1. ‫שאלון 708 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג‬
‫א. )1(. ידוע שהפונקציה )‪ f (x‬עולה כאשר הנגזרת, )‪ ,f (x‬חיובית והפונקציה יורדת כאשר‬
‫הנגזרת שלילית. נבדוק מתי הנגזרת שלילית ומתי חיובית ע"י אי השיוויון הבא:‬
‫√‬
‫2−‪2 3 x‬‬
‫√‬
‫3‬
‫‪x‬‬
‫}0 = ‪> 0 {x‬‬
‫√‬ ‫√‬
‫3‬
‫0 > )2 − ‪x(2 3 x‬‬
‫√‬
‫3‬ ‫√‬
‫0 > ‪2 x2 − 2 3 x‬‬
‫√‬
‫3‬ ‫√‬
‫> 2‪x‬‬ ‫3‬
‫‪x‬‬
‫0 > ‪x2 − x‬‬
‫קל לראות ש 0 < ‪ x‬או 1 > ‪ .x‬כדי למצוא מתי הנגזרת שלילית נפתור את הא"ש‬
‫0 < ‪ x2 − x‬ונקבל 1 < ‪.0 < x‬‬
‫הפונקציה עולה כאשר 1 > ‪ x‬או 0 < ‪ x‬ויורדת כאשר 1 < ‪.0 < x‬‬
‫)2(. את תחומי הקעירות נמצא ע"י נגזרת שנייה.‬
‫2‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫2‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫2‬
‫· 3 −‪2· 3 ·x‬‬
‫1‬ ‫3‬
‫3 −‪x−(2 3 x−2)· 3 x‬‬
‫1‬ ‫2‬
‫‪3 (x‬‬
‫3‬ ‫) 3 −‪−x− 3 +x‬‬ ‫2‬
‫= )‪f (x‬‬ ‫√‬
‫2)‪( 3 x‬‬
‫=‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫4‬
‫3‪x‬‬ ‫3 ‪3x‬‬
‫כאשר הנגזרת השנייה ב 1‪ x = x‬חיובית הפונקציה, )‪ ,f (x‬קעורה מעלה וכאשר היא‬
‫שלילית הפונקציה קעורה מטה. ניתן לראות שהנגזרת השנייה אינה מוגדרת כאשר 0 = ‪x‬‬
‫אך תמיד חיובית, 0 > )‪ ,f (x‬ולכן הפונקציה קעורה מעלה כאשר 0 > ‪ x‬או 0 < ‪ x‬ואינה‬
‫קעורה מטה.‬
‫ב. נמצא את הפנקציה המקורית ע"י אינטגרל על הנגזרת, את קבוע האינטגרציה נמצא על‬
‫ידי הנתון שבשאלה.‬
‫´‬ ‫√‬
‫2−‪2 3 x‬‬ ‫‪´ 2 √x‬‬
‫3‬
‫2‬ ‫3‪x‬‬
‫2‬
‫2‬
‫√‬
‫3‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪( √x‬‬
‫3‬ ‫−‬ ‫‪√ )dx‬‬
‫3‬
‫‪x‬‬
‫· 2 − ‪= 2x‬‬ ‫2‬ ‫‪+ c = 2x − 3x 3 + c‬‬
‫3‬
‫לפי הנגזרת, קל לראות שנקודת המינימום ב 1 = ‪ x‬ולכן נציב את הנקודה )1− ,1( ונמצא‬
‫את קבוע האינטגרציה.‬
‫2‬
‫0 = ‪2 · (1) − 3 · (1) 3 + c = −1 → c‬‬
‫√‬
‫3‬
‫הפונקציה היא 2‪.f (x) = 2x − 3 x‬‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫שאלון 708 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג‬
‫נקודות חיתוך עם ציר ‪:x‬‬
‫√‬
‫3‬
‫2‪0 = 2x − 3 x‬‬
‫√‬
‫3‬
‫2‪2x = 3 x‬‬
‫2‬ ‫2‬
‫‪3x‬‬ ‫3‪= x‬‬
‫3 8‬
‫‪27 x‬‬ ‫2‪= x‬‬
‫)0 ,0( → 0 = 1‪x‬‬
‫72‬
‫= 2‪x‬‬ ‫8‬ ‫)0 , 72 ( →‬
‫8‬
‫נקודות חיתוך עם ציר ‪:y‬‬
‫√‬
‫3‬
‫0 = 20 3 − 0 · 2 = )‪f (x‬‬
‫)0 ,0( → 0 = )‪f (x‬‬
‫שתי נקודות חיתוך עם הצירים )0 ,0( ו־ )0 , 72 (.‬
‫8‬
‫ג. גרף ‪ IV‬לא מתאר את הפונקציה בגלל תחומי העלייה והירידה מסעיף א'. גרף ‪ I‬לא‬
‫מתאר את הפונקציה בגלל תחומי הקעירות מסעיף א'. גרף ‪ II‬לא מתאר את הפונקציה‬
‫בגלל שהפונקציה מוגדרת ב 0 = ‪ x‬ולכן רק גרף ‪ III‬מתאר את הפונקציה.‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬