relacionan los sistemas, parámetros de
Denavit-Hartenberg (desde ahora, DH).

Comenzaremos por establecer convenciones para la nomenclatura:

Según se vio en el tema 1, en cadenas cinemáticas abiertas cada par enlace-
articulación era un grado de libertad. Numeraremos los enlaces y articulaciones
secuencialmente, desde el inicio de la cadena. La base de ésta, fija normalmente al
suelo, será el enlace 0, y no se cuenta como grado de libertad. La articulación 1 será la
que conecte la base al primer enlace móvil; las articulaciones comienzan, pues, a
numerarse desde 1, y no existe articulación al final del último enlace.

El eje de una articulación es la recta definida como:

• La dirección de desplazamiento, en articulaciones traslacionales.
• El eje de giro, en articulaciones rotacionales.

A continuación, los parámetros DH de cada enlace son cuatro números reales,
dos de ellos representando ángulos, y los otros dos, distancias, definidos del siguiente
modo:

• ai es la mínima distancia (distancia perpendicular) entre el eje de la
articulación i y el eje de la i + 1. Por extensión, también denotaremos por ai
al segmento de recta a lo largo de cual se da precisamente esa mínima
distancia entre ejes.
• αi es el ángulo que forman el eje i y el i + 1, medido en un plano
perpendicular al segmento ai.
• di es la distancia entre los puntos de intersección de la normal a los ejes
i / i + 1 con el eje i, y la normal a los ejes i – 1 / i también con el eje i,
medida a lo largo de este eje.
• θi es el ángulo entre la normal a los ejes i – 1 / i y la normal a los ejes
i / i + 1, medido en un plano perpendicular al eje i.

2-2


Véase la representación de estos parámetros en la figura 1.1. Obsérvese que
basta el conocimiento de los dos ejes en los extremos de un enlace (digamos, el i) para
conocer αi y ai; sin embargo, es necesario conocer los ejes anterior y siguiente para
determinar θi y di. Daremos para estos parámetros una definición alternativa cuando
hayamos fijado los respectivos sistemas de coordenadas.

Figura 2.1: Parámetros DH de un enlace genérico.

Ahora, las normas para determinar los ejes de cada sistema ortonormal asociado
a un eslabón son las que siguen:

• El eje zi-1 es el eje de la articulación i (con lo que zi es el de la i + 1). No
importa el sentido a lo largo de la recta en que se oriente. Se recomienda
orientar todos los ejes z que sigan la misma dirección en el mismo sentido.
• El eje xi debe escogerse perpendicular a su propio z (zi) y también al z
anterior (zi-1) y a lo largo de la perpendicular común (el segmento ai).
• El eje yi se determina de tal modo que el sistema forme un triedro dextrógiro
(es decir, que xi × yi = zi).
• El origen se fija en la intersección de la normal eje i – 1 / eje i (es decir, el
segmento ai-1) con el eje i.

Figura 2.2: Sistemas de coordenadas fijos a una articulación.
2-3


Véanse en la figura 2.2 los sistemas de coordenadas i – 1 e i situados sobre los
enlaces del ejemplo anterior. Hay algunas excepciones y casos particulares que deben
tenerse en cuenta:

• El eje x0 debe fijarse arbitrariamente como cualquier perpendicular a z0, dado
que no existe ningún z1 al cual hacerle ser también perpendicular.
Análogamente, el origen del sistema 0 es un punto arbitrario sobre el eje z0.
• Debe existir un último sistema de coordenadas, fijo a la mano o herramienta,
que no sigue las mismas reglas que los anteriores. Debe situarse de modo
que su eje z esté en la dirección de aproximación (el avance natural de la
mano) y su eje y (vector de orientación) debe apuntar de garra a garra de la
pinza (en caso de pinzas con simetría cilíndrica, es arbitrario). Este sistema
"especial" sólo debe añadirse si el último sistema obtenido por las reglas
usuales no cumpliese estas condiciones. En ese caso, la transformación entre
el último sistema natural y este sistema especial es fija, y se halla por
observación directa.
• Cuando dos ejes z consecutivos son paralelos, hay infinitas perpendiculares
comunes. En ese caso, lo normal es tomar el origen a la altura del centro de
la articulación, y el eje x a lo largo de la normal común que pasa por ese
centro.
• Cuando dos ejes z consecutivos se intersectan, determinan un plano. La
normal común es la normal al plano, pero el segmento ai tiene longitud nula.
En ese caso el eje x se escoge normal al plano que determinan los dos z, en
cualquiera de los dos sentidos. El origen se toma en el punto de intersección
de los dos ejes z.
• Cuando dos ejes z consecutivos son colineales (están superpuestos), el origen
se fija arbitrariamente, así como la dirección de x, a lo largo de cualquier
perpendicular a los z (que son la misma recta). Se aconseja en ese caso tomar
la dirección de x lo más parecida posible a la dirección del x anterior. ai, que
no está definido, se toma como 0.

Nótese que:

• Para el caso de una articulación rotacional, θi es el ángulo de rotación que se trata de
una función temporal, y di, ai y αi son constantes.
• En una articulación traslacional, di es distancia de traslación función del tiempo, y
θi, y αi son constantes. ai es también constante, y usualmente 0 (suele corresponder al
último de los casos particulares anteriores).

Todo parámetro constante en un robot lo es por construcción del mismo, y
permanece constante en toda circunstancia, salvo que se altere mecánicamente al robot.
La acción de los actuadores que provocarán el movimiento sólo cambia el parámetro
variable de cada articulación, θi para rotacionales, y di para traslacionales.

Por otra parte, lo normal es construir robots en los que los ejes de las
articulaciones sean o bien paralelos, o bien perpendiculares entre sí; esto hace que los
valores para θi suelan ser bien 0º, 90º, 180º ó 270º.

2-4


El siguiente paso es determinar la transformación que llevaría el sistema i – 1
hasta el i. Nótese que podemos hacerlos coincidir aplicando sucesivamente las
siguientes transformaciones:

• Rotar alrededor de zi-1 un ángulo θi. Esto deja los ejes xi-1 y xi paralelos, pues deja a
las rectas ai-1 y ai en el mismo plano, y siendo ambas perpendiculares a zi-1.
• Trasladar a lo largo del eje z'i-1 (aunque es el mismo que zi) el origen una distancia
di. Esto deja los ejes xi-1 y xi colineales. Nótese que no por ello los ejes zi-1 y zi son
coincidentes.
• Trasladar a lo largo del eje x''i una distancia ar. Esto hace coincidir los orígenes, y
i
superpone los vectores básicos en la dirección i (x''i-1 y x''i).
• Rotar alrededor de x''i-1 (o de xi, ahora coinciden) un ángulo αi. Esto hará coincidir
z''i-1 con zi (y, por tanto, y''i-1 con yi) y está concluido.

Así pues, podemos escribir la transformación desde el sistema i – 1 hasta el i
como

i −1
Ai = ROT (zi −1 ,θ i ) ⋅ Tr (0,0, d i ) ⋅ Tr (ai ,0,0 ) ⋅ ROT ( x' 'i −1 , α i )

donde las matrices se han postmutiplicado, pues las transformaciones se efectúan
siempre respecto a los nuevos ejes que van resultando de la transformación anterior.

En forma explícita,

 Cθ i − Sθ i 0 0  1 0 0 0 1 0 0 ai   1 0 0 0 
       
 Sθ i Cθ i 0 0  0 1 0 0 0 1 0 0  0 Cα i − Sα i 0 
i −1
Ai =  ⋅ ⋅ ⋅ 
 0 0 1 0  0 0 1 di   0 0 1 0  0 Sα i Cα i 0 
       
 0
 0 0 1  0
  0 0 1 0
  0 0 1 
  0 0 0 1 


Una vez operado el producto de dichas matrices obtenemos que la matriz de
transformación homogénea generalizada para parámetros θi, di, ai y αi es la siguiente:

 cos(θ i ) − cos(α i ) ⋅ sen(θ i ) sen(α i ) ⋅ sen(θ i ) ai ⋅ cos(θ i ) 
 
i −1
 sen(θ i ) cos(α i ) ⋅ cos(θ i ) − sen(α i ) ⋅ cos(θ i ) ai ⋅ sen(θ i ) 
Ai =  
 0 sen(α i ) cos(α i ) di 
 

 0 0 0 1 


El resultado final es la matriz DH para el enlace i, la cual, conociendo las
características geométricas de dicha articulación y de su enlace, da la transformación
que lleva de coordenadas expresadas en el sistema i a coordenadas expresadas en el
sistema i – 1. Igualmente, da la posición del origen del sistema i respecto al i – 1
(viendo la 4ª columna), así como su orientación (viendo la submatriz de rotación).

2-5


Ahora estamos en condiciones de dar las definiciones alternativas para los
parámetros de DH, que son:

• ai es la distancia perpendicular (distancia mínima) entre los ejes zi-1 y zi, medida en
la dirección positiva de xi.

• αi es el ángulo que forma el eje zi-1 con el eje zi, girando alrededor de xi, con xi
apuntando hacia el observador.

• θi es el ángulo que forma el eje xi-1 con el eje xi, girando alrededor de zi-1, con zi-1
apuntando hacia el observador.

• di es la distancia que queda entre los orígenes de los sistemas i – 1 y i después de
haber trasladado el origen i a lo largo de la perpendicular común ai hasta situarlo
sobre el eje zi-1. Su signo viene dado por el eje zi-1.

Una vez todos los parámetros estén identificados, y las matrices DH escritas,
recordemos que lo que se pretende es encontrar la transformación entre el sistema del
mundo (sistema 0) y el último (sistema n). Es obvio que

0
An = 0A1 ⋅1A2 Ln −1 An

Cada elemento de la matriz i–1Ai es función de ai; αi; θi y di, (ai y αi constantes
para cada robot, y di o bien θi variables para cada tipo de articulación), y por tanto cada
elemento de 0An es, en principio, función de todos los (ai; αi; θi y di) con i = 1, 2, 3,…, n.

Resumiendo.

Los pasos que deben seguirse para la construcción de la cinemática directa son:

1. Identificar cuántos grados de libertad tiene el robot, y cuántas articulaciones;
si tuviera alguna articulación con más de un grado de libertad (digamos, n)
habrá n sistemas superpuestos en un punto.

2. Asignar los ejes z, sabiendo que zi-1 es el eje de la articulación i.

3. Asignar todos los ejes x, sabiendo que xi es perpendicular a zi, y a zi-1 y va en
la dirección de la perpendicular común.

4. Asignar los ejes y, de modo que se cumpla que xi × yi = zi.

5. Determinar los parámetros (ai; αi; θi; di) de cada articulación por inspección
visual.

6. Construir la tabla de parámetros, y a partir de cada una de sus filas, usando
la fórmula general de la matriz DH, escribir cada una de las i–1Ai.

7. Multiplicar todas ellas para generar la 0An.

2-6


2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA DIRECTA.
PARÁMETROS DENAVIT-HARTENBERG.

1. Identificar cuántos grados de libertad tiene el robot, y cuántas
articulaciones; si tuviera alguna articulación con más de un grado de
libertad (digamos, n) habrá n sistemas superpuestos en un punto.

Este manipulador, diseñado por José Luís Aznar y Jaime Martínez con
propósitos principalmente médicos, tiene 5 grados de libertad, tres de ellos
traslacionales y dos rotacionales. Para analizarlo utilizando el procedimiento de
Denavit-Hartenberg necesitamos el esquema siguiente donde se representa su modelo
alámbrico. Partimos de una configuración cualesquiera, si bien es aconsejable colocarlo
en una posición sencilla de analizar. Su estructura puede observarse en la figura 2.3a.

0

2
1

3

4

Figura 2.3a: Representación del esquema alámbrico del robot quirúrgico.

Nótese tiene 5 articulaciones que enumeraremos desde cero hasta cinco, siendo
la etiquetada con 0 aquella fija al bastidor (o en su defecto al techo). La articulación 1 es
la prismática que se deshazla en dirección horizontal y la articulación 2 en dirección
vertical. La articulación 3 es la primera articulación de la muñeca del robot y la
articulación 4 es el segunda y última de la muñeca, que gira y lleva fijada la sujeción del
efector final.
2-7


2. Asignar los ejes z, sabiendo que zi-1 es el eje de la articulación i.

z0 Es horizontal, es el eje del sistema del mundo, de manera que es
absolutamente fijo y se le elige de modo que coincida con el sentido positivo de la
primera traslación.

z1 Es horizontal, es el eje del
segundo deslizamiento, se desliza en
el mismo formando un plano con el
eje del mundo. Se le elige de modo
que coincida con el sentido positivo d1(t)
de la segunda traslación. z0
z2 Es vertical, es el eje del
tercer deslizamiento, y se desliza
normal al plano que forman los dos z1
ejes anteriores. Análogamente, se d3(t)
determina de manera que coincida con
d2(t) z2
el sentido positivo de la tercera
traslación.

z3 Sigue la dirección de z2, y es
el primer eje de revolución de la θ4(t)
muñeca. Se elige de manera que el
sentido de giro angular sea positivo al
hacerlo referido a dicho eje z3.
z3
z4 Es el segundo y último eje
de rotación de la mano, y siempre se
θ5(t)
mantiene en un plano horizontal.
Hemos seleccionado el eje de manera
el giro sea positivo al estar referido a
este eje. z4
z5 z5 se sitúa de manera que
coincida con la dirección de z4. Aún si
no hubiera un enlace físico al que z5
vaya unido, es necesario incluirlo para
que de cuenta de la última rotación.
Por otra parte, el robot tiene 5 grados
de libertad; por ello, debe haber 5 Figura 2.3b: Elección de los ejes zi.
sistemas móviles (los números de la
articulación 1 a 1a 5, recordemos que
el 0 era fijo).

2-8


3. Asignar todos los ejes x, sabiendo que xi es perpendicular a zi, y a zi-1 y va en
la dirección de la perpendicular común.

x0 Será perpendicular a z0, y por
lo tanto vertical, pero al no haber un
eje z anterior, su dirección se puede x0
elegir. Se elige hacia arriba, como se
ve en la figura 2.3c.

x1 Debe ser perpendicular a su x1
propio z (z1) y al z anterior (z0). Estos z0
dos ejes se cortan, y determinan un
plano horizontal. Así pues, x1 deberá z1
ser normal a un plano horizontal, y en
la posición dibujada, hacia arriba o x2
hacia abajo. Se elige hacia arriba (¿y z2
por qué no?).

x2 Es perpendicular a z1 y a z2,
que también se cortan, determinando
un plano vertical, por lo que x2 deberá
ir hacia fuera o hacia dentro. Por
ejemplo, se elige hacia fuera (¿y por
z3
x3
qué no?).

x3 Es un caso especial. Como z2
y z3 son coincidentes, hay infinitas
direcciones transversales. Cuando dos
ejes z consecutivos están superpuestos,
el origen se fija arbitrariamente, así z4
como la dirección de x, a lo largo de x4
cualquier perpendicular a los z2 y z3
(que son la misma recta). Se aconseja
en ese caso tomar la dirección de x lo z5
más parecida posible a la dirección del x5
x anterior.

x4 Será perpendicular a z3 y a
z4, y debido a que ambos intersectan
determinando un plano que contendría
Figura 2.3c: Elección de los ejes xi.
al eje z2, x4 sería normal en dicho
plano, y en este caso va hacia la fuera.

x5 Es un caso especial. Como z4 y z5 son paralelos, hay infinitas direcciones
perpendiculares. Se aconseja en ese caso tomar la dirección de x lo más parecida posible
a la dirección del x anterior. Se escoge una, en este caso, hacia fuera.

2-9


4. Asignar los ejes y, de modo que se cumpla que xi × yi = zi.

x0
y0
d1(t)

x1 z0
y2
z1 d3(t)
z2
y1 d2(t) x2

y3 θ4(t)

x3 z3

θ5(t)
z4

x4
y4

z5
x5
y5
Figura 2.3d: Elección de los ejes yi.

Respecto a los orígenes, el del sistema {S0} se fija arbitrariamente al eslabón
inicial de la cadena yendo hacia fuera y hacia dentro. Los sistema {S1} y {S2} en un
principio vienen determinados sin posibilidad de elección, ya que hay un único punto
donde z0 corta a z1, y otro punto único donde z1 corta a z2. Ellos tres dependen
fuertemente del fijo pues, de alguna manera, se podría decir que están referidos a él. En
realidad, las tres articulaciones prismáticas están superpuestas y en el dibujo no se
muestran superpuestas porque hemos dibujado el resultado de un desplazamiento de las
variables articulares d1(t), d2(t), y d3(t). El sistema {S3} se puede colocar a la altura que
prefiramos puesto que z1 y z2 son colineales; también se puede decir que está referido al
anterior{S2}. El sistema {S4}, sin embargo, está unívocamente determinado por la
intersección de z3 y z4. El origen {S5} al final del eslabón con longitud l5 y, de este
modo, si la orientación de este sistema es adecuada, podría servir como sistema final.
2 - 10


Con respecto a esto, nos preguntamos si necesitamos poner otro sistema extra en
la mano. Obsérvese que el último sistema que nos resultó por aplicación de las reglas
era el 5, y que éste tiene:

• Su eje y en la dirección de orientación en sentido opuesto.
• Su eje x está en la dirección de aproximación de la mano o herramienta.
• Su eje z en la dirección normal a estos dos.

θ5(t)
z4

x4
y4 r
o

z5 r
n
x5 r
y5 a
Figura 2.3e: Cambio de base para tener un triedro n o a en el efector final.

De clases de teoría sabemos que debe existir un último sistema de coordenadas,
fijo a la mano o herramienta, que no sigue las mismas reglas que los anteriores. Debe
situarse de modo que su eje z esté en la dirección de aproximación (el avance natural de
la mano) y su eje y (vector de orientación) debe apuntar de garra a garra de la pinza (en
caso de pinzas con simetría cilíndrica como ocurre en nuestra situación, es arbitrario).

Este sistema "especial" sólo debe añadirse si el último sistema obtenido por las
reglas usuales no cumpliese estas condiciones. En ese caso, la transformación entre el
último sistema natural y este sistema especial es fija, y se halla por observación directa.

Por tanto, la convención para los vectores n, o y a no se cumple y es necesario
añadir otro sistema. Esta matriz sería la siguiente:

 0 0 1 0
  r
 0 −1 0 0  La dirección del eje x5 coincide con la dirección de a
 r
A5 =   → La dirección del eje y 5 coincide con la dirección de - o
5

 1 0 0 0  La dirección del eje z coincide con la dirección de n r
   5

 0 0 0 1
2 - 11


5. Determinar los parámetros (ai; αi; θi; di) de cada articulación por inspección visual.

• Parámetros DH para ir desde el sistema {S0} hasta el {S1}: (a1; α1; θ1; d1).

x0
y0
d1(t)
z0
x1
x0 x0
y0 z1
y1 d2(t) z0
z0 y0

x0 x0 x0
y0 y0 y0

θ1= 0º d1= d1(t) a1= 0 α1= 90º
z0 z0 z0
Figura 2.4a: Parámetros DH para pasar del sistema {S0} al sistema {S1}.


d1(t)

x1
y2
x1 z1 d3(t) y1
z2
z1 y1 d2(t)
x2
x1
z1
y1

z1 z1 z1

θ2= 90º d2= d2(t) a2= 0 α2= –90º
x1 y1 x1 y1 x1 y1
Figura 2.4b: Parámetros DH para pasar del sistema {S1} al sistema {S2}.
2 - 12



y2

z2
d2(t) x2
y2
y2
z2
x2 x2 z2
y3 θ4(t)

x3 z3
y2 y2 y2

θ3= 0º x2 z 2 d3= d3(t) x2 z 2 a3= 0 x2 z2 α3= 0º
Figura 2.4c: Parámetros DH para pasar del sistema {S2} al sistema {S3}.


y3 θ4(t)

x3 z3
y3
z3
x3 θ5(t) x3
z3 z4 y3

x4
y4
y3 y3 y3

θ4= θ 5(t) x3 z3 d4= l4 a4= 0
x3 z3 x3 z3 α4= 90º

Figura 2.4d: Parámetros DH para pasar del sistema {S3} al sistema {S4}.

2 - 13



θ5(t)
z4

z4 x4 z4
y4
y4
x4
z5 x4 y4

x5
y5
z4 z4 z4

θ5= θ 5(t) x4 y4 d5= 0 a5= l5 α5= 0º
x4 y4 x4 y4

Figura 2.4e: Parámetros DH para pasar del sistema {S4} al sistema {S5}.

2 - 14


6. Construir la tabla de parámetros, y a partir de cada una de sus filas,
usando la fórmula general de la matriz DH, escribir cada una de las i–1Ai.

La tabla de los parámetros de Denavit-Hartenberg para cada uno de los
eslabones es la siguiente:

ESLABÓN θi di ai αi
1 0º d1(t) 0 90º
2 90º d2(t) 0 –90º
3 0º d3(t) 0 0º
4 θ4(t) l4 0 90º
5 θ5(t) 0 l5 0º

Las matrices de transformación homogénea las i–1Ai son las siguientes:

1 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0
     
0 0 −1 0  1 0 0 0 0 1 0 0
A1 =   A2 =   A3 =  
0 1 2

0 1 0 d1  0 −1 0 d2  0 0 1 d3 
     
0
 0 0 1  0
 0 0 1  0
 0 0 1 

 cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0 
 
 sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0 
A4 =  
3

 0 1 0 l4 
 

 0 0 0 1 


 cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l5 ⋅ cos(θ 5 (t ))
 
 sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t )) 
A5 =  
4

 0 0 1 0 
 

 0 0 0 1 


También se calculan por inspección visual directa las matrices para el cambio de
base tanto para el sistema del eslabón fijo como el del efector final:

0 0 1 0 0 0 1 0
   
0 −1 0 0 0 −1 0 0
A0 =   A5 =  
0 5

1 0 0 0 1 0 0 0
   
0
 0 0 1
 0
 0 0 1


En las páginas siguientes realizaremos las operaciones que nos han permitido
obtener las expresiones de las matrices i–1Ai.

2 - 15

• Para la primera articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 0A1 es:

0
A 1 = ROT ( z 0 ,0º ) ⋅ Tr (0,0, d1 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ ROT (x' ' 0 ,90º )
 cos(0º ) − cos(90º ) ⋅ sen(0º ) sen(90º ) ⋅ sen(0º ) 0 ⋅ cos(0º )   1 0 0 0 
   
 sen(0º ) cos(90º ) ⋅ cos(0º ) − sen(90º ) ⋅ cos(0º ) 0 ⋅ sen(0º )   0 0 −1 0 
A1 =  = 
0

 0 sen(90º ) cos(90º ) d 1 (t )   0 1 0 d1 (t )
   

 0 0 0 1  
  0 0 0 1  

• Para la segunda articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 1A2 es:

1
A 2 = ROT ( z1 ,90º ) ⋅ Tr (0,0, d 2 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0) ⋅ ROT ( x' '1 ,−90º )
 cos(90º ) − cos(−90º ) ⋅ sen(90º ) sen(−90º ) ⋅ sen(90º ) 0 ⋅ cos(90º )   0 0 −1 0 
   
 sen(90º ) cos(−90º ) ⋅ cos(90º ) − sen(−90º ) ⋅ cos(90º ) 0 ⋅ sen(90º )   1 0 0 0 
A2 =  = 
1

 0 sen(−90º ) cos(−90º ) d 2 (t )   0 −1 0 d 2 (t )
   

 0 0 0 1  
  0 0 0 1  

• Para la tercera articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 2A3 es:

A 3 = ROT ( z 2 ,0º ) ⋅ Tr (0,0, d 3 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0) ⋅ ROT ( x' ' 2 ,0º )
2

 cos(0º ) − cos(0º ) ⋅ sen(0º ) sen(0º ) ⋅ sen(0º ) 0 ⋅ cos(0º )   1 0 0 0 
   
 sen(0º ) cos(0º ) ⋅ cos(0º ) − sen(0º ) ⋅ cos(0º ) 0 ⋅ sen(0º )   0 1 0 0 
A3 =  = 
2

 0 sen(0º ) cos(0º ) d 3 (t )   0 0 1 d 3 (t )
   

 0 0 0 1  
  0 0 0 1  

• Para la cuarta articulación que es de carácter rotacional, su matriz de transformación homogénea 3A4 es:
3
A 4 = ROT (z 3 , θ 4 (t ) ) ⋅ Tr (0,0, l 4 ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ ROT (x' ' 3 ,90º )
 cos(θ 4 (t )) − cos(90º ) ⋅ sen(θ 4 (t )) sen(90º ) ⋅ sen(θ 4 (t )) 0 ⋅ cos(θ 4 (t ))   cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0 
   
 sen(θ 4 (t )) cos(90º ) ⋅ cos(θ 4 (t )) − sen(90º ) ⋅ cos(θ 4 (t )) 0 ⋅ sen(θ 4 (t ))   sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0 
3
A4 =  = 
 0 sen(90º ) cos(90º ) l4   0 1 0 l4 
   

 0 0 0 1  
  0 0 0 1 

• Para la quinta articulación que es de carácter rotacional, su matriz de transformación homogénea 4A5 es:
4
A 5 = ROT ( z 3 , θ 5 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ Tr (0,0, l 5 ) ⋅ ROT (x' ' 3 ,0º )
 cos(θ 5 (t )) − cos(0º ) ⋅ sen(θ 5 (t )) sen(0º ) ⋅ sen(θ 5 (t )) l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))   cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))
   
 sen(θ 5 (t )) cos(0º ) ⋅ cos(θ 5 (t )) − sen(0º ) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))   sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))
4
A5 =  = 
 0 sen(0º ) cos(0º ) 0   0 0 1 0 
   

 0 0 0 1  
  0 0 0 1 

• La matriz para realizar el cambio de base canónica al sistema {S0} 0A0 es:
0 0 1 0 ze x0
 
0 
La dirección del eje x e coincide con la dirección de z 0
0 −1 0 
A0 =   → La dirección del eje y e coincide con la dirección de - y 0
0

1 0 0 0  La dirección del eje z coincide con la dirección de x ye y0
   e 0
0
 0 0 1
Empleado esta matriz de cambio de base podemos evitarnos errores al obtener las z0
xe
coordenadas del efector final. Si no utilizamos la matriz 0A0 y la matriz T nos informa
sobre que el efector final está en las coordenadas [x* y* z*]T, esto significaría que z = x*, Figura 2.5: Cambio de base para tener un triedro canónico en
y = - y*, x= z*. Si utilizamos esta 0A0 las coordenadas son directas pues un vector de
posicionamiento [x* y* z*]T implicaría que la herramienta estaría en z = x*, y = y*, x= z*.
el sistema del mundo.


7. Multiplicar todas ellas para generar la 0An.

Si hacemos una recopilación de las matrices de transformaciones homogéneas
tenemos que a partir de las operaciones antes realizadas tenemos que las matrices i-1Ai y
la matriz T son las siguientes:

0 0 1 0 0 0 1 0
   
0 −1 0 0 0 −1 0 0
A0 =   A5 =  
0 5

1 0 0 0 1 0 0 0
   
0
 0 0 1
 0
 0 0 1


1 0 0 0
 
0 0 −1 0 
A1 =  
0

0 1 0 d1 
 
0
 0 0 1 

0 0 −1 0
 
1 0 0 0
A2 =  
1

0 −1 0 d2 
 
0
 0 0 1 

1 0 0 0
 
0 1 0 0
A3 =  
2

0 0 1 d3 
 
0
 0 0 1 

 cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0 
 
 sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0 
A4 =  
3

 0 1 0 l4 
 

 0 0 0 1 


 cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l5 ⋅ cos(θ 5 (t ))
 
 sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t )) 
A5 =  
4

 0 0 1 0 
 

 0 0 0 1 


T= A 0 ⋅ A1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅ A 4 ⋅ A 5 ⋅ A 5
0 0 1 2 3 4 5

T= A3 ⋅ A5 A3 = A0 ⋅ A1⋅ A 2 ⋅ A3 A 5 = A 4 ⋅ A 5 ⋅ A5
0 3 0 0 0 1 2 3 3 4 5
con y
2 - 18

 0 0 1 0  1 0 0 0   0 0 −1 0   1 0 0 0   1 0 0 d1 (t ) 
         
 0 −1 0 0  0 0 −1 0   1 0 0 0   0 1 0 0   0 −1 0 d 2 (t ) 
A3 =  ⋅ ⋅ ⋅ = 
0

 1 0 0 0  0 1 0 d1 (t )  0 −1 0 d 2 (t )   0 0 1 d 3 (t )   0 0 −1 − d 3 (t ) 
         

 0 0 0 1 
  0 0 0 1    0 0 0 1     0 0 0 1     0 0 0 1  

 cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0   cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))  0 0 1 0
     
 sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0   sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))  0 −1 0 0
A5 =  ⋅ ⋅ =
3

 0 1 0 l4   0 0 1 0  1 0 0 0
     

 0 0 0 1  
  0 0 0 1  0
  0 0 1

 sen(θ 4 (t )) cos(θ 4 (t )) ⋅ sen(θ 5 (t )) cos(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ cos(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t ))
 
− cos(θ 4 (t )) sen(θ 4 (t )) ⋅ sen(θ 5 (t )) sen(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ sen(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t ))
= 
 0 − cos(θ 5 (t )) sen(θ 5 (t )) l 4 + l 5 ⋅ sen(θ 5 (t )) 
 

 0 0 0 1 


 1 0 0 d1(t )  cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) − cos(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) sen(θ4 (t )) l5 ⋅ cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))
   
 0 −1 0 d2 (t )  sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) − cos(θ4 (t )) l5 ⋅ sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))
T= ⋅ 
 0 0 −1 − d3 (t )  sen(θ5 (t )) cos(θ5 (t )) 0 l4 + l5 ⋅ sen(θ5 (t )) 
   
 0
 0 0 1     0 0 0 1 

sen(θ4 (t )) cos(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) d1(t ) + l5 ⋅ cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))
 
cos(θ4 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) d2 (t ) − l5 ⋅ sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))
= 
 0 cos(θ5 (t )) − sen(θ5 (t )) − d3 (t ) − l4 − l5 ⋅ sen(θ5 (t )) 
 

 0 0 0 1 



La matriz de transformación homogénea para nuestro robot presenta la siguiente
forma:

nx ox ax px   sen( θ 4 ( t )) cos( θ 4 ( t )) ⋅ sen( θ 5 ( t )) cos( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) d 1 ( t ) + l 5 ⋅ cos( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) 
   
n y oy ay py  cos( θ 4 ( t )) − sen( θ 4 ( t )) ⋅ sen( θ 5 ( t )) − sen( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) d 2 ( t ) − l 5 ⋅ sen( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) 
  =  
nz oz az pz   0 cos( θ 5 ( t )) − sen( θ 5 ( t )) − d 3 ( t ) − l 4 − l 5 ⋅ sen( θ 5 ( t )) 
   

0 0 0 1  
 0 0 0 1 


2 - 20


3. IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO DE LA CINEMÁTICA DIRECTA.

La función directa resuelve el problema cinemático directo del robot quirúrgico
de 5 grados de libertad. Para ello toma como único parámetro un vector q donde vienen
almacenadas como componentes cada una de las variables articulares de la siguiente
manera:
q = [q1 q5 ]
T
q2 q3 q4

q1 := d 1 (t ) q 2 := d 2 (t ) q 3 := d 3 (t )
q 4 := θ 4 (t ) q 5 := θ 5 (t )

Ha de tenerse en consideración que las longitudes d1(t), d2(t) y d3(t)
especificadas por el usuario demandadas a las articulaciones prismáticas no pueden ser
mayores a las longitudes de las guías por donde colocadas las articulaciones. Además,
no está permitido introducir ángulos para las variables rotativas que provoquen
singularidades y, debido a esto, no se podrán alcanzar algunas configuraciones.

Por ello, es recomendable tener en cuenta, por ejemplo, que no se exceda de 2
metros las variables prismáticas y tampoco debemos dar más de una vuelta con la
variable articular θ4(t), es decir, no sobrepasar los 360º y, también, con la variable
articular θ5(t) debemos trabajar entre -75º y 255º. Por tanto, el robot quirúrgico
funcionará correctamente si introducimos valores de variables articulares tales como

0 ≤ d 1 (t ) ≤ 2 m 0 ≤ d 2 (t ) ≤ 2 m 0 ≤ d 3 (t ) ≤ 2 m
0 ≤ θ 4 (t ) ≤ 360º − 75º ≤ θ 4 (t ) ≤ 255º

El código fuente de la función DIRECTA para nuestro robot de 5 grados de
libertad es el siguiente:

1 function A05 = directa(q)
2
3 l4=0.4;
4 l5=0.2;
5
6 % Parámetros Denavit-Hartenberg del robot
7 teta = [ 0 pi/2 0 q(4) q(5) ];
8 d = [ q(1) q(2) q(3) l4 0 ];
9 a =[ 0 0 0 0 l5 ];
10 alfa = [ pi/2 –pi/2 0 pi/2 0 ];
11
12 % Matrices de transformación homogénea entre sistemas de consecutivos
13 A00 = [0 0 1 0;0 -1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 1];
14 A01 = denavit(teta(1), d(1), a(1), alfa(1));
18
19 % Matriz de transformación del primer al último sistema de coordenadas
20 A05 = A00 * A01 * A12 * A23 * A34 * A45 * A00;

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