Apuntes de prácticas de DERIVE

Departamento de Análisis Económico: Economía Cuantitativa
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID

PRÁCTICAS DE

MATEMÁTICAS I y MATEMÁTICAS II

CON DERIVE-5®

Proyecto de Innovación Docente
Curso 2001/2002

Director: Pedro Ortega Pulido

® Derive es una marca registrada de Software Warehouse(Texas Instruments)

Introducción al uso de DERIVE 1

Introducción.
Durante los últimos años las nuevas tecnologías y muy en particular los
ordenadores están causando numerosos cambios en la mayoría de los aspectos de nuestra
cultura. La enseñanza de las matemáticas no ha quedado ajena a estos cambios. Así, en
muchas universidades de todo el mundo se han venido empleando programas con el fin de
mejorar la calidad de la enseñanza de una disciplina, que por su elevado grado de
abstracción, es una de la más complicadas del curriculum universitario.

Juegos, simulaciones, tutoriales, enseñanza asistida por ordenador y lenguajes de
programación, han sido los tipos de programas matemáticos más utilizados en las últimas
décadas. Sin embargo, con la aparición de los programas de cálculo simbólico o cálculo
algebraico en la década de los años 70, la situación de las antiguas herramientas ha ido
quedando relegada a un segundo plano. Los programas de cálculo algebraico permiten
realizar cómputos usando tanto una aritmética exacta como una aritmética aproximada. La
posibilidad de realizar cómputos utilizando la aritmética exacta brinda la posibilidad de
efectuar cálculos de tipo simbólico. De esta forma se consiguen desarrollar cálculos con
variables, a diferencia de lo que hacían otros programas de cálculo numérico, basados en
una aritmética aproximada.

Estos programas han provocado la aparición de numerosas experiencias didácticas,
basadas fundamentalmente en la creación de laboratorios de prácticas, en los que el
programa de cálculo simbólico es utilizado por los alumnos como soporte para estudiar los
hechos, conceptos y principios matemáticos desarrollados en las clases teóricas.

Actualmente existen numerosos programas de cálculo simbólico: Macsyma,
Reduce, Mathematica, Maple, Axiom, Form, GNU-Calc, Derive,... Elegimos DERIVE
para este curso por varios motivos fundamentales:

1. La facilidad de su aprendizaje: no necesita muchos conocimientos previos de
informática, y se puede aprender a utilizar en un corto espacio de tiempo, sin
necesidad de invertir muchas horas en la lectura del manual.

2. La sencillez de su entorno de trabajo, ya que permite ejecutar los comandos vía
menú, o a través de la edición de los mismos por pantalla.

Utilizaremos la versión 5-04 de DERIVE (es del año 2000) basada en el entorno
WINDOWS.

Objetivos de las prácticas:
1. Desarrollar mediante el programa DERIVE los contenidos
fundamentales de la asignatura Matemáticas I de las Licenciaturas en
CC.Económicas y Empresariales de la U.A.M.
2. Motivar mediante RESOLUCION DE PROBLEMAS, la utilización de
este programa para desarrollar estrategias de resolución de problemas.

(a) Metodología:
A lo largo del curso desarrollaremos dos tipos de actividades:

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 2

1. Actividades manipulativas de introducción al programa.
Consistirán en actividades de contenido matemático que nos introduzcan en
el manejo de los cálculos algebraicos fundamentales, a través de los cuales
podremos manipular, en algunas ocasiones de forma gráfica, los conceptos y
principios matemáticos tratados en la asignatura.

2. Resolución de ejercicios de contenido matemático y económico, a través de
los cuales el alumno podrá diseñar diversas estrategias de resolución,
gracias a la utilización de programa.

(b) Contenidos
El curso estará formado por tres módulos:

MODULO 1 (Introducción al programa)
1. Introducción al programa DERIVE, principales comandos.
2.Operaciones algebraicas básicas.

MODULO 2. (Matemáticas I).
3. Comandos básicos para el cálculo diferencial.
4. Análisis de Funciones de una variable
5. Análisis de funciones de varias variables.
6. Cálculo Integral.

MODULO 3 (Matemáticas II)
7. Principales comandos para el álgebra lineal
8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
9. Sistemas de ecuaciones lineales
10. Diagonalización.
11. Formas cuadráticas.

Proyecto de innovación docente.
Este material didáctico es producto del proyecto de innovación docente:
“Docencia de Matemáticas apoyada en aplicaciones informáticas”,
integrado por los siguientes profesores:
Director del Proyecto: Prof. Pedro Ortega Pulido
Equipo de trabajo: Prof. Raquel Águeda Maté
Prof. Rosa Barbolla Garcia
Prof. Gema Duro Carralero
Prof. M. Eugenia Rosado María
Prof. Martha Saboya Baquero
Prof. Milagros Saiz Jarabo
Prof. Paloma Sanz Alvaro
Prof. Francisco José Vázquez Hernández


1. INTRODUCCIÓN AL USO DE DERIVE.
1.1.¿QUÉ ES UN PROGRAMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO?
Los programas de cálculo simbólico, como DERIVE son lenguajes de programación
muy cercanos al usuario, es decir, lenguajes denominados “de alto nivel”, que ofrecen unas
características muy peculiares:
(a) Utilizan por defecto aritmética exacta, es decir, permiten manipular expresiones
racionales como 1/3, sin necesidad de tener que operar con su expresión en
coma flotante 0,333333 (aunque también se puede utilizar la aritmética en coma
flotante).
(b) Permiten manipular variables sin asignación, es decir, es posible manipular
expresiones no numéricas, y en consecuencia expresiones algebraicas, donde
los datos no han de ser valores numéricos.
(c) Soportan estructuras de datos de tipo vectorial y matricial.
(d) Admiten realizar programaciones, aunque DERIVE utiliza una programación
funcional en algunos casos muy poco operativa.

1.2. ENTRAR Y SALIR EN DERIVE.

ENTRAR EN DERIVE:
Para entrar en DERIVE bastará con hacer clic sobre el icono

a continuación aparece el siguiente cuadro de diálogo

que podemos suprimir en posteriores accesos, pero que en caso de aparecer
debemos aceptar con SI.

SALIR DE DERIVE:

Para salir de DERIVE 5 basta aplicar los comandos Archivo-Salir como lo muestra
la siguiente pantalla


1.3. LA PANTALLA DE DERIVE.
Cuando entramos por primera vez al programa DERIVE, obtenemos la siguiente
pantalla


En esta pantalla podemos distinguir varias partes de arriba abajo:

1) La barra de Títulos
En esta barra aparece el nombre del programa y los botones de minimizar,
maximizar y cerrar

2) La barra de menú
En esta aparecen todos los COMANDOS básicos de DERIVE clasificados en forma
de menú.

Los menús principales son:

Archivo Edición Editar(Autor) Simplificar Resolver Cálculo Definir

Opciones Ventana Ayuda

Para acceder a ellos podemos utilizar dos técnicas:
1) O bien pinchar con el ratón sobre el comando para desplegar el grupo de
subcomandos que contiene
2) O bien aplicar la secuencia ALT+(letra subrayada). Así por ejemplo para
desplegar el comando Autor, se pulsaría a la vez la secuencia de teclas
ALT+A.
Más adelante iremos estudiando el contenido de los comandos de este menú.

3) La barra de herramientas o de órdenes
En la barra de herramientas se encuentran los iconos que representan los comandos
que se utilizan con más frecuencia:

4) Una ventana de Álgebra (actualmente vacía)


5) la barra de estado

En la barra de estado a recibimos mensajes del programa en relación a las operaciones que
estamos ejecutando.

6) La barra de Introducción de expresiones:

llamada en ocasiones línea de edición. Esta línea nos permite ir introduciendo expresiones
en la ventana de álgebra.

7) La barra de letras griegas y símbolos matemáticos:

en la que tenemos disponibles un conjuntos de letras y símbolos que podemos utilizar en la
línea de edición sin mas que hacer un clic sobre cada botón.

1.4. ESTRUCTURA DE DERIVE: MENÚ DE COMANDOS.
Todos los comandos que se pueden ejecutar en DERIVE se seleccionan a través de la
barra de menú (seleccionando y aplicando o bien con ALT+ letra subrayada). Los
comandos se estructuran en forma de árbol, de tal forma que se pueden ir recorriendo de
forma ascendente con la selección de los menús y submenús que van apareciendo y de
forma descendente con la tecla ESC.

Los COMANDOS más utilizados están disponibles en la barra de herramientas, que
es el modo de acceso que más utilizaremos.

Vamos a ir analizando las diferentes formas de aplicar los comandos: primero a través
de la barra de menú y en segundo lugar usando e la barra de herramientas.

COMANDOS DE LA BARRA DE MENÚ
ARCHIVO
Si accedemos a este comando se despliega el submenú que contiene los comandos
básicos para manejar archivos en DERIVE:


Los subcomandos LEER y EXPORTAR tienen a su vez nuevos menús que son
especialmente interesantes en DERIVE y que luego más adelante comentaremos.

Así el subcomando LEER al desplegar contiene

Este subcomando permite leer varios tipos de archivos: archivos de DERIVE
(extensión .MTH) archivos de datos, archivos de demostración y archivos de utilidades.

Y el submenú EXPORTAR al desplegar contiene otros accesos:

que permite exportar, es decir transformar, el fichero que se está editando en un archivo
BASIC; C, Fortran o Pascal.

EDICIÓN
Este menú contiene los elementos fundamentales para editar expresiones en
WINDOWS para DERIVE. Al desplegarle se obtiene el siguiente conjunto de submenús:

INSERTAR
Menú mediante el cual podemos insertar en la ventana de álgebra tanto gráficas 2D como
gráficas 3D, así como objetos de texto:


EDITAR(AUTOR)
Sirve para editar las expresiones algebraicas que utiliza DERIVE, vectores o matrices:

SIMPLIFICAR
Este comando tiene varios subcomandos:

El subcomando Normal sirve para simplificar expresiones algebraicas previamente
introducidas, el subcomando Expandir, sirve para desarrollar expresiones algebraicas, el
subcomando Factorizar se emplea para factorizar polinomios, el subcomando Aproximar
se utiliza para obtener aproximaciones numéricas de expresiones racionales o reales y por
último el subcomando Sustituir Variable se utiliza para sustituir en una expresión
algebraica el contenido de una variable por el valor o expresión que se desee y por último
el subcomando Sustituir Subexpresión para sustituir una subexpresión por otra

RESOLVER
Utilizado para resolver ecuaciones de forma algebraica numérica, así como para resolver
un sistema de ecuaciones.

Debemos señalar que para resolver sistemas de ecuaciones, utilizando este comando hay
que introducirlos previamente las ecuaciones del sistem, de una manera especial a través de
esta ventana.


CÁLCULO
Menú que contiene los comandos básicos para realizar cálculos, como son la derivación la
integración, el cálculo de sumatorios, productorios, ...

DEFINIR
Utilizado para definir variables, funciones, dominios, o modos de operar:

OPCIONES

En este menú podemos encontrar opciones de impresión, opciones de color
de la pantalla, también se permiten otras opciones como la renumeración
automática de expresiones, la posibilidad de ocultar gráficas o texto de las hojas de
trabajo.


VENTANA

Como se puede observar aquí se pueden manejar las ventanas del programa, o bien para
definir la forma de disposición de las ventanas cuando hay varias abiertas, o bien para abrir
ventanas. Tambien se obtiene información acerca de las ventanas que hay abiertas.

Y con la opción Barra de Herramientas tenemos la posibilidad de ocultar o mostrar
algunas barras de herramientas en la pantalla del programa:

AYUDA
Por último el menú de ayuda contiene los comandos para resolver las cuestiones generales
que se pueden presentar sobre el programa:


A continuación vamos a estudiar las principales operaciones que podemos realizar con
DERIVE. Iremos comentando las formas de aplicarlas sobre diferentes ejemplos.

1.5. EDICIÓN DE EXPRESIONES.
Para poder efectuar operaciones con DERIVE es necesario tener introducidas en la
VENTANA DE ÁLGEBRA aquellas expresiones algebraicas, sobre las cuales podamos
operar o efectuar las transformaciones matemáticas deseadas. Para introducir expresiones
podemos utilizar varias alternativas:

1º) Situar el cursor en la Barra de Edición e introducir las expresiones que se deseen.
Una vez editadas las expresiones se pulsa ENTER

2º) La segunda alternativa consiste en aplicar el botón de herramientas Editar-
expresión

EJERCICIO 1.
Introducir la expresión x2+2x-1.
Aplicamos primero los menús Editar-Expresión (o bien nos situamos en la línea de
edición) y a continuación tecleamos
x^2+2x-1 (enter)
Podemos observar que en la ventana de álgebra aparecerá la expresión numerada.

1.5.1. OBSERVACIONES PARA INTRODUCIR EXPRESIONES.

1) Las expresiones en DERIVE se han de escribir en una sola línea, utilizando
paréntesis para preservar asociaciones de operaciones.

2) Las operaciones aritméticas elementales se escriben con:
(+) suma; (-) diferencia; (*) producto (el producto se suele sustituir por un
espacio); (/) cociente; (^) potenciación.
NOTA: Debemos de señalar que el símbolo (∧) que aparece en la ventana
de edición, no es el símbolo de potenciación, que se indica con el acento
circunflejo, sino que se corresponde con el operador lógico “and”. Por tanto
cuando se desee introducir la potenciación se deberá introducir el circunflejo
que aparece en el teclado.

3) Todas las letras que aparecen en una expresión por defecto, DERIVE las
considera como elementos variables. De esta forma, si intentamos introducir una
variable que se llame “ejemplo” en DERIVE, por defecto al introducirla aparece de
la siguiente forma


es decir, como un conjunto de siete variables. Si queremos introducir una variable
que tenga por nombre la palabra formada por esos siete caracteres deberemos
aplicar la secuencia de comandos Definir Preferencias de entrada y seleccionar en
el campo Modo la opción Palabras

en este momento aparecerá en la última expresión de la ventana de álgebra de
DERIVE la expresión

si ahora intentamos introducir la misma expresión anterior "ejemplo" obsérvese
que ahora sí queda introducida como una variable

4) DERIVE reconoce un conjunto de funciones matemáticas que tienen una
sintaxis especial. Algunas de las funciones matemáticas que se suelen utilizar
son las siguientes:
Funciones trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x),...
Funciones trigonométricas inversas: asin(x), acos(x), atan(x)...
Funciones logarítmicas: ln(x), log(x,a) (log. Neperiano, logaritmo de
x en base a)
Funciones exponenciales y radicales: sqrt(x) (raiz cuadrada), exp(x)
(exponencial de x).
Algunas otras funciones: abs(x) (módulo de x), x! (factorial de x),
int(x), parte entera de x

5) También existen algunas funciones predefinidas que sirven para efectuar
algunas operaciones matemáticas o utilizar expresiones matemáticas muy
comunes:
Algunas de estas funciones son:
IDENTITY_MATRIZ(n): con la que se obtiene una matriz identidad
de orden n. Por ejemplo si editamos “identity_matriz(3)” y
simplificamos esta expresión se obtiene

GRAD(funcion,variables): con la que se puede obtener el vector
gradiente de una “función” dada con las “variables” señaladas. Por
ejemplo editando “grad(x^2+y^2,[x,y])” se obtiene al simplificar


6) Existen algunos símbolos que se introducen aplicando el botón reservado de la
barra de letras griegas y símbolos o bien combinando la tecla (^) con alguna
letra:
El número e, se introduce con (^)+e apareciendo ê en pantalla
El número imaginario i, se introduce con (^)+i apareciendo î en pantalla
π se introduce tecleando “pi”.
Obsérvese que la barra de letras griegas tiene los siguientes caracteres:

por otro lado la barra de símbolos tiene:

Entre estos símbolos tenemos el número e ê, o el número imaginario î.
También debemos considerar la forma en la que se introducen los
subíndices en DERIVE. Estos se introducen utilizando el símbolo o bien
la palabra reservada “sub”. Así por ejemplo si deseamos editar la expresión
x11
editaremos en DERIVE

o bien

que tras simplificar nos da la expresión

EJERCICIO 2.
Introducir las siguientes expresiones:
1) tg(3x3-6x+3)3
2) tg3(3x3-6x+3)
3) e3x-3
4) cos(3x-π)
3x 2
5)
2x − 1
x− y

6) e 2+ x

1.5.2. REEDICION DE EXPRESIONES.

Para reeditar expresiones introducidas en la ventana de Álgebra de DERIVE
podremos efectuar las siguientes operaciones:

• Recuperar una expresión de la ventana de álgebra en la línea de edición.
Para poder recuperar una expresión introducida en la ventana de álgebra a la línea de
edición podemos usar dos procedimientos:


1º) Elegir en primer lugar con los cursores (↑), (↓) o con el ratón la expresión de la
ventana de álgebra y aplicar sobre ella, el menú Edición-expresión, para hacer las
modificaciones pertinentes.

2º) Seleccionar primero la expresión que deseamos reeditar, después aplicar el botón
de herramientas y a continuación pulsar (F3) si deseamos recuperar la expresión
seleccionada tal cual, o bien (F4) si lo que deseamos es recuperar la expresión entre
paréntesis.

EJEMPLO 1.1.
Si tenemos en la ventana de álgebra la expresión

y deseamos recuperarla para reeditarla debemos aplicar Editar expresión, seleccionarla y
pulsar F3 y se obtiene

• Borrar caracteres dentro de la línea de edición.
Para efectuar esta operación podemos utilizar varias alternativas:
- utilizar la tecla (Supr) que borra el carácter sobre el que está
el cursor.
- Utilizar la tecla (Backspace) que borra el carácter anterior al
cursor
- La (barra espaciadora) que borra el carácter posterior al
cursor si estamos en MODO SOBREESCRITURA.

• Insertar nuevos caracteres .
En la línea de edición (una vez aplicado el botón Editar-Expresión) podemos estar en
modo INSERTAR o en modo SOBREESCRITURA. Para pasar de un modo a otro basta
con pulsar la tecla (Ins). Obsérvese que en la línea de estado aparece el modo en el que
estamos trabajando.
MODO SOBREESCRITURA:

EJERCICIO 3.
Utilizando las expresiones editadas en los ejercicios anteriores y considerando las
últimas indicaciones, introducir en DERIVE las expresiones:


3x 2 + 5
-
2x 2 + x − 2
x3

-e 2 + x

EJERCICIO 4.
Editar las expresiones:

 x+2
a) ln 
 y −3 (
b) sen 1 − x 2 + y 2 )
 

1.6. MANEJO DE EXPRESIONES DE LA VENTANA DE
ALGEBRA.

1.6.1. Situarnos en una expresión concreta.
Si deseamos seleccionar una expresión concreta tenemos dos alternativas:
- o bien utilizar el ratón y la barra de desplazamiento vertical
del programa

- o bien situarnos sobre la ventana de álgebra (si es necesario
usando la tecla ESC) y utilizar las teclas (↑) y (↓)..

1.6.2. Mover una o varias expresiones.
En ocasiones puede ser útil o necesario cambiar el orden de las expresiones de
nuestra sesión de trabajo, para lo cual se puede utilizar la opción de marcar un grupo de
expresiones y luego pegarlas en el lugar deseado. Por ejemplo si tenemos la siguiente
situación de expresiones:


si deseamos por ejemplo mover las expresiones #5, #6 y #7 y situarlas antes de la #2,
podemos marcarlas con el ratón:

y con el botón derecho del ratón seleccionar la opción cortar:

luego nos situamos sobre la expresión #2, pulsamos el botón derecho del ratón y elegimos
la opción pegar:

y se obtiene el resultado deseado, aunque hay que tener en cuenta que DERIVE renumera
automáticamente por defecto todas las expresiones:


EJERCICIO 5.
Situar las expresiones #3 y #4 antes de la expresión #2.

1.6.3. Información de las operaciones realizadas con expresiones.
Si deseamos observar las características de generación de las diferentes expresiones
introducidas en la ventana de álgebra, debemos centrar nuestra atención en la línea de
estado, en la que se indica el proceso de obtención de la expresión seleccionada. Por
ejemplo en la siguiente gráfica se observa que la expresión #1 es una expresión NUEVA;
introducida por el usuario:

Sin embargo si observamos en la siguiente gráfica podemos comprobar que la expresión
#12 se ha obtenido por simplificación de la expresión #11, y se ha tardado 0.04 segundos
en su simplificación:

EJERCICIO 6.
Observar las expresiones #5 y #7 ¿qué información se observa en la línea de
estado?


1.6.4. Borrar una expresión, o un bloque de expresiones de la ventana de
álgebra.
Para borrar una o un bloque de expresiones podemos utilizar dos procedimientos.
El primer procedimiento consiste en seleccionar con el ratón las expresiones
correlativas que se desean borrar y aplicar sobre ellas o bien la secuencia Edición-Borrar:

o bien el botón de herramientas .
Una segunda opción consistiría en marcar con el ratón las expresiones que se
desean borrar y pulsar el botón de la derecha del ratón seleccionando la opción de borrar:
También se puede utilizar la tecla (Supr) para borrar una o varias expresiones
marcadas previamente.

EJERCICIO 7.
Borrar las expresiones #1 a las #3 de vuestra ventana de álgebra. Usando el primer
procedimiento.
Borrar ahora las expresiones #5 y #6 usando el segundo procedimiento.

1.6.5. Recuperar el último bloque de expresiones borrado.

Si deseamos recuperar el último bloque de expresiones borrado, DERIVE nos
permite incorporarlo en nuestra ventana de álgebra por medio la orden Edición-Recuperar:


1.7. INSERTAR TEXTO EN LA VENTANA DE ÁLGEBRA.
Una de las opciones nuevas que nos permite DERIVE 5 es la posibilidad de introducir
comentarios tipo texto dentro de la ventana de álgebra. Para ello podemos utilizar dos
procedimientos:
a) o bien utilizar el menú aplicando Insertar-Objeto de texto:

b) o bien aplicar el botón de herramientas
Así por ejemplo podemos introducir el siguiente comentario: “Vamos a derivar
la función:”

obsérvese que el texto no aparece numerado, ya que se trata de un objeto
distinto, no es una expresión.

1.8. MANEJO DE FICHEROS.
DERIVE permite manipular dos tipos de ficheros fundamentalmente:
- Archivos con extensión .mth, que contienen únicamente
expresiones simbólicas.
- y archivos con extensión .dfw, archivos que contienen
además de las expresiones algebraicas, comentarios tipo
texto, gráficas de 2 dimensiones y graficas de 3 dimensiones.
En consecuencia según el tipo de objetos que tengamos en nuestra hoja de trabajo
podremos guardar los archivos de una u otra forma. Aunque los documentos se pueden
grabar en formato .mth, pero perderían todos los objetos de texto.

(a) Grabar en un fichero una sesión de trabajo.
Si deseamos grabar el conjunto de expresiones que tenemos en una ventana de álgebra
en un fichero concreto .mth, aplicaremos sobre el menú la secuencia Archivo-Guardar
como entonces aparecerá una ventana de diálogo sobre la cual indicaremos el nombre del
fichero y el tipo de fichero que deseamos guardar:


Evidentemente podremos seleccionar la unidad o el directorio en el cual queremos
efectuar esta operación, del mismo modo que se realiza en Windows. Elegiremos también
el tipo de archivo que deseamos guardar, teniendo en cuenta las observaciones anteriores.

Si lo que deseamos es guardar la sesión de trabajo o el conjunto de expresiones sobre
un fichero ya existente, aplicaremos entonces o bien la secuencia Archivo-Guardar del
menú o bien el botón de herramientas

Mediante estas órdenes, DERIVE grabará en el fichero que especifiquemos las
expresiones contenidas en la ventana de álgebra. Por defecto el programa asigna a este
fichero la extensión .dfw.

EJERCICIO 8.
Grabar en un fichero con el nombre “sesion1” las expresiones que tenemos
actualmente en la ventana de álgebra, como archivo .mth.

(a) Cargar un fichero nuevo de DERIVE.
DERIVE permite cargar ficheros de varios tipos
- ficheros de DERIVE, con extensión MTH, que se pueden
cargar de dos formas o bien como un fichero normal MTH, o
bien como un fichero de UTILIDAD.
- ficheros tipo DOCUMENTO DE DERIVE, con extensión
DFW
- ficheros de DEMOSTRACIÓN; con extensión .dmo
- ficheros de DATOS, con extensión .dat

Los ficheros propios de DERIVE son los ficheros que tienen extensión MTH o bien
DFW.


Si deseamos leer cualquiera de estos tipos de fichero aplicaremos o bien
- la secuencia de menú Archivo Abrir
- o bien el botón de herramientas
y aparecerá deplegada la ventana:

Hay que tener en cuenta que los archivos tipo DOCUMENTO DE DERIVE, es decir
con extensión DFW solo se pueden abrir con esta opción, sin embargo los archivos .MTH
permiten cargarse utilizando las siguientes opciones:

(b) Cargar un fichero añadiendo sus expresiones a las actuales.
Si deseamos cargar un fichero .MTH que añada sus expresiones a las expresiones que
tenemos actualmente en una ventana de álgebra utilizaremos la secuencia
Arvhivo-Leer-Mth y a continuación seleccionamos el fichero deseado en la ventana de
diálogo. Utilizando esta secuencia visualizaremos las expresiones del nuevo fichero a
continuación de las expresiones del fichero que teníamos antes cargado.

EJERCICIO 9.
Cargar el fichero SESION1.MTH en la ventana de álgebra como fichero de DERIVE
y luego cargar el fichero VECTOR.MTH a continuación del fichero anterior.

(c) Cargar un fichero de DERIVE como fichero de utilidad.
Acabamos de comentar que podemos cargar ficheros de DERIVE visualizando el
contenido de sus expresiones, es la forma habitual de cargar ficheros de DERIVE. Pero
existe otra forma de cargar ficheros de DERIVE, esta consiste en cargar el fichero
únicamente en memoria, sin visualizar el contenido de sus expresiones.
Para cargar un fichero de esta forma aplicaremos la secuencia de menú
Archivo-Leer-Utilidades, y elegiremos el fichero deseado desde la ventana de diálogo que
aparece a continuación. Esta forma de cargar los ficheros de DERIVE suele denominarse
cargar un fichero como fichero de utilidades.


Podemos observar que a continuación aparece una expresión indicando que hemos cargado
el fichero de esta forma:

EJERCICIO 10.
Para observar el efecto de esta operación abrimos una ventana de álgebra
completamente vacía aplicando Archivo-Nuevo (o bien aplicando el botón de herramientas
).
A continuación editamos sobre esta nueva ventana la expresión
“rank(identity_matrix(3))” mediante Edición-Expresión. (Recuérdese que
IDENTITY_MATRIZ(3) es una función predefinida en DERIVE que construye la matriz
identidad de orden 3).
Obsérvese que en la ventana de álgebra aparecerá la expresión:

Aunque la función RANK no es una función PREDEFINIDA, sin embargo se trata de
una función que viene en un fichero de utilidades PROPIO de DERIVE, por lo que
automáticamente DERIVE busca en estas funciones para aplicarla. Esta búsqueda no
sucedería si por ejemplo definimos en un archivo nuevo la función:

obsérvese que esta función hace lo mismo que la función RANK guardada en un fichero de
utilidades de DERIVE, de hecho si efectuamos:

obtenemos el resultado deseado.
Si guardamos este fichero en la unidad A: con el nombre “ejemplo” y cerramos la
ventana. Al abrir una nueva ventana de álgebra si intentamos hacer la misma operación
obtendríamos:

pues DERIVE no reconoce esta función, ni se encuentra entre los ficheros de utilidades del
programa, en este caso está en una archivo de utilidad externo en la unidad A.

(d) Cargar las expresiones de varios ficheros.
Esta operación es similar a la anterior, consiste en incluir las expresiones de dos o más
ficheros, unas a continuación de otras. Para ello aplicamos sucesivamente la secuencia de
menús Archivo-Leer-Mth.

(e) Cargar un fichero de tipo demostración.
En DERIVE existen ficheros de tipo demostración (con extensión .dmo) que nos
permiten mostrar al usuario las posibilidades del programa. Para cargar este tipo de
ficheros se aplica la secuencia de menús Archivo-Leer-Demo y a continuación el nombre
del fichero.
Si se desea cargar en una ventana nueva este tipo de programas, aplicamos .


Obsérvese que con este tipo de fichero el programa carga expresiones e indica las
operaciones que va realizando, a medida que vamos pulsando la tecla (enter) vuelven a
aparecer nuevas operaciones y mensajes sobre la barra de estado indicándonos los
comentarios relacionados con las últimas operaciones realizadas.
Si se desea parar la ejecución de un fichero demo, basta pulsar la tecla (Esc).

EJERCICIO 11.
Cargar el fichero de demostración CALCULUS.DMO y observar su funcionamiento.
Obsérvese que cada vez que tecleamos (enter) aparece un mensaje en la línea de estado y
una nueva expresión en la ventana de álgebra que es la ejecución de la operación indicada
por la expresión anterior.

EJERCICIO 12.
Cargar los ficheros VECTOR.MTH y FRESNEL.MTH uno a continuación del otro de
tal forma que se visualice el contenido de ambos ficheros.

1.9. MANEJO DE VENTANAS.

En el comienzo de esta sección hemos comentado la posibilidad de utilizar en la
ZONA DE VENTANAS varios tipos de ventanas:

A) Ventanas de álgebra, utilizadas para introducir expresiones algebraicas y realizar
diversas operaciones con ellas.
B) Ventanas gráficas de DOS dimensiones (2D-plot), sirven para efectuar
representaciones gráficas de dos variables.
C) Ventanas gráficas de TRES dimensiones (3d-PLOT) para efectuar
representaciones gráficas de tres variables.

Cada uno de estos tipos de ventanas llevan asociados unos menús y barras de
herramientas propios, aunque hasta ahora hemos venido comentando los menús y barras de
herramientas de la ventana de álgebra.
Las ventanas de DERIVE funcionan de forma autónoma y todas ellas llevan asociado
un nombre. El manejo de estos tipos de ventanas de DERIVE es muy similar al manejo de
ventanas de WINDOWS; no obstante vamos a analizar a continuación las operaciones
básicas que podemos realizar con las mismas.

1. Abrir ventanas gráficas 2D-plot
Para abrir una NUEVA ventana gráfica 2D bastará aplicar la secuencia de menú
Ventana-Nueva Ventana 2D. Podemos abrir tantas ventanas 2D como deseemos, pero
siempre debe existir al menos una ventana de álgebra. Las ventanas 2D que deseemos
abrir se van numerando en la línea superior de la ventana. Para observar todas las ventanas
a la vez en forma de pestaña debemos aplicar Ventana-Cascada y observaremos el
siguiente gráfico


En esta situación si deseamos representar gráficamente por ejemplo la función y=ln(x)
tendríamos que situarnos en la ventana de álgebra aplicando la secuencia del menú
Ventana (seleccionando la ventana de álgebra)

O bien situándonos con el ratón encima de la ventana sobre la que deseamos operar y hacer
un clic.
Ahora estaremos en disposición de introducir con Edición-Expresión la expresión
algebraica que define y=ln(x),

Para representar esta función en la ventana 2D Primera, bastará seleccionar la ventana
2D:1 haciendo un clic con el ratón encima de ella o bien aplicando el botón de
herramientas

una vez situados en la ventana 2D:1 aplicamos el comando !Representar¡ que aparece en el
menú o el botón de herramientas de esta ventana Representar gráficamente


y obtenemos la siguiente gráfica

Debemos de señalar que si no hubiese ninguna ventana 2D creada, a partir de la ventana de
álgebra podemos crear una ventana 2D con sólo aplicar el botón de herramientas
Ventana 2D

2. Abrir ventanas gráficas 3D-Plot.
Para abrir una NUEVA ventana gráfica 3D bastará aplicar la secuencia de menú
Ventana-Nueva Ventana 3D. Podemos abrir tantas ventanas 3D como deseemos, pero
siempre debe existir al menos una ventana de álgebra. Las ventanas 3D que deseemos
abrir se van numerando en la línea superior de la ventana como puede observarse en el
siguiente gráfico


En esta situación si deseamos representar gráficamente por ejemplo la función de dos
variables z=x2-y2 tendríamos que situarnos en una ventana de álgebra aplicando la
secuencia del menú Ventana (seleccionando la ventana de álgebra deseada), o bien
situándonos con el ratón encima de la ventana sobre la que deseamos operar y hacer un
clic.
Ahora estaremos en disposición de introducir con Edición Expresión la expresión
algebraica que define x2-y2

para representar esta función en la ventana 3D Primera, bastará seleccionar la ventana
Graficos 3D:1 haciendo un clic con el ratón encima de ella o bien aplicando el botón de
herramientas

una vez situados en la ventana 3D:1 aplicamos el comando !Representar¡ que aparece en el
menú o el botón de herramientas de esta ventana Representar gráficamente

y obtenemos la siguiente gráfica

Debemos de señalar que si no hubiese ninguna ventana 3D creada inicialmente, a partir de
la ventana de álgebra podemos crear una ventana 2D con sólo aplicar el botón de
herramientas Ventana 2D-Plot

3. Movernos entre ventanas.
Si deseamos movernos entre ventanas basta con situarnos con el ratón sobre una parte
de la ventana que deseamos activar y hacer un clic. Otra posibilidad consiste en aplicar a
través del menú la secuencia Ventana (seleccionar la ventana en la que nos deseamos
situar).

4. Cerrar una ventana.
Para cerrar una ventana tenemos dos alternativas:


- Hacer clic sobre el botón que se encuentra en la ventana en la esquina superior
derecha.
- Activando la ventana que deseamos borrar y aplicar la secuencia de menú Archivo
Cerrar.

5. Minimizar una ventana.
Para minimizar cualquier tipo de ventanas de DERIVE, basta con hacer clic sobre el
botón que se encuentra en la parte superior derecha de la ventana.

6. Disposición de las ventanas: mosaico/cascada.
Cuando tenemos varias ventanas abiertas de forma simultánea, DERIVE nos ofrece la
posibilidad de distribuirlas en la pantalla de varias formas. Aplicando el comando Ventana
se despliega un submenú que contiene las diferentes posibilidades

en cascada, en mosaico horizontal y en mosaico vertical. Para observar el efecto de estos
subcomandos, vamos a desplegar tres ventanas por ejemplo una de álgebra, una de dos
dimensiones y otra gráfica de tres dimensiones:

Si aplicamos el subcomando Ventana-Cascada la ventana anterior quedad de la forma


si ahora aplicamos el subcomando Ventana-Mosaico Horizontal resulta

y por último si aplicamos el subcomando Ventana-Mosaico Vertical se obtiene


como puede observarse son nuevas posiblidades para disponer las ventanas.

Con esto hemos terminado la parte de introducción general al programa DERIVE.

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 30

2. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS.
En este apartado vamos a realizar las operaciones algebraicas básicas que nos
permiten utilizar DERIVE como herramienta de cálculo. Todas estas operaciones las
realizaremos sobre una ventana de álgebra, por lo que los comandos que vamos a
utilizar están asociados a menús o barras de herramientas de una ventana de álgebra.
Nos situamos por tanto sobre una ventana de álgebra.

2.1 SIMPLIFICAR EXPRESIONES.
Para utilizar DERIVE como una calculadora, basta iluminar la expresión que se
desea simplificar y a continuación aplicar el comando del menú Simplificar-Normal.
Si la expresión no ha sido introducida en la ventana de álgebra, existe la
posibilidad de simplificarla directamente desde la ventana de edición. También se
utiliza el botón de herramientas (o bien la secuencia Simplificar-Normal):
Así por ejemplo, si introducimos con la expresión “35*(8984-4357)^3” y
aplicamos el botón se obtiene:

También se podría haber simplificado la expresión incluyendo el signo “=” dentro
de la ventana de edición obteniéndose en ese caso:

Por último debemos señalar que en la ventana de edición tenemos también la
posibilidad de simplificar aplicando el mismo botón de herramientas con “=”,
obsérvense los botones que aparecen en esta ventana de edición:

Con este comando también podemos realizar simplificaciones de operaciones
algebraicas. Por ejemplo, podemos intentar simplificar la expresión
“(x^2-4)/((x-2)(x+3))”. Para ello primero la editamos con y en segundo lugar
aplicamos el comando de simplificar expresión con el botón de herramientas
resultando

podemos observar que el resultado de la simplificación es una expresión que se sitúa
centrada en la ventana de álgebra.

También se puede utiliza este comando para desarrollar las operaciones que
algunas veces quedan indicadas en la ventana de álgebra, operaciones como el cálculo
de derivadas, integrales, ... más adelante veremos con detalle esta aplicación.

Operaciones algebraicas básicas 31

EJERCICIO 13.
Calcular mediante DERIVE los siguientes valores:
a) 500!
b) Ln(45)-4

2.2.TRABAJAR EN MODO APROXIMADO Y MODO EXACTO.

En el apartado b) del ejercicio anterior podemos observar que al simplificar la
expresión “ln(45)-4” obtenemos la misma expresión, ¿por qué? DERIVE siempre
trabaja por defecto en MODO EXACTO, por lo que siempre al simplificar obtenemos
como resultado un número exacto. Es una de las características fundamentales de los
programas de cálculo simbólico: la aritmética exacta. Pero si deseamos calcular
expresiones aproximadas en coma flotante, con un cierto número de decimales
podemos aplicar el comando de aproximación que se aplica usando o bien la secuencia
de menú Simplificar-Aproximar o bien utilizando el botón de herramientas Aproximar
.

Por ejemplo, si aplicamos Simplificar-Aproximar sobre la expresión anterior
aparece la ventana de diálogo:

ventana que nos solicita el número de dígitos de precisión o de aproximación, si
pulsamos obtenemos una expresión que al simplificar nos daría:

Si hubiésemos aplicado el botón habríamos obtenido directamente el
resultado:

Utilizando el botón sobre la expresión inicial obtendríamos directamente el
mismo resultado.

Hemos obtenido en este caso una aproximación con 10 dígitos decimales, que es
la aproximación por defecto que tiene definida DERIVE. Sin embargo podemos
modificarla, indicando el número de dígitos decimales que deseemos. Efectivamente,
si abrimos la ventana de diálogo Modos de Simplificación, con la secuencia de menú
Definir- Preferencias de Simplificación nos aparece la ventana de diálogo


En el campo PRECISION podemos seleccionar el número de dígitos de precisión
para la aproximación. Al efectuar esta operación obligamos a que DERIVE efectúe por
defecto una aproximación con tantos dígitos decimales como los indicados en el menú.

Sin embargo si no deseamos modificar el número de dígitos de aproximación más
que en una operación concreta, resulta más cómodo aplicar el comando Simplificar-
Aproximar indicando en la ventana de diálogo el número de dígitos de precisión que
queremos aplicar en con esta expresión, de tal forma que si EN ESA ventana
indicamos un número de dígitos diferente al determinado, DERIVE efectúa la
aproximación con los dígitos que hemos señalado pero en posteriores aproximaciones
seguirá utilizando la que tenía introducida por defecto.

Por ejemplo, si deseamos aproximar la expresión ln(34) con 25 dígitos de
aproximación, aplicamos Simplificar Aproximar y en la ventana de diálogo
introducimos 25:

si aplicamos Aproximar, obtenemos:

Si ahora deseamos aproximar por 10 dígitos (que son los que tiene DERIVE por

defecto), bastaría aplicar sobre la expresión #18 y se obtiene:

EJERCICIO 14.
Obtener valores aproximados con 14 dígitos de las siguientes expresiones:
a) el número pi b) el número e c) ln(2) d) e5


2.3.EXPANDIR UNA EXPRESIÓN.
Para expandir o desarrollar una expresión utilizaremos la secuencia de menú
Simplificar-Expandir. Al aplicar esta secuencia sobre cierta expresión previamente
iluminada nos aparece la siguiente ventana de diálogo

En esta ventana de diálogo podemos seleccionar las variables respecto de las
cuales deseamos expandir y el tipo de expansión: trivial, sin cuadrados, Racional y
Radicales. Normalmente utilizaremos la expansión trivial, iluminando este campo; y
en el campo Variables iluminaremos con el ratón aquellas variables respecto de las
cuales se desea efectuar la expansión (suelen iluminarse todas). Una vez hecho esto
hacemos clic sobre el botón EXPANDIR.

Por ejemplo si deseamos expandir la expresión "(x+y)4", introducimos primero
esta expresión en la ventana de álgebra con Edición Expresión; aplicamos la secuencia
de menú Simplificar-Expandir y a continuación iluminamos las variables “x” e “y”

luego aplicamos nuevamente el botón resultando


EJERCICIO 15.
Desarrollar o expandir las expresiones
a) (a3-b)8
b) (2x-y/3)6
c) 5 x − 1
4
x −1

2.4. FACTORIZAR UN NÚMERO.

Obtener la descomposición en factores primos de un número entero es sencilla,
basta con introducir el número como expresión y aplicar sobre esta la secuencia de
menú Simplificar-Factorizar , inmediatamente aparece la siguiente ventana de diálogo

para factorizar un número es suficiente con elegir el campo TRIVIAL, y hacer clic
sobre el botón FACTORIZAR. Por ejemplo, si intentamos calcular la descomposición
en factores primos del número “1470512848896” debemos primero editar la expresión
y aplicar Simplificar-Factorizar elegir el campo TRIVIAL y factorizar, resultando

EJERCICIO 16
Calcular el máximo común divisor de los números 259308 y 7200.

2.5.FACTORIZAR UN POLINOMIO.

DERIVE permite realizar distintos tipos de factorizaciones de polinomios: Todos
ellos se obtienen aplicando la secuencia de menú Simplificar-Factorizar como puede
observarse en la ventana de diálogo en el campo FORMA:


Eligiendo en el campo FORMA el tipo de factorización deseada sobre la expresión
polinómica introducida en la línea de edición.

Para entender como operan cada una de estas opciones vamos a introducir un
polinomio sobre el cual iremos observando el resultado obtenido al aplicar cada uno
de los comandos. Introduzcamos por tanto con el polinomio:

x8+2x7-3x6-10x5-8x4+6x3+16x2+8x

a) Si aplicamos la secuencia Simplificar-Factorizar y elegimos en el campo
Forma la opción TRIVIAL, podemos sacar factor común al polinomio si es
que este lo tiene, en nuestro ejemplo obtendríamos

b) Aplicando la secuencia Simplificar-Factorizar, y eligiendo en el campo Forma
la opción LIBRE DE CUADRADOS obtenemos la expresión

c) Mediante la secuencia Simplificar-Factorizar y eligiendo en el campo Forma
la opción RACIONAL, obtenemos la factorización racional del polinomio
dado

d) La secuencia Simplificar-Factorizar y eligiendo en el campo Forma la opción
RADICAL efectúa una factorización real del mismo

e) Y por último con Simplificar-Factorizar COMPLEJO se realiza una
factorización polinómica utilizando raíces complejas


OBSERVACION: Si se intentan factorizar polinomios de varias variables,
deberemos elegir las variables sobre las cuales se desea efectuar la factorización.

EJERCICIO 17.
Calcular las raíces enteras del polinomio 4x3-5x2+8x-5.

2.6.RESOLVER UNA ECUACIÓN.

Para resolver una ecuación en DERIVE, en primer lugar deberemos introducir la
expresión que define la ecuación “expresión1 = expresión 2”, y a continuación aplicar
la secuencia de menú Resolver-Expresión (o bien aplicar el botón de herramientas
Resolver-Algebraicamente ) y aparecerá la siguiente ventana de diálogo:

donde, por defecto, aparecerá marcado el Método Algebraico.

Si la ecuación tiene más de una variable, el programa nos solicita respecto de qué
variable queremos obtener la solución. Por ejemplo, si deseamos resolver la ecuación
x2-x-6=0, bastará que la introduzcamos en la ventana de álgebra, a continuación
aplicamos el botón Resolver Algebraicamente , hacemos clic sobre el icono
Resolver y se obtiene

Hagamos un segundo ejemplo de una ecuación con más de una variable. Si
deseamos resolver la ecuación x2+y2-8x+6y=169 respecto de la variable y; entonces
una vez editada con Edición Expresión la expresión anterior, aplicamos sobre ella
y elegimos la variable de resolución “y”, resultando


EJERCICIO 18.
Resolver las ecuaciones:
a) x2-5x+6=0
b) 5(x-1/x2)=x-1
c) x3-1=0
d) Resolver respecto de la variable x la ecuación x+y2-3xy=9

2.7.RESOLVER UNA INECUACIÓN CON MÁS DE UNA VARIABLE.

Para resolver una inecuación bastará editar la inecuación y aplicar sobre ella el
menú Resolver-Expresión-Algebraicamente o el botón de herramientas . A
continuación elegimos la variable respecto de la cual deseamos resolver y luego
hacemos clic en RESOLVER.
Por ejemplo, si deseamos resolver la inecuación 3x-5y+7>0, primero la editamos
y en segundo lugar aplicamos , luego elegimos la variable respecto de la cual
resolver "x" y resulta

2.8. ASIGNACIÓN DE VALORES A VARIABLES, DEFINICIÓN DE
FUNCIONES Y SUSTITUCIÓN DE VARIABLES.

Es frecuente efectuar asignaciones de valores a variables. Este procedimiento se
ejecuta editando en DERIVE una expresión de la forma
“variable := valor”
Por ejemplo si deseamos asignar a la variable a, el valor 3, editamos la expresión

En adelante, cualquier expresión que contenga la variable a, siempre evaluara la
expresión tomando la variable a el valor asignado, en este caso 3. Así por ejemplo si
editamos la expresión “3ax+5” y la simplificamos, se obtiene

De igual forma que definimos variables, podemos DEFINIR FUNCIONES. Para
ello, seguiremos la siguiente sintaxis:
“nombre_función(var1,var2,...,varn) := expresión funcional”
Por ejemplo si deseamos definir la función mifuncion(x)=ln(x2+2x-3), bastará que
editemos la expresión

Como puede observarse la función aparece escrita en mayúsculas. Esta es una
característica de DERIVE: todas las funciones definidas aparecen en mayúsculas en la


ventana de álgebra (aunque en la línea de edición se hayan escrito en minúsculas). Esta
definición es útil, ya que si deseamos evaluar esta función en x=5, bastará editar la
expresión “mifuncion(5)” y aplicar el comando Simplificar-Normal resulta

Si en una expresión dada deseamos sustituir el valor de una o varias variables sin
necesidad de asignar un valor a dichas variables, podemos utilizar el comando
Simplificar-SustituirVariables. Por ejemplo, si tenemos editada la expresión

y deseamos sustituir la variable “x” por el valor “5” y la variable “y” por el valor “30”
aplicaremos el comando Simplificar-SustituirVariables y aparece la ventana de
diálogo

en la que deberemos indicar para cada variable el valor de sustitución, marcando
primero la variable y luego tecleando el valor en el campo Sustitución:

al aplicar el botón se obtiene

si en vez de aplicar el botón hubiésemos aplicado el botón se
obtiene la simplificación de la expresión anterior, es decir


El botón de herramientas es equivalente a la secuencia Simplificar-
SustituirVariable.

EJERCICIO 19.
a) Definir la variable “b” con el valor “34”.
c) Evaluar la expresión b+5.
d) Definir una función con el nombre mia(x,y)= x2-3xy y evaluarla en x=2,y=4.
x − y2 + 2z
e) Editar la expresión y sustituir en ella la variable x por el valor
z + 2( x + y )
58 y la variable y por el valor 89, y obtener la expresión simplificada.

2.9. FUNCIONES PREDEFINIDAS EN DERIVE.
DERIVE tiene una colección de funciones predefinidas, es decir, funciones que no
necesitan de un fichero de utilidades para ser cargadas en memoria. Estas
funciones se encuentran por tanto, siempre disponibles. A continuación
mostramos algunas de estas funciones:
• Función raíz cuadrada: SQRT(x)
• Función valor absoluto: ABS(x)
• Función parte entera de x: FLOOR(x)
• Función resto de la división entera del número h entre m:
MOD(h,m)
• Función exponencial: EXP(x)
• Función logaritmo neperiano: LN(x)
• Función seno: SIN(x)
• Función coseno COS(x)
• Función máximo común divisor de los números a y b
GCD(a,b)
• Mínimo común múltiplo de los números a y b: LCM(a,b)
• Menor número primo mayor que el natural x:
NEXT_PRIME(x)
• Máximo común divisor de los polinomios a y b:
POLY_GCD(a,b)
• Factorial de n: n!
• Función media aritmética de argumentos dados:
AVERAGE(x1,x2,...,xn)
• Función varianza de los argumentos dados:
VAR(x1,x2,...,xn)
• Número de subconjuntos de p elementos de un conjunto m
(combinaciones) COMB(m,p)
• Módulo del complejo z: ABS(z)
• Argumento del número complejo z: PHASE(z)
• Parte real del complejo z: RE(z)
• Parte imaginaria del complejo z: IM(z)


• ....
La lista de funciones predefinidas se puede consultar en la
AYUDA de DERIVE.

2.10. LA AYUDA DE DERIVE.
Utilizando el menú Ayuda podemos obtener información de todos los comandos y
funciones definidas en DERIVE. En concreto podemos obtener varios tipos de ayuda.
Tenemos una ayuda en función de CONTENIDOS, de tal forma que al aplicar esta
opción se despliega una nueva ventana independiente del programa que tiene
agrupados por temas las ayudas que presta este programa:

El programa de ayuda tiene estructura de fichero hipertexto de tal forma que basta
ir pinchando las palabras subrayadas para acceder a la información que contiene el
programa de ayuda sobre ellas.

También tenemos la posibilidad de utilizar un índice de temas de ayuda. Este
índice se desplica aplicando Ayuda-Indice desplegándose la ventana de diálogo:


EJERCICIO 20.
Consultar en la AYUDA DE DERIVE las funciones predefinidas de DERIVE.
Para calcular la tangente de 35.


3. COMANDOS BÁSICOS PARA EL
CÁLCULO DIFERENCIAL.

En esta sección vamos a mostrar una breve relación de las RUTINAS BASICAS
del cálculo contenidas en el programa DERIVE-5.

3.1.CÁLCULO DE DERIVADAS Y DERIVADAS PARCIALES.

Si tenemos seleccionada en la ventana de álgebra una expresión algebraica, por
ejemplo

y deseamos calcular su derivada podemos utilizar dos alternativas:
- usar la secuencia de menú Cálculo-Derivadas
a continuación aparecerá la ventana de diálogo:

en esta ventana de diálogo tenemos varios elementos, por un lado la VARIABLE DE
DERIVACIÓN (que deberemos elegir si se trata de una expresión de varias variables),
y el ORDEN de la derivada que deseamos calcular. Una vez seleccionados estos
elementos podemos optar por hacer clic sobre el botón

en cuyo caso aparecerá en la ventana de álgebra una expresión que indica la operación
de derivación a realizar:

en este caso, si se desea obtener posteriormente la derivada habría que simplificar la
expresión obtenida.
Si por el contrario hacemos uso del botón

obtendremos el valor de la derivada directamente. Obsérvese la diferencia en el uso de
ambos botones.

Comandos básicos para el cálculo diferencial 43

Por ejemplo si deseamos calcular la derivada de orden tres de y=ln(cos x)), en
primer lugar introducimos la expresión “ln(cos x)” en la ventana de álgebra y a
continuación aplicamos la secuencia de menú Cálculo-Derivar, seleccionamos la
variable respecto de la cual queremos derivar (en este caso x) elegimos también el
orden 3 y hacemos clic sobre el botón SI obteniendo

Simplificando esta expresión con Simplificar-Normal obtenemos

Si lo que deseamos es calcular derivadas parciales, tendremos que aplicar
Calculo-Derivar respecto de la variable que deseemos derivar así como su orden.

Por ejemplo si deseamos calcular
∂2
∂x∂y
(
4 xy 2 − 3 x sen y )
Primero introducimos la expresión “4xy2-3 x sin(y)” con , luego aplicamos
respecto de la variable y con orden 1 y se obtiene la expresión

A continuación aplicamos sobre esta última expresión nuevamente respecto de la
variable x con orden 1 y resulta

Que al simplificar con Simplificar-Normal nos da las derivada parcial deseada:

EJERCICIO 21.
∂2
Calcular (cos(ln(x + 3))
∂x 2

3.2. CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.

Dada una expresión algebraica introducida previamente en la ventana de álgebra,
por ejemplo:

si deseamos calcular una primitiva de dicha expresión algebraica podemos utilizar una
de las dos alternativas siguientes:
- aplicar la secuencia de menú Cálculo-Integrales
- o bien aplicar el botón de herramientas


apareciendo en ambos casos la siguiente ventana de diálogo:

En esta ventana de diálogo debemos elegir la variable de integración, el tipo de
integral (indefinida en este caso) y la constante de integración (si dejamos el 0 no
introduce ninguna constante; para que DERIVE sume una constante de integración
debemos indicarle el nombre de dicha constante, que puede ser por ejemplo c). Una
vez introducidos los datos correspondientes a los tres campos anteriores tenemos dos
botones para aplicar la integración deseada,
- el botón que dejará la integral indefinida indicada como una
nueva expresión en la ventana de álgebra

obsérvese que si deseamos obtener a continuación el resultado de esta integral
deberemos simplificarla.
- el botón nos da el resultado de la integral indefinida.

Por ejemplo, si deseamos calcular ∫ tan( x)dx , primero introducimos la expresión
“csc(x)” (nombre con el cual se representa con DERIVE la función cosecante),
aplicamos respecto de la variable x, marcamos el campo “Indefinida” y en el
campo “Constante” introducimos la letra c ; si deseamos dejar indicada la operaciones
hacemos clic en , obtenemos

Simplificando ahora esta expresión con Simplificar-Normal resulta

que es una de las primitivas.
Si después de haber aplicado hacemos clic sobre obtenemos
directamente el resultado de la integral, es decir

Obsérvese que DERIVE únicamente calcula una de las primitivas, la constante general
de integración deberíamos añadírsela para dar una respuesta correcta al problema.

EJERCICIO 22. Calcular las siguientes integrales indefinidas
x 2 + 3x + 2
a) ∫ dx
3x − 5


Solución:

∫x e
6 x
b) dx
Solución:

3.3. CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.
Para calcular integrales definidas primero editamos el integrando y luego
activamos la ventana de diálogo de la integración bien a través de la secuencia de
menú Cálculo-Integrales o bien con el botón de herramientas . Una vez activada
dicha ventana de diálogo

seleccionamos en el campo Integral la opción DEFINIDA con un simple clic, a
continuación aparecerá abierto el campo Integral Definida en el cual podemos incluir
los límites superior e inferior. Luego hacemos clic sobre el botón SI en el caso de que
deseemos dejar indicada la operación para posteriormente simplificarla. Cuando
deseemos obtener el resultado haremos clic sobre el botón SIMPLIFICAR.

3

∫ (x
3
Por ejemplo, si deseamos calcular − 3x 2 + 4 x − 2)dx primero
0
introducimos la expresión “x^3-3x^2+4x-2”, aplicamos el comando Cálculo-
Integrales, respecto de la variable “x”, seleccionamos el campo de Integral Definida,
introducimos los valores 0 y 3 en los campos correspondientes a límite inferior y
superior y finalmente hacemos clic sobre el botón SI y obtenemos la expresión

si aplicamos ahora Simplificar-Normal obtenemos:


2 sen( x)
Existen integrales “no elementales” como por ejemplo ∫ 1 x
dx que al
intentarlas resolver con derive nos dan la misma expresión:

Esto se debe a que la integral indefinida de esta función es no elemental, es decir no
es expresable a partir de funciones elementales. En estos casos es aconsejable realizar
una aproximación usando Simplificar-Aproximar en cuyo caso resulta

π
EJERCICIO 23. Calcular ∫0
e x sen( x)dx . (Observación: el número π se
introduce tecleando “pi”).
Solución:

3.4. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS.

DERIVE permite calcular integrales impropias tratándolas “como si fuesen
integrales definidas”. Para ello basta con activar (del mismo modo que con en las
integrales definidas) la ventana de diálogo por medio de la secuencia de menú
Calculo-Integrales o bien mediante el botón de herramientas . Así por ejemplo, si
deseamos calcular la integral
1
dx
∫
0 x (x + 1)

como se trata de integrar una función no acotada en un recinto acotado, cuyo único
punto de no acotación es x=0. Para resolverla bastará introducir la función

plantear la integral como si fuese una integral definida en DERIVE

y al simplificarla resulta:

De igual forma si tenemos que calcular una integral de una función acotada en un
recinto no acotado como
∞
dx
∫ x 2 + 4 dx
0


Esto se consigue editando

plantearla como si fuese una integral definida, teniendo en cuenta que el símbolo de
infinito en DERIVE se escribe “inf” (o bien se selecciona de la barra de caracteres
adjunta a la ventana de diálogo de la integración el símbolo ∞)

y tras simplificar resulta

En los dos casos anteriores hemos obtenido la convergencia de ambas integrales.
Pero DERIVE también nos da información acerca de la NO CONVERGENCIA. Por
ejemplo si intentamos calcular
1
dx
∫ x4 −1
0
utilizando el procedimiento anterior obtendremos las siguientes expresiones en
DERIVE

Obsérvese que en la última expresión aparece -∞ , por tanto la integral no
converge.

Pero deberemos tener cuidado a la hora de estudiar integrales impropias en las
que, la función sea no acotada en un intervalo no acotado, así como en aquellas
integrales de funciones no acotadas que contienen, los puntos de no acotación en el
interior del intervalo de integración. En estos casos DERIVE no calcula la integral
impropia sino que calcula lo que se suele denominar el VALOR PRINCIPAL DE
CAUCHY. Podemos comprobarlo con el cálculo de
2
1
∫1 x 3 dx
−


Si efectuamos el cálculo de esta integral en DERIVE “como si fuera una integral
definida”, en este caso DERIVE nos indica que la integral es convergente, sin embargo
es sabido que esta integral impropia no converge. El problema reside en que el punto
de no acotación x=0 está en el interior y por tanto DERIVE calcula otra cosa distinta a
la integral, obteniendo como valor de convergencia

Sin embargo si calculamos por separado en DERIVE las integrales
0 2
1 1
∫1 x 3 dx y ∫ x 3 dx
− 0
se obtienen las expresiones

por lo que es divergente.

EJERCICIO 24.
Determinar la convergencia o no convergencia de las siguientes integrales
impropias
1 1
x−2 x−2
(a) ∫ 2 dx (b) ∫ dx
0 x −1 x

3.5. CÁLCULO DE LÍMITES.
El cálculo de límites se puede efectuar aplicando sobre cierta expresión algebraica
dos opciones:
- la secuencia de menú Cálculo-Límites
- o bien la barra de herramientas


en este momento aparecerá desplegada la ventana de diálogo correspondientes al
cálculo de límites:

En esta ventana podemos observar varios campos:
- El campo VARIABLE en el que debemos indicar la variable del límite
- El campo PUNTO en el que indicaremos el punto en el que deseamos calcular
el límite
- Y finalmente el campo TENDIENDO POR; en el que indicaremos si se trata
de un límite o bien un límite por la izquierda o por la derecha.
-
Una vez introducidos estos datos podemos hacer clic en SI para que aparezca en la
ventana de álgebra la expresión que estamos calculando y que después podremos
simplificar o bien hacer clic en SIMPLIFICAR si deseamos obtener directamente el
valor.

Por ejemplo, para calcular
sen( x)
lim
x →0 x
En primer lugar introducimos la expresión “sin(x)/x”, a continuación aplicamos
Calculo-Límite sobre esta expresión, y rellenamos la ventana de diálogo indicando
- en el campo VARIABLE: x
- en el campo PUNTO: 0
- y en el campo TENDIENDO POR: ambas
y obtenemos después de simplificar:

Se pueden calcular límites en el infinito si introducimos en el campo PUNTO:
+∞ ó -∞. Por ejemplo para calcular el límite
x 3 − 3x
lim
x →∞ 2 x + 1

tras introducir la expresión “(x^3-3x)/(2x+1)” en DERIVE, obtendremos tras sucesivas
aplicaciones de los comandos ya explicados las expresiones


EJERCICIO 25.
Calcular los siguientes límites funcionales:
x − 2x x − 2x
(a) lim− (b) lim+
x→ 2 x−2 x→ 2 x−2
x − 2x
Según los resultados obtenidos ¿existe lim ?
x→2 x−2

3.6. CÁLCULO DE SUMATORIOS.

La expresión
b

∑ p(i)
i=a
siendo a,b números enteros y b>a, denota un sumatorio de la expresión p(i) variando
desde i=1 hasta i=b, es dedir
p(a)+p(a+1)+p(a+2)+...+p(b)
DERIVE permite obtener el resultado de este tipo de operaciones desplegando
una ventana de diálogo especial para este tipo de operaciones. Una vez introducida la
expresión base del sumatorio podemos aplicar:
- o bien la secuencia de menú Calculo-Suma y Series
y aparecerá la ventana de diálogo correspondiente a esta operación. En esta ventana de
diálogo aparecen varios campos como se observa en la siguiente figura:

Los campos de esta ventana de diálogo son:
- Campo VARIABLE; en el que se indica la variable del sumatorio
- Campo SUMA, en el que se debe señalar si se trata de una suma definida o
una suma indefinida.
- Campos LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR; indicando los límites superiores
e inferiores de la variable.

Por ejemplo si deseamos calcular cuanto vale la suma de los cuadrados de los
10 primeros números naturales, es decir
10

∑i
i =1
2


En primer lugar editamos la expresión “i^2”, aplicamos sobre esta expresión el
comando Calculo-Sumas, elegimos como variable “i”, elegimos suma “Definida” y
seleccionamos como límites inferior “1” y como límite superior “10” (enter) (para
pasar de un campo a otro recuérdese que se utiliza la tabla de tabulación ) y obtenemos
la expresión

que al simplificar resulta

También podríamos haber obtenido la fórmula general de la suma de los
cuadrados de los n-primeros números naturales, efectuando

EJERCICIO 26.
Calcular la suma de los cubos de los n-primeros números naturales.
¿Cuánto valdrá la suma de los cubos de los 100-primeros números naturales?
Solunción:

3.7. CÁLCULO DE PRODUCTORIOS.

Se denota por
b

∏ p(i)
i=a
si a,b son números enteros y b>a, al resultado de efectuar el producto
p (a ) ⋅ p (a + 1) ⋅ p(a + 2) ⋅ ... ⋅ p(b)

Para efectuar este cálculo con DERIVE debemos desplegar la ventana de diálogo
correspondiente al cálculo de productos. Esta ventana se obtiene por dos métodos:


- aplicando la secuencia de comandos Calculo-Productos,
- o bien aplicando el botón de herramientas

Una vez desplegada la ventana de diálogo

debemos rellenar los campos que aparecen:
- Campo VARIABLE, en el que debemos señalar cual es la variable de la
expresión de productos (por defecto DERIVE suele considerar una de las
variables de la expresión base del productorio)
- Campo PRODUCTO; donde debemos señalar si se trata de un producto
definido o indefinido
- En el caso de ser un producto definido, aparecen abiertos los campos
LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR; en el que introduciremos los límites
superior e inferior del productorio.

Por ejemplo si deseamos calcular
20

∏ (i
i =1
2
− 2i + 1)

En primer lugar editamos la expresión “i^2-2i+1”, aplicamos sobre la misma el
comando Calculo-Productos, elegimos la variable “i” (enter), señalamos que se trata
de un producto definido e indicamos en los campos límite superior e inferior los
valores 1 y 20 respectivamente (enter). Al simplificar se obtendrá el valor del
productorio anterior:

¿por qué se obtiene 0? Obsérvese que el primer factor para i=1, sale 0, por tanto el
producto total ha de ser nulo.

EJERCICIO 27.
Calcular el producto de los cuadrados de los n-primeros enteros positivos.
¿Cuánto vale el producto de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos?
Solución:


3.8. CÁLCULO DE DESARROLLOS DE TAYLOR.

Para calcular el desarrollo de Taylor de cierta función, debemos como es habitual
en todas las opciones de CALCULO desplegar la ventana de diálogo correspondiente a
este comando, con la secuencia Calculo-Polinomios de Taylor apareciendo la ventana
de diálogo:

que contiene los siguientes campos:
- Campo VARIABLE, variable respecto de la cual se realiza el desarrollo de
Taylor
- Campo PUNTO; en el que se indica el punto donde se desarrolla la Serie de
Taylor
- Campo GRADO; es el orden del polinomio de Taylor que deseamos

Por ejemplo, si deseamos calcular el polinomio de Taylor de la función ex en un
entorno del punto x=0, procederemos de la siguiente forma: en primer lugar
introducimos la expresión “ê^x”, aplicamos Calculo-Polinomios de Taylor, indicamos
la variable "x" (aunque DERIVE la toma por defecto), en el punto "0" y el orden "6"
y obtenemos

que tras simplificar resulta el polinomio

EJERCICIO 28.
Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función f(x)=x4-3x+2 en un
entorno del punto x=0.

Con las secuencias de comandos estudiadas tenemos las herramientas
fundamentales para el CALCULO DIFERENCIAL. Las secciones que siguen son
aplicaciones que requieren únicamente un conocimiento CONCEPTUAL de los
elementos que vamos a ir estudiando.


4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA
VARIABLE
En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una
variable. En la parte final hay ejercicios propuestos.

4.1. PROPIEDADES GENERALES Y GRÁFICAS DE FUNCIONES DE UNA
VARIABLE.

EJEMPLO 4.1.
x2
Dada la función f ( x) = 2 se pide:
x −4
(a) Representar la función gráficamente.
(b) Estudiar el comportamiento de la función: dominio, rango, asíntotas, intervalos de
crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión.

Solución:
(a) Para representar la función, se introduce la expresión “x^2/(x^2-4)”

y a continuación aplicamos Ventana-Nueva ventana 2D. En la nueva ventana se aplica
y se obtiene

(b) En este caso, de la gráfica de la función se puede deducir directamente información
que utilizaremos en el análisis de este apartado y que se obtendrá de forma alternativa con
el estudio analítico correspondiente.

Análisis de funciones de una variable 55

• DOMINIO.
Para estudiar el dominio se buscan los valores de x para los cuales f(x) es un número
real, o, si se utiliza la representación anterior, los valores de x para los cuales “hay
gráfica”. Obsérvese que en nuestro ejemplo, para x=2 y x=-2, no existe la función, ya que
estos son justamente los valores que anulan el denominador.

• RANGO.
Gráficamente el rango de la función es el conjunto de números del eje OY en los que
“existe la gráfica”. Como puede verse, en este caso el rango de la función es todo el
conjunto de números reales menos el intervalo (0,2] es decir en R(0,2].

• ASÍNTOTAS.
Asíntotas verticales. La función, como se ve gráficamente, tiene dos asíntotas
verticales, las rectas x=2 y x=-2. Analíticamente, para determinar las asíntotas verticales
x2 x2
estudiamos los siguientes límites lim+ 2 y lim− 2 . Para calcular el primer límite,
x → −2 x − 4 x → −2 x − 4

se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se elige el botón de herramientas y en la ventana
de diálogo correspondiente al cálculo de límites se introducen la variable “x”, el punto -2 y
en el campo “Aproximación desde” se elige la opción “derecha”. Finalmente se hace clic
en y obtenemos

que tras simplificar con se obtiene

Es decir cuando x se aproxima a –2 por la derecha la rama de la gráfica se va -∞.
Para calcular el segundo límite se repite el proceso anterior, pero en el campo
“Aproximación desde” se elige la opción “izquierda” y obtenemos las expresiones

se observa que cuando los valores de x se aproximan a –2 por la izquierda la rama de la
gráfica se va a infinito.

Asíntotas horizontales. Gráficamente se ve que la recta y=1 es la única asíntota
horizontal de la función. Obsérvese que analíticamente los siguientes límites nos informan
de la existencia de dicha asíntota.


• INTERVALOS DE CRECIMIENTO /DECRECIMIENTO.
En la gráfica se observa que en (-∞,-2)∪(-2,0) la función es creciente, y en (0,2)∪(2,∞)
la función es decreciente.
El estudio analítico de los intervalos de crecimiento y decrecimiento utiliza la función
derivada. Por tanto, se calcula en primer lugar la derivada (derivada de primer orden) de
la función. Para ello se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se aplica y la ventana de
diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos “variable” y “orden” tengan
asignados los valores “x” y “1” respectivamente y a continuación se elige la opción
y se obtiene

Como la función es creciente en aquellos valores en los que la derivada es positiva,
8x
debemos resolver la inecuación − 2 > 0 . Para ello se introduce la expresión
( x − 4) 2

“-8x/(x^2-4)^2>0” mediante

se aplica y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “Método” y
“Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y “Complejo” y finalmente se elige
la opción obteniéndose el resultado:

Por tanto, los intervalos de crecimiento son (-∞,-2)∪(-2,0).

Para determinar los intervalos de decrecimiento se estudian los valores en los que la
derivada es negativa. El procedimiento es análogo al anterior: hay que resolver la
8x
inecuación − 2 < 0.
( x − 4) 2

Los intervalos de decrecimiento son en efecto (0,2)∪(2,∞).


• EXTREMOS RELATIVOS.
De la gráfica se concluye que en x=0 la función alcanza un máximo local.
Para determinar analíticamente los puntos críticos de la función se calculan los puntos que
8x
anulan la derivada. Por tanto, hay que resolver la ecuación − 2 = 0 , lo cuál se
( x − 4) 2
consigue de la forma siguiente:
1. Con se edita la expresión

2. Se elige el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se comprueba que los
campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y
“Complejo” y finalmente se elige la opción . El resultado es:

3. El punto crítico es x=0. En este caso es un máximo local pues separa un intervalo de
crecimiento (a su izquierda) de un intervalo de decrecimiento (a su derecha).

• INTERVALOS DE CONCAVIDAD/CONVEXIDAD.
Si observamos la gráfica de la función podemos concluir que la función es convexa en
el conjunto (-∞,-2)∪(2,∞) y cóncava en el intervalo (-2,2).
El estudio analítico de la convexidad de una función utiliza la segunda derivada de la
función, la cual se obtiene de la siguiente forma:
Utilizando la expresión que ya teníamos editada anteriormente

Se aplica el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se comprueba que
los campos “variable” y “orden” tengan asignados los valores “x” y “2”
respectivamente y finalmente se elige la opción y se obtiene:

A continuación se determina el conjunto de los números reales para los que la
segunda derivada es positiva resolviendo la inecuación


El resultado es

Y así se obtiene que los intervalos de convexidad son (−∞,−2) ∪ (2, ∞)

Análogamente la función es cóncava en aquellos puntos que hacen negativa la
segunda derivada para lo que hay que resolver la inecuación

El resultado es

Y se obtiene que el intervalo de concavidad de la función es: (-2,2)

• PUNTOS DE INFLEXION.
Los puntos de inflexión se encuentran entre aquellos puntos que igualan a cero la
derivada segunda. En el ejemplo que nos ocupa, bastará resolver la ecuación

Para ello se elige el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se comprueba
que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y
“Complejo” y finalmente se elige la opción . El resultado es:

Por consiguiente no existen valores reales que anulen la derivada segunda, y en
consecuencia, (tal como se observa en la gráfica) no hay puntos de inflexión.
Obsérvese que x=-2 y x=2 separan intervalos de concavidad y convexidad, pero no
son puntos de inflexión por que son puntos que no están en el dominio de la función.

4.2. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES.

EJEMPLO 4.2.
Dada la función g(x)=ln(1+2x) se pide:
(a) Calcular los polinomios de Taylor de orden 1,2,3 y 4 de la función g(x) en un entorno
de x=0.
(b) Representar gráficamente en el mismo dibujo la función y todos los polinomios
calculados en el apartado (a).

Solución:
(a) El cálculo del polinomio de Taylor de orden 1 en un entorno de x=0 se obtiene así: se
introduce la expresión “ln(1+2x)”, se aplica el comando Cálculo y luego la opción
“Polinomios de Taylor” y en la ventana de diálogo que aparece se examina que los


campos “variable”, “punto” y “grado” tengan asignados los valores “x”, ”0” y “1”
respectivamente y finalmente se elige la opción y aparece la expresión

que al simplificarla con obtenemos

Para calcular los demás polinomios se procede como en el caso anterior: edición de la
expresión “ln(1+2x)”, aplicar la secuencia Cálculo-Polinomios de Taylor asignando en
cada caso, a diferencia del anterior, al campo “orden” los números “ 2,3 y 4”. Luego
aplicando se obtienen sucesivamente las siguientes funciones:

(c) Para dibujar la función y sus cuatro polinomios en el mismo gráfico se procede
de las siguiente forma: se edita la expresión “ln(1+2x)”, se elige el botón . En la nueva
ventana se selecciona el botón . En la ventana 2D aparece entonces el dibujo de la
gráfica de la función. A continuación se repite el siguiente proceso: seleccionamos la
ventana de álgebra donde tenemos editados los diferentes polinomios de Taylor,
seleccionamos cada uno de ellos y los representamos en la ventana 2D anterior con .
Finalmente obtenemos


donde podemos observar como el grado de aproximación en un entorno de x=0 va
aumentando a medida que aumenta el orden del polinomio, lo cual se observa mejor si nos
aproximamos con

4.3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.
Si deseamos definir en DERIVE funciones definidas a TROZOS, debemos utilizar
comandos de programación, en concreto la sentencia IF(Condicion,I1,I2), cuyo significado
consiste en estudiar la Condición, de tal forma que si es cierta se aplica I1 y si es falsa se
aplica I2. Veámoslo con un ejemplo.

EJEMPLO 4.3.
Definir la función
 x2 +1 x < 0
f ( x) =  2
− x + 4 x ≥ 0
y estudiar su derivabilidad y continuidad.

Solución:
Para definir en DERIVE esta función se introduce la expresión:
f(x):=if(x<0,x^2+1,-x^2+4)
Veamos el aspecto de su gráfica seleccionando la ventana 2D y aplicando


Obsérvese que no es continua en x=0 (la curva de la función se “rompe” o da un salto), y
en consecuencia no es derivable en x=0. A continuación estudiamos de forma analítica el
problema de continuidad. Para estudiar la continuidad de f es necesario calcular el
límite lim f ( x) , para lo cual aplicamos y en la nueva ventana comprobamos que los
x→ 0
campos “variable”, ”punto” y “Aproximación desde” tengan asignados los valores
“x”,”0” y “ambas”. Finalmente hacemos clic en y nuevamente obtenemos

lo cual significa que el límite no existe y, por tanto, la función no es continua en el punto
x=0.

4.4. REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES CONSTRUIDAS
POR TRANSFORMACION DE FUNCIONES.

EJEMPLO 4.4.
Dada la función f(x)=x3-x+1 se pide representar gráficamente las funciones:
(a) f(x), f(x)+3 , f(x)-3
(b) f(x), f(x+3), f(x-3)
(c) f(x), 3f(x), f(x)/3
(d) f(x), f(3x), f(x/3)
(e) f(x), f(-x),-f(x)

Solución:
En primer lugar se introduce la expresión “f(x):=x^3-x+1”.
(a) La representación gráfica de f(x) se hace seleccionando la ventana 2D y
aplicando y se obtiene

Luego se editan las expresiones “f(x)+3” y “f(x)-3” en la ventana de edición de la
ventana 2D, se aplica y obtenemos


Se observa que la curva de la función “f(x)+3” se obtiene trasladando la curva de la
función f(x) tres unidades hacia arriba.

(b) Borremos ahora todas las gráficas de la ventana 2D aplicando el botón tres veces.
Para representar las tres funciones pedidas se editan sucesivamente las expresiones
“f(x)” “f(x+3)” y “f(x-3)” en la ventana de edición de la ventana 2D y a continuación
elegimos la opción obteniendo

Se observa que la curva de la función “f(x+3)” se obtiene trasladando la curva de la
función f(x) tres unidades hacia la izquierda, respectivamente “f(x-3)” se obtiene
trasladando la gráfica de f(x) tres unidades a la derecha.


(c) Nuevamente borramos primero todas las gráficas de la ventana 2D. Luego editamos
las expresiones “f(x)”, “3*f(x)” y “f(x)/3” en la ventana de edición de la ventana 2D y
aplicando se obtiene

(d) Se borran todas las gráficas de la ventana 2D como en los casos anteriores, se
editan las expresiones “f(x)”, “f(3x)” y “f(x/3)” y se representan las tres funciones
utilizamos el mismo procedimiento que antes y se obtiene


(e) Borramos todas las gráficas y editamos las expresiones “f(x)”, “f(-x)” y “-f(x)”. A
continuación podemos dibujar f(x), f(-x) y –f(x) y se obtiene

EJERCICIO 29.
Dada la función f(x)=x4+x3-x
(a) Dibujar su gráfica.
(b) Deducir ¿cuál será la función g(x) que tiene la siguiente gráfica?

EJERCICIO 30.
Dada la función

 1 −1 < x

f ( x) =  x 2 −1 ≤ x < 1
x + 2 1≤ x
 3

Se pide:
(a) Definir la función en DERIVE (utilizando dos if encadenados)
(b) Obtener su gráfica.
(c) ¿es continua en su dominio? ¿es derivable en todo su dominio?


(d) Dibujar la recta tangente a la función en el punto x=0.

EJERCICIO 31.
Una empresa posee las siguientes funciones de ingreso y coste
x2
I ( x) = 20 x −
4
2
C ( x) = x + 10 x − 1800
Siendo x el número de unidades. Se pide:
(a) Representar I(x) y C(x).
(b) Representar la función beneficio y determinar analíticamente el número de
unidades que maximizan el beneficio.

EJERCICIO 32.
Si la gráfica de la derivada f’(x) de una cierta función f(x) viene dada por

Intentar obtener una aproximación gráficamente de la función f(x).

Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5 66

5. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES.
En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculos
analíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitaciones
relacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas.

5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

EJEMPLO 5.1.
Dibujar la gráfica de la función
 x2 + y2 
cos
 4  
f ( x, y ) =  .
2 2
3+ x + y
Solución

Editamos la función

y marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o y una vez abierta la ventana 3D
marcamos nuevamente y obtenemos

Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es
[-1/3,1/3]. Modificamos, por tanto, la escala en la variable z, para obtener una mejor visión de

la gráfica. Marcamos y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,
obteniendo

Análisis de funciones de varias variables 67

Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opción
Posición de ojo o equivalentemente y cambiamos las Coordenadas del ojo. Por ejemplo,
si: x=10, y=10, z=24, obtenemos

Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos

Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente de
la misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando las
coordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos


Si lo que queremos es ampliar o disminuir la visión que tenemos de la gráfica
marcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente,

pinchamos el botón de herramientas que nos interese. Por ejemplo, considerando:
x=25, y=25 y z=0.5, obtenemos

EJEMPLO 5.2.

Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide:
(a) dibujar su gráfica
(b) construir sus curvas de nivel.

Análisis de funciones de varias variables 69

Solución

(a) Para dibujar la gráfica editamos la expresión

Como en el ejemplo anterior marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o
y una vez abierta la ventana 3D marcamos nuevamente y obtenemos

(b) Las curvas de nivel de esta función son de la forma f(x,y)=k. Un camino para
representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cada uno de ellos representar la
ecuación f(x,y)=k. Utilizando la función VECTOR podemos agrupar en una misma expresión
las curvas de nivel que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando
y simplificando la expresión

obtenemos

Si abrimos ahora una Ventana 2D y mandamos representar con el icono
obtenemos las gráficas de esas 5 curvas de nivel:


EJEMPLO 5.3.
y2
Dibujar la gráfica y las curvas de nivel de la función f(x,y)= − 3x .
5
Solución

Editamos la expresión

abrimos una Ventana 3D, marcamos . La gráfica que obtenemos es

Si deseamos dibujar las curvas de nivel de la función, debemos representar las ecuaciones
f(x,y)=k, por ejemplo para k desde –5 a 5, editando

que al simplificar y representar nos da las curvas de nivel

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