PhD thesis presentation

Editor's Notes

1. Моделі багатовимірних ризиків в корпоративних системах підтримки прийняття рішень. Науковий керівник доктор технічних наук, професор Бідюк Петро Іванович.
2. В останні роки спостерігається нестабільність ринків, збільшення частоти банкрутств, зниження рейтингів компаній та спостереження дефолтів. Існує потреба в нових, точніших та зручніших для практичного застосування, методах ризик-аналізу та моделях складових та зв'язків в системі, виходячи на стик багатовимірної статистики, системного аналізу, прийняття рішень та інформатики.
3. Цими задачами займаються дослідники в Україні та за кордоном. Згуровським М.З. викладено системну методологію дослідження сучасних міждисциплінарних проблем за умов різних видів ризиків. В роботах Панкратової досліджено задачі і методи системного аналізу багатофакторних ризиків. Зайченко Ю.П. досліджено оптимізацію портфеля та суб’єктивні невизначеності ризиків. Під керівництвом Романенко В.Д. в Інституті Прикладного Системного Аналізу розробляються методи підтримки прийняття рішень на основі ідентифікації і прогнозування ризиків. На сьогоднішній день для застосування моделей ризиків у складних системах необхідно розв’язати ряд задач: (1) моделювання розподілу з одночасним врахуванням основної групи спостережень та рідкісних ризикових подій; (2) моделювання залежних та взаємодіючих ризиків в умовах дії ендогенних та зовнішніх факторів; (3) оцінювання, на основі статистично-ймовірнісних моделей та експертних знань, характеристик ризиків, придатних для ефективного управління.
4. Об’єктом дослідження дисертаційної роботи є ризики в складних фінансових та економічних системах. Предметом дослідження – математичні методи аналізу, моделювання і оцінювання характеристик ризиків та інформаційна система підтримки прийняття рішень на їх основі. Метою роботи є розробка системної методології побудови та використання статистично-ймовірнісних багатовимірних моделей ризиків, що виникають у складних фінансово-економічних системах, спрямованої на зменшення можливих втрат внаслідок виникнення ризикових ситуацій завдяки підвищенню якості математичного опису ризиків. В дослідженні використано класичні ймовірнісно-статистичні методи, методи теорії екстремальних значень та мережі Байєса, теорії випадкових матриць, Монте-Карло з марковськими ланцюгами, обчислювальні комп’ютерні методи.
5. Задачами роботи було: Виконати критичний аналіз існуючих математичних методів і моделей в управлінні ризиками, та їх реалізації в СППР. Розробити метод моделювання розподілу ризику з одночасним врахуванням спостережень з хвоста і центральної частини та об’єктивних і наданих експертами ймовірностей. Створити модель для розкладу та агрегування ризику, поєднуючи ризики окремих компонент і їх взаємодію в портфелі. Розробити метод визначення кількості базисних факторів ризиків. Створити системний підхід до кількісної та якісної оцінки ризиків, та методи його реалізації для розробленої багатовимірної моделі. На основі запропонованих методів, математичних моделей і алгоритмів розробити та реалізувати СППР з управління ризиками.
6. Схема розв’язаних в роботі задач: Виокремлення області досліджень Моделювання одновимірного ризику Кількісна оцінка ризиків Моделювання багатовимірних ризиків Реалізація моделей в корпоративній СППР
7. На слайді рівні вирішених в роботі задач з відповідними множинами методологічних засобів. У відповідності до парадігми системної методології досліджено загальні властивості та структури взаємозалежності на 1. рівні дослідження системи як об'єкта системного аналізу. 2. рівні якісного і кількісного аналізу при підготовці до прийняття рішення 3. рівні приведення до спільної платформи. 4. рівні забезпечення прийняття рішення особою що приймає рішення, на основі моделей та методів попередніх рівнів реалізованих в СППР.
8. Спільним з загальним аналізом рішень є визначення бажаного значення, негативне ставлення до ризику та зниження ризику через диверсифікацію. Специфічним є використання вартості як ключової характеристики ризику. Ризики характеризуються ймовірносним розподілом втрат, таким чином враховуючи їх вартість та частоту ризикової події. Критерієм ефективності управління, обрано не традиційне зменшення ризику, а збільшення доходу. Узгодженим розумінням прийнятності ризику вважаємо порогове значення вартості втрат. Тобто управління корпоративними ризиками допускає їх визначений рівень. Виокремлено два основних методи управління ризиками: декомпозицію складного ризику на компоненти та диверсифікацію шляхом агрегування.Нерозривність їх використання зумовила окреме врахування в одній моделі як окремих компонент так і їх поєднання в портфелі.
9. Декомпозиція та агрегування ризиків грунтуються на реалізації двох груп інструментів: - Інструменти виявлення та оцінювання ризиків- Інструменти групування ризиків в масштабах від відділення до корпорації, галузі чи ринку взагалі. Загальна СППР в управлінні ризиками проектується з урахуванням сучасних швидкостей надходження інформації, та враховує наступні категорії ризиків: Стратегічні - особливо ризики що виникають із новими видами бізнесу, такими як електронна комерція Операційні - ризики процесів що реалізують стратегію Фінансові - містять ринковий та кредитний Інформаційні - безпеки та надійності Під загальністю системи розуміється охоплення всього процесу корпоративного управління. Тому система розроблялася у відповідності до спектру ризиків, управлінської звітності і інформаційних систем конкретної організації.
10. Моделювання одновимірного ризику: моделювання максимальних і неприйнятних втрат моделювання повсякденних ризиків побудова комбінованого розподілу
11. Ризикові ситуації є низькочастотними подіями і характеризуються правим хвостом розподілу втрат. На слайді хвіст емпіричної щільності при зміні підвибірок. Форма хвоста є ключовою характеристикою та визначає кількість скінчених моментів незалежно від форми всього розподілу. Через таку чутливість емпіричних оцінок та зацікавленість в оцінках за межами діапазону наявних спостережень, вирішено спиратися на припущення щодо форми розподілу. При використанні традиційного припущення нормальності, постала проблема недооцінювання хвостів. Використання розподілів з важкими хвостами не додало адекватності, оскільки оцінки параметрів залежать від більшості спостережень і характеризують саме центральну частину. Для розв’язання задач, пов’язаних з хвостовими ймовірностями, використано методи математичної теорії аналізу подій, які рідко трапляються – теорії екстремальних значень.
12. Моделювання максимальних втрат виконано в формі узагальненого розподілу екстремального значення, який, за теоремою Фішера-Тіппета-Гнеденко, поєднує всі можливі форми хвостів для невироджених випадків - Фреше, Вейбула та Гумбела відповідно. Розподіли типу Фреше мають правий хвіст зі ступеневою швидкістю зменшення. Наприклад, Парето та t-розподіл Студента. До Вейбула відносяться розподіли з обмеженими втратами.Розподіли Гумбела мають правий хвіст не товстіший за експоненційного. Це нормальний, гамма-розподіл. Побудовано модель для великих втрат, що належать хвосту розподілу. Функція розподілу перевищень втратами прийнятного рівня прямує, за теоремою Піканда-Балкема-Де Хаана, до узагальненого розподілу Парето. Такі універсальні моделі хвостів розподілів дозволили вирішити проблему малої кількості спостережень.
13. Для оцінки параметрів розподілу максимальних втрат використано максимуми підвибірок. Чутливість до появи нових спостережень враховано через байєсівські інструменти. Для оцінювання функції розподілу неприйнятних втрат запропоновано метод перевищень, що є реалізацією загального підходу перевищень порогу: отримано остаточний вигляд функції розподілу неприйнятних втрат Метод застосовано також до моделювання розподілів змін курсів валют за 99-й-2004-й роки.
14. На верхньому рисунку результати моделювання для української валюти. Функції розподілу при цьому мають вигляд, для гривні, євро та юаня. Нормальний розподіл, як видно з графічного інструменту перевірки адекватності - квантиль графіка, є адекватною моделлю лише для центральної частини. Поєднавши адекватні моделі хвостів і центральної частини, вирішено проблему моделювання всієї сукупності подій.
15. При побудові моделі комбінованого розподілу розв’язано дві задачі. Першою є розмежування спостережень на ті, що описуються екстремальним розподілом, і ті, що моделюються нормальним. Другою є поєднання двох моделей. Для відокремлення частин знайдено емпіричний квантиль початку хвоста. Що визначається імітаційними методами або графічним методом через графік функції середнього перевищення. Для узгодження хвостового і центрального розподілів стандартне відхилення обирається так, щоб функція нормального розподілу в точці порогу дорівнювала емпіричній функції розподілу.Для забезпечення рівності одиниці інтегралу від функції щільності побудований розподіл обмежено лівою точкою.
16. Кількісна оцінка ризиків: виявлення вимог до мір ризику та мір відхилення поєднання двох підходів
17. Досліджено вимоги до кількісної оцінки ризику та розроблено відповідні методи для запропонованих моделей. Ризик абсолютних втрат описується різницею між випадковою величиною майбутньої вартості та константою. Для планування діяльності також враховуються прогнозні вартості і ризик полягає в значних відмінностях від очікуваних значень. Таким чином, кількісною оцінкою ризику є як значення майбутньої вартості, так і невизначеність цих майбутніх значень. До мір ризику значень майбутньої вартості сформульовано вимоги. Міри ризику, що задовольняють вимогам 1-3, віднесено до когерентних. Вимога 4 субадитивності.
18. Когерентні субадитивні міри ризику є математичним сподіванням втрат для деякої множини сценаріїв , де псі – сімейство ймовірнісних мір. Це надає обгрунтування розповсюдженому на практиці методу аналізу сценаріїв. Але якість залежить від наявних можливостей їх створення, що спонукало до гнучкої моделі багатофакторних ризиків. Комбінований розподіл має кінцеву ліву точку, що накладає обмеження на напрям відхилення. Вимоги до мір відхилення ризику сформульовано таким чином, що симетричність не є необхідною. Міри ризику можуть бути виражені через міри відхилення і навпаки.
19. Міри ризику та міри відхилення пропонується використовувати разом, утворюючи, таким чином, ризиковий профіль. Широко вживана міра ризику Value-at-Risk є розміром втрат який буде перевищено з обраною імовірністю. Задовольняє вимогам, окрім субадитивності в загальному випадку. Її застосовано як основну міру повсякденних ризиків. Для екстремальних ризиків в роботі обрано субадитивну міру ризику Expected Shortfall, що є математичним сподіванням втрат з заданим рівнем ймовірності. Напіввідхилення, запропоноване Марковіцем, застосовано як міру відхилення для комбінованої моделі. Таким чином показано, що сучасні міри ризику є не альтернативними, а комплементарними до мір ризику Марковіца. Розроблено методи знаходження оцінок мір ризику для розподілів комбінованої багатовимірної моделі.
20. Моделювання багатовимірних ризиків обрання мір залежності та моделювання законів залежності генерування з багатовимірної моделі обчислення мір ризику визначення кількості базисних та ендогенних факторів
21. При одночасній дії екзогенних факторів ризику у великих складних системах спостерігається виникнення більших ризиків. Досліджено появу ендогенних факторів як прояв самоорганізації що призводить до більшої частоти екстремальних подій. Таким чином моделювання залежності є ключовим для вирішення проблем диверсифікації та розкладання ризику. Лінійну кореляцію Пірсона застосовано як міру залежності для нормальної частини розподілу, але не для хвостів, коли вона може не існувати та не бути інваріантною при нелінійних перетвореннях. Тому в роботі застосовано коефіцієнти рангової кореляції Кендала та Спірмена. Узагальненням міри залежності на випадок декількох ризиків обрано матрицю попарних мір залежності.Для врахування експертних знань та обчислення умовних мір застосовано байєсівський підхід. Суб’єктивна природа мережі Байєса є одночасно основною перевагою та недоліком в управлінні ризиками.
22. На рисунку багатовимірні спостереження з однаковими маргінальними розподілами і коефіцієнтами кореляції, але різними структурами залежності. В роботі застосовано спеціальні функції – копули, для відокремлення в спільному розподілі маргінальних від структури залежності. За теоремою Скляра для функції спільного розподілу H і маргінальних розподілів F існує така n-копула С. Якщо F неперервні то С унікальна. Запропоновано багатовимірну комбіновану модель шляхом поєднання комбінованих маргінальних розподілів через копули. Модель дозволила використовувати різні типи розподілів окремих ризиків, додавати екстремальності через параметри хвостів та змінювати характеристики залежності між ризиками. Завдяки інваріантності копул до зростаючих перетворень, модель придатна для нелінійних ризиків. Моделювання виконано як для згенерованих багатовимірних розподілів так і для реальних даних, наприклад трьохвимірного розподілу 15-хвилинних змін курсів валют.
23. Для моделювання залежності центральної частини побудовані копули, що задають еліптичні спільні розподіли. Застосувавши зворотний метод побудови сімейства копул до багатовимірного нормального розподілу отримано нормальну копулу. Генерування випадкових величин із структурою залежності, заданою еліптичною копулою, зведено до генерування з відповідного розподілу. Для спрощення процедури генерування застосовано архімедові копули. Генерується n незалежних випадкових величин і до них послідовно застосовуються копули. З цього класу, який дозволяє відобразити значну різноманітність структур залежності, використано сімейства Франка та Клейтона. Для моделювання багатовимірних хвостів, застосовано копули екстремальних значень, зокрема сімейство Гумбела.
24. Через обмеженість можливостей знаходження аналітичних оцінок мір ризику для спільного розподілу, використано методи Монте-Карло. Для генерування вибірок розроблено багатовимірне узагальнення методу генерування за перерізом, шляхом рівномірного генерування з н+1-вимірної області, яка знаходиться під графіком функції щільності. З варіантів побудови області ефективним виявилось розширення доки рівномірно взята точка належить зрізу.
25. В експерименті використано щоденні курси чотирьох валют відносно євро, з 99-го по 2006-й. Оцінки мір ризику та мір відхилення знайдено через генерування спостережень з моделі спільного розподілу. Для мір ризику, адекватними та доцільними для використання на практиці є всі три моделі. Якість отриманих оцінок мір відхилення ризику вимагає подальшого вдосконалення описання центральної частини.
26. Для розв’язання задачі чисельного опису залежності між декількома ризиками використано матриці попарних мір залежності. У випадку багатофакторності ризиків, обгрунтованої в роботах Панкратової, матриця є ближчою до діагонально-блокової з більшими залежностями в межах блоку та меншими за межами. Великі власні числа відповідають факторам окремих блоків. Для виявлення закономірностей в більш складних емпіричних матрицях мір залежності, виконано порівняння з результатами теорії випадкових матриць врахувавши симетричність. Зокрема відповідність розподілу власних чисел, відстаней між власними числами та максимальному власному числу випадкової матриці в граничному випадку.
27. Для встановлення ефективності запропонованих методів побудовано багатовимірну комбіновану модель з структурою залежності на основі копули Гумбела. Модель не передбачає незалежності основних факторів. Побудова шляхом виокремлення невеликої кількості основних факторів, є популярною в економіці та фінансах через невелику вимірність. За основні фактори взяті щоденні курси чотирьох валют відносно євро за 99-й – 2006-й роки. Для досягнення значної вимірності для кожного курсу побудовано 120 похідних фінансових інструментів (лінійних форвардів та нелінійних валютних опціонів за формулою Гармена-Колхагена) до вартостей яких додані нормальні випадкові величини. На слайді матриця коефіцієнтів рангової кореляції Кендала. Для всіх емпіричних матриць по чотири власних числа виходять за теоретично максимальне для випадкової матриці. Це відповідає кількості основних факторів. Інші 480 власних чисел є меншими і співпадають зі спектром випадкової матриці. Проведено порівняння з методами факторного аналізу які призводять до завищення кількості основних факторів. Адекватність моделі перевірена щільностями розподілів відстаней між власними числами. Тобто підхід дозволяє визначати кількість основних факторів при побудові факторних моделей реальних систем. Показана відсутність виникнення внутрішніх факторів при використанні широковживаних моделей вартостей похідних фінансових інструментів.
28. Основною прикладною задачею було створення СППР в управлінні ризиками. Особливістю є здатність формувати моделі зв’язані з базою даних, що реалізують різні типи маргінальних розподілів та сімейств функцій звязку. Підсистеми розміщено на трьох рівнях інтерфейсу: 1. засоби роботи з даними, 2. аналітичні засоби, 3. інтерфейс повідомлень та взаємодії. Призначення відповідним чином відображено в програмному забезпеченні на 1. рівні інформаційних сервісів 2. рівні прикладних програм 3. І презентаційному рівні
29. Доступ до всіх трьох рівнів надається єдиним порталом на основі веб-технологій. В області переміщення пов’язані компоненти обираються одразу за кількома напрямками. Така багатофасетна побудова дозволила уникнути проблем єдиних ієрархій та розглядати місце ризиків одразу в кількох вимірах.
30. СППР використана для оцінки валютних ризиків міжнародних транзитних перевезень та ризиків при реалізації інвестиційних проектів і використання рухомого складу інвентарного парку.
31. Це дало економічний ефект за рахунок оптимізації розрахункових операцій, планування видів та строків ремонтів і планування рухомого складу.
32. Вперше запропоновано використати ризиковий профіль у вигляді мір ризику та мір відхилення ризику, що надає можливості характеризувати величини ризиків та невизначеності величин ризиків одночасно. Вперше розроблено методи побудови комбінованого розподілу характеристик ризику і визначення для нього оцінок мір ризику. Використання цих методів дозволяє адекватно описати екстремальні та повсякденні величини ризику в межах однієї моделі, на основі теорії екстремальних значень та байєсівського підходу. Вперше запропоновано нову багатовимірну модель ризиків на основі спеціальних функцій копул та маргінальних розподілів факторів ризиків за комбінованим розподілом. Це дає можливість створити коректний математичний опис взаємодії великої кількості ризиків.
33. Удосконалено метод стохастичної оптимізації на основі застосування статистичної процедури Монте Карло для марковських ланцюгів з метою визначення оцінок параметрів моделі та адаптовано методи генерування випадкових послідовностей до багатовимірної моделі з метою обчислення оцінок основних мір ризику та мір відхилення факторів ризику, що дає можливість підвищити ефективність отримання кількісних характеристик з відповідної моделі ризику. Удосконалено метод визначення кількості факторів ризику, що діють в економічній системі шляхом аналізу матриць мір залежності та узгодженості за допомогою методів теорії випадкових матриць. Це сприяє підвищенню якісної адекватності моделей описання ризиків та рішень, які приймаються на їх основі.
34. Робота виконана в науково-навчальному комплексі Інститут прикладного системного аналізу НТУУ "КПІ". СППР впроваджена в державному підприємстві Головний інформаційно-обчислювальний центр Укрзалізниці.
35. Опубліковано 13-ть друкованих наукових праць, з них 7 – у фахових виданнях, список яких затверджений ВАК України
36. , 6 – у працях або тезах доповідей міжнародних і національних конференцій.
37. Питання та відповіді.