1. Lista 2 de Integrais
UFES - Universidade Federal do Esp´
ırito Santo Integral definida
DMAT - Departamento de Matem´tica
a Teorema Fundamental do C´lculo
a
´
Area de regi˜es planas
o
Calcule as integrais dos exerc´
ıcios 1. a 10.
1 √ 2 √ 3
x
( t )2 − 2 dt
3
1. 5. (2 − s) s ds 9. √ dx
−1 0 2 x−1
1 √ 1 1
x− x 2 x
2. dx 6. |x| dx 10. √ dx
0 3 −1 0 1 − x4
3 4
3
3. − 1 dx 7. x2 − 4x + 3 dx
1 x2 0
π
2
2 4
4. dx 8. cos3 x dx
1 x 0
Derive as fun¸˜es dos exerc´
co ıcios 11. a 15.
√ √
1
t2 − 2t 2 x x
2
11. f (x) = dt 13. f (x) = x 2
t2 + 1 dt 15. F (x) = et +1
dt
−x t2 + 4 1 0
x4 | sen x|
12. f (x) = cos t3 dt 14. F (x) = ln t dt
− sen2 x 0
Calcule os limites dos exerc´
ıcios 16. e 17.
x 1
2 2
cos( sen t) dt et dt
π −x
16. lim 2 17. lim
x→π (x − π)
3 x→−1 (x + 1)3
Calcule a ´rea da regi˜o R dos exerc´
a a ıcios 18. a 24.
18. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = x2 − 1 e y = x + 5.
e a a
19. R ´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4.
e
20. R ´ a regi˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y 2 + 1.
e a
√
21. R ´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ x.
e
22. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = |x| e y = x2 , com −3 ≤ x ≤ 3.
e a a
23. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = x, xy 2 = 1 e y = 2.
e a
24. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = sen x e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ π.
e a
4
25. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o entre o eixo x e a hip´rbole y =
a a e , para 2 ≤ x ≤ 3.
x−1
3
26. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o delimitada por y =
a a , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4.
x−1
27. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o limitada pela curva y = ex e a reta que cont´m os pontos (0, 1) e (1, e).
a a e
28. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|.
a a
29. Determine m de modo que a ´rea da regi˜o limitada por y = mx e y = 2x − x2 seja 36.
a a
30. A reta y = 1 − x divide a regi˜o compreendida entre as par´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas
a a
partes. Mostre que as ´reas assim obtidas s˜o iguais e calcule o seu valor.
a a
1 1
31. Calcule 0
xf (x) dx, sabendo que f (1) = 2 e que f (t) dt ´ igual a ´rea da regi˜o R entre o gr´fico de
0
e a a a
d
y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. sugest˜o:
a (xf (x)) = f (x) + xf (x)
dx

2. Lista 2 de Integrais
RESPOSTAS
1
1. − 14 4
5 20. 2 − y2 + 1 dy =
1 −1 3
2. − 18
1 √ 1
3. 0 21. x − x2 dx =
√ 0 3
4. 4 − 2 2 1
√ 22. 2 x − x2 dx+
5. 16 2
15 0
3
6. 1 29
+2 x2 − x dx =
1 3
7. 4
√ 2
8. 5
12 2 23. y − y −2 dy = 1
1
1 √
9. 10 2 − 8 2π
3
3 24. ( sen x + sen 2x) dx+
1 1 0
10. arcsen π
5
2 4 +2 −( sen x + sen 2x) dx =
2π 2
x2 + 2x 3
11. f (x) =
x2 + 4 25.
12. f (x) = 4x3 cos x12 + sen 2x cos sen 6 x a
´rea = 4 ln 2
√
2 x 26.
13. f (x) = (4x + 1)x3 + 2x t2 + 1 dt
1 a
´rea = 3 ln 5
sen x 27.
14. F (x) = (cos x) ln | sen x|
| sen x| 3−e
a
´rea=
ex+1 2
15. F (x) = √
2 x 28.
16. ∞ ´rea = 2e − 2
a
17. ∞ 29. m = −4
3 1
18. (x + 5) − x2 − 1 dx 30. 2 − 2x2 − (1 − x) dx =
−2 1
−2
0 2 1
9
19. x2 − 2x dx + − x2 − 2x dx+ = (1 − x) − 2x2 − 2x dx =
−2 0
1
−2 8
4
44 2
+ x2 − 2x dx = 31.
2 3 3