1. ‫שאלון 708 שאלה 4, בגרות חורף תשע"ג‬
‫א. לפי הנתונים הפונקציה )‪ g (x‬גדולה פי )2−( מהפונקציה )‪ f (x‬ולכן בהכרח גרף ‪I‬‬
‫מתייחס לפונקציה )‪ f (x‬וגרף ‪ II‬לפונקצית הנגזרת )‪.g (x‬‬
‫ב. ראשית נמצא את הפונקציה )‪ g(x‬ע"י אינטגרל על הנגזרת )‪:g (x‬‬
‫´‬
‫= )‪g(x‬‬ ‫‪g (x)dx‬‬
‫´‬ ‫2‬
‫‪−2xe−x dx‬‬
‫אינטגרל זה לא ניתן לפתור בצורה מיידית ולכן נעזר בשיטת ההצבה, נסמן 2‪ u = −x‬ולכן‬
‫‪.du = −2xdx‬נקבל את האינטגרל:‬
‫‪´ u‬‬
‫‪e du = eu + c‬‬
‫נציב בחזרה ונקבל:‬
‫´‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪−2xe−x dx = e−x + c‬‬
‫1‬
‫= )5.0(‪:g‬‬ ‫52.0‪e‬‬ ‫נמצא את קבוע האינטגרציה ע"י הנתון‬
‫2‬
‫1‬
‫52.0‪e‬‬ ‫‪= e−0.5 + c‬‬
‫קל לראות ש 0 = ‪ c‬ולכן:‬
‫2‬
‫5.0−‪g(x) = e‬‬ ‫)1(‬
‫´‬ ‫2‬
‫‪−2xe−x dx‬‬
‫2‬ ‫2‬
‫ג. נתון ‪ g (x) = −2xe−x‬ולכן ‪) f (x) = xe−x‬לפי הנתון )‪ .(g (x) = −2f (x‬נמצא את‬
‫נקודות הקיצון של כל פונקציה, ובעזרת שתי נקודות נמצא משוואה של כל ישר.‬
‫• עבור )‪ g (x‬נמצא קיצון ע"י נגזרת:‬ ‫נזכיר, נגזרת של פונקצית‬
‫מכפלה:‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫)2 − 2‪g (x) = −2e−x + (−2xe−x · (−2x)) = e−x (4x‬‬ ‫‪(f ·g) = f ·g+f ·g‬‬
‫1‬
‫נשווה את הנגזרת לאפס ונקבל 2√ ± = ‪) x‬רק הביטוי בתוך הסוגריים יכול להתאפס(. על‬
‫ידי נגזרת שלישית )נגזרת שנייה של פונקצית הנגזרת )‪ (g (x‬נבדוק את נקודות הקיצון:‬
‫2‬ ‫2‬
‫‪g (x) = e−x (−2x) · (4x2 − 2) + 8xe−x‬‬
‫1‬
‫= ‪g (x‬‬ ‫) √‬
‫2‬
‫0>‬
‫1‬
‫0 < ) 2√ − = ‪g (x‬‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫שאלון 708 שאלה 4, בגרות חורף תשע"ג‬
‫1‬ ‫1‬
‫ולכן הנקודה )58.0− , 2√ ( היא נקודת המינימום של הפונקציה והנקודה )58.0 , 2√ −( היא‬
‫נקודת המקסימום של הפונקציה.‬
‫• עבור )‪ f (x‬נמצא את קיצון ע"י נגזרת:‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫) 2‪f (x) = e−x + xe−x · (−2x) = e−x (1 − 2x‬‬
‫1‬
‫נשווה את הנגזרת לאפס ונקבל שוב 2√ ± = ‪) x‬רק הביטוי בתוך הסוגריים יכול להתאפס(.‬
‫על ידי נגזרת שנייה נבדוק את נקודות הקיצון:‬
‫2‬ ‫2‬
‫)‪f (x) = e−x · (−2x)(1 − 2x2 ) + e−x (−4x‬‬
‫1‬
‫= ‪f (x‬‬ ‫) √‬
‫2‬
‫0<‬
‫1‬
‫0 > ) 2√ − = ‪f (x‬‬
‫1‬ ‫1‬
‫ולכן הנקודה )24.0 , 2√ ( היא נקודת המקסימום והנקודה )24.0− , 2√ −( היא נקודת‬
‫המינימום של הפונקציה.‬
‫1‬ ‫1‬
‫הישר 1‪ l‬עובר בנקודות )24.0− , 2√ −( ו־ )58.0 , 2√ −( ולכן קל לראות שמשוואתו היא‬
‫1‬
‫2√ − = 1‪.xl‬‬
‫1‬ ‫1‬
‫הישר 2‪ l‬עובר בנקודות )24.0 , 2√ ( ו־ )58.0− , 2√ ( ולכן קל לראות שמשוואתו היא‬
‫1‬
‫2√ = 2‪.xl‬‬
‫ד. שתי הפונקציות הן אנטי סימטריות וקל לראות שהשטח 1‪ S‬שווה לשטח 2‪ S‬ולכן מתקיים‬
‫1 = 1‪ . S‬לחילופין, יכולנו לחשב שטח בעזרת אינטגרל, אך דרך זו מאוד ארוכה ומיותרת.‬
‫2‪S‬‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬