ALGEBRA LINEAL Y TIPOS DE ECUACIONES. TEORIA Y EJERCICIOS

1. ANDRES PAGUAY SEGUNDO “A” ALGEBRE LINEAL INGENIERIA CIVIL
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según
el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
1. Ecuaciones algebraicas.
En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese
cuerpo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el
cuerpo es , el cuerpo de los números racionales, en este caso los polinomios algebraicos son
aquellos con coeficientes racionales.
- Polinómicas o polinomiales.
Definida sobre cuerpo dado es una ecuación de la forma:
donde es un polinomio en ese cuerpo (posiblemente con varias
variables). Por ejemplo:
es una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de
los números racionales.
- De primer grado o lineales.
Definida por:
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
- De segundo grado o cuadráticas.
La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:
donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es
el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término
independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de
una función cuadrática o parábola.

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- Diofánticas o diofantinas.
Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de
varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros o los
números naturales ; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son
números enteros.
- Racionales.
Son aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de
polinomios.
En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de
la forma:
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo.
Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos
los valores de x que no anulen el denominador.
2. Ecuaciones trascendentes.
Son cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas,
exponenciales, logarítmicas, etc.
El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución va más allá del álgebra;
trasciende el álgebra.
3. Ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más
funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las
que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
- Ordinarias.
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada
"EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente
y relaciona con sus derivadas:
una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones
diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias
variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

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- En derivadas parciales.
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP)
es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad
de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus
derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables. 1
. O bien una
ecuación que involucre una función matemática de varias variables
independientes y las derivadas parciales de respecto de esas
variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación
matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en
el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor,
la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad,
la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones
diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses
D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.
4. Ecuaciones integrales.
En matemática, una ecuación integral es una ecuación en que la función incógnita aparece
dentro de una integral. Existe una conexión estrecha entre las ecuaciones integrales y las
ecuaciones diferenciales, y de hecho algunos problemas pueden formularse como ecuación
diferencial o equivalentemente como ecuación integral. Ver por ejemplo el modelo de
Maxwell de viscoelasticidad.
El tipo de ecuación integral más sencillo es el de una ecuación de Fredholm de primera clase:1
Donde:
φ es una función desconocida,
f es una función conocida y
K es una función de dos variables también conocida, llamada núcleo de la integral.
5. Ecuaciones funcionales.
Se llama ecuación funcional elemental a aquella que conlleva como incógnita una función de
una variable. Los elementos que contienen la función están ligados por suma (diferencia),
producto (cociente), producto por un escalar o la composición de funciones. 1
.
1. Ejemplo |f(x) +1| = 3x + 3
2. Ejemplo si Halle las f(X) tales que [f(x)]^2f(1-x/1+x)= 64 x para todo x real distinto a 1, 0,-12
1. Sea la ecuación funcional fºf(x)= 4x+ 3, donde º es composición de funciones, hallar f(x)´.
Similarmente, en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, una función (o aplicación)
aparece como una incógnita. Por ejemplo, y' = ky, cuya solución es una familia de funciones
mono paramétrica.

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SOLUCION A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sustitución.
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita,
preferiblemente la que tenga menor coeficiente o base, para, a continuación, sustituirla en otra
ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor
equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante,
tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos
seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver
por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su
valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya
resuelto.
Igualación.
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en
el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la
parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos
la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

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Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que
podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones
originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x
después de averiguar el valor de la y.
Reducción.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en
que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos
ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente,
mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita
aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones
produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con
una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita .
Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación
donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la
incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las
ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de si sustituimos en la
primera ecuación es igual a:

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Método gráfico.
Rectas que pasan por el punto: (2,4)
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano, es decir para un espacio de dimensión.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en
los siguientes pasos:
 Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
 Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de
valores correspondientes.
 Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
 En este último paso hay tres posibilidades:
o Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
o Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. «Sistema compatible indeterminado».
o Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en
los complejos.