1. Systemy pozycyjne

2. Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 1946532 oznacza

3. System pozycyjny umożliwia też zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe. Np 3,1415 rozumiemy jako:

4. Obok dziesiętnego systemu liczbowego, używanego w codziennym życiu warto wymienić też: * Dwójkowy system liczbowy – używany przez komputery, odpowiada jednemu bitowi informacji * Ósemkowy system liczbowy * Dwunastkowy system liczbowy – stosowany m.in. przez Celtów, a także przypisany elfom w Śródziemiu * Szesnastkowy system liczbowy – używany w informatyce gdyż jednej cyfrze odpowiadają 4 bity, a bajtowi informacji odpowiadają dwie cyfry szesnastkowe ; dodatkowe cyfry oznacza się jako A, B, C, D, E, F (odpowiednio: 10, 11, 12, 13, 14, 15) * Sześćdziesiątkowy system liczbowy – stosowany w starożytności przez cywilizację doliny Tygrysu i Eufratu, a także – z czego nie zdajemy sobie sprawy – przez nas, kiedy mierzymy czas (1 godzina = 60 minut = 60 * 60 sekund = 60 * 60 * 60 tercji) oraz kąty.

6. Poszczególne systemy pozycyjne

7. Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. System dwójkowy

8. Działania na liczbach w systemie dwójkowym Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym, i opierają się na elementarnych działaniach: 1+ 0 = 1 1 + 1 = 10 1* 0 = 0 1 * 1 = 1 10 - 1 = 1 Przykład dodawania w systemie dwójkowym. Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

9. Ósemkowy system liczbowy Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. System ósemkowy jest stosowany w informatyce. Przykładowo, w systemie Linux polecenie "chmod" ustawiające prawa dostępu do pliku może przyjąć jako argument oktalną reprezentację żądanych praw dostępu (np: "chmod u=rwx g=rx o=r plik" odpowiada zapisowi "chmod 754 plik"). W językach programowania C/C++/Java/PHP liczby oktalne poprzedza się pojedynczym zerem (np. 0212). Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:

10. Pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B. Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w dwunastkowym przybiera postać 6B4, gdyż: Dwunastkowy system liczbowy

12. System dwunastkowy uważany jest przez matematyków za bardziej praktyczny od systemu dziesiętnego, gdyż liczba 12 ma aż 4 dzielniki naturalne (pomijając jedynkę i samą siebie): 2, 3, 4 i 6, a liczba 10 - tylko 2 (pomijając jedynkę i samą siebie): 2 i 5. Zdaniem antropologów o powszechnym przyjęciu mniej praktycznego systemu dziesiętnego przesądziło posiadanie przez człowieka 10 palców, ułatwiających liczenie właśnie w systemie dziesiętnym. Do dziś w Polsce używa się takich wywodzących się z systemu dwunastkowego pojęć jak tuzin (12 sztuk) i gros (12 tuzinów - 144 sztuki) oraz kopa (5 tuzinów - 60 sztuk). W niektórych językach istnieje także pojęcie "wielki gros" (ang. great gross, hol. groot gros) określające liczbę 1728 stanowiącą 12 grosów (tuzin do potęgi trzeciej).

13. (czasem nazywany heksadecymalnym, skrót hex) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr. W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (dużych lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dzięsiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Szesnastkowy system liczbowy

14. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8, gdyż:

15. Sześćdziesiątkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 60. Był używany w Babilonie, i to już 1750 p.n.e., stąd dotarł do Europy. Babilończycy zapożyczyli system od Sumerów. Arabscy astronomowie używali w atlasach i tabelach zapisu przejętego od Ptolemeusza, który był oparty na ułamkach o podstawie sześćdziesiąt. Również europejscy matematycy używali początkowo tej konwencji przy operacjach na ułamkach (np. Fibonacci). Układ sześćdziesiątkowy obecnie jest używany w związku z jednostkami czasu. Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60 sekund. Również powszechnie spotyka się układ sześćdziesiątkowy przy podawaniu miar kątowych a zwłaszcza szerokości i długości geograficznej. Historycznie stosowano zarówno dla jednostek czasu jak i kątów tercję – 1/60 część sekundy. Zaletą układu sześćdziesiątkowego jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych. Dla przykładu, jeśli chcemy ułożyć rozkład jazdy autobusów, gdzie pojazd kursuje 3 razy w ciągu godziny otrzymamy praktyczne i wygodne liczby np.: 700, 720, 740, 800 itd. W układzie dziesiątkowym mielibyśmy zamiast tego 7,0; 7,333333333... itd.

17. Przygotował Grzegorz Mazurek Kl IIIg