TRIGONOMETRI

1 Trigonometri
TRIGONOMETRI
1. Pengertian Trigonometri
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu tri artinya tiga,gonomon artinya sudut
dan metria yang artinya ukuran jadi. Jadi, trigonometri adalah pengukuran sudut segitiga.
Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab. Oleh karena
itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan istilah dari Arab.
2. Awal Perkembangan Trigonometri
Walaupun pada mulanya trigonometri dikaji sebagai cabang astronomi tetapi
akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Perkembangan awal
trogonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian masalah astronomi.
Kemunculan trigonometri merupakan proses yang perlahan. Jika dibandingkan dengan
cabang matematika lain, trigonometri berkembambang disebabkan hubungan antara
pendidikan matematika terapan dengan keperluan sains dalam bidang astronomi.
Hubungan ini dianggap saling berkait, tetapu tersembunyi sehingga zaman Renaissans
trigonometri dijadikan sebagai topik tambahan dalam astronomi. Adapun tokoh – tokoh
Trigonometri adalah Al-Khawarizmi , Al-Battani, Abu Al-Wafa, dan Ibnu Al-sahtir.
3. Aplikasi Trigonometri
Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Trigonometri memiliki
banyak kegunaannya pada kehidupan seharian, diantaranya pada bidang teknik ukur tanah
dan astronomi. Trigonometri memiliki kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik
secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat
dibantu oleh hadirnya trigonometri. Kepentingan trigononomerti sangat besar manfaatnya
dalam ilmu astronomi, kerana ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur dengan
menggunakan penggari, mesti dikira dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut,
sehingga dapat dikenalpasti ukurannya secara tepat.

2 Trigonometri
Prasyarat
Trigonometri merupakan materi baru. Di SMP, kalian belum memperoleh materi ini
namun, kalian telah mempelajari kesebangunan dan kongruensi. Kalian juga telah
mempelajari sudut. Materi itu akan kita gunakan untuk memahami perbandingan
trigonometri. Perbandingan trigonometri yang utama adalah sinus, kosinus, dan tangen.
Sebelum membahas lebih lanjut materi ini, ada baiknya kita ingat kembali beberapa
pengertian yang pernah kita pelajari di SMP. Untuk itu, kerjakan soal berikut.
1. Perhatikan Gambar 1
a. Tunjukkan bahwa segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun
b. Sebutkan perbandingan sisi – sisi yang sama pada kedua segitiga itu.
2. Perhatikan Gambar 2
Gambar 2

3 Trigonometri
a. Apakah kedua segitiga itu memiliki perbandingan yang sama? Jika Ya.
Sebutkan.
b. Apakah kedua segitiga itu sebangun?
c. Apakah kedua segitiga itu kongruen?
Berikan alasanmu.
3. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh suatu segitiga siku – siku?
4. Gambarlah sebuah segitiga. Ukurlah ketiga sisinya. Berapakah jumlah seluruh
sudutnya? Cobalah dengan cara yang sama untuk segitiga yang lain. Apa
kesimpulanmu?
Setelah kalian benar – benar dapat menjawab soal – soal diatas, mari kita
lanjutkan ke materi berikut.

4 Trigonometri
r r
s
r
1 rad
P
Q
R
r
A. Sudut
1. Definisi Sudut
Sebuah sudut didefinisikan sebagai perputaran suatu titik tertentu ke titik tertentu
lainnya terhadap pusat putaran ruas garis OA diputar terhadap titik O ke garis OB,
sehingga diperoleh sudut AOB. OA disebut sisi awal dan OB disebut sisi terminal dari
sudut AOB.
B
A
2. Satuan Pengukuran Sudut
Suatu sudut disebut sudut satu putaran penuh, apabila terdapat sebuah sinar OA
diputar berlawanan arah jarum jam sedemikian rupa sehingga untuk pertama kalinya
berimpit dengan sinar OA kembali. Sudut satu putaran didefinisikan sebesar 360º
(dalam derajat) atau 2 radian (dalam radian).
Dengan demikian, besar sudut satu derajat (1º) didefinisikan sebagai ukuran sudut
yang besarnya putaran penuh. Apabila diungkapkan bentuk matematis, dapat
dituliskan
1º = putaran
Ukuran sudut lainnya adalah radian. Satu radian (1 rad) didefinisikan sebagai
besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang
panjangnya sama dengan jari – jari lingkaran tersebut. Perhatikan Gambar 4. Penjang
jari – jari PQ QR = r. besar sudut pusat PQR disebut 1 radian apabila panjang busur
PR adalah r. dengan demikian, secara uum dapat dikatakan bahwa besar sudut dala
radian merupakan nilai perbandingan antara panjang busur dengan panjang jari –
Gambar 5Gambar 4
O
Gambar 3

5 Trigonometri
jarinya. Jika sudut – sudut pusat sebuah lingkaran dinyatakan dengan (dalam
radian), panjang busurnya s, dan jari – jari lingkaran itu r (Gambar 5), maka berlaku
rumus berikut
3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian
Perhatikan kembali gambar . besar sudut PQR adalah 1 rad. Untuk satu putaran
penuh, nilainya sama dengan keliling lingkaran. Yaitu 2 oleh karena itu, 1 putaran
penh = = 2 .
Karena sudur 1 putaran penuh = 360º maka
2 = 360º
= 180º
57,3º
Sebaliknya kita juga dapat memperoleh hubungan berikut.
360º =2
1º =
1º = 0,0174 rad
Perlu juga diketahui bahwa
1 derajat = 60 menit atau
'
601
1 menit =
60
1
derajat atau

60
1
1'
1 menit = 60 detik atau
"'
601
1 detik =
60
1
menit atau
'
"
60
1
1

6 Trigonometri
Contoh soal 1 :
1. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat dibawah in ke dalam satuan
radian.
a. 30o
b. 3o
c. 2,5o
Jawab :
a. Besar sudut (radian) = x rad = rad
b. Besar sudut (radian) = x rad = rad
c. Besar sudut (radian) = x rad = rad
2. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat dibawah in ke dalam satuan
derajat.
a. 2 rad
b. rad
c. rad
Jawab :
a. Besar sudut (derajat) = x rad = = 114,6o
b. Besar sudut (derajat) = x rad = 45o
c. Besar sudut (derajat) = x 4 rad = 720o

7 Trigonometri
Q
B. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut
1. Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu sudut
Trigonometri merupakan nilai perbandingan sisi – sisi pada sebuah segitiga
sembarang maupun segitiga siku – siku yang dikaitkan dengan suatu sudut.
Trigonometri bersandarkan pada enam perbandingan yang akan kita kembangkan di
sini. Misalkan sudutnya , maka keenam perbandingan trigonometri untuk sudut itu
dapat dituliskan : sin , cos , tan , cot ,sec ,cosec
Pada segitiga siku – siku terdapat dua sisi yang saling tegak lurus dan satu sisi
terpanjang, yaitu sisi miring atau hypotenuse. Mula – mula kita bekerja pada kuadran
pertama dengan sudut lancip dan segitiga siku – siku yang dibentuk dari titik P(x,y).
perhatikan gambar berikut.
Pada gambar (2), titik P(x,y) terletak pada lingkaran yang berpusat pada titik
O(0,0) dengan jari – jari r. hal ini berarti OP= r . apabila dari titik P(x,y) ditarik garis
lurus sehingga memotong secara tegak lurus dengan sumbu X di titik Q(x,0), maka
diperoleh PQ = y, OQ = x, sudut PQO = 90º (siku – siku), dan sudut POQ = (seperti
terlihat pada Gambar (6)). Hubungan OP, PQ, dan OQ pada segitiga siku – siku POQ
oleh Pythagoras dirangkumkan sebagai berikut :
OP2
=OQ2
+PQ2
OQ2
=OP2
-PQ2
PQ2
=OP2
-OQ2
Atau
r2
=x2
+y2
x2
=r2
-y2
y2
=r2
-x2
y
x X
Y
P(x,y)
r
Gambar 6
O
y
x X
Y
P(x,y)
r
Gambar 7
O

8 Trigonometri
A=D=PQ E B
C
F
R
Gambar 8
Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa besar sudut A, sudut D, sudut P,
sama. Kita namakan sudut itu sebagai sudut . Dari gamabr tersebut, terlihat pula
bahwa sudut C= sudut F= sudut R dan sudut b = sudut E= sudut Q ( merupakan sudut
siku – siku).
Pada gambar tersebut sisi dihadapan adalah BC, EF, dan QR. Sisi – sisi ini
dinamakan sisi hadap.
Sisi samping adalah AB, AE, dan AQ. Sisi – sisi ini namakan sisi samping. Sisi
miring segitiga dinamakan sisi hipotenusa.
Perbandingan = dinamakan tangent dari , ditulis tan
Perbandingan = dinamakan sinus dari , ditulis sin
Perbandingan = dinamakan cosinus dari , ditulis cos
A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan
sudut C adalah c.
A
B
C
ca
b
Gambar 9

9 Trigonometri
C
A
13
B
5
Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri
terhadap sudut sebagai berikut:
1.
c
a
hipotenusapanjang
Asudutdepandisiku-sikusisipanjang
sin
2.
c
b
hipotenusapanjang
Asudut(berimpit)dekatdisiku-sikusisipanjang
osc
3.
b
a
Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang
tan
4.
a
c
hipotenusapanjang
csc
5.
b
c
hipotenusapanjang
sec
6.
a
c
cot
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
cos
sin
tan dan
sin
cos
cot
cos
1
sec dan
sin
1
csc
Contoh soal 2 :
Diketahui segitiga siku – siku ABC, siku – siku di titik A. panjang BC = 13
dan panjang AB = 9. Tentukan nilai – nilai perbandingan trigonometri sudut seperti
pada gambar di atas.

10 Trigonometri
Jawab :
Terlebih dahulu kita cari panjang sisi AC dengan teorema Pythagoras.
AC =
=
=
=
= 12
Nilai – nilai perbandingan trigonometrinya adalah :
= =
= =
= =
= =
= =
= =
2. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y).
OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam
koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai
dengan 90 . Perlu diketahui bahway
x X
Y
P(x,y)
r
1
Gambar 10
O

11 Trigonometri
ry 22
xOP dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat
didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
1.
r
y
OPpanjang
Pordinat
αsin 4.
y
r
Pordinat
OPpanjang
αcsc
2.
r
x
OPpanjang
Pabsis
αcos 5.
x
r
Pabsis
OPpanjang
αsec
3.
x
y
Pabsis
Pordinat
αtan 6.
y
x
Pordinat
Pabsis
αcot
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II,
kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -
y
x X
Y
P(x,y)
r
1
O
y
x X
YP(x,y)
r
2
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
3
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
4
O
Gambar 11

12 Trigonometri
3. Menghitung Nilai Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut – Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari
tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0 , 30 , 45 ,60 , dan 90 .
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30 , 45 ,dan 60 .
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga
siku-siku seperti gambar berikut ini.
Dari gambar 12 dapat ditentukan
2
2
1
2
1
45sin 2
1
2
45csc
2
2
1
2
1
45cos 2
1
2
45sec
1
1
1
45tan 1
1
1
45cot
Dari gambar 13 dapat ditentukan
2
1
03sin 3
2
1
2
3
06sin
Gambar 12 sudut istimewa
2
45
1
1
Gambar 13 sudut istimewa
3
60
30
1 2

13 Trigonometri
3
2
1
2
3
03cos
2
1
06cos
3
3
1
3
1
30tan 3
1
3
60tan
2
1
2
30csc 3
3
2
3
2
60csc
3
3
2
3
2
30sec 2
1
2
60sec
3
1
3
30cot 3
3
1
3
1
60cot
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90
sin 0
2
1
2
2
1
3
2
1 1
cos 1
3
2
1
2
2
1
2
1 0
tan 0
3
3
1 1 3 tak
terdefinisi
cot tak
terdefinisi
3 1
3
3
1 0
Tabel 2
Contoh soal 3:
Hitunglah nilai :
a.
b.
c.
Jawab :
a. =
b. =

14 Trigonometri
c. = = =
4. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ),
(360 ), dan - . Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus,
misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus
(suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40 ,
pelurus sudut 110 adalah 70 .
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) di kuadran I
Dari gambar 13 diketahui
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
a. cos90sin
1
1
r
x
r
y
b. sin90cos
1
1
r
y
r
x
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(90- )
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
Gambar 14 sudut yang berelasi
O

15 Trigonometri
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(180 - )
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
c. cot90tan
1
1
y
x
x
y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan
(90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) di kuadran II
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a. sin180sin
1
1
r
y
r
y
b.
c. tan180tan
1
1
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) di kuadran III
cos180cos
1
1
r
x
r
x
a. cos90sin d. sec90csc
b. sin90cos e. eccos90sec
c. cot90tan f. tan90cot
a. sin180sin d. csc180csc
b. cos180cos e. sec180sec
c. tan180tan f. cot180cot
y
x
Y
P(x,y)
r
(180 + )
x1 O

16 Trigonometri
Dari gambar 16 titik P1(x1,y1) adalah bayangan
dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap
garis y x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a. sin180sin
1
1
r
y
r
y
b. cos180cos
1
1
r
x
r
x
c. tan180tan
1
1
x
y
x
y
x
y
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) di kuadran IV
Dari gambar 17 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan
dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu x,
sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
a. sinsin
1
1
r
y
r
y
a. sin180sin d. csc180csc
b. cos180cos e. sec180sec
c. tan180tan f. cot180cot
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(360 - 1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O -

17 Trigonometri
b. coscos
1
1
r
x
r
x
c. tantan
1
1
x
y
x
y
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 ,
misalnya sin (360 ) sin .
Contoh soal 4 :
1. Nyatakana perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip.
a. Sin 149o
b. Cos 267o
c. Tan 303o
Jawab :
a. Sudut 149o
terletak dikuadran II. Oleh karena itu, sin 149o
dapat
dinyatakan sebagai sin 149o
= sin (180o
– 31o
) = sin 31o
b. Sudut 267o
terletak dikuadran III. Oleh karena itu, cos 267o
dapat
dinyatakan sebagai cos 267o
= sin (180o
+ 87o
) = -cos 87o
c. Sudut 303o
terletak dikuadran IV. Oleh karena itu, tan 303o
dapat
dinyatakan sebagai tan 303o
= tan (360o
– 57o
) = -tan 57o
2. Hitunglah nilai
a. Sin 150o
a. sinsin d. csccsc
b. coscos e. secsec
c. tantan f. cotcot

18 Trigonometri
b. Tan 300o
c. Sin 225o
Jawab :
a. Sudut 150o
terletak di kuadran II. Oleh karena itu, sin 150o
dapat
dinyatakan sebagai sin ( 180o
– 30o
) =
b. Sudut 300o
terletak di kuadran IV. Oleh karena itu, tan 300o
dapat
– 600o
) = -tan 60o
= -
c. Sudut 225o
terletak di kuadran III. Oleh karena itu, sin 225o
dapat
– 45o
) = - sin 45o
=
C. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat
kartesius adalah dengan koordinat kutub.
Pada gambar 18 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam
koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 19.
Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari
dengan hubungan:
r
x
cos cosrx
y
x X
Y
P(x,y)
O
Gambar 18. koordinat kartesius
y
x X
Y
P(r, )
r
O
Gambar 19. koordinat kutub

19 Trigonometri
r
y
sin sinry
jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, )
dapat dicari dengan hubungan:
22
yxr
x
y
tan arc tan
x
y
, arc tan adalah invers dari tan.
Contoh soal 5 :
1. Ubahlah koordinat
a. (8,4) kedalam koordinat kutub
b. (10, 30o
) kedalam koordinat Cartesius
Jawab :
a. Titik (8,4); x = 8, y = 4 ( kuadran I )
r =
=
= 4
= arc tan
= arc tan
= arc tan 0,5
= 26,6o
Jadi, (8,4) sama dengan (4 , 26,6o
)
b. Titik (10,30o
); r = 10, = 30o
( kuadran I )
x = r cos
= 10 cos 30o
= 10 .
=
y = r sin
= 10 sin 30o
= 10 .
= 5
Jadi, (10,30o
) sama dengan ( , 5 )

20 Trigonometri
D. Identitas Trigonometri
Dari gambar di samping diperoleh
r
x
cos ,
r
y
sin dan 22
yxr . Sehingga :
2
2
2
2
22
cossin
r
x
r
y
1
2
2
2
22
r
r
r
yx
E. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan
trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang
memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x sin
Dengan mengingat rumus
sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360 ) sin , maka diperoleh:
y
x X
Y
P(x, y)
r
O
Gambar 20. rumus identitas
sin2
+cos2
1Jadi
Jika sin x sin maka
x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

21 Trigonometri
2. Menyelesaikan persamaan cos x cos
coscos dan cos ( + k. 360 ) cos , diperoleh
3. Menyelesaikan persamaan tan x tan
tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360 ) tan , maka diperoleh:
F. Grafik Fungsi Trigonometri
Nilai fungsi : - 1 Sin o
1
- 1 Cos o
1
- Tan o
+
Artinya nilai Y = Sin o
nilai maksimum “1” dan minimumnya “ 1”
Y = Cos o
nilai maksimum “1” dan minimumnya “ –1 “
Y = Tan o
nilai maksimum “+ “ dan minimumnya “- “
Fungsi Y = Sin xo
, Y = Cos xo
dan Y = Tan xo
merupakan fungsi periodik atau
berkala.
a. Fungsi Y = Sin xo
dan Y = Cos xo
mempunyai periodik 360o
b. Khusus fungsi Y = Tan xo
, Cot xo
mempunyai periodik 180o
- Untuk x mendekati 90o
atau 270o
dari kanan, nilai Tan xo
menuju ke arah negatif tak
hingga
Jika cos x cos maka
x + k. 360 atau x + k. 360 , k B
Jika tan x tan maka
x + k. 180 , k B

22 Trigonometri
- Untuk x mendekati 90o
atau 270o
dari kiri, nilai Tan xo
menuju ke arah positif tak
hingga
- Garis x = 90o
atau 270o
di sebut garis asimtot
- Fungsi Y = Tan xo
dikatakan diskontinyu pada x = 90o
dan x = 270o
Cara menggambar grafik fungsi trigonometri :
Langkah 1. Buat tabel yang menyatakan hubungan antara x dan f(x)
Langkah 2. Gambar titik-titik yang didapat pada koordinat Cartesius. Pilih nilai sudut
pada sumbu x dan nilai fungsi pada sumbu y.
Langkah 3. Hubungkan titik-titik yang didapat.
Contoh :
Lukislah grafik Y = Sin xo
untuk 0 x 360o
Isi Tabel berikut :
X 0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
Sin x 0 ½
X 210 225 240 270 300 315 330 360
Sin y 0
90o
180o
270o
360o
Cara lain :
1
1
/2 3
1
/2
-1
/2
-1
/2 3
-1

23 Trigonometri
Menggambar grafik y = Sin xo
dengan bantuan lingkaran satuan.
Lingkaran satuan adalah lingkaran trigonometri yang berjari-jari 1 satuan. Lihat gambar :
Dalam OPM dapat diperoleh
Sin o
= YP
YP
OP
PM
1
Cos o
= XP
XP
OP
OM
1
Dalam OAQ dapat diperoleh
Tan o
= AQ
AQ
OA
AQ
1
Nilai fungsi Y = Tan Q adalah ordinat titik Q
Grafik Y = sin xo
Grafik Y = Cos xo
O M A
P
Q
1
-1
90 180 270 360
45O
1
-1
90 180 270 360
60O
1
/2
1
/2
1
/2
Gambar 21
Gambar 22
Gambar 23

24 Trigonometri
Pernahkah kamu berfikir untuk mencocokkan apakah
benar tinggi monument nasional (Monas) kurang
lebih 130 meter? Untuk membuktikannya, kamu
dapat menerapkan konsep trigonometri yaitu
menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingan
trigonometri. Caranya dengan mengukur besarnya
sudut yan terbentuk oleh garis pandang pengamat
ke puncak onas melalui garis horizontal. Misalnya,
jika pengamat berada pada sudut 30 derajat, maka
pengamat harus berjalan mendekati Monas sampai
terbentuk sudut 45 derajat. Apabila jarak dari tempat
pengamatan pertama sejauh 1 km, maka dengan aturan sudut ganda pengamat dapat
menentukan tinggi Monas. Nah, pada penjelasan berikut ini kamu akan mempelajari rumus
trigonometri dan penggunaannya.
G. Rumus – Rumus Segitiga
a. Aturan sinus
Untuk menentukan nilai sisi pada segitiga sembarang, dapat ditentukan dengan cara
yang lebih mudah dengan memakai aturan Sinus.
Perhatikan ABC sembarang, berikut ini :
C
Q
P
a
b
Gambar 24

25 Trigonometri
Pada ACR Sin A =
b
CR
CR = b Sin A ……….(1)
Pada BCR Sin B =
a
CR
CR = a Sin B …… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh b Sin A = a Sin B
BSin
b
ASin
a
Pada APC dab APB didapat
CSin
c
ASin
a
Kesimpulan :
Disebut Aturan Sinus
Contoh soal 6 :
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, 00
1,53,30 CB . Hitunglah c.
Jawab :
SinC
c
SinB
b
SinB
bSinC
c
=
30
1,5312
Sin
Sin
=
5,0
8,0.12
=
5,0
6,9
= 2,19
Gambar 25
CSin
c
BSin
b
ASin
a

26 Trigonometri
1. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. 2,68B . Hitunglah
C
SinC
c
SinB
b
Sin C =
65
2,6846Sin
b
cSinB
=
65
928,046x
=
65
710,42
= 657,0
C = 41,1
b. Aturan cosinus
Bila pada sebuah segitiga unsur-unsur yang diketahui, tidak memuat pasangan sisi
dan sudut yang sehadap, maka unsur segitiga yang lain tidak bisa dihitung dengan
aturan sinus. Oleh karena itu perlu ada aturan yang baru. Aturan itu disebut Aturan
Kosinus.
Lihat gambar pada DBC
Sin B = BSinah
a
h
Cos B = BCosaDB
a
DB
C AD = AB – DB
AD = C – a Cos B
b a Lihat ADC siku-siku di D
b2
= AD2
+ C D2
h b2
= (C – a Cos B)2
+ 6 Sin B)2
b2
= C2
– 2ac Cos B + a2
Cos2
B + a2
Sin2
B
A c D B b2
= C2
– 2ac Cos B + a2
(Cos2
B + Sin2
B)
b2
= c2
+ a2
– 2ca Cos B
Disebut Aturan Cosinus
Gambar 26

27 Trigonometri
Untuk menentukan sisi a dan sisi c berlaku rumus :
Dari aturan Kosinus di atas bisa diturunkan rumus untuk menghitung besarnya sudut.
Contoh soal 7 :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600
.
Hitung panjang BC
Jawab :
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
= 52
+ 82
– 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
c. Luas Segitiga
a2
= b2
+ c2
– 2bc Cos A
c2
= a2
+ b2
– 2ab Cos C
Cos A =
bc
acb
2
222
Cos B =
ca
bac
2
222
Cos C =
ab
cba
2
222

28 Trigonometri
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
C
b
a
c
A B
Gambar 28
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui
(i) CD = AC sin C = b sin C atau
(ii) CD = AC sin (180o
– C) = b sin C
Luas Segitiga ABC =
= . BC . CD
= ab sin C
Dengan cara yang sama diperoleh :
Luas Segitiga ABC = ac sin B
Luas Segitiga ABC = bc sin A
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi
B C
A
b
c
a
D
Gambar 27

29 Trigonometri
yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.
Perhatikan gambar 28. Dengan aturan sinus diperoleh :
dan
Luas Segitiga ABC = bc sin A
= sin A
=
=
=
Dengan cara yang sama diperoleh
Luas Segitiga ABC =
Luas Segitiga ABC =

30 Trigonometri
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
Perhatikan gambar berikut :
(lihat segitiga ACD dengan segitiga BCD)
...(i)
Perhatikan segitiga ACD:
... (ii)
Substitusikan persamaan ke (i) ke (ii)
Anggap 2s = a+b+c, maka persamaan menjadi:
Maka, kita sudah mendapatkan tinggi segitiga. Luas =

31 Trigonometri
Contoh soal 8 :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½ 2
= 10 2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, 60,65 BA . Tentukan luasnya.
Jawab :
556065180C
C
BAc
L
sin2
sin.sin.2
55sin2
60sin.65sin.52
L
82,0
87,0.425,0.25
L
27,11L
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
)).().(.( csbsassL
)56).(46).(36.(6L

32 Trigonometri
1.2.3.6L
636L cm2
H. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
Pada gambar di samping diketahui
garis CD dan AF keduanya adalah
garis tinggi dari segitiga ABC. Akan
dicari rumus cos ( + ).
AC
AD
cos
cosACAD
Pada segitiga siku siku CGF
CF
GF
sin sinCFGF …………..(1)
Pada segitiga siku siku AFC,
AC
CF
sin sinACCF …………..(2)
AC
AF
βcos cosACAF …………..(3)
Pada segitiga siku siku AEF,
AF
AE
cos cosAFAE …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin
A D E B
C
G F
Gambar 27

33 Trigonometri
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos
Sehingga AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
Jadi
Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus
cos ( + ).
cos ( ) cos ( + ( ))
cos cos ( ) sin sin ( )
cos cos sin ( sin )
cos cos + sin sin
Jadi
Contoh soal 9:
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin

34 Trigonometri
Jawab :
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus
sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan
cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin
Jadi
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah
dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ( ) sin ( + ( ))
sin cos ( ) + cos sin ( )
sin cos + cos ( sin )
sin cos cos sin
Jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin

35 Trigonometri
Contoh soal 10 :
Jawab :
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )
Dengan mengingat
cos
sin
tan , maka
sinsincoscos
sincoscossin
)(cos
)(sin
)(tan
cos
sin
cos
sin
1
cos
sin
cos
sin
coscos
sinsincoscos
coscos
sincoscossin
)(tan
tantan1
tantan
Jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ).
tantan1
tantan
)(tan

36 Trigonometri
tan ( ) tan ( + ( ))
)(-tantan1
)(-tantan
)tan(tan1
)(tantan
tantan1
tantan
Jadi
Contoh soal 11 :
Jawab :
I. Rumus Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan
a. Sudut Rangkap
Dari rumus rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan
menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos
Jadi
tantan1
tantan
)(tan
sin 2 2 sin cos

37 Trigonometri
Contoh soal 12 :
Jawab :
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2
sin2
Jadi
Rumus rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan
mengingat rumus dasar cos2
+ sin2
1.
cos 2 cos2
sin2
cos 2 cos2
sin2
cos2
(1 cos2
) (1 sin2
) sin2
2cos2
1 1 2 sin2
Sehingga
Contoh soal 13 :
cos 2 cos2
sin2
1) cos 2 cos2
sin2
2) cos 2 2cos2
1
3) cos 2 1 2 sin2

38 Trigonometri
Jawab :
3.
2
tan1
tan2
tantan1
tantan
)(tan2tan
Jadi
Contoh soal 14 :
Jawab :
2
tan1
tan2
2tan

39 Trigonometri
b. Sudut Pertengahan
Karena teorema berlaku untuk sebarang sudut, kita dapat menyatakan kaitan
antara suatu sudut dengan setengah sudutnya
sin = 2 sin ½ cos ½
cos = cos2
½ - sin2+
½ = 1 – 2 sin2
½ = 2 cos2
½ - 1
tan =
2
1
tan1
2
1
tan2
2
Dari rumus kedua diperoleh kosinus dan sinus setengah sudut dinyatakan dalam
sudutnya
Cos2
½ = ½ (1 + cos ) dan sin2
½ = ½ (1 – cos )
Dari hubungan ini diperoleh
cos ½ = cos1
2
1
, cos ½ ≥ 0 dan
cos ½ = cos1
2
1
, cos ½ ≤ 0
sin ½ = cos1
2
1
, sin ½ ≥ 0 dan
sin ½ = cos1
2
1
, sin ½ ≤ 0
Kita ingat kembali jika kesamaan cos2
+ sin2
= 1 dibagi cos2
, akan diperoleh 1
+ tan2
= sec2
. Dengan menggunakan rumus sudut ganda sin 2 = 2 sin cos
dan cos 2 = cos2
- sin2
diperoleh hubungan sin 2 dan cos 2 dengan tan .
sin 2 = 2 sin cos =
2
2
cos
1
cos
cossin2
= 2
sec
tan2
2
tan1
tan2
cos 2 = cos2
- sin2
= 22
2222
sincos
sincos
1
sincos

40 Trigonometri
=
2
22
2
22
cos
sincos
cos
sincos
=
2
1
tan1
2
1
tan1
2
2
Dari hasil ini diperoleh
sin =
2
1
tan1
2
1
tan2
2
dan cos =
2
1
tan1
2
1
tan1
2
2
Contoh soal 15 :
Jawab :

41 Trigonometri
+ -
J. Rumus Perkalian Dua Fungsi Trigonometri
1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
Jadi
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
Jadi
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
Jadi
Jadi
K. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Fungsi Trigonometri
Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan
selisih fungsi sinus dan kosinus.
Misalkan Dan
+
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
+
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

42 Trigonometri
Maka akan diperoleh rumus-rumus:
sin A + sin B = 2 sin
sin A - sin B = 2 cos
cos A + cos B = 2 cos
cos A - cos B = -2 cos

TRIGONOMETRI

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (19)

Ähnlich wie TRIGONOMETRI

Ähnlich wie TRIGONOMETRI (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

TRIGONOMETRI