1. Ecuaciones diferenciales de primer
orden
Una ecuación Diferencial de primer orden se
puede expresar de la siguiente forma:
y´+[ p ( x)]y = g ( x)
Para determinar su solución multiplicaremos
ambos miembros por la siguiente función:
∫ p ( x ) dx
e
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

2. Observe que el miembro de la izquierda
representa el diferencial del producto de la función
buscada y(x) con la función ∫ p ( x ) dx
e
Luego
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

3. Solución General…
Integrando miembro a miembro
Finalmente, se obtiene
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

4. Ejemplo 1
Encontrar la solución general para y´-2xy=x
Solución General:
Para este caso tenemos: p(x)=-2x y g(x)=x
Calculando primero,
Luego utilizando la fórmula
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

5. Ejemplo 2
y´− y = x sen(3x )
Encontrar la solución 2 2
general para
x
Solución:
Para este caso tenemos p(x)=-2/x y g(x)=x2sen(3x), luego:
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

6. Fórmula :
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

7. Ejemplo 3
Encontrar la solución
general para
xy´+2 y = senx
Solución:
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

8. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

9. Aplicando integración por partes
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

10. Teorema
Si las funciones p y g son continuas en un
intervalo (a,b) que contiene el punto xo,
entonces existe una función única y=f(x)
que satisface a la ecuación diferencial
y´+ p(x)y = g(x)
para x є (a,b) que cumple la condición
inicial y(xo)=yo
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

11. Ejemplo
xy´+2 y = 4 x
Encontrar la solución 2
particular de
si y(1)=2
Solución:
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

12. Con la condición y=2 y x=1 , se obtiene 2=1+C/1 entonces, C=1
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

13. Ejercicio
Encontrar la solución
particular y´− y = 2 xe ; y (0) = 1
2x
Rpta: x
[(
y ( x) = e 2 xe − e + 3 x x
) ]
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

14. Ejercicios de autoaprendizaje
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

15. Ejercicios de autoaprendizaje
Respuestas
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

16. Ecuaciones de Bernoulli
Existen ecuaciones diferenciales que no son
lineales pero se pueden transformar en
lineales. Una de estas es la denominada
Ecuación de Bernoulli.
Una ecuación de Bernoulli tiene la forma
y´+ p( x) y = g ( x) y n
donde n≠o y n≠1.
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

17. y´+ p ( x) y = g ( x) y n
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

18. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

19. Simplificando se tiene
Esta última ecuación es lineal respecto a la variable v
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

20. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19