Esquemas empleados en estudiantes de grado séptimo al solucionar problemas de proporcionalidad directa

1. ESQUEMAS EMPLEADOS POR ESTUDIANTES DE SEPTIMO GRADO EN LA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD SIMPLE DIRECTA EN
CONTEXTOS DE CONTENIDO REFERENCIAL DISCRETO Y CONTINUO
ANGÉLICA ADRIANA MAYORGA RODRÍGUEZ
JORGE JULIAN MAYORGA RODRÍGUEZ
Proyecto de investigación
Maestría en Educación
Director
MIGUEL ERNESTO VILLARRAGA
Doctor en Didáctica de la Matemática
Codirector
MANUEL TORRALBO RODRIGUEZ
Doctor en Ciencias Matemáticas
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

2. MAESTRIA EN EDUCACIÓN
IBAGUÉ, Septiembre de 2007
TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO..........................................................................................2
DEFINICION DEL PROBLEMA................................................................................3
JUSTIFICACION........................................................................................................5
OBJETIVOS...............................................................................................................7
Objetivo General.................................................................................................................................................7
Objetivos Específicos..........................................................................................................................................7
MARCO CONCEPTUAL...........................................................................................8
Esquemas.............................................................................................................................................................8
Razonamiento proporcional............................................................................................................................10
Solución de Problemas.....................................................................................................................................11
Contexto.............................................................................................................................................................12
Magnitudes Discretas.....................................................................................................................................13
Magnitudes Continuas...................................................................................................................................13
DISEÑO METODOLOGICO....................................................................................15
Metodología.......................................................................................................................................................15
Variables............................................................................................................................................................15
Muestra .............................................................................................................................................................15
Instrumentos.....................................................................................................................................................15
.................................................................................................................................16
BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................17
2

3. DEFINICION DEL PROBLEMA
La matemática es la que estudia las propiedades de los entes abstractos, números y figuras
geométricas etc. así como las relaciones que se establecen entre ellos y mas precisamente la
búsqueda de patrones y relaciones. Este aprendizaje se lleva a cabo mediante el desarrollo
de conceptos y generalizaciones utilizadas en la solución de problemas, teniendo como
propósito la comprensión del mundo que nos rodea. (Estándares para la excelencia en la
educación, 2002)
En didáctica de la matemática el hecho de que el estudiante aprenda matemáticas se
considera conveniente a partir de la interacción con el entorno físico y social y cultural, lo
que podría conducir a la abstracción de ideas matemáticas, generando asi espacios para el
descubrimiento, que permitan explicar, describir, representar las relaciones y demás
aspectos del pensamiento matemático.
Algunos de los conceptos fundamentales en la enseñanza de las matemáticas son: la razón y
la proporción. Desarrollando en el estudiante el razonamiento proporcional desde el
preescolar hasta el grado 11 de bachillerato, constituye un eje fundamental en el
Pensamiento Variacional y los Sistemas algebraicos y analíticos (MEN,1998), por lo que
este tipo razonamiento debería ser estudiado a profundidad para que se produzca una
correcta interiorización de éste; entendiendo como razonamiento proporcional “una forma
de razonamiento matemático que involucra un sentido de co-variacion y múltiples
comparaciones y la capacidad de almacenar y procesar mentalmente varias piezas de
información” (Lesh, Post y Behr, 1988).
La anterior definición implica a que este razonamiento moviliza información almacenada
en la memoria, es decir permite que se formen esquemas de conocimiento en el
pensamiento de los sujetos. Los esquemas son estructuras de conocimiento que sirven para
comparar, seleccionar y organizar conocimientos de manera coherentes y con sentido. Para
Vergnaud (1990), “el esquema es una organización invariante de la conducta para una
clase dada de situaciones”, por lo tanto en los esquemas es donde se debe investigar los
elementos cognitivos. Estos esquemas se presentan en la vida cotidiana, y también en la
competencia matemática.
Pero para que un esquema puede ser analizado debe tener un marco de actuación, en
matemáticas es la solución de problemas, la solución de problemas esta orientada en dos
direcciones, la primera es el desarrollo de una habilidad (Polya, 1979) y la segunda al
desarrollo de competencias (MEN, 2002), se entiende como competencia el hacer frente a
una situación de tarea especifica, la cual evidencie cuando el sujeto entre en contacto con
ella. La competencia supone conocimientos, saberes y habilidades que emergen en la
3

4. integración que se establece entre el individuo y la tarea, y que no siempre están dados de
antemano. En el caso de las matemáticas, las competencias básicas están asociadas a la
apropiación y el uso de los sistemas propios de esta área del conocimiento (Montenegro,
2002).
El solucionar problemas debe estar ligado a una situación, es decir al contexto, El contexto
tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que les dan sentido a las
matemáticas que aprende (MEN, 1998). La complejidad de la solución de problemas en el
ámbito educativo esta dada por las distintas posibilidades de las variables relacionadas con
la tarea, en particular en grado séptimo de educación media estas variables están dirigidas
al paso y uso de cantidades discretas a las continuas es decir del paso del numero entero al
número racional, con las características propias de los estudiantes y con las relaciones
añadidas a la actividad de solucionar problemas en el aula.
En la solución de problemas el estudiante debe tener el dominio de un conocimiento,
estrategias cognitivas y estrategias meta cognitivas, lo que nos da indicios que en la mente
del estudiante debe haber un esquema el cual le permita hacer uso de ese conocimiento y
uso de estrategias para solucionar un problema; a demás estos esquema están sujetos a la
elaboración consciente e inconsciente, pero aun es mas importante la comprensión de los
esquemas porque estos nos ayudan a la interpretación del aprendizaje y la comprensión de
la construcción del conocimiento por parte de los estudiantes.
Por lo tanto se considera relevante estudiar los esquemas que tienen los estudiantes al
solucionar problemas que impliquen razonamiento proporcional simple directo; en
consecuencia se propone el siguiente problema de investigación:
¿CUÁLES SON LOS ESQUEMAS QUE ESTÁN UTILIZANDO LOS ESTUDIANTES
DE 12 Y 13 AÑOS DE GRADO SÉPTIMO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE
PROPORCIONALIDAD DIRECTA SIMPLE EN CONTEXTOS DISCRETO Y
CONTINUO EN LOS COLEGIOS SUMAPAZ DE MELGAR Y GUAVIO BAJO DE
FUSAGASUGA?
4

5. JUSTIFICACION
Esta investigación esta dirigida hacia el ámbito general de la representación del
conocimiento y a aportar a la práctica educativa. En efecto, si consideramos que el
conocimiento de lo que un alumno sabe es la base para todo el desarrollo posterior de su
educación, disponer de herramientas que permitan conocer la estructura cognitiva del
alumno puede resultar de una innegable utilidad.
Con respecto al tema de investigación, su elección radica en que, aun siendo un tema que es
enseñado desde cuarto de primaria se observa que los estudiantes llegan a grados superiores
y aun no manejan el razonamiento proporciona (ICFES, 2006). Basta indicar que el
estudiante no llega a dominar este concepto sino tras un proceso de repetición a lo largo de
toda su escolaridad sin llegar a comprender lo que hace.
El proceso de adquisición del esquema de razonamiento proporcional no es tan evidente,
pues esta expuesto a errores desde la enseñanza hasta la manera de cómo aplicarla, y
prevalece hasta la edad adulta, tal como nos muestran los resultados de investigaciones que
apuntan a afirmar que existen adultos que no comprenden el razonamiento proporcional
(Capon y Kuhn, 1979).
Se ha considerado interesante el conocimiento de los esquemas en el razonamiento
proporcional por lo tanto nos planteamos el diseño de una herramienta que permita
evidenciar dicho conocimiento (Mayer, 1983). Han sido empleadas diversas técnicas para
estudiar los esquemas que presenta el estudiante. Entre ellas podemos mencionar el uso de
cuestionarios, protocolos de pensamiento en voz alta, entrevistas a profesores y alumnos,
mapas conceptuales, y otras similares.
Teniendo en cuenta, además, que muchas de las técnicas para estudiar los esquemas y la
estructura cognitiva del estudiante se realiza desde diferentes metodologías (tanto
cualitativas, como cuantitativas) que aportan elementos, para el análisis de algunos aspectos
complejos de las representaciones mentales; a pesar de que existe algunos instrumentos y
aproximaciones de este tipo para comparar, por ejemplo, la similaridad entre ellas, no se
conocemos ninguna que nos permita evaluar su nivel de complejidad, por lo que se
pretende crear un instrumento que pueda evaluar las características de los esquemas.
Se pretende con esta investigación, dos actividades:
1. Diseñar un instrumento que permita caracterizar los esquemas utilizados por los
estudiantes de séptimo grado para resolver problemas de proporcionalidad simple directa.
5

6. 2. Aportar elementos a la teoría de razonamiento proporcional empleando los contextos
discretos y continuos.
Ambas actividades están relacionadas, de modo que el desarrollo del instrumento
mencionado en 1 implica necesariamente el establecer categorías de los esquemas para
aportar nuevos elementos a la teoría de razonamiento proporcional empleando variables de
contextos discretos y continuos. También implica conocer cómo se caracterizan los
esquemas y la organización del conocimiento; interpretando las diversas características de
las estructuras de conocimiento y su relación para la solución de problemas de
proporcionalidad simple directa.
El trabajo de investigación pretende dar un aporte teórico al estudio de la proporcionalidad
en los contextos de contenido referencial discreto y continuo y aportar al conocimiento del
estado y evolución de la estructura cognitiva de los alumnos en lo que se refiere al concepto
matemático de razonamiento proporcional
6

7. OBJETIVOS
Objetivo General
Caracterizar los esquemas que presentan y utilizan los estudiantes de grado séptimo al
resolver problemas de proporcionalidad simple directa en los contextos discretos y
continuos.
Objetivos Específicos
1. Diseñar tres problemas en donde involucre situaciones de proporcionalidad
2. Identificar los esquemas de conocimiento que son utilizados para resolver
problemas de razonamiento proporcional
3. Identificar los esquema del razonamiento proporcional referidos a la variación
proporcional
4. Conocer y comprender las características de los esquemas erróneos de razonamiento
“proporcional aditivo” utilizados por los estudiantes
5. Conocer y comprender las características de los esquemas de razonamiento
proporcional multiplicativo evidenciados por los estudiantes
7

8. MARCO CONCEPTUAL
Para estudiar los esquemas que son utilizados por los estudiantes nos enfocaremos en
cuatro aspectos: Esquemas, razonamiento proporcional, solución de problemas y variables
de contexto referidas a contenido diferencial discreto y continuo.
Esquemas
En cuanto a esquemas se refiere, tenemos como base a Vergnaud y Marshall. Para
Vergnaud la teoría de los campos conceptuales es una teoría cognoscitiva que busca
proporcionar en marco coherente y bases para el estudio del desarrollo y el aprendizaje, y
comprender las filiaciones y rupturas entre conocimiento en los niños y adolescentes en las
matemáticas; sentando las bases del proceso de conceptualización de las estructuras
aditivas, multiplicativas, de las relaciones numérico espaciales y del algebra.
El concepto de esquema, para Vergnaud, se refiere a la organización invariante de la
conducta para una clase dada de situaciones. Es en los esquemas donde se debe investigar
los elementos cognitivos que le permiten a la acción de los sujetos. Estos esquemas se
presentan en todos los campos de la vida cotidiana, también en las competencias
matemáticas. Los esquemas por lo tanto van en vía de la automatización que, junto con las
decisiones conscientes, está presente en todas nuestras conductas.
Desde luego, algunos de los esquemas que poseen los niños pueden ser ineficaces para una
situación determinada y la experiencia le conduce a cambiar el esquema, es decir, que las
estructuras cognitivas sufren una adaptación. Cuando un esquema ineficaz es utilizado en
una situación, se llega a la necesidad de sustituirlo o modificarlo. Concuerda con Piaget en
cuanto a que los esquemas que están en el centro del proceso de adaptación de las
estructuras cognitivas son: asimilación y acomodación. Un esquema se apoya siempre en
conceptualizaciones implícitas; es decir que el error que cometen los alumnos tiene que ver
con una conceptualización errónea.
Por lo tanto, el funcionamiento cognoscitivo reposa sobre el repertorio de esquemas
disponibles; Los niños descubren nuevos aspectos y eventualmente nuevos esquemas en
diversas situaciones; es decir cada sistema es relativo a una clase de situaciones cuyas
características están bien definidas. El reconocimiento de invariantes es la clave de la
generalización del esquema, lo que implica que el esquema debe ser dinámico y
organizador en la acción de un sujeto, en una situación dada.
En las invariantes operatorias se hallan tres tipos lógicos fundamentales:
11. Invariantes del tipo proposiciones
22. Invariante del tipo función proposicionales
3. Invariantes del tipo argumento
En palabras de Vergnaud: “Una aproximación psicológica y didáctica de la formación de
conceptos matemáticos, conduce a considerar un concepto como un conjunto de
invariantes utilizables en la acción. La definición pragmática de un concepto pone, por
tanto, en juego el conjunto de situaciones que constituyen la referencia de sus diferentes
8

9. propiedades, y el conjunto de los esquemas puestos en juego por los sujetos en estas
situaciones” (Vergnaud, p. 7)
La movilización de un concepto debe ser probada a través de situaciones variadas, los
conceptos matemáticos conducen a considerar un concepto como un conjunto de
invariantes utilizables en la acción. El uso de significantes explícitos es indispensable para
la conceptualización. Por que se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:
1. Campos conceptúales
2. Situaciones
3. Significados y significantes
Por lo que se entiende por esquema: “una estructura del conocimiento utilizada para la
comparación, sirve para seleccionar y organizar la información entrante en un marco
integrado y con sentido” Villarraga (2003) Por lo tanto se identifican en los estudiantes
esquemas en donde se pueden apreciar los conceptos de razón, proporción, igualdad,
constantes de proporcionalidad, variables y funciones a si mismo preconceptos de
multiplicación, escala, movimiento, y porcentajes, además de abrir los espacios para
estudiar los procesos de comprensión semiótica, y comprensión de el lenguaje, y la
sintaxis.
Como los esquemas también producen acción en la cognición y en todo el comportamiento,
estos a su vez también producen cuatro funciones, en que cada una de las cuales depende de
un tipo de conocimiento particular; estas funciones son: reconocimiento, acceso, delinear
inferencias y utilizar habilidades. Marshall (1995) describe los momentos para identificar
estructuras mentales:
1. Identifica los invariantes operatorios evidenciados por los estudiantes en la
resolución de problemas.
2. Los conocimientos de elaboración y de ejecución se encuentran presentes en los
esquemas.
3. Describe, analiza y clasifica los esquemas utilizados.
4. Representa los mapas cognitivos empleados por los sujetos en la resolución de
problemas.
Las teorías de esquemas son interpretaciones de la organización de la memoria, sugieren
que son utilizados para encontrar sentido a las situaciones y son movilizados por conjuntos
de conocimiento previo relacionados (esquemas) que a su vez forman estructuras que
describen como afrontar una diversa situación. Los esquemas mentales se construyen a
través del aprendizaje y están compuestos por informaciones relativas al entorno que al ser
comprendidas pueden interpretar situaciones similares.
Cuando se propone un problema de cualquier tipo, comenzamos el acercamiento a él
mediante una representación inicial de los elementos que intervienen en la situación, por
los esquemas mentales en que se configuran. El esquema contiene mucha información
puesto que probablemente va almacenando en él muchas experiencias previas. Este
esquema es activo, capaz de ingresar nuevos elementos y de complementarse con otros
esquemas para formar estructuras más amplias y complejas.
9

10. La presentación de un problema pone en movimiento diversos esquemas entre los que de
forma natural es capaz de seleccionar el más adecuado para la resolución del problema. Se
deben Identificar con claridad los esquemas operativos como modelos de procedimiento en
el campo de resolución de problemas y presentarlos en acción, mostrando su eficacia en
diversas circunstancias interesantes.
Razonamiento proporcional
El razonamiento proporcional tiene que ver con las Proporciones; se le denomina
proporción a la igualdad entre dos razones a/b=c/d y se lee a es a b como c es a d y su
propiedad fundamental es: en toda proporción el producto de medios es igual al producto
de extremos, es decir:
a/b=c/d si y solo si a.d=b.c
Dos magnitudes están correlacionadas directamente si al aumentar o disminuir una de ellas,
la otra también aumenta o disminuye, por lo tanto se afirma que dos magnitudes están en
proporción directa o son directamente proporcionales si están correlacionadas directamente
y su razón permanece constante.
Dadas las magnitudes, se establecen las correlaciones entre ellas y se define la
proporcionalidad directa e inversa. Cuando se trabajan con operadores multiplicativos
(ampliadores o reductores) se hacen aplicaciones en la función lineal, el calculo de
porcentajes, interés, repartos proporcionales y la solución de problemas.
El razonamiento proporcional es considerado como una habilidad global , también como
una manifestación de una estructura cognoscitiva general, para efectos de este estudio, el
razonamiento proporcional es una forma de razonamiento matemático que involucra co-
variacion, comparación, capacidad de almacenar, procesar y utilizar piezas de información
y se encuentra estrechamente relacionado con la inferencia y la predicción e implica ambos
métodos de pensamiento cualitativo y cuantitativo ( Lesh, Post y Behr, 1988).
Se considera como características principales del razonamiento proporcional las que
implican las relaciones entre dos expresiones como lo son las razones, cocientes, tazas de
cambio y fracciones. Lo que implica que debe existir una asimilación y capacidad de
relacionar la igualdad o desigualdad entre las expresiones. Lo que a su vez implica que al
enfrentarse a un problema de proporcionalidad debe utilizar de manera organizada y
coherente los conocimientos adquiridos.
El razonamiento proporcional implica el razonamiento acerca de las relaciones entre dos
expresiones racionales tales como las razones e implica la interiorización y la construcción
de esquemas para desarrollar habilidades en relacionar igualdades o desigualdades de las
razones relacionadas.
10

11. Figura 2. Clasificación de las proporciones
Solución de Problemas
En la solución de problemas se marcan dos posturas: La primera se refiere al desarrollo de
una habilidad y la segunda se refiere al desarrollo de una competencia matemática. En
matemáticas cuando se refiere al desarrollo de una habilidad podemos citar al representante
más destacado de la tendencia de enseñar a resolver problemas a partir de su
descomposición en etapas es George Polya. Para Polya el aprender a resolver problemas es
como aprender a nadar o a montar en bicicleta. Afirma lo siguiente: El resolver problemas
es una cuestión de habilidad práctica como, por ejemplo, nadar. La habilidad práctica se
adquiere por la imitación y práctica... Al tratar de resolver problemas, hay que observar e
imitar lo que otras personas hacen en casos semejantes (Polya, 1979, p. 27) y ubica al
maestro en una didáctica de imitación-practica, para que el alumno adquiera esta habilidad
debe enfocarse en la imitación de su maestro y practicar la solución de problemas.
Se puede ayudar a resolver problemas a los alumnos de forma efectiva mediante preguntas
y sugerencias, de tal manera que, éste sea capaz de descubrirla por sí mismo a partir de las
indicaciones dadas. Por lo que las preguntas y sugerencias deben ser empleadas por el
profesor en toda resolución de problemas ante los estudiantes, de manera que estos perciban
cómo usarlas.
La lista de preguntas y sugerencias que da Polya es amplia y con el fin de hacer más
cómoda y efectiva su utilización las agrupa en cuatro fases de trabajo:
1. Comprender el problema;
2. Concebir un plan;
Proporciones
Correlaciones y
Proporcionalidad
Operadores
Multiplicativos
Directa
Inversa
Función lineal
Función afín
Regla de tres simple
Regla de tres compuesta
Repartos proporcionales
Porcentaje
Interés simple
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12. 3. Ejecutar el plan,
4. Examinar la solución obtenida.
Este simple modelo de lo que ocurre durante la resolución de problemas puede servir, y así
se ha utilizado en numerosas ocasiones, como un esquema para deducir modelos e incluso
materiales de instrucción.
Pero el principal logro es que para resolver problemas, a parte de tener conocimientos; es el
ser precisos en elegir exactamente los conocimientos que se necesitan y Polya los llama
“movilización” al acto que consiste en extraer de la memoria los elementos apropiados (p.
159) aportando la posibilidad de adaptar conocimiento para que sea aplicado a una
situación problema determinada; siendo capaz de organizar, adaptar y combinar el
conocimiento.
Contexto
En Colombia el MEN se ha preocupado por el desarrollo cognitivo del estudiante y se
enmarca en los lineamientos curriculares, desde allí se articulan tres grades aspectos para la
organización del currículo de matemáticas; estos son: los procesos generales,
conocimientos básicos y el contexto.
1. Procesos generales que tiene que ver con el aprendizaje, tales como el
razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación, la
modelizacion y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
2. Conocimientos básicos que tiene que ver con procesos específicos que desarrollan
el pensamiento y con sistemas propios de las matemáticas.
• Pensamiento numérico y sistemas numéricos
• Pensamiento espacial y sistemas geométricos
• Pensamiento numérico y sistemas de medidas
• Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
• Pensamiento variacional y sistemas algebraico y analítico
3. El contexto tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que le dan
sentido a las matemáticas que aprende. Variables como las condiciones sociales y
culturales tanto locales como internacionales, el tipo de interacciones, los intereses
que generan, las creencias, así como las condiciones económicas del grupo social en
el que se concreta el acto educativo (MEN,1998).
Es decir el contexto tiene que ver con su entorno y con lo que se puede percibir, para grado
séptimo el contexto matemático tiene relevancia ya que se pasa de cantidades discretas a
cantidades continuas es decir de los números enteros a los números irracionales, por lo que
es apropiado que el estudio del razonamiento proporcional se haga tanto en cantidades
continuas como en discontinuas, estas cantidades tienen como referentes las magnitudes,
las magnitudes se clasifican en discretas y continuas
12

13. Magnitudes Discretas
La palabra discreto proviene del latín discretus que significa separado. Tiene significados
diferentes dependiendo del contexto en que se encuentre:
1. En el contexto informático, Discreto se refiere a la forma particular de codificación
que toma un símbolo o un paquete de información.
2. En matemáticas y física, una función, variable o sistema es discreto, en
contraposición a continuo, si es divisible un número finito de veces. Así, el conjunto
de los números naturales es un conjunto discreto, así como la energía de los estados
cuánticos.
Entre cada uno de los miembros del conjunto no
puede haber más términos. Como se ve en los naturales se puede llegar a una
sucesión indivisible de números
Podríamos aplicar el contexto discreto a la propiedad común de los objetos que están en la
misma clase, por ejemplo el valor de un objeto, siguiendo un sistema de valores
establecidos en la sociedad. La moneda es un representante de todos los objetos que tienen
el mismo valor; en este sentido representativo es la representación de la mayor o menor
riqueza de una persona en términos de dinero, aunque este no se posea en efectivo; para
realizar operaciones en dinero se debe utilizar el concepto de medida de la magnitud, que es
el numero que aparece como valor en cada una de las monedas y billetes. Es necesario que
se adquiera una apreciación del valor de los objetos de la vida real y tiene como fin
conseguir la automatización de los cambios de la moneda y su utilización practica en el
comercio.
Los problemas de proporcionalidad aplicados a magnitudes aritméticas se plantean y se
resuelven desde los primeros niveles. Por ejemplo: si tres cuadernos cuestan $2.400,
¿cuanto cuestan cinco cuadernos? En este problema se ve aplicado el contexto discreto
(tanto en los libros como en el precio) y se resuelve con una sencilla operación de
multiplicar (proporcionalidad entre dos magnitudes)
Magnitudes Continuas
La palabra continuo proviene del latín continŭus.
• En física, una función, variable o sistema es continuo, en contraposición a discreto
si entre dos puntos cualesquiera existe una infinidad de puntos, y si, además, tiene la
propiedad de completitud, es decir, si la distancia entre los dos puntos tomados
mide d, para cada número entre 0 y d podemos encontrar un punto cuya distancia
del primero mida exactamente a ese número. Por ejemplo, es el caso de los números
reales así como el espacio-tiempo según la relatividad.
13

14. • En topología un continuo es un espacio topológico conexo y compacto. Los
continuos nacieron como un intento de caracterizar las funciones continuas como
aquellas que transformaban continuos en continuos. La idea no cuajó, pero el
término siguió usándose pues en numerosas áreas de la Matemática se utilizan
conjuntos compactos y conexos. Algunos autores exigen además que se cumpla la
propiedad de Hausdorff.
Desde el punto de vista topológico, en Física se habla de continuo para referirse a un
subconjunto conexo del espacio euclídeo. En el contexto continuo dirigiremos nuestra
atención a las magnitudes de longitud, masa y tiempo.
14

15. DISEÑO METODOLOGICO
Metodología
Para la investigación tomamos metodología descriptiva que constituye el primer nivel del
conocimiento científico, centrándose en la descripción de los fenómenos analizados Es un
método de carácter inductivo, siendo uno de sus objetivos descubrir hipótesis En esta
metodología se deben describir, del modo más preciso posible, los objetivos o finalidades
del tipo de saber en cuestión. La metodología descriptiva buscará entonces caracterizar con
respecto a ciertos criterios los esquemas de razonamiento proporcional simple y mostrará
también las razones por las cuales se emplea dichas representaciones cognitivas tanto en los
estudiantes que tiene éxito y los que no en la solución de problemas.
Por lo tanto para acercarnos a la comprensión del problema de investigación es necesario
tener un instrumento que permita:
1. Obtener una representación de los esquemas utilizados tanto en el contexto continuo
como en el discreto.
2. También necesitaríamos que este instrumento nos permitiera obtener datos pertinentes,
de modo que el estudio se pudiera hacer con una muestra suficientemente representativa
para generalizar resultados.
3. El método a utilizar seria el Descriptivo para analizar los datos obtenidos de una manera
que se pueda entender, comprender y representar los datos obtenidos.
Variables
Las variables que tendremos en cuenta en este estudio son:
• La edad de los estudiantes que es entre 12 y 13 años
• Proporcionalidad simple directa
• Contexto Discreto
• Contexto Continuo
• Los esquemas de razonamiento proporcional
Muestra
La población son los estudiantes de grado séptimo de los colegios Sumapaz de Melgar y
Guavio Bajo de Fusagasuga, estas instituciones son de carácter oficial. El colegio Sumapaz
ubicado en la zona urbana y el colegio Guavio bajo ubicado en zona rural a unos 40
minutos del casco urbano; El total de la población es de 210 estudiantes. Por la
heterogeneidad de la población estudiantil se toma como muestra solamente los estudiantes
que tengan 12 y 13 años, para un total de la muestra de 70 estudiantes.
Instrumentos
La obtención de datos se hará mediante El diseño de una prueba escrita, en la que se
evidencien los esquemas de razonamiento proporcional que utilizan los estudiantes para
resolver problemas de proporcionalidad directa en los contextos discretos y continuos. Para
recoger y presentar los datos se diseñara un instrumento que muestre los esquemas
evidenciados en los estudiantes al resolver problemas de proporcionalidad simple directa en
los contextos de contenido referencial discreto y continuo, ya que podemos apreciar la red
15

16. conceptual del estudiante. Nos apoyaremos, en los esquemas, estructuras cognitivas y la
solución de problemas.
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17. BIBLIOGRAFIA
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