1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo diferencial e integral, incluindo aproximações lineares, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos. 2) É solicitado calcular derivadas, integrar funções, aproximar valores e esboçar gráficos de funções. 3) As respostas fornecem os cálculos das derivadas, aproximações dos valores solicitados e esboços dos gráficos conforme pedido nos exercícios.

1. Lista 8 de C´lculo I
a 2010-2 15
UFES - Universidade Federal do Esp´
ırito Santo Aproxima¸ao linear
c˜
DMAT - Departamento de Matem´tica
a
Diferencial
LISTA 8 - 2010-2 Derivada de ordem superior
1. Encontre a equa¸ao da reta que melhor aproxima o gr´fico de y = f (x) = x19/3 para valores de x pr´ximos
c˜ a o
de −1. Usando a equa¸ao desta reta, encontre um valor aproximado para (−1, 06)19/3 .
c˜
√ 1 π 1/3
2. Calcule, por diferencial, o valor aproximado de: (a) 35, 99 (b) (c) cos
3, 09 3
3. A altura e o raio de um cilindro reto s˜o iguais, de modo que o volume desse cilindro ´ dado por V =
a e
πh3 . O volume deve ser calculado com erro n˜o maior que 1% em rela¸ao ao valor real. Determine,
a c˜
aproximadamente, o maior erro que pode ser tolerado na medida de h, expressando-o como porcentagem
de h.
4. Calcule f ′′ para a fun¸ao do ex. 8. da Lista 7.
c˜
5. Calcule f ′′ para a fun¸ao do ex. 10. da Lista 7.
c˜
1
x2 cos , x = 0
6. Calcule f ′′ , f ′′′ e seus respectivos dom´
ınios para f (x) = x
0, x=0
7. Seja h(x) = x2 − 4 , x ∈ R.
(a) Dˆ os pontos onde h ´ duas vezes diferenci´vel e determine h′ (x) e h′′ (x);
e e a
(b) Esboce o gr´fico de h.
a
dy dy d2 y
8. Seja y = u cos2 u3 . (a) Calcule ; (b) Se u = u(x), calcule e .
du dx dx2
√ √
9. Prove: se y = cos x − sen x ent˜o 4xy ′′ + 2y ′ + y = 0.
a
10. Considere g(x) = cos x×f 2 (x), onde f : R −→ R ´ duas vezes diferenci´vel, f (0) = −1 e f ′ (0) = f ′′ (0) = 2.
e a
Calcule g ′′ (0).
RESPOSTAS
19 16
1. y = x+ ; valor aproximado = −1, 38 2. (a) ∼ 5, 9992 (b) ∼ 0, 3233
= =
3 3 „ «1/3
“π” 1 1 ∼ 0, 8333, ´ uma aproxima¸˜o grosseira, foi usado que 1 est´ perto de 1;
2. (c) como cos = , = e ca a
3 2 2 2
„ «1/3
1 ∼ 0, 79375, ´ uma aproxima¸˜o melhor, foi usado que 1 est´ perto de 0, 512 = (0, 8)3
= e ca a
2 2
1 16
3. % 4. G′′ (r) = − (2r + 2)−9/5
3 „5 «
′′ 16 1 4 1
5. Para x = 0, f (x) = 6x − 7 sen 4 − 3 cos 4 ; ∃f ′′ (0) pois f ′ n˜o ´ cont´
a e ınua em x = 0.
x x x x
6. dom f ′′ = dom f ′′′ = R − {0}; ∃f ′′ (0) pois f ′ n˜o ´ cont´
a e ınua em x = 0 e ∃f ′′′ (0) pois ∃f ′′ (0);
„ «
1 1 2 1 1 1
f ′′ (x) = 1 − 2 cos + sen ; f ′′′ (x) = − 4 sen .
x x x x x x
y
12
7. (a) h ´ duas vezes diferenci´vel para ∀x ∈ R; x = −2 e x = 2;
e a 10
x2 − 4

′ −2x se −2 < x < 2 8
h (x) = (2x) 2 =
|x − 4| 2x se x < −2 ou x > 2 (b) 6
x2 − 4

′′ −2 se −2 < x < 2 4
h (x) = (2) 2 =
|x − 4| 2 se x < −2 ou x > 2 2
–4 –2 0 2 4 x
dy dy ´ du
= cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3 = cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3
`
8. (a) (b)
du dx dx «
d2 y ´ 2 ´ du 2
„
3 d u
` 2 3 3 3 2
` 3 2 3 3 3 3 2 3
= cos u − 6u sen u cos u + 6u 3u sen u − 4 sen u cos u − 3u cos u
dx2 dx2 dx
′ ′′
9. Basta calcular y e y , substituir na express˜o do lado esquerdo da equa¸˜o e verificar que se anula.
a ca
10. 3