O documento discute a distribuição F, incluindo sua densidade de probabilidade, simplificação da fórmula da densidade, e como calcular a moda. A densidade da F é dada por f(x) = k · xa-1 / (1 + bx)c, onde a, b e c dependem dos graus de liberdade υ1 e υ2. Sua moda é calculada resolvendo a equação f'(x) = 0.

1. concurseiro_estatistico@outlook.com

2. Agenda
Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F(υ1, υ2);
Simplicação da densidade da distribuição F(υ1, υ2);
Como calcular a moda da distribuição F(υ1, υ2);
Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).

3. Distribuição F
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2
graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por:
f(x) =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
·
υ1
υ2
υ1
2
·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2
, 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Se k =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
·
υ1
υ2
υ1
2
, podemos escrever a densidade como se segue
f(x) = k ·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2

4. Distribuição F
f(x) = k ·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2
, 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Observe ainda, se zermos



a =
υ1
2
b =
υ1
υ2
c =
υ1 + υ2
2

5. Distribuição F
A densidade ca simplicada a
f(x) = k ·
xa−1
(1 + bx)c , 0 x ∞
Finalmente, podemos armar que afunção de densidade da F é da forma
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1
e h(x) = (1 + bx)c
.

6. Distribuição F
Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108

7. Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x)
A densidade de F é do tipo
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
⇒ f (x) = k ·
g (x)h(x) − g(x)h (x)
[h(x)]2

8. Derivando a densidade f(x)
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1
e h(x) = (1 + bx)c
.
g(x) = xa−1
⇒ g (x) = (a − 1)xa−2
h(x) = (1 + bx)c
⇒ h (x) = bc(1 + bx)c−1
Portanto
f (x) = k ·
(a − 1)xa−2 (1 + bx)c
− xa−1bc(1 + bx)c−1
[(1 + bx)c]2
Para maximizar f(x), fazemos f (x) = 0, logo devemos ter
(a − 1)xa−2
(1 + bx)c
− xa−1
bc(1 + bx)c−1
= 0
Com isso
(a − 1)xa−2
(1 + bx)c
= xa−1
bc(1 + bx)c−1
⇒ x =
1 − a
bc − ab − b

9. Distribuição F Resumo
A densidade da F é dada por
f(x) = k ·
xa−1
(1 + bx)c , 0 x ∞
Com a =
υ1
2
, b =
υ1
υ2
, c =
υ1 + υ2
2
e k =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
Sua moda é dada por x =
1 − a
bc − ab − b
. Fazendo as subistituições
xmodal =
(υ1 − 2)
υ1
·
υ2
(υ2 + 2)

10. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11

11. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11