Vetores e Geometria Analítica: Introdução aos conceitos básicos

Vetores e Geometria Analítica
Regina Maria Sigolo Bernardinelli

Regina Maria Sigolo Bernardinelli
Vetores e Geometria Analítica
Educação a Distância

2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO.................................................................................................5
INTRODUÇÃO ......................................................................................................6
1 VETORES NO R3
..................................................................................................9
1.1 O Ponto no R3
........................................................................................................9
1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal...............................................................................9
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes ..................................................................10
1.2.1 Definição..............................................................................................................10
1.2.2 Relação de Equivalência ....................................................................................11
1.3 Vetor....................................................................................................................12
1.3.1 Definição.............................................................................................................12
1.4 Adição de Vetores ...............................................................................................13
1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores ....................................................................14
1.5 Produto de Vetor por Escalares...........................................................................16
1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares ...............................................17
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas............................................................20
1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas......................................21
1.7 Vetor em Coordenadas........................................................................................22
1.7.1 Definição..............................................................................................................22
1.7.2 Igualdade de Vetores..........................................................................................23
1.7.3 Adição de Vetores ...............................................................................................24
1.7.4 Multiplicação por um Escalar...............................................................................24
1.8 1ª Lista de Exercícios ..........................................................................................26
1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................28
2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................................29
2.1 Vetores Linearmente Independentes...................................................................29
2.1.1 Definição..............................................................................................................29
2.1.2 Exemplo...............................................................................................................29
2.2 Vetores Linearmente Dependentes .....................................................................30
2.2.1 Definição..............................................................................................................30

3
2.2.2 Exemplo...............................................................................................................30
2.3 Combinação Linear .............................................................................................33
2.3.1 Definição..............................................................................................................33
2.3.2 Exemplos.............................................................................................................33
2.4 Base ....................................................................................................................34
2.4.1 Definição..............................................................................................................34
2.4.2 Exemplo...............................................................................................................34
2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base ..........................................35
2.4.4 Base Canônica ....................................................................................................35
2.4.5 Exemplos.............................................................................................................37
3 PRODUTOS ENTRE VETORES .........................................................................43
3.1 Produto Escalar ou Produto Interno.....................................................................43
3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores ..................................................................................43
3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor ...............................................44
3.1.2.1 Propriedades ......................................................................................................45
3.1.3 Definição de Produto Escalar ..............................................................................45
3.1.3.1 Propriedades ......................................................................................................45
3.1.4 Bases Ortonormais..............................................................................................46
3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar.....................................................48
3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo ...................................................................51
3.2.1 Orientação de R3
.................................................................................................52
3.2.2 Definição de Produto Vetorial..............................................................................53
3.2.2.1 Propriedades ......................................................................................................53
3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial ....................................................55
3.3 Produto Misto ......................................................................................................57
3.3.1 Definição..............................................................................................................57
3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto........................................................58
3.3.3 Propriedades .......................................................................................................60

4
4 RETAS E PLANOS NO R3
..................................................................................64
4.1 Sistema de Coordenadas ....................................................................................64
4.2 A Reta no R3
........................................................................................................66
4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos ..........................................................69
4.3 O Plano no R3
......................................................................................................70
4.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos ...................................................77
4.6 Posição Relativa..................................................................................................79
4.6.1 Reta e Reta .........................................................................................................79
4.6.2 Plano e Plano ......................................................................................................83
4.6.3 Reta e Plano........................................................................................................85
5 Resolução dos Exercícios ................................................................................97
5.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................97
5.2 Resolução da 2ª Lista de Exercícios .................................................................115
Considerações Finais ........................................................................................152
Referências .......................................................................................................153
Apêndice – Referências dos Exercícios ............................................................154

5
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de
Vetores e Geometria Analítica, parte integrante de um conjunto de materiais de
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do
conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio
de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-
mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca
Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas
setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de
informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu
estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em
qualquer lugar!
Unisa Digital

6
INTRODUÇÃO
Esta apostila reúne os principais tópicos de VETORES e GEOMETRIA
ANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finalidade de orientar você, aluno
do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo dessa disciplina.
É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB e
SATÉLITE.
A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecer
a você, subsídios que o auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIA
AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
Saliento ainda a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com o
estudo dos vetores no R³, como aplicação na disciplina de FÍSICA, e a importância dos
Capítulos 1 e 2 no estudo da disciplina ÁLGEBRA LINEAR, que você terá a
oportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso de ENGENHARIA
AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
A Geometria, bem como toda ciência, pode ser estudada através de
diferentes métodos, ou seja, um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sob
diversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de acordo com o método utilizado,
diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como por exemplo:
Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria o qual devemos a
Euclides, feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos em
seus “Elementos” (cerca de 300 A.C.)
Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria devido a Gaspard Monge (1746 –
1818), que consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre dois
planos fixados, para através dessas projeções tirar conclusões sobre esses entes
geométricos.
Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano o qual devemos
a René Descartes (1596 – 1650), que associa equações aos entes geométricos, e
através do estudo dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, é que tiramos
conclusões a respeito desses entes geométricos.

7
Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo da
Geometria. Assim é que, para estudarmos a Geometria Axiomática utilizamos a Lógica,
para o desenvolvimento da Geometria Descritiva a ferramenta utilizada é o Desenho e
para o estudo da Geometria Analítica lançamos mão da Álgebra Elementar, bem como
da Álgebra Vetorial.
O estudo da Álgebra Vetorial feito nos capítulos iniciais desta apostila
servirão de apoio para os capítulos que abordam o tema Retas e Planos no R3
, para
possibilitar a você, caro aluno, uma aplicação imediata dos conceitos apresentados no
Cálculo Vetorial, fazendo um importante elo de ligação entre estes conceitos.
Você irá perceber ao estudar esta apostila que determinar um plano, por exemplo, do
ponto de vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e para isto, os
conceitos de produtos vetorial e misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamente
aplicados.
A apostila ainda apresenta vários exemplos e exercícios propostos
apresentados através de Listas de Exercícios, com as devidas resoluções indicadas
no final da apostila.
Vários exercícios dessas Listas se encontram resolvidos e minuciosamente
explicados nas aulas WEB e também serão resolvidos nas aulas SATÉLITE, sendo
extremamente importante que você assista às aulas, pois estas o auxiliarão na
resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do módulo.
Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que você
não deixe as dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis para
perguntas e respostas, tais como os Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate
Papo.
Também fique atento ao Mural e ao Material de Apoio, pois através do
primeiro me comunicarei com você e através do segundo disponibilizarei as aulas
Satélite, a resolução das atividades não eletrônicas e qualquer outro tipo de material
pertinente e interessante.

8
Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês,
Charles de Montesquieu:
“É preciso estudar muito para saber um pouco.”
Regina Maria Sigolo Bernardinelli1
1
Apostila revisada e adaptada em julho/2011 pelo Professor Antonio Fernando Silveira Alves

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1 VETORES NO R3
1.1 O Ponto no R3
1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal
Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a
dois, determinando assim o espaço R3
, conforme mostra a figura abaixo.
Dado um ponto P do espaço, sejam P1 , P2 e P3 as suas projeções,
respectivamente sobre os eixos x, y e z.
Sejam xP , yP e zP , respectivamente as medidas algébricas dos segmentos
orientados 321 OPeOP,OP .
P
P1
P2
P3
O
x
y
z

10
Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP , yP , zP), que
são as coordenadas de P em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz.
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP)
xP = 1OP = abscissa de P eixo x = eixo das abscissas
yP = 2OP = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadas
zP = 3OP = cota de P eixo z = eixo das cotas
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano
A todo terno ordenado (a, b, c) do R3
corresponde um único ponto P do
espaço tal que a = xP, b = yP e c = zP.
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes
1.2.1 Definição
Dois segmentos orientados CDeAB são equipolentes e indica-se, CDAB ~ ,
quando uma das três afirmações for verificada:
1) A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos.
2) CDeAB são colineares e é possível deslizar CD sobre essa reta fazendo
com que C coincida com A e D coincida com B.

11
3) A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um
paralelogramo.
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes
quando têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
1.2.2 Relação de Equivalência
A eqüipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz às seguintes
propriedades:
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo.
ABAB ~
b) Simetria: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD ,
então CD é equipolente a AB .
AB~CDCD~ABse ⇒
c) Transitividade: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado
CD e se CD é equipolente ao segmento orientado EF, então AB é equipolente a EF.
EF~ABEF~CDeCD~ABse ⇒
A B
DC

12
E
A
B
C
D
M
N
1.3 Vetor
1.3.1 Definição
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes,
ou seja, é um conjunto de segmentos orientados equipolentes.
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de
todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado
AB .
O segmento orientado AB é um representante do vetor AB que também
pode ser indicado por AB ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima,
por exemplo, v .
Observem que embora usemos a mesma notação para representar vetor e
segmento orientado, não podemos em hipótese alguma confundir esses dois entes
matemáticos, pois enquanto o segmento orientado é um conjunto de pontos, o vetor é
um conjunto de segmentos orientados.
Na figura, os segmentos orientados AB , CD , ... , são equipolentes e por
esse motivo representam o mesmo vetor v .
v)AB(Cl =

13
Assim é que um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de
segmentos orientados distintos, pois se AB é um segmento orientado e P é um ponto
qualquer do espaço, então existe um único segmento orientado PQ, com origem em P,
tal que PQ~ AB . Logo, o vetor AB tem exatamente um representante em cada ponto
do espaço.
1.4 Adição de Vetores
Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor soma desses vetores,
indicado por u + v .
Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único
representante BC do vetor v . Definimos o vetor u + v como sendo o vetor cujo
representante é o segmento orientado AC .
u
v
A
B
C
u v
u + v

14
1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores
a) Comutativa: u + v = v + u , quaisquer que sejam os vetores u e v .
ADBCv
DCABu
==
==
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=+
=+
ACDCAD
ACBCAB
uvvu +=+
b) Associativa: u + (v + w ) = (u + v ) + w , quaisquer que sejam u , v e w .
w)vu()wv(u ++=++
u
v
A
B
C
u v
D
uvvu +=+
?=+ vu
u
v
A
B
C
u
v
u + v
D
w
w
wv +
w)vu()wv(u ++=++

15
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser
considerado como um segmento orientado AA , com origem A e extremidade A
(segmento nulo). Assim, todos os segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si
e, desse modo, o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é um vetor,
indicado por 0 e que recebe o nome de vetor nulo. Então, se u é um vetor qualquer,
temos:
d) Simétrico: a cada vetor u é associado um vetor -u , chamado de simétrico ou
oposto de u , do seguinte modo: se ABu = , então BAu =− . Como, AABAAB =+ ,
temos que:
O vetor -u é o único vetor que satisfaz a igualdade acima, qualquer que seja u .
Observação
Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor diferença desses vetores.
O vetor diferença w = u v− é a soma de u com o oposto de v .
)v(uw −+=
Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único
representante BD do vetor v− . Definimos o vetor w = u v− como sendo o vetor cujo
representante é o segmento orientado AD .
0 + u = u + 0 = u
0u)u(e0)u(u =+−=−+

16
1.5 Produto de Vetor por Escalares
Denomina-se escalar a qualquer número real.
Seja α um número real e v um vetor.
Vamos definir o vetor vα .
1) Se α = 0 ou 0v = , por definição temos: 0vα = .
2) Se 0ve0α ≠≠ , seja AB um representante do vetor v .
O vetor vα é definido como sendo o vetor que tem como representante o
segmento orientado AC , cujo comprimento é |α| vezes o comprimento de AB , situa-se
sobre a reta que contém AB e se α > 0, tem o mesmo sentido que AB e se α < 0, tem
sentido contrário ao de AB .
u
v
A
B
C
u v
u + v
- v
D
u - v

17
1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares
Quaisquer que sejam os escalares βeα e quaisquer que sejam os vetores u
e v , valem as seguintes propriedades:
a) vβvαvβ)(α +=+
b) vαuα)vuα( +=+
c) vβ)(α)vα(β =
d) 1 v = v e (-1) v = -v
EXEMPLOS
1) Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de AC ,
D é ponto médio de AG Escrever HCeAF,AH em função de .bea
A
B
C
A
B
C
α > 0
α < 0
X
X
A B C
D E
F
G H I
a
b

18
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Percebam, por exemplo, que o
vetor AH pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores:
GHAGAH += EHDEADAH ++= IHFICFBCABAH ++++=
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que quero mostrar é o
conceito de adição de vetores, ou seja, considerando-se, por exemplo, o segundo modo
escrito acima, temos que o primeiro vetor da soma AD tem sua origem sempre
coincidindo com a origem do vetor AH (ponto A), assim como o segundo vetor deve ter
origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro e assim, sucessivamente, vamos
“emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até fecharmos o
caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor
AH (ponto H). Então, teremos:
GHAGAH += , ( AG = 2b, pois D é ponto médio de AGe aGH = , pois ABHG é
paralelogramo). Ficando então:
ab2AH +=
CFACAF += ( a2AC = , pois B é ponto médio de éACFDpois,bCF;AC =
amoparalelogr ). Então fica:
ba2AF +=
AGHIHCCIHIHCICHIHC −=⇒−=⇒+=
2baHC −=
2) Na figura abaixo, y
3
4
x
3
1
BCeyAD,xAB +−=== . Pede-se escrever os vetores
DCeAC em função de ydeex .
A
B
C
D

19
y
3
4
x
3
2
AC +=
y
3
4
x
3
1
xyDC
)y
3
4
x
3
1
(xyDC
BCABADDC
BCABDADC
+−+−=
+−++−=
++−=
++=
y
3
1
x
3
2
DC +=
3) Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O.
Demonstrar que: AO6AFAEADACAB =++++
(Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de centro O e
raio r)
y
3
4
x
3
1
xAC
)y
3
4
x
3
1
(xAC
BCABAC
+−=
+−+=
+=
A
B C
D
EF
X
O

20
Vamos escrever cada um dos vetores AFAEADACAB ,,,, como soma de outros
vetores onde apareça o vetor AO.
OFAOAF
OEAOAE
ODAOAD
OCAOAC
OBAOAB
+=
+=
+=
+=
+=
Somando-se membro a membro, obtemos:
OFOEODOCOBAO5AFAEADACAB +++++=++++
Observem que: OEOB −= , OFOC −= e AOOD = (por se tratar de um
hexágono regular, todos esses vetores possuem o mesmo módulo, são colineares dois
a dois, apresentando, portanto, a mesma direção e são de sentidos opostos).
Assim, ficamos com:
OFOEAOOFOEAO5AFAEADACAB +++−−=++++ , que cancelando os vetores
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar:
AO6AFAEADACAB =++++
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas
Seja o espaço R3
cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z) onde x, y, z
são números reais.
Já vimos em 1.1.1 que a todo terno ordenado (x, y, z) do R3
corresponde um
único ponto P do espaço de coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por
P = (x, y, z).

21
Desse modo, o segmento orientado AB com origem A = (xA , yA , zA) e
extremidade B = (xB , yB , zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA.
Notação: AB = (x, y, z).
Exemplo: dados em R3
os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as
coordenadas do segmento orientado AB .
AB = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1))
AB = (4, – 4, 6)
1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm as mesmas
coordenadas cartesianas.
Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−=−
−=−
⇔
CDAB
CDAB
CDAB
zzzz
yyyy
xxxx
CD~AB
Exemplo: dados em R3
os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e
D = (0, 5, 3), verifique se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes.
Temos que: AB = (– 4, 4, 2) e CD = (– 4, 4, 2)
CD~AB∴ .

22
1.7 Vetor em Coordenadas
1.7.1 Definição
Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas
coordenadas.
Exemplo: sejam os pares de pontos do R3
:
A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2)
A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1)
A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6)
---------------------------------------
An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2)
A cada um desses pares associamos os segmentos orientados
nn332211 BA,,BA,BA,BA K , cujas coordenadas são:
2)1,(3,v)AB(Cl
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
nn
33
22
11
==
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
−−−−−−−−−
=
=
=
A
B
A1
B1
A2
B2
An
Bn
Cl ( AB ) = v = (3, 1, 2)

23
O conjunto dos segmentos orientados nn332211 BA,,BA,BA,BA K forma uma
classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são
segmentos orientados que possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de
equivalência define o vetor Cl ( AB ) = v de coordenadas (3, 1, 2), denotado por:
v = (3, 1, 2).
Qualquer um dos segmentos orientados acima, representa o mesmo vetor v ,
e basta qualquer um deles para que o vetor v fique perfeitamente determinado.
O conjunto de todos os vetores do espaço R3
é denotado por V3
, sendo
conveniente observar a distinção entre o conjunto R3
, que é o conjunto de todos os
ternos ordenados de números reais, e o conjunto V3
, que é o conjunto de todos os
vetores do espaço R3
.
Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas
coordenadas, que são as coordenadas do vetor.
Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xb , yB , zB), as coordenadas do vetor v ,
são: x = xB – xA ; y = yB – yA ; z = zB – zA.
Notação: v = (x, y, z); v = AB
Observações
1) Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço R3
e o conjunto V3
de vetores,
que associa a cada ponto P = (x, y, z) de R3
um vetor v = (x, y, z).
2) Existe um e somente um representante de um vetor dado, ligado a um ponto dado.
1.7.2 Igualdade de Vetores
Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas.
Se )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == , então
21212121 zz,yy,xxvv ===⇔=

24
1.7.3 Adição de Vetores
Sejam os vetores )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == em V3
.
A soma 21 vv + é o vetor definido por:
)zz,yy,x(xvv 21212121 +++=+
Exemplo: Dados vucalcule3),5,2,(ve1)2,1,(u +−−=−=
⇒+−+−+−=+ 3)15),(22),(1(vu 4)3,3,(vu −−=+
1.7.4 Multiplicação por um Escalar
Seja ℜ∈∈= λeVz)y,(x,v 3
.
Definimos o produto vλ , como sendo o vetor: z)λy,λx,(λvλ = .
Exemplos:
1) Dados 3)1,2,(ve5λ −== , calcule vλ .
vλ = 5 (–2, 1, 3) ⇒ 15)5,10,(vλ −=
2) Dados )vu(λcalcule3,λe3)1,(2,v2),1,(1,u +=−=−−= .
)vu(λ + = 3 (3, –2, 1) ⇒ 3)6,(9,)vu(λ −=+
EXEMPLOS
1) Determinar as coordenadas do vetor v = 3 (1, 0, 1) – 4 (0, 1, 1) – 3 (1, –1, 0)
v = (3, 0, 3) + (0, – 4, – 4) + (– 3, 3, 0)
v = (0, –1, –1)

25
2) Dados os vetores u = (–1, 4, –15) e v = (–3, 2, 5), pede-se determinar um vetor
3
Vx∈ , tal que: u = 2 v + 5 x .
Seja x = (x, y, z). Então temos:
(–1, 4, –15) = 2 (– 3, 2, 5) + 5 (x, y, z)
(–1, 4, –15) = (– 6 + 5x, 4 + 5y, 10 + 5z)
∴
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒−=
=⇒=
=⇒=
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
=+
−=−
5z255z
0y05y
1x55x
15105z
445y
165x
5)0,(1,x −=
3) Dado um paralelogramo ABCD, se M e N são pontos médios de CDeAB ,
respectivamente, então ANCM é um paralelogramo.
Provar que ANCM é um paralelogramo ⇔ Provar
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
NCAM
MCAN
DC
2
1
MCAB
2
1
ANCD
2
1
MCAB
2
1
ANCNMCAMAN −+=⇒++=⇒++=
Como ABCD é um paralelogramo DCAB =⇒ ∴−+=⇒ DC
2
1
MCDC
2
1
AN MCAN =
AB
2
1
AM = .
Como ABCD é um paralelogramo DC
2
1
AB
2
1
DCAB =⇒=⇒ DC
2
1
AM =⇒
Como N é ponto médio de CD ⇒==⇒ DC
2
1
NCDN NCAM = .
Logo, ANCM é um paralelogramo.
A
B C
D
M
N

26
1.8 1ª Lista de Exercícios2
1) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM em
função dos vetores ACeAB .
2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . Sejam
cACebAB == .
a) Determinar o vetor CX em função de b e c .
b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c .
3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que
MB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = ,
pede-se: a) AM ; b) AN; c) MN.
4) No triângulo ABC os segmentos RBeQR,PQ,AP têm o mesmo comprimento.
a) Escrever CQ em função de CBeCA .
b) Escrever CQ em função de CReCP .
c) Escrever CQ em função de eCA CR .
5) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas CFeBE,AD . Demonstrar que
0CFBEAD =++ .
2
Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica - Exercícios, 1985.
Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974.
A P Q R B
C

27
6) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetores
FXeAX sabendo-se que EB
4
1
EX = .
7) Calcular as coordenadas dos vetores:
a) u = (1, 2, 1) +
2
1
(0, 1, 1)
b) v =
2
3
(5, 0, 1) – 6 (0,
5
4
, -1)
c) w = (5, 0, -4) -
2
1
(1, 2, 1) +
5
3
(1, -1, 1)
8) Calcular as coordenadas do vetor 3
Vx∈ , tal que: 2 x + 3 (2, 1, 0) = 0
9) Achar as coordenadas do vetor x , sabendo-se que:
0)1,(2,
5
1
0)]4,(3,
6
1
[5x)
3
2
2
1
( −=++
10) Determinar os vetores x e y pertencentes a V3
que verificam o sistema:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=+
1)2,(1,x2y
1)2,(0,y2x
11) Dados os vetores u = (3, 2, 1), v = (-4, -3, 1) e w = (2, 1, 1), pede-se determinar os
escalares γβ,α, tais que: 0)0,(0,wγvβuα =++
A B
C
DE
F
X

28
12) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3
e M, N os pontos médios dos segmentos
BDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADABS +++= em função de MN.
13) Dado o tetraedro OABC em que cOC,bOB,aOA === e M é o ponto médio do
lado BC , pede-se determinar o vetor AM em função de ceb,a .
1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios
1) AC
8
5
AB
8
3
+ ; 2) a) cb
3
1
−− ; b) c
2
1
b
6
7
+− ;
3) a) )cb(2
3
1
+ ; b) )dc(
2
1
+ ; c) )d3cb4(
6
1
++− ;
4) a) )CBCA(
2
1
+ ; b) )CRCP(
2
1
+ ; c) )CR2CA(
3
1
+ ; 6) c
4
3
b
4
3
a
4
1
++ ; c
4
3
b
4
1
a
4
1
+− ;
7) a) )
2
3
,
2
5
(1, ; b) )
2
15
,
5
24
,
2
15
( − ; c) )
10
39
,
5
8
,
10
51
( −− ; 8) ),,( 0
2
3
3 −− ;
9) )( 0
35
1069
,,
5
−− ; 10) )
32
,
5
2
(x
55
,−−= , )
1
,
6
,
5
1
(y
55
= ; 11) 0γβα === ;
12) MN4 ; 13) )( cbaAM ++−=
2
1
O
A
B
C
M
a
b
c

29
2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
2.1 Vetores Linearmente Independentes
2.1.1 Definição
n21 v,,v,v K são linearmente independentes (L. I.) ⇔
0vαvαvα nn2211 =+++⇔ K implica obrigatoriamente que 0ααα n21 ==== K .
2.1.2 Exemplo
Mostrar que os vetores (2, 1, 1), (1, 3, 1), (-2, 1, 3) são L. I.
1α (2, 1, 1) + 2α (1, 3, 1) + 3α (-2, 1, 3) = (0, 0, 0)
(2 1α + 2α - 2 3α , 1α + 3 2α + 3α , 1α + 2α + 3 3α ) = (0, 0, 0)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=−+
0α3αα
0αα3α
02ααα2
321
321
321
311
131
212 −
= 2 (9 – 1) – 1 (3 – 1) - 2 (1 – 3) = 16 – 2 + 4 = 18 ≠ 0
Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e o
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única
solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I.

30
2.2 Vetores Linearmente Dependentes
2.2.1 Definição
n21 v,,v,v K são linearmente dependentes (L. D.) ⇔ existem escalares
,α,,α,α n21 K não todos nulos tais que: 0vαvαvα nn2211 =+++ K .
2.2.2 Exemplo
Mostrar que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1) são L. D.
1α (1, -2, -1) + 2α (-1, 1, 0) + 3α (1, 0, 1) = (0, 0, 0)
( 1α - 2α + 3α , -2 1α + 2α , - 1α + 3α ) = (0, 0, 0)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=+−
0αα
0αα2
0ααα
31
21
321
02212)(1
101
012
111
=−=+−+=
−
−
−
determinante da matriz dos coeficientes é igual a 0 (zero), existem infinitas soluções.
Uma delas é a solução trivial, mas ela não é única.
Por exemplo, para 1α = 1, temos da segunda equação que 2α = 2 1α , logo, 2α = 2 e da
terceira equação temos que 3α = 1α , logo, 3α = 1. Portanto, podemos escrever:
1 (1, -2, -1) + 2 (-1, 1, 0) + 1 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), onde os escalares 1α , 2α , 3α são
diferentes de 0, concluindo então que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0) e (1, 0, 1) são L. D.

31
OBSERVAÇÕES
1) O vetor nulo (0 ) é sempre L. D., pois 5 . 0 = 0 , onde o escalar é 5 ≠ 0.
2) Um vetor não nulo é sempre L. I., pois 0λ0vcom0vλ =⇒≠= .
3) Sejam veu dois vetores e 0v ≠ .
veu são L. D. vαu/α =ℜ∈∃⇔
VETORES PARALELOS: se veu são L. D. , dizemos que veu são paralelos e
indicamos: v||u . Logo,
Observem que se um dos vetores for nulo, por exemplo, 0v = , então só
podemos escrever: uαv = .
Exemplos:
1) (2, 3, 1) || (4, 6, 2), pois (2, 3, 1) =
2
1
(4, 6, 2)
(4, 6, 2) || (2, 3, 1), pois (4, 6, 2) = 2 (2, 3, 1)
2) (0, 0, 0) || (1, 1, 1), pois (0, 0, 0) = 0 (1, 1, 1)
Notem que o vetor nulo (0 ) é paralelo a qualquer vetor.
Em 1.5 foi visto que vetores da forma vαev possuem representantes
colineares, logo, dois vetores veu são L. D. ou colineares.
Se veu não forem colineares, seus representantes determinam um plano e
podemos dizer que veu são L. I.
uβvouvαuv||ue0v,0u ==⇒≠≠

32
4) Em V3
, sejam wev,u vetores não simultaneamente nulos. Então pode ocorrer:
a) wev,u são L. D. e possuem representantes numa mesma reta, sendo portanto
colineares; ou wev,u possuem representantes num mesmo plano, sendo portanto
coplanares.
b) wev,u são L. I. ou não coplanares. Observem a figura que segue:
veu são L. I.
u
v
P
A
B
u
v
u
u
v
v
w
w
π
L.I.sãow,v,u

33
5) Quatro vetores em V3
são sempre L. D.
2.3 Combinação Linear
2.3.1 Definição
Dados os vetores n21 v,,v,v K , todo vetor da forma nn2211 vαvαvα +++ K
onde n21 α,,α,α K são escalares chama-se combinação linear dos vetores dados.
2.3.2 Exemplos
1) O vetor u = (2, 3, 1) é uma combinação linear dos vetores 1e = (1, 0, 0),
2e = (0, 1, 0) e 3e = (0, 0, 1).
De fato, (2, 3, 1) = 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)
2) O vetor v = (6, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores 1v = (1, -1, 2),
2v = (1, 0, -1) e 3v = (1, 1, 1).
De fato, (6, -1, 2) = α(1, -1, 2) + β (1, 0, -1) + γ (1, 1, 1)
(6, -1, 2) = (α + β + γ , -α + γ , 2α - β + γ )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
−=+−⇒×−=+−=+−
=++=++
(3)2γβ2α
(5)3γ3α33)(1γα-:(2)(2)1γα
(4)82γ3α:(3)(1)(1)6γβα
(4) + (5): 5γ = 5 ⇒ 1γ = , substituindo em (2): 2α =
Substituindo 1γ = e 2α = em (1): 3β =
Portanto, (6, -1, 2) = 2 (1, -1, 2) + 3 (1, 0, -1) + 1 (1, 1, 1)

34
2.4 Base
2.4.1 Definição
Chama-se base de V3
a todo conjunto de três vetores linearmente
independentes (L. I.).
Logo, para sabermos se três vetores formam uma base de V3
, basta
verificarmos se eles são L. I.
2.4.2 Exemplo
Verificar se os vetores 1v = (2, 3, 4), 2v = (4, 6, 7) e 3v = (1, 2, 3) formam uma base de
V3
.
α 1v + β 2v + γ 3v = 0
α (2, 3, 4) + β (4, 6, 7) + γ (1, 2, 3) = (0, 0, 0)
(2 α + 4 β + γ , 3 α + 6 β + 2 γ , 4 α + 7 β + 3 γ ) = (0, 0, 0)
013-4-8
24)(2118)(9414)(182
374
263
142
0γ3β7α4
0γ2β6α3
0γβ4α2
≠=
=−+−−−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única
solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I. e portanto formam
uma base de V3
.

35
2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base
Seja B = { 1v , 2v , 3v } uma base de V3
.
Seja 3
Vv ∈ uma combinação linear dos vetores 1v , 2v , 3v . Logo, existem
escalares 321 α,α,α , tais que:
332211 vαvαvαv ++= (1)
Vamos demonstrar que os escalares 321 α,α,α são determinados de modo
único.
Suponhamos que 321 β,β,β sejam tais que:
332211 vβvβvβv ++= (2)
Fazendo-se então (1) – (2), temos:
0v)β(αv)β(αv)β(α 333222111 =−+−+−
Como B = { 1v , 2v , 3v } é uma base de V3
, temos que 1v , 2v , 3v são L. I.,
logo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=−
=⇒=−
=⇒=−
3333
2222
1111
βα0βα
βα0βα
βα0βα
Logo, os escalares 321 α,α,α são únicos e são chamados de coordenadas do
vetor v em relação à base B.
Notação: B321 )α,α,(αv =
2.4.4 Base Canônica
Sejam os vetores 1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1).
Vamos provar que esses vetores são L. I.:

36
α 1e + β 2e + γ 3e = 0
α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
(α, β , γ ) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = γ = 0 ∴ 1e , 2e , 3e são L. I.
Observe também que qualquer vetor 3
Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito como
combinação linear dos vetores 1e , 2e , 3e , como segue:
z)y,(x,v = = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) =
= x 1e + y 2e + z 3e
Utilizando o mesmo modo usado em 2.4.3, demonstramos também que essa
decomposição é única, ou seja, 3
Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito de uma única maneira
sob a forma: v = x 1e + y 2e + z 3e .
Portanto, temos que 1e , 2e , 3e formam uma base de V3
que é denominada
base canônica de V3
.
Observem que v = x 1e + y 2e + z 3e ⇒ =v (x, y, z)base canônica e por tanto,
os números x, y, z da terna =v (x, y, z) coincidem com as coordenadas de v em
relação à base canônica.
x
y
z
O
P = (x, y, z)v
1e
2e
3e

37
2.4.5 Exemplos
1) Determinar as coordenadas do vetor =v (-2, 1, 1) em relação à base B = { 321 u,u,u },
onde 1u = (1, 0, 0), 2u = (1, 1, 0), 3u = (1, 1, 1). Determinar as coordenadas de w em
relação à base canônica, sendo w = (2, 1, 0)B.
Vamos escrever v como combinação linear de 321 u,u,u :
v = α 1u + β 2u + γ 3u
(-2, 1, 1) = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 0) + γ (1, 1, 1)
(-2, 1, 1) = (α + β + γ , β + γ , γ )
3α(1)em0βe1γ
0β(2)em1γ
(2)1γβ
(1)2γβα
−=⇒==
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=
=+
−=++
Portanto, v = (-3, 0, 1)B.
Dizer que w = (2, 1, 0)B é o mesmo que escrever w como combinação linear dos
vetores 321 u,u,u , do seguinte modo:
w = 2 1u + 1 2u + 0 3u
w = 2 (1, 0, 0) + 1 (1, 1, 0) + 0 (1, 1, 1)
w = (2, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 0)
w = (3, 1, 0) ⇒ w = (3, 1, 0)base canônica
2) Se B = { 321 u,u,u } é uma base de V3
e são dados os vetores ,u2uuv 3211 +−=
,uuv 322 −= 23 uv −= , pede-se achar as coordenadas do vetor 321 v2vv2v −−=
em relação à base B.
Na expressão do vetor v , vamos substituir os vetores 1v , 2v , 3v . Então , fica:

38
321 v2vv2v −−=
v = 2 ( 321 u2uu +− ) – ( 32 uu − ) – 2 ( 2u− )
v = 2 232321 u2uuu4u2u ++−+−
v = 321 u5uu2 +− ⇒ v = (2, -1, 5)B
EXEMPLOS
1) Determinar k de modo que os vetores u = (1, 2, k), v = (0, 1, k – 1) e
w = (3, 4, 3) sejam linearmente dependentes.
α u + β v + γ w = 0
α (1, 2, k) + β (0, 1, k – 1) + γ (3, 4, 3) = (0, 0, 0)
(α + 3 γ , 2 α + β + 4 γ , k α + k β - β + 3 γ ) = (0, 0, 0)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−+
=++
=+
0γ3β1)(kαk
0γ4βα2
0γ3α
Para que os vetores sejam L. D. o sistema deve ser possível e indeterminado, ou seja,
deve admitir infinitas soluções, além da trivial, logo:
0
31kk
412
301
=
−
⇒ 1 (3 – 4k + 4 ) – 0 (6 – 4 k ) + 3 (2 k – 2 – k) = 0
7 – 4 k + 3 k – 6 = 0 ⇒
2) Dados os vetores u = (2, 1, -1), v = (3, 0, 3) e w = (4, -1, 7) , verificar que w é uma
combinação linear de u e v .
Se w é uma combinação linear de u e v ⇒ w = α u + β v
(4, -1, 7) = α (2, 1, -1) + β (3, 0, 3)
(4, -1, 7) = (2 α + 3 β , α, -α + 3 β )
k = 1

39
(V)462(1)em2βe1α
(3)7β3α
2β(3)em1α(2)1α
(1)4β3α2
=+−⇒=−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=⇒−=⇒−=
=+
Portanto o sistema é determinado e w = - u + 2 v .
3) Se c,b,a são vetores linearmente independentes, os vetores c3b2au −+= ,
c2ba2v ++−= e c8b3a4w −+= são L. I. ou L. D.? Justificar a conclusão.
α u + β v + γ w = 0
α ( c3b2a −+ ) + β ( c2ba2 ++− ) + γ ( c8b3a4 −+ ) = 0
(α -2 β + 4 γ ) a + (2 α + β + 3 γ ) b + (-3 α + 2 β - 8 γ ) c = 0
Como c,b,a são L. I.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=++
=+−
⇒
0γ8β2α3
0γ3βα2
0γ4β2α
02814143)(449)16(26)8(1
823
312
421
=+−−=+++−+−−=
−−
−
Portanto o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções para α, β e
γ , além da trivial, o que nos leva a concluir que os vetores u , v e w são L. D..
4) Achar os valores de α e β para que os vetores u = (α, 1, β + 1) e v = (2, α - 1, β )
sejam paralelos.
u || v ℜ∈=⇔ λ,vλu
(α, 1, β + 1) = λ (2, α - 1, β )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
=−
⇒=−⇒=⇒=
⇒
(3)1βλβ
(2)1λ1)(α
1
2
α
1)(α(2)em
2
α
λ(1)αλ2

40
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ℜ∈∃⇒=⇒=⇒=
−=⇒=−⇒=−−⇒−=⇒−=
⇒−==
=−−⇒
β1β0(3)em1λ2α
ou
3
2
β1β
2
3
1β1)
2
1
((3)em
2
1
λ1α
2Pe1S
02αα2
Portanto, temos: 1α −= e
3
2
β −=
5) Dados os vetores u = (1, -1, 1), v = (2, 0, 1) e w = (3, 1, 1), achar um vetor x
paralelo a v e tal que u + x seja paralelo a w .
x || v ⇒ x = α v , com ℜ∈α
u + x || w ⇒ u + x = β w , com ℜ∈β
Então, fica: u + α v = β w
(1, -1, 1) + α (2, 0, 1) = β (3, 1, 1)
(1 + 2 α, -1, 1 + α) = (3 β , β , β )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−=⇒−=⇒=−
=+
(3)βα1
2α(3)em1β(2)β1
(1)β3α21
Substituindo α = -2 e β = -1 em (1), vem: 1 -4 = -3 (V)
Portanto, x = -2 (2, 0, 1) ⇒ 2)0,4,(x −−=
6) Provar que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um
triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste lado.
Seja o triângulo ABC com M e N pontos médios dos lados BCeAC , respectivamente.
Provar que: AB
2
1
MN =
(Provando-se que MN é dessa forma, fica provado, pela definição de vetores paralelos,
que MN || AB )

41
AB
2
1
MN =
1) Mostrar que os vetores u = (-1, 0, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 1) são L. I..
2) Mostrar que os vetores u = (-2, 1, 3), v = (2, -1, 1) e w = (6, -3, -1) são L. D..
Escrever a relação que existe entre esses vetores.
3) O conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L. D. ou L. I.? Justificar a conclusão.
4) Mostrar que os vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 4, 6) são paralelos.
5) Provar que o vetor v = (-2, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores
1v = (1, -1, 1), 2v = (-1, -1, 0) e 3v = (4, 2, -1).
3
Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974
A B
C
M N
AB
2
1
ABMN
BA
2
1
ABMN
)CABC(
2
1
ABMN
BC
2
1
ABCA
2
1
MN
BNABMAMN
−=
+=
++=
++=
++=

42
6) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um ponto
O arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λcom,baλOCeba2OB,b2aOA .
Determinar o parâmetro λ de modo que os vetores BCeAC sejam paralelos.
7) Mostrar que os vetores 1v = (1, 1, 0), 2v = (1, 0, 1) e 3v = (0, 1, 1) formam uma
base B de V3
.
8) Determinar as coordenadas do vetor v = (4, -2, 2) em relação à base B do exercício
anterior.
2) w = 2 v - u ; 3) L. D.
5) v = 321 v
4
5
v
4
9
v
4
3
−−
6) λ = 4; 8) v = (0, 4, -2)B ;

43
3 PRODUTOS ENTRE VETORES
3.1 Produto Escalar ou Produto Interno
O produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a cada par
de vetores u , v de V3
, um número real, indicado por u . v e lê-se: “u escalar v ”.
Outras Notações: u x v ; <u , v >.
Antes de definirmos o produto escalar precisamos da definição de ângulo
entre dois vetores e módulo ou comprimento de um vetor, que veremos a seguir.
3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores
O ângulo θ , também indicado por ( v,u ), entre dois vetores não nulos u e v ,
é definido como sendo o ângulo entre seus representantes.
Sejam então, AB e AC os representantes dos vetores u e v ,
respectivamente; o ângulo θ entre u e v é por definição o menor ângulo segundo o
qual AB deve girar para se tornar colinear com AC e é tal que °≤≤° 180θ0 .

44
3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor
Seja um segmento orientado não nulo AB que chamaremos de segmento
unitário. Um vetor u , cujo representante é o segmento orientado AB , recebe o nome
de vetor unitário.
Dado o vetor v , seja u um unitário colinear com v . Então, existe ℜ∈t tal
que v = t u .
Chama-se módulo ou norma ou ainda comprimento de v , indicado por | v |
ou || v ||, o módulo desse número real t. Logo, | v | = | t |.
Da definição temos que um vetor é unitário se, e somente se, seu módulo é
igual a 1.
Chama-se versor v de um vetor u ao vetor unitário paralelo a u e de mesmo
sentido que u , definido por: v =
u
u
u
v
A B
C
θ

45
3.1.2.1 Propriedades
Quaisquer que sejam o vetor v e o escalar x, temos:
1) | v | ≥ 0 e | v | = 0 ⇔ v = 0
2) | x v | = | x | | v |
3.1.3 Definição de Produto Escalar
Sejam u e v vetores não nulos e θ o ângulo formado entre u e v .
Defini-se o produto escalar de u por v como:
Se u = 0 ou v = 0 , então u .v = 0.
Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3
e qualquer que seja o
escalar α, valem as seguintes propriedades:
1) Comutativa ou simétrica: u .v = v .u
2) Homogeneidade: ∗
ℜ∈≠≠== α,0v,0u),v(α.uv.)u(α)v.u(α
3) Distributividade: v.wu.w)vu(.w +=+
Estas propriedades também se verificam se um dos vetores for o vetor nulo e
se o escalar for o número 0 (zero).
0v.00.u ==
°≤≤°=⋅ 180θ0,θcos|v||u|vu

46
{ { 00.uv.0)v0(.uv.)u0()v.u(0
00
==⇒== .
Temos também que:
22
|u|1|u|cos0|u||u|u.u =×=°=
Notação: u .u = u 2
Se u e v são vetores não nulos, então u .v = 0 ⇔ θ = 90°.
Dizemos então que o vetor u é perpendicular ou ortogonal ao vetor v , e
indica-se: vu ⊥ , quando u .v = 0.
De acordo com essa definição, o vetor nulo (0 ) é perpendicular a todos os
vetores do espaço e é o único vetor que goza desta propriedade.
3.1.4 Bases Ortonormais
Uma base }c,b,a{ é ortogonal se os seus vetores são mutuamente
ortogonais, isto é, se 0c.bc.ab.a === . Se, além disso, os vetores são unitários, a
base }c,b,a{ chama-se ortonormal.
Um exemplo de base ortonormal é a base canônica, vista em 2.4.4.
OBSERVAÇÕES
Se B = }c,b,a{ é uma base ortonormal e
u = x1 a + y1 b + z1 c = (x1, y1, z1)B e v = x2 a + y2 b + z2 c = (x2, y2, z2)B são vetores
quaisquer de V3
, então
1) u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
2) |u | = 2
1
2
1
2
1 zyx ++ .

47
B = }c,b,a{ é uma base ortonormal
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===
===
⇒
1|c||b||a|
e
0c.bc.ab.a
1) u . v = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x2 a + y2 b + z2 c ) =
= (x1 x2) a . a + (x1 y2) a . b + (x1 z2) a . c + (y1 x2) b . a + (y1 y2) b . b +
(y1 z2) b . c + (z1 x2) c . a + (z1 y2) c . b + (z1 z2) c . c =
= (x1 x2) |a |2
+ (x1 y2) 0 + (x1 z2) 0 + (y1 x2) 0 + (y1 y2) | b |2
+ (y1 z2) 0 + (z1 x2) 0 +
(z1 y2) 0 + (z1 z2) | c |2
= (x1 x2) 1 + (y1 y2) 1 + (z1 z2) 1 =
= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
2) | u |2
= u . u = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x1 a + y1 b + z1 c ) =
= x1
2
a .a + (x1 y1) a .b + (x1 z1) a .c + (y1 x1) b .a + y1
2
b .b + (y1 z1) b .c
+ (z1 x1) c . a + (z1 y1) c . b + z1
2
c . c =
= x1
2
|a |2
+ (x1 y1) 0 + (x1 z1) 0 + (y1 x1) 0 + y1
2
|b |2
+ (y1 z1) 0 + (z1 x1) 0 +
+ (z1 y1) 0 + z1
2
| c |2
= x1
2
1 + y1
2
1 + z1
2
1 = x1
2
+ y1
2
+ z1
2
u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
| u |2
= x1
2
+ y1
2
+ z1
2
⇒ 2
1
2
1
2
1 zyx|u| ++=

48
3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar
Sejam dois vetores u e v de V3
com u 0≠ .
Seja θ o ângulo entre u e v .
Vamos determinar a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , que é
um vetor colinear com u , da forma uλ . Para tanto, vamos determinar o escalar λ .
Observem que os vetores ( uλv − ) e u são perpendiculares e portanto,
( uλv − ).u = 0 ⇒ v . u - λ u 2
= 0 ⇒ λ = 2
|u|
v.u
Logo, o vetor uλ , projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , indicado
por vproju
, fica:
u)
|u|
v.u
(uλvproj
2u
==
Se u for um vetor unitário, | u | = 1 ⇒ v.uλ = e o comprimento do vetor
projeção uλ será:
|v.u||λ||uλ||vproj| u
===
v
θ
θ
v
u uuλ uλ
uλv − uλv −
0λ > 0λ <

49
Portanto, o comprimento da projeção do vetor v sobre o vetor u , se u é
unitário, é igual ao módulo do produto escalar do vetor v pelo vetor u .
EXEMPLOS
1) Provar que: (u + v )2
= u 2
+ 2 u .v + v 2
(u + v )2
= (u + v ).(u + v ) = u . (u + v ) + v . (u + v ) = u .u + u .v + v .u + v .v =
= u 2
+ 2 u . v + v 2
Portanto:
2) Fica como exercício demonstrar que: a) (u - v )2
= u 2
- 2 u . v + v 2
b) (u + v ).(u - v ) = u 2
- v 2
3) Dados os vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1) e w = (0, 1, -1), determinar um vetor x
coplanar com u e v e ortogonal a w .
x coplanar com u e v ⇒ x , u e v são L. D. ⇒ x é combinação linear de u e v ⇒
⇒ x = α u + β v
x = α (1, 1, 0) + β (1, 0, 1) ⇒ x = (α + β , α, β )
x ⊥ w ⇒ x . w = 0 ⇒ (α + β , α, β ). (0, 1, -1) = 0 ⇒ α - β = 0 ⇒ α = β . Então
substituindo na expressão de x , temos: x = (2 β , β , β ) = β (2, 1, 1).
Logo, β (2, 1, 1), ℜ∈β , nos fornece todos os vetores que satisfazem as condições do
problema. Para termos um vetor, damos um valor para β , por exemplo, β = 1, obtendo
assim o vetor x = (2, 1, 1)
(u + v )2
= u 2
+ 2 u .v + v 2

50
4) Calcular o módulo do vetor v = (-1, 2, -2)
| v | = 394412)(21)( 222
==++=−++−
5) Determinar o comprimento da projeção do vetor v = (-1, 2, -4) sobre o vetor
w = (2, -1, 2).
(1)w
|w|
w.v
vproj
2w ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
v . w = (-1, 2, -4) . (2, -1, 2) = -2 -2 -8 = -12 (2)
| w |2
= 22
+ (-1)2
+ 22
= 4 + 1 + 4 = 9 (3)
Substituindo (2) e (3) em (1), vem:
2)1,(2,
3
4
2)1,(2,
9
12
vproj
w
−−=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
43
3
4
9
3
4
414
3
4
21)(2
3
4
vproj 222
w
=×==++=+−+−=
6) Determinar o ângulo θ entre os vetores u = (3, 2, 0) e v = (2, 1, 1).
(1)
|v||u|
v.u
θcos =
u . v = (3, 2, 0).(2, 1, 1) = 6 + 2 + 0 = 8 (2)
| u | = (3)1349023 222
=+=++
| v | = (4)6114112 222
=++=++
Substituindo (2), (3) e (4) em (1), vem:
78
8
cosarcθ
78
8
613
8
θcos =∴==
7) Os vetores a e b formam um ângulo α = 30°; calcular o ângulo θ = (u ,v ) se
u = a + b e v = a - b , sabendo que: | a | = 3 e | b | = 1.

51
|v||u|
v.u
θcos = (1)
α = 30°
2
3
30cosαcos =°=⇒
2
3
b.a
13
b.a
2
3
|b||a|
b.a
αcos =⇒
×
=⇒= (2)
u . v = (a + b ) . (a - b ) = a 2
- b 2
= | a |2
- | b |2
= 3 – 1 = 2 (3)
| u |2
= u 2
= (a + b )2
= a 2
+ 2 a .b + b 2
= |a |2
+ 2 a .b + | b |2
= 3 + 2
2
3
× + 1 =
3 + 3 + 1 = 7 7|u| =⇒ (4)
| v |2
= v 2
= (a - b )2
= a 2
- 2 a .b + b 2
= |a |2
- 2 a .b + | b |2
= 3 - 2
2
3
× +1 =
3 – 3 +1 = 1 1|v| =⇒ (5)
Substituindo (3), (4) e (5) em (1), temos:
7
2
cosarcθ
7
2
17
2
|v||u|
v.u
θcos =∴=
×
==
3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo
O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada par
de vetores u , v de V3
, um vetor, indicado por u ∧ v e lê-se: “u vetorial v ”.
Outra Notação: u x v
Antes de definirmos o produto vetorial precisamos escolher uma orientação
para o espaço R3
que nos possibilitará distinguir dois tipos de bases ortonormais: as
positivas e as negativas.

52
3.2.1 Orientação de R3
Observem os ternos ordenados de segmentos orientados não coplanares
( OC,OB,OA ) e ( OC,OA,OB ).
Se a rotação (de menor ângulo) do primeiro segmento orientado até que
fique colinear com o segundo segmento orientado for feita no sentido anti horário, o
terno ordenado é positivo e se essa rotação for no sentido horário, então o terno
ordenado é negativo.
Portanto, ( OC,OB,OA ) é positivo e ( OC,OA,OB ) é negativo.
Fazendo-se OCkeOBj,OAi === , temos que a base { k,j,i } é ortonormal
positiva, enquanto que a base { k,i,j } é ortonormal negativa. Portanto, os vetores
k,j,i satisfazem às seguintes relações:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
===
===
1|k||j||i|
0k.jk.ij.i
O
A B
C
O
A B
C
i j
k

53
Observem que a base canônica { 1e , 2e , 3e }, definida em 2.4.4, também é
uma base ortonormal positiva.
3.2.2 Definição de Produto Vetorial
Sejam os vetores u e v de V3
e θ o ângulo formado entre u e v .
Se u e v são colineares (u e v L. D.), temos por definição que u ∧ v = 0 .
Se u e v não são colineares (u e v L. I.), então u ∧ v é o vetor que
satisfaz às seguintes condições:
1) | u ∧ v | = | u | | v | sen θ , °≤≤° 180θ0 ;
2) o vetor u ∧ v é ortogonal a u e a v ;
3) {u , v , u ∧ v } é uma base positiva de V3
.
Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3
e qualquer que seja o
escalar α, valem as seguintes propriedades:
1) Associativa para a multiplicação por um escalar: )vu(α)v(αuv)u(α ∧=∧=∧
2) Distributiva à esquerda e à direita em relação à adição:
u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w
(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w
3) Anticomutativa: u ∧ v = - v ∧ u

54
OBSERVAÇÕES
1) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva, resulta da definição de produto
vetorial que:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∧=∧=∧
=∧=∧=∧
0kkjjii
e
jik,ikj,kji
2) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B
e v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B são vetores quaisquer de V3
, dados na base B,
então o produto vetorial, u ∧ v , pode ser obtido pelo determinante simbólico:
k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(y
k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(y
zyx
zyx
kji
122121121221
122112211221
222
111
−+−+−
=−+−−−=
Exemplos: dados u e v na base B = { k,j,i } , calcule u ∧ v .
1) u = (1, -1, 2)B e v = (3, -1, -1)
u ∧ v = B2)7,(3,k3)1(j6)1(i2)(1
113
211
kji
=+−+−−−+=
−−
−
2) u = (3, 2, -1)B e v = (1, -1, -1)B
u ∧ v = B5)2,3,(
111
123
kji
−−=
−−
−

55
3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
Observem o paralelogramo OADB da figura acima.
A área desse paralelogramo é dada por: A = | u | x h (1)
Do triângulo OHB, retângulo em H, temos que:
θsen|v|h
|v|
h
θsen ×=⇒= (2)
Substituindo (2) em (1), vem:
A = | u | x θsen|v| × ⇒ |vu|A ∧=
Portanto, a área de qualquer paralelogramo cujos lados sejam
representantes dos vetores u e v é dada por | u ∧ v | .
EXEMPLOS
Nos exemplos que seguem, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.
1) Dados os vetores 1v = (1, 0, 5) e 2v = (-3, 0, 2), calcular um vetor unitário u
ortogonal aos vetores 1v e 2v .
O
A B
C
h
θ
D
u v
vu ∧
H

56
0)17,(0,αu
203
501
kji
αu)vv(αuvuevu 2121 −=⇒
−
=⇒∧=⇒⊥⊥
| u | = 1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒=
⇒−=
⇒=⇒=⇒=−⇒
17
1
α
ou
17
1
α
17
1
|α|1|α|17117)(|α| 2
⇒−=⇒
⇒−−=⇒
0)17,(0,
17
1
u
ou
0)17,(0,
17
1
u
0)1,(0,u
ou
0)1,(0,u
−=
=
2) Dados os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -2, 1), determinar o vetor w paralelo ao
plano xOz tal que v = u ∧ w .
Seja w = (x, y, z)
z)0,(x,w0y00)1,(0,.z)y,(x,0j.wjwxOz||w =⇒=⇒=⇒=⇒⊥⇒
v = u ∧ w
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒=−
−=⇒−=
=
⇒−=−⇒−=⇒
1x1x
1x22x
3z
1)2,(3,x)2x,(z,1)2,(3,
z0x
210
kji
Logo, 3)0,1,(w −=
3) Calcular a área do triângulo de vértices: A = (2, 1, 3), B = (6, 4, 1), C = (-6, -2, 6).
A
B
C

57
A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo
3)3,8,(ACe2)3,(4,AB −−=−=
ACAB
2
1
AACABA triparal. ∧=⇒∧=
12)4,(3,
338
234
kji
ACAB =
−−
−=∧
13169144169ACAB ==++=∧
Portanto,
2
13
Atri =
3.3 Produto Misto
3.3.1 Definição
Sejam três vetores .Vw,v,u 3
∈
Chama-se produto misto dos vetores u , v , w , tomados nessa ordem, à
expressão: )wv(.u ∧ .
Notação: [u , v , w ] = )wv(.u ∧
Observe que o produto misto de três vetores u , v , w é um escalar.
OBSERVAÇÃO
Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B ,

58
v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B e w = x3 i + y3 j + z3 k = (x3, y3, z3)B são vetores
quaisquer de V3
, dados na base B, então o produto misto [u , v , w ] = )wv(.u ∧ , pode
ser obtido pelo determinante
333
222
111
zyx
zyx
zyx
Exemplos: dados os vetores u = (-2, 1, 2)B, v = (1, -1, 1)B e w = (1, 1, 1)B, calcular:
a) [u , v , w ]; b) [ w ,u , v ]; c) [v ,u , w ]
a) [u , v , w ] = 84422012)(2
111
111
212
=+=×+×−−×−=−
−
b) [ w ,u , v ] = 8143114)(131
111
212
111
=++=×+−×−×=
−
−
c) [v ,u , w ] = 83413)(14)(11)(1
111
212
111
−=−−−=−×+−×+−×=−
−
3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto
A partir de um ponto O qualquer do espaço, vamos construir um
paralelepípedo de arestas wOC,vOB,uOA === .

59
Seja θ o ângulo formado entre u e wv ∧ .
Seja uprojh wv∧
= .
Vamos calcular |θcos||wv||u||wv.u||]w,v,u[| ∧=∧= (1)
Mas, no triângulo OAH, retângulo em H, temos que :
| cos θ | = |θcos||u||h|
|u|
|h|
=⇒ (2)
Paral.A|wv| =∧ (3)
Substituindo (2) e (3) em (1), fica:
pedoParalelepíParal. V|h|A|]w,v,u[| =×=
Portanto concluímos que o módulo do produto misto [u , v , w ] é igual ao
volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores u , v , w .
Decorre da interpretação geométrica do produto misto que:
a) se u ,v , w são vetores L. D. e portanto coplanares, o produto misto entre eles é igual
a zero;
O
A
B
C
u
v
w
h
wv ∧
θ
H
(u ,v , w ) é L. D. ⇔ [u , v , w ] = 0

60
b) se u , v , w são vetores L. I. e portanto não coplanares, o produto misto entre eles é
diferente de zero;
c) se B = {u ,v , w } é uma base qualquer de V3
, então B é de orientação positiva se
[u ,v , w ] > 0 (quando θ é um ângulo agudo ⇒ cos θ > 0);
d) se B = {u ,v , w } é uma base qualquer de V3
, então B é de orientação negativa se
[u ,v , w ] < 0 (quando θ é um ângulo obtuso, pois é o ângulo entre u e w ∧ v , ou
seja, o ângulo entre u e – (v ∧ w )) ⇒ cos θ < 0).
3.3.3 Propriedades
1) Se permutarmos dois dos três vetores u , v , w , o produto misto muda de sinal.
[u ,v , w ] = - [u , w ,v ]
[u ,v , w ] = - [v ,u , w ]
2) Efetuando-se uma permutação cíclica dos três vetores u , v , w , o produto misto não
se altera.
[u ,v , w ] = [v , w ,u ] = [ w ,u , v ]
Observação: u.wvuw.v
uw.vwv.u
u.wvwv.u
∧=∧⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
∧=∧
∧=∧
3) Qualquer que seja ℜ∈λ , temos:
(u ,v , w ) é L. I. ⇔ [u , v , w ] ≠ 0

61
[ λ u ,v , w ] = [u ,λ v , w ] = [u ,v , λ w ] = λ [ u , v , w ]
4) [ ]w,v,u[]w,v,u[]w,v,uu 2121 +=+
[ ]w,v,u[]w,v,u[]w,vv,u 2121 +=+
[ ]w,v,u[]w,v,u[]ww,v,u 2121 +=+
EXEMPLO
No exemplo que segue, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.
Determinar o volume do tetraedro ABCD, cujos vértices são: A = (1, 1, -1), B = (2, 2, -1),
C = (3, 1, -1), D = (2, 3, 1).
VTetraedro =
6
1
VParalelepípedo
AC = (2, 0, 0), AD = (1, 2, 2), AB = (1, 1, 0)
VT =
6
1
| [ AC , AD , AB ] | =
6
1
3
2
6
4
4
6
1
011
221
002
==−=
A
B
C
D

62
1) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox e
tal que w .u = 9 e w .v = 4.
2) Dados u = (2, 1, -3) e v = (1, 2, 1), seja w = u + λ v . Determinar λ para que w e
u sejam ortogonais.
3) Dados u = (1, -3, 1), pede-se determinar um vetor v , ortogonal ao eixo Oy, tal que
| u ∧ v | = 118 e u . v = 5.
4) Dados os vetores u = (1, -1, 0), v = (0, 0, 2) e w = (2, -3, 0), pede-se determinar o
vetor x , paralelo a w e que satisfaz a condição x ∧ u = v .
5) Dados os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, 3), determinar um vetor w sabendo-se
que w é ortogonal a u e a v , | w | = 243 e o ângulo formado por w com o eixo Oy é
agudo.
6) Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Sabendo-se que | a | = 5, | b | = 8,
calcular | a + b |, | a - b |, a . b e | a ∧ b |.
7) Numa base ortonormal positiva temos: AB = (3, 1, -2), AC = (0, 2, -1) e AD = (1, 1, 1).
a) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
b) Calcular a área do triângulo BCD.
c) Calcular a distância do ponto A ao plano BCD.
d) Calcular a distância de B à reta CD.
8) Dados aOA = = (1, 1, 0), bOB = = (0, 1, 1) e cOC = = (2, 1, 0), pede-se um vetor
xOP = tal que, simultaneamente:
a) x é coplanar com a ∧ b e cb ∧ ;
b) x é ortogonal a a + c ;
4
Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica – Exercícios, 1985

63
1) )
7
22
,
7
47
(0, ; 2) -14; 3) (3, 0, 2) ou (2, 0, 3); 4) (4, -6, 0); 5) (9, 9, -9);
6) 129 ; 7; 20; 320 ;
7) 12;
3
93
;
31
626
;
2
62
;
8) ),,( βββ 332 −−=x ; βα −=

64
4 RETAS E PLANOS NO R3
4.1 Sistema de Coordenadas
Seja O um ponto de R3
e B = { k,j,i } uma base ortonormal positiva de V3
.
Ao par (O, B), que também pode ser indicado por (O, k,j,i ) damos o nome
de sistema ortogonal de coordenadas em R3
.
O ponto O é a origem do sistema e os eixos concorrentes em O e que têm
os sentidos dos vetores k,j,i denominam-se, respectivamente, eixo das abscissas
(indicado por Ox, ou simplesmente x), eixo das ordenadas (indicado por Oy, ou
simplesmente y) e eixo das cotas (indicado por Oz, ou simplesmente z), sendo
chamados de eixos coordenados. O plano que contém os eixos x e y, recebe o nome
de plano xy; o plano que contém os eixos y e z é chamado de plano yz; o plano xz é
aquele que contém os eixos x e z; estes três planos recebem o nome de planos
coordenados.
x
y
z
O
P = (x, y, z)v
i
j
k

65
A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP ,
com origem em O, que por sua vez determina um único vetor OPv = , que é escrito de
maneira única como combinação linear dos vetores k,j,i , do seguinte modo:
kzjyixv ++= . Desse modo, a cada ponto P do espaço corresponde um único terno
ordenado (x, y, z) de números reais, que são as coordenadas cartesianas de P no
sistema de coordenadas ortogonal (O, B). Reciprocamente, a cada terno ordenado (x,
y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço, tal que
kzjyixOP ++= . Assim, podemos representar os pontos do espaço por ternos
ordenados de números reais e escrever, P = (x, y, z), ou ainda P (x, y, z).
Desse modo, sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos de R3
.
Quais são as coordenadas do vetor AB ?
Observem que AB pode ser escrito do seguinte modo:
)zz,yy,x(x)z,y,(x)z,y,(xOAOBOBOAOBAOAB 121212111222
−−−=−=−=+−=+=
Portanto, AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
x
y
z
O
i j
k
A
B

66
r: P = A + ABλ , Rλ ∈ (1)
r: P = A + vλ , Rλ ∈ (1)
4.2 A Reta no R3
Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois pontos distintos
determinam uma única reta.
Sejam então, dois pontos distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) de R3
.
Esses dois pontos determinam uma reta r.
Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores AP e
AB são linearmente dependentes (L. D.), ou ainda, se AP e AB são paralelos.
Logo, um ponto P pertence à reta r se, e somente se, existe um escalar λ tal
que ABλAP = .
Como OPAOAP += , temos: ABλOPAO =+ , que nos fornece a
Que também pode ser escrita da seguinte forma:
Observem que dado Rλ ∈ , (1) nos dá um ponto P de r, e dado P ∈ r, existe
Rλ ∈ tal que (1) se verifica.
Fazendo-se AB = v , (v ≠ 0 , pois A ≠ B) podemos escrever (1) do seguinte
modo:
Equação Vetorial da Reta r: ABλOAOP += , Rλ ∈

67
Assim, defini-se reta:
Simbolicamente, escrevemos:
O vetor v é chamado vetor diretor da reta r.
Logo, uma reta fica bem definida, isto é, bem determinada, quando dela
conhecemos um ponto e a direção que é dada pelo vetor diretor.
Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial
da reta r, fica:
k)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix 121212111
−+−+−+++=++
k)]z(zλ[zj)]y(yλ[yi)]x(xλ[xkzjyix 121121121
−++−++−+=++
Fazendo-se: x2 – x1 = a, y2 – y1 = b, z2 – z1 = c, vem:
kc)λ(zjb)λ(yia)λ(xkzjyix 111
+++++=++
Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:
Se em (2) tivermos a ≠ 0, b≠ 0 e c ≠ 0, ou seja, a.b.c ≠ 0, podemos tirar o
valor de λ de cada equação, obtendo:
r = {P Rλ,vλA/PR3
∈+=∈ }
Equações Paramétricas da Reta r
R)(λ
cλzz
bλyy
aλxx
1
1
1
∈
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
:r (2)
Definição de Reta
Reta determinada por um ponto A e um vetor v ≠ 0 é o conjunto dos pontos
P de R3
que satisfazem a relação: Rλ,vλAPvλAP ∈+=⇔=

68
c
zz
b
yy
a
xx
λ 111
−
=
−
=
−
=
REFLITA E RESPONDA
1) Fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual (2) são equações
paramétricas. É a reta que passa pelo ponto (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor (a, b, c). Se
fixarmos outro sistema de coordenadas e mantivermos o mesmo sistema de equações
(2), este representará a mesma reta no espaço? (Tente exemplificar sua resposta com
uma figura)
2) Para uma mesma reta, as equações do tipo (1) e (2) são determinadas de modo
único? Isto é, só existe uma equação de cada tipo representando uma mesma reta?
OBSERVAÇÃO: para os exemplos e exercícios que veremos no decorrer desta
apostila, consideraremos fixado um sistema de coordenadas (O, k,j,i ).
EXEMPLOS
1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e normais da reta r que passa pelos
pontos P1 = (5, -4, 2) e P2 = (3, 1, 6).
A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (5, -4, 2) e pelo vetor
diretor 4)5,2,(PPv 21
−== .
Equação Normal ou Simétrica da Reta r
c
zz
b
yy
a
xx 111
−
=
−
=
−
:r (3)

69
Equação Vetorial: P = P1 + ⇒vλ r: (x, y, z) = (5, -4, 2) + λ (-2, 5, 4), λ ∈ R
R)(λ
4λ2z
5λ4y
2λ5x
::asParamétricEquações ∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+−=
−=
r
Equações Normais: r:
4
2z
5
4y
2
5x −
=
+
=
−
−
2) Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelo ponto P1 =
(1, -2, 5) e cuja direção é dada pelo vetor diretor u = (2, 1, -3).
Equações Normais: r:
3
5z
1
2y
2
1x
−
−
=
+
=
−
Equações Paramétricas: r: R)(λ
λ35z
λ2y
λ21x
∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+−=
+=
4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos
Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) três pontos de R3
, com
A ≠ B.
A condição necessária e suficiente para que C pertença à reta determinada
por A e B é:
EXEMPLO
Verificar se os pontos P1 = (-1, -2, 1), P2 = (1, 1, 5) e P3 = (3, 4, 9) estão alinhados.
Vamos determinar os vetores 3121
PPePP : 8)6,(4,PPe4)3,(2,PP 3121
== .
Rλ,ABλAC ∈=

70
Logo, existe R2λ ∈= , tal que: 31
PP = 21
PP2 . Portanto os pontos estão alinhados ou
são colineares.
Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, por
exemplo as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P1 e P2 e
verificarmos se o ponto P3 pertence à reta r.
A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (-1, -2, 1) e pelo vetor
diretor v = 4)3,(2,PP 21
= , tendo as seguintes equações paramétricas:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+−=
+−=
λ41z
λ32y
λ21x
:r
Substituindo P3 em r, vem:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒+=
=⇒+−=
=⇒+−=
2λ419
2λ324
2λ213
:
λ
λ
λ
r
Como das três equações do sistema tiramos o mesmo valor de λ , temos que P3 ∈ r.
Logo, os pontos são colineares.
4.3 O Plano no R3
Um dos axiomas da Geometria Espacial afirma que três pontos não
colineares determinam um único plano.
Sejam então, três pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C =
(x3, y3, z3) de R3
.
Esses três pontos determinam um plano π .
Observem que do fato de A, B e C não pertencerem a uma mesma reta,
decorre que os vetores ACeAB são linearmente independentes (L. I.).

71
Um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetores
AP , AB e AC são linearmente dependentes (L. D.), ou seja, AP é uma combinação
linear dos vetores AB e AC .
Logo, um ponto P pertence a um plano π se, e somente se, existem
escalares λ e μ tais que ACμABλAP += .
Como OPAOAP += , temos: ACμABλOPAO +=+ , que nos fornece a
Que também pode ser escrita da seguinte forma:
Observem que dado um par ordenado ( μλ, ) de números reais, (1) nos dá
um ponto P de π , e dado P ∈ π , existe um par ordenado ( μλ, ) de números reais tal
que (1) se verifica.
Fazendo-se AB = u e AC = v , (u e v L. I.) podemos escrever (1) do
seguinte modo:
Assim, defini-se plano:
Equação Vetorial do Plano π : Rμλ,,ACμABλOAOP ∈++=
Rμλ,,ACμABλAP: ∈++=π (1)
Rμλ,,vμuλAP: ∈++=π (1)
Definição de Plano
Plano determinado por um ponto A e por dois vetores L. I. u e
v é o conjunto dos pontos P de R3
que satisfazem a relação:
Rμλ,,vμuλAPvμuλAP ∈++=⇔+=

72
Simbolicamente, escrevemos:
Os vetores L. I., u e v , são chamados vetores diretores do plano π .
Logo, um plano fica bem definido, isto é, bem determinado, quando dele
conhecemos um ponto e duas direções não paralelas que são dadas pelos vetores
diretores.
Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial
do plano π , fica:
k)z(zμj)y(yμ
i)x(xμk)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix
1313
13121212111
−+−
+−+−+−+−+++=++
k)]z(zμ)z(zλ[z
j)]y(yμ)y(yλ[yi)]x(xμ)x(xλ[xkzjyix
13121
1312113121
−+−+
+−+−++−+−+=++
Fazendo-se: x2 – x1 = a1, y2 – y1 = b1, z2 – z1 = c1 e x3 – x1 = a2, y3 – y1 = b2,
z3 – z1 = c2, vem:
k)cμcλ(zj)bμbλ(yi)aμaλ(xkzjyix 211211211
++++++++=++
Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:
Podemos também usar o produto misto entre vetores para obter uma
condição necessária e suficiente para que um ponto P pertença a um plano π .
Já vimos anteriormente que um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π
determinado pelos pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3)
π = {P ∈ R3
/P = A + λ u + μ v , Rμλ, ∈ }
Equações Paramétricas do Plano π
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
211
211
211
cμcλzz
bμbλyy
aμaλxx
:π R)μ( ∈,λ (2)

73
de R3
se, e somente se, os vetores AP , AB e AC são linearmente dependentes (L.
D.), ou seja, [ AP , AB , AC ] = 0 ⇒ [ AP ,u ,v ] = 0, com AP = (x – x1, y – y1, z – z1), u =
(a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2).
Desenvolvendo-se este produto misto, teremos:
)abb(a)z(z
)acc(a)y(y)bcc(b)x(x0
cba
cba
zzyyxx
21211
2121121211
222
111
111
−−
+−−−−−⇒=
−−−
Chamando-se: a = b1c2 – c1b2 ; b = -a1c2 + c1a2 ; c = a1b2 – b1a2, teremos:
(x – x1) a + (y – y1) b + (z – z1) c = 0, que desenvolvendo-se, fica:
a x + b y + c z – (ax1 + by1 + cz1) = 0 e finalmente, fazendo-se d =
– (ax1 + by1 + cz1), teremos:
A equação (3) também recebe o nome de equação normal do plano π , pois
decorre da definição de vetor normal a um plano.
Da definição de produto misto sabemos que:
[ AP ,u ,v ] = AP . u ∧ v
Da definição de produto vetorial sabemos que o vetor obtido do produto
vetorial de u por v é, simultaneamente, perpendicular ou ortogonal a u e v .
Equação Cartesiana ou Geral do Plano π : a x + b y + c z + d = 0 (3)
Vetor Normal
Um vetor 0≠n é perpendicular ou normal a um plano π se, e
somente se, n é perpendicular a todos os vetores que possuem
representantes em π .

74
Chamando-se n = u ∧ v , vamos calcular suas coordenadas em relação ao sistema de
coordenadas (O, k,j,i ):
k)abb(aj)acc(ai)bcc(b
cba
cba
kji
vu 212121212121
222
111 −+−−−==∧=n , onde:
b1c2 – c1b2 = a ; - a1c2 + c1a2 = b ; a1b2 – b1a2 = c.
Portanto, da definição de vetor normal, n = u ∧ v = kcjbia ++ é um vetor
normal ao plano π , definido pelo ponto A = (x1, y1, z1) e pelos vetores diretores u = (a1,
b1, c1) e v = (a2, b2, c2).
Logo, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, o vetor
AP é perpendicular ou ortogonal ao vetor n.
Sabemos que: 0n.APnAP =⇔⊥ . Efetuando-se esse produto escalar,
vem:
(x – x1, y – y1, z – z1) . (a, b, c) = 0
a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0
a x + b y + c z – (a x1 + b y1 + c z1) = 0, chamando-se d = – (a x1 + b y1 + c z1), temos:
Assim, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, suas
coordenadas satisfazem à equação acima.
Observem que a equação normal obtida acima é idêntica à equação (3) e
que a, b, e c, coeficientes respectivamente de x, y, e z, são as coordenadas do vetor n,
normal ao plano π .
Desse modo, podemos também dizer que um plano fica bem definido, isto é,
bem determinado, quando dele conhecemos um ponto e uma direção normal que é
dada pelo vetor normal ao plano.
Equação Normal do Plano π : a x + b y + c z + d = 0

75
PLANO BEM DETERMINADO
EXEMPLOS
1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e cartesiana do plano π que passa
pelos pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1) e P3 = (1, 2, 1).
O plano π fica bem determinado, por exemplo, pelo ponto P1 = (1, 0, 1) e pelos vetores
diretores 0)2,(0,PPve0)1,1,(PPu 3121
==−== .
Equação Vetorial: P = P1 + vμuλ +
π : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (-1, 1, 0) + μ (0, 2, 0), (λ ,μ ∈ R)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
−=
1z
μ2λy
λ1x
::asParamétricEquações π (λ ,μ ∈ R)
Equação Cartesiana: P = (x, y, z) ∈ π 0]v,u,PP[ 1
=⇔
01z:022z:
00)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:0
020
011
1zy1x
:
=−⇒=+−
=−−−+−−−−⇒=−
−−
ππ
ππ
ou
π
u
v
A P = (x, y, z)
uλ
vμ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
v
u
A
:π
π
A
n
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
n
A
:π
P = (x, y, z)

76
2) Escrever a equação cartesiana do plano que contém o ponto P = (1, -1, 2) e é
perpendicular ao vetor n = (2, -3, 1).
A equação cartesiana do plano π é da forma: a x + b y + c z + d = 0, onde a, b, c são
as coordenadas do vetor normal ao plano. Então fica:
π : 2 x – 3 y + z + d = 0
O ponto P = (1, -1, 2) pertence ao plano π , logo, suas coordenadas satisfazem a
equação do plano, isto é: 2 (1) – 3 (-1) + 2 + d = 0 ⇒ 2 + 3 + 2 + d = 0 ⇒ d = -7.
Portanto, π : 2 x – 3 y + z – 7 = 0.
3) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paralelo
aos vetores k2jibekji2a −+=−+= .
Se o plano é paralelo aos vetores bea , então, no plano, existem representantes
desses vetores.
Um ponto P = (x, y, z) pertence a esse plano se, e somente se, 0]b,a,PP[ 0
=
06zy3x:06zy3x:01z6y31x:
01)(21)(z1)4(2)(y1)2(1)(x0
211
112
1z2y1x
:
=+−−⇒=−++−⇒=−+−++−
=−−++−−−+−−⇒=
−
−
−−−
πππ
π
Outra maneira de resolvermos este exercício é determinando o vetor normal ao plano.
Então, fica:
1)3,1,(k1j3i
211
112
kji
−=++−=
−
−=n
∴ π : - x + 3 y + z + d = 0
6d0d1610d(1)(2)31πP0
−=⇒=+++−⇒=+++−⇒∈
∴ π : - x + 3 y + z – 6 = 0 ⇒ π : x – 3 y – z + 6 = 0

77
4.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos
Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4, z4) quatro
pontos de R3
, com A, B e C não colineares e consequentemente determinando um
único plano π .
A condição necessária e suficiente para que D pertença ao plano π , é:
EXEMPLO
Verificar se os pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1) e P4 = (-1, 4, 1) são
coplanares.
Vamos determinar os vetores :PPePP,PP 413121
0)4,2,(PPe0)2,(0,PP,0)1,(-1,PP 413121
−=== .
04)(000)(010)(01
042
020
011
]PP,PP,PP[ 413121 =++−−−−=
−
−
= . Portanto os quatro
pontos são coplanares.
Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, por
exemplo a equação cartesiana do plano π , bem definido pelo ponto P1 = (1, 0, 1) e
pelos vetores diretores 0)2,(0,PPe0)1,(-1,PP 3121
== e verificarmos se o ponto P4 =
(-1, 4, 1) pertence a este plano.
Seja um ponto genérico P = (x, y, z) pertencente a π
01z:02z2:0)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:
0
020
011
1zy1x
:0]PP,PP,PP[: 31211
=−⇒=+−⇒−−−+−−−−
⇒=−
−−
⇒=
πππ
ππ
0]AD,AC,AB[ =

78
Substituindo as coordenadas de P4 na equação cartesiana do plano π , temos:
1 – 1 = 0
0 = 0 (V)
Portanto, como as coordenadas de P4 satisfazem a equação cartesiana do plano π ,
segue que o ponto P4 pertence ao plano π . Logo, os quatro pontos são coplanares.
1) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos
P1 = (1, -2, 1) e P2 = (3, 0, -1).
2) Escrever as equações normais da reta r que passa pelos pontos P1 = (3, 0, -1) e P2 =
(1, -3, 0).
3) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P = (1, -1, 2) e
tem por vetor diretor k5j2i3u +−= .
4) Achar os pontos da reta dada por A = (-3, 3, -2) e B = (6, -3, 1) que têm uma
coordenada nula.
5) Dados os vértices A = (1, 0, -1), B = (2, 1, 0) e C = (2, 1, 2) de um triângulo ABC,
pedem-se as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A.
6) Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P1 = (3, 1, 2) e cuja
direção é dada pelos vetores diretores 1)2,(1,ue1)1,(3,u 21
−=−= .
7) Escrever a equação cartesiana do plano determinado pelos pontos P1 = (1, 1, 1), P2
= (2, -2, 2) e P3 = (-1, 1, 1).
5
Exercícios retirados de Lima, Elementos de Geometria Analítica, 1969

79
1) )R(
z
y
x
:r ∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+−=
+=
λ
λ
λ
λ
21
22
21
;
2) r:
1
1z
3
y
2
3x
−
+
==
−
−
;
3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−−=
+=
λ52z
λ21y
λ31x
:r ;
4) (0, 1, -1); (
2
1
0,,
2
3
− ); (3, -1, 0); 5)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
=
+=
λ21z
λy
λ1x
:m ;
6) π : x + 4 y + 7 z – 21 = 0;
7) y + 3 z – 4 = 0;
4.6 Posição Relativa
Fixado um sistema ortogonal de coordenadas (O, k,j,i ), vamos estudar as
posições relativas de:
4.6.1 Reta e Reta
Em R3
, duas retas r e s podem ser coplanares (situadas num mesmo plano)
ou reversas (não existe um plano que contenha ambas).

80
Se r e s forem coplanares, ainda poderão ser concorrentes (quando têm um
único ponto em comum) ou paralelas.
No caso de r e s serem paralelas, ainda podem ser distintas (nenhum ponto
em comum) ou coincidentes (todos os pontos em comum, ou uma só reta).
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
Concorrentes r ∩ s = {P} (3)
COPLANARES
(situadas num mesmo
plano)
r ∩ s = Ø (1)
(paralelas distintas)
Paralelas
r = s (2)
(paralelas coincidentes)
REVERSAS
(r ∩ s = Ø e não situadas num mesmo plano) (4)
Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entre
duas retas, no R3
.
Para tanto, seja r definida por um ponto A e um vetor diretor u , r: (A, u ) e s
definida por um ponto B e um vetor diretor v , s: (B, v ).
(1): Rα,vαuv||u ∈=⇔
(2): Rα,vαuv||u ∈=⇔ e )vγAB(ouuβABseja,our),B(ousA ==∈∈
(3): 0]AB,v,u[evαu =≠
(4): 0]AB,v,u[ ≠
r
s
r = s
r
s
P
●
r
s
●P

81
EXEMPLOS
1) Estudar a posição relativa das retas:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
−=
λz
1λ2y
2λ3x
:r e
2
z
4
4y
6
4x
: =
−
+
=
−
s
r: (u = (3, -2, 1), A = (-2, 1, 0)) s: (v = (6, -4, 2), B = (4, -4, 0))
Observem que v = 2 u = 2 (3, -2, 1) = (6, -4, 2). Logo r || s.
Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,
por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.
A em s: sA(F)0
4
5
1
2
0
4
41
6
42
∉∴=−=−⇒=
−
+
=
−−
. Logo as retas r e s são
paralelas distintas.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
+=
λ2z
λ54y
λ32x
:r e
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
+−=
μ2z
μ41y
μ21x
:s
r: (A = (2, 4, 0), u = (3, 5, 2)) s: (B = (-1, -1, -2), v = (2, 4, 1))
Observem que u e v não são paralelos, pois,
1
2
4
5
2
3
≠≠ (coordenadas não múltiplas).
Logo as retas r e s não são paralelas.
Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (-3, -5, -2).
0
253
142
253
]AB,v,u[ =
−−−
= , pois a 1ª linha é igual a (-1) x 3ª linha. Portanto as retas
r e s são coplanares e pelo fato de não serem paralelas, sabemos que são
concorrentes.
Vamos determinar as coordenadas do ponto P = (x, y, z), intersecção das duas retas.
Temos, então:

82
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−+−+−=⇒∈
++=⇒∈
⇒∩=
μ)2μ,41μ,21(PP
e
λ)2λ,54λ,3(2PP
{P}
s
r
sr
Como em R3
, fixado um sistema de coordenadas, a cada termo ordenado de números
reais corresponde um único ponto, temos que:
μ)2μ,41μ,21(λ)2λ,54λ,3(2 +−+−+−=++
0μ1λ4λ41λ322)λ(221λ32
:vem(1),emdosubstituin2,λ2μμ2λ2
(2)μ41λ54
(1)μ21λ32
=∴−=⇒++−=+⇒++−=+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=⇒+−=
+−=+
+−=+
Observem que 0μe1λ =−= satisfazem a equação (2) do sistema de equações.
Portanto P é dado por: P = (-1, -1, -2).
4
3z
3
2y
2
1x
:
−
=
−
=
−
r e
1
1z
2
4y
4
3x
:
−
=
−
=
−
s
r: (A = (1, 2, 3), u = (2, 3, 4)) e s: (B = (3, 4, 1), v = (4,
2, 1))
Observem que u e v não são paralelos, pois,
1
4
2
3
4
2
≠≠ (coordenadas não múltiplas).
Logo as retas r e s não são paralelas.
Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (2, 2, -2).
0341630124)(842)8(32)4(2
222
124
432
]AB,v,u[ ≠=++−=−+−−−−−=
−
=
Portanto os vetores u , v e AB são L. I. e as retas r e s são reversas.
4) Estudar a posição relativa das retas :
r: X = (1, 2, 3) + λ (0, 1, 3), λ ∈ R e s: X = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6), μ ∈ R
r: (A = (1, 2, 3), u = (0, 1, 3)) e s: (B = (1, 3, 6), v = (0, 2, 6))
Observem que v = 2 u = 2 (0, 1, 3) = (0, 2, 6). Logo r || s.

83
Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,
por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.
(1, 2, 3) = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6) ⇒ (1, 2, 3) = (1, 3 + 2μ , 6 + 6μ ) ⇒
s∈∴
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=⇒−=⇒+=
−=⇒−=⇒+=
=
A
2
1
μ3μ6μ663
2
1
μ1μ2μ232
11
.
Portanto as retas r e s são paralelas coincidentes.
4.6.2 Plano e Plano
Em R3
, dois planos π 1 e π 2 podem ser concorrentes ou paralelos.
Se forem concorrentes, sua intersecção será uma reta.
Se π 1 e π 2 forem paralelos, poderão ser paralelos distintos (intersecção
vazia) ou paralelos coincidentes (um único plano).
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
r (Concorrentes) (3)
π 1 ∩ π 2 = Ø (Paralelos Distintos) (1)
π 1 = π 2 (Paralelos Coincidentes) (2)
π 1 = π 2
π 1
π 2
π 1
π 2
n1 n2
r
v

84
dois planos, no R3
.
Para tanto, sejam as equações cartesianas dos planos π 1 e π 2:
π 1: a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π 2: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0, onde
n1 = (a1, b1, c1) é o vetor normal do plano π 1 e n2 = (a2, b2, c2) é o vetor normal do
plano π 2.
(1): n1 || n2 21
21
21
21
dαde
cαc
bαb
aαa
α ≠
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒=⇒ 21 nn
(2): n1 || n2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
⇒=⇒
21
21
21
21
dαd
cαc
bαb
aαa
α 21 nn
(3): 21 nn α≠ e sendo v o vetor diretor da reta r = π 1 ∩ π 2, temos que v || 21 nn ∧ .
Neste caso, as equações da reta r são da forma:
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
0dzcybxa
0dzcybxa
:
2222
1111
r , recebendo o nome de equações da reta r na forma geral.
EXEMPLOS
1) Os planos π 1: x + 2 y + 3 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 4 y + 6 z + 7 = 0 são paralelos
distintos, pois, n2 = (2, 4, 6) = 2 (1, 2, 3) = 2 n1 e 7 ≠ 2 x 5 = 10.
Também podemos fazer:
7
5
6
3
4
2
2
1
≠== .
2) Os planos π 1: x + 3 y + 6 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 6 y + 12 z + 10 = 0 são paralelos
coincidentes, pois, n2 = (2, 6, 12) = 2 (1, 3, 6) = 2 n1 e 10 = 2 x 5.
Também podemos fazer:
10
5
12
6
6
3
2
1
=== .
3) Determinar as equações simétricas da reta r, intersecção dos planos
π 1: x - 2 y + z - 5 = 0 e π 2: 2 x - y + 3 z - 1 = 0.

85
A reta r está dada na forma geral:
⎩
⎨
⎧
=−+−
=−+−
01z3yx2
05zy2x
:r
O vetor diretor v da reta r é obtido pelo produto vetorial entre os vetores normais dos
planos π 1 e π 2, respectivamente, n1 = (1, -2, 1) e n2 = (2, -1, 3), com 21 nn α≠ .
3)1,5,(k3ji5
312
121
kji
v −−=+−−=
−
−=
Para que a reta r fique bem definida, devemos determinar um ponto P dessa reta, que
pertence simultaneamente aos planos π 1 e π 2. Para isto, temos que resolver o
sistema de equações:
⎩
⎨
⎧
=−+−
=−+−
01z3yx2
05zy2x
Como se trata de um sistema a duas equações e três incógnitas, para resolvê-lo,
atribuímos um valor real para uma das incógnitas e determinamos as outras duas em
função desse valor atribuído. Temos então: por exemplo, para z = 0:
⎩
⎨
⎧
=−
−=+−
⇒
⎩
⎨
⎧
=−
−×=−
(2)1yx2
(1)10y4x2
1yx2
2)(5y2x
De (1) + (2), vem: 3 y = -9⇒ y = -3. Substituindo-se em x – 2 y = 5, temos:
x + 6 = 5 ⇒ x = -1. Logo, um ponto P da reta r, é: P = (-1, -3, 0).
Portanto a reta r fica bem determinada pelo ponto P = (-1, -3, 0) e pelo vetor diretor v =
(-5, -1, 3), podendo ser escrita na forma simétrica como:
3
z
1
3y
5
1x
: =
−
+
=
−
+
r .
4.6.3 Reta e Plano
Em R3
, uma reta r e um plano π podem ser paralelos ou concorrentes.
Se forem concorrentes, sua intersecção será um ponto, denominado traço da
reta r com o plano π .

86
Se forem paralelos, pode ocorrer que r é estritamente paralela a π
(intersecção entre eles é vazia, isto é, nenhum ponto em comum) ou r está contida em
π (intersecção entre eles é a própria reta, isto é, todos os pontos da reta pertencem ao
plano).
POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
r ∩ π = Ø (1)
(r é estritamente
paralela a π )
r é paralela a π
(r || π )
r ⊂ π (2)
(r ∩ π = r)
r e π são concorrentes
(r ∦ π )
(r ∩ π = { T }) (3)
reta e plano, no R3
.
Consideremos então, uma reta r definida por um ponto A = (x1, y1, z1) e por
um vetor diretor n)m,(k,v = , 0v ≠ , e um plano π de equação cartesiana,
a x + b y + c z + d = 0, onde c)b,(a,n = é o vetor normal do plano π .
π
r
π
r
π
r
T●

87
(1):
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠+++⇒∉
=++⇒=⇒=
0dzcybxaA
0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v
111π
e
(2):
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+++⇒∈
=++⇒=⇒=
0dzcybxaA
0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v
111π
e
(3): 0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v ≠++⇒≠⇒≠
EXEMPLOS
1) Estudar a posição relativa da reta
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−−=
+=
λ45z
λ42y
λ31x
:r com o plano
π : 4 x – 3 y – 6 z + 3 = 0.
Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (3, -4, 4) e o vetor
normal do plano, n = (4, -3, -6).
v . n = (3, -4, 4) . (4, -3, -6) = 12 + 12 – 24 = 0, o que indica que a reta r é paralela ao
plano π .
Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação do
plano o ponto A = (1, -2, 5), pertencente à reta.
4 + 6 – 30 + 3 = -17 ≠ 0. Portanto, o ponto A não pertence ao plano, o que indica que a
reta r é estritamente paralela ao plano π .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+−=
λ31z
λ45y
λ21x
:r com o plano
π : x + y – 2 z – 2 = 0.
Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 4, 3) e o vetor
normal do plano, n = (1, 1, -2).
v . n = (2, 4, 3) . (1, 1, -2) = 2 + 4 – 6 = 0, o que indica que a reta r é paralela ao plano
π .

88
Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação do
plano o ponto A = (-1, 5, 1), pertencente à reta.
-1 + 5 – 2 – 2 = 0. Portanto, o ponto A pertence ao plano, o que indica que a reta r está
contida no plano π .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+=
−=
1λ2z
5λ3y
2λ2x
:r com o plano
π : 3 x – 2 y + 8 z + 40 = 0.
Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 3, -2) e o vetor
normal do plano, n = (3, -2, 8)
v . n = (2, 3, -2) . (3, -2, 8) = 6 – 6 – 16 = -16 ≠ 0 , o que indica que a reta r é
concorrente com o plano π . Então, vamos agora determinar o ponto T, traço da reta r
no plano π , ou seja, o ponto de intersecção da reta r com o plano π .
⎩
⎨
⎧
=++−++−−⇒∈
+−+−=⇒∈
⇒=∩
(2)0401)λ2(85)λ(322)λ(23πT
1)λ25,λ32,λ(2TrT
}T{πr
Desenvolvendo-se (2), temos: 6λ - 6 – 6λ - 10 – 16λ + 8 + 40 = 0
- 16λ + 32 = 0
λ = 2 ∴ T = (2, 11, -3)
OBSERVAÇÕES
1) Retas Ortogonais: duas retas, r e s, são ortogonais quando seus vetores diretores
são ortogonais.
Notação: r ⊥ s
Sejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e s: (B, v ), com
v = (k2, m2, n2).
r ⊥ s ⇔ u .v = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0

89
Observem que retas ortogonais é um caso particular de retas reversas (4).
2) Retas Perpendiculares: duas retas, r e s, são perpendiculares se são ortogonais e
coplanares.
Notação: r ⊥ s
Sejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e A = (x1, y1, z1) e s: (B, v ),
com v = (k2, m2, n2) e B = (x2, y2, z2).
Observem que retas perpendiculares é um caso particular de retas
concorrentes (3).
r ⊥ s ⇔ u .v = 0 e [ AB ,u , v ] = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0 e
0
nmk
nmk
zzyyxx
222
11
121212
=
−−−
r
s
●S
π 1
π 2
r ⊂ π 1 e s ⊂ π 2
r e s ortogonais
r
s
P
●
π
r ⊂ π e s ⊂ π
r e s perpendiculares

90
3) Reta Perpendicular a um Plano
Sabemos da Geometria Espacial que uma reta é perpendicular a um plano
quando é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes desse plano.
Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.
Sejam as retas concorrentes s e t, contidas num plano π e a reta r
perpendicular ou ortogonal a s e a t, e, consequentemente perpendicular a π .
A reta s fica bem definida por um ponto B e um vetor diretor 1
v ,
s: (B, 1
v ), a reta t fica bem definida por um ponto C e um vetor diretor 2
v , t: (C, 2
v ) e
a reta r fica bem definida por um ponto A e um vetor diretor v , r: (A, v ). Seja ainda
0c)b,(a,n ≠= , o vetor normal do plano π .
Da definição de produto vetorial sabemos que
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⊥∧
2
1
21
v
v
)vv(
Portanto, qualquer vetor simultaneamente ortogonal a 1
v e 2
v será paralelo
a )vv( 21
∧ .
Logo, )vv(λv)vv(||v 21121
∧=⇒∧ (1)
n
λ
1
vv)vv(λn)vv(||n
2
2121221
=∧⇒∧=⇒∧ (2)
r
s
t
n v
1
v
2
v
π
r ortogonal a s e a t
r
s
t
n
v
2
v
1
v
π
r perpendicular a s e a t

91
De (1) e (2) temos que: n||vnλvn
λ
λ
v
2
1
⇒=⇒=
Simbolicamente escrevemos:
Observem que a perpendicularidade entre reta e plano é um caso particular
de reta e plano concorrentes (3).
4) Planos Perpendiculares
Sabemos da Geometria Espacial que dois planos são perpendiculares
quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.
Sejam 1n = (a1, b1, c1) e 2n = (a2, b2, c2), 0e0 ≠≠ 21 nn , vetores normais,
respectivamente dos planos 21
ππ e e 0≠v o vetor diretor da reta r, contida no plano
1
π e perpendicular ao plano 2
π .
Do fato de r ⊂ 1
π , temos que: 1n ⊥ v (1).
Do fato de r ⊥ 2
π , temos que: v || 2n (2).
De (1) e (2), temos que 1n ⊥ 2n .
Logo, 1
π é perpendicular a 2
π se, e somente se, 1n é ortogonal a 2n .
Simbolicamente escrevemos:
c)b,(a,λn)m,(k,n||v =⇒⇔⊥ πr
0ccbbaa0)c,b,(a.)c,b,(a0n.nnn 2121212221112121 =++⇒=⇒=⇔⊥⇔⊥ 21
ππ

92
Observem que planos perpendiculares é um caso particular de planos
concorrentes (3).
EXEMPLOS
1) Escrever as equações normais da reta r que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é
perpendicular à reta s: 2 x – 1 = 3 y = 4 z +1.
Inicialmente, vamos transformar as equações da reta s na forma normal:
4
1
4
1
z
3
1
y
2
1
2
1
x
:
+
==
−
s , de onde tiramos que s passa pelo ponto B = (
2
1
, 0, -
4
1
) e tem
vetor diretor )
4
1
,
3
1
,
2
1
(u = .
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−−
=
⇒==⇒⊥
(2)0
nmk
4
1
3
1
2
1
4
5
0
2
1
(1)0)
4
1
,
3
1
,
2
1
(.n)m,(k,
0]v,u,PB[e0u.vsr
(1): 0n3m4k60
4
n
3
m
2
k
=++⇒=++ (3)
(2): ⇒=+−+−⇒=−−−− 0k
12
5
m
8
5
m
8
1
n
6
1
0k)
3
1
m
2
1
(
4
5
m)
4
1
n
3
1
(
2
1
1π
2π
1n2n
r
v

93
(4)0n2-m6-k50k
12
5
m
2
1
n
6
1
=⇒=+−−
2 x (3) + 3 x (4): 27 k -10 m = 0 ⇒ ⇒=−−= 0n2m6m
27
50
:(4)emm
27
10
k
m
27
56
nm112n540n54m162m50 −=⇒−=⇒=−− m)
27
56
m,m,
27
10
(v −=∴
Para m = 27, um vetor diretor é: v = (10, 27, -56).
Logo, r tem equações normais:
56
1z
27
y
10
1x
−
−
==
−
:r .
2) Determinar uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = (2, 1, 0) e é
perpendicular aos planos 1
π : x + 2 y – 3 z + 2 = 0 e 2
π : 2 x – y + 4 z – 1 = 0.
Queremos determinar um plano π , tal que:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⊥
⊥
∈=
2
ππ
π 1
ππ
π
0)1,(2,A
:
Analisando as condições que o problema nos fornece, temos:
11
nnππ ⊥⇒⊥ (1)
22
nnππ ⊥⇒⊥ (2)
De (1) e (2) temos que )nn(αn)nn(||n 2121
∧=⇒∧ , podendo então adotar
1)(αnnn 21
=∧= .
1)2,(1,n1)2,(1,5k5j10i5
412
321
kji
nn 21 −−=⇒−−=−−=
−
−=∧
Portanto, uma equação cartesiana do plano π é dada por:
π : x – 2 y – z + d = 0
Para determinarmos o termo independente d usamos o fato de que A π∈ , e portanto,
suas coordenadas satisfazem a equação do plano π . Então, substituindo essas
coordenadas na equação do plano, temos:
2 – 2 – 0 + d = 0 ⇒ d = 0

94
0zy2x: =−−∴ π .
Observem que se tivéssemos usado 1)2,(1,α55)10,(5,αn −−=−−= , poderíamos
dividir a equação cartesiana do plano por α5 , obtendo assim a equação encontrada
como resposta, acima.
3) Dados o plano π : x + 2 y – 3 z + 3 = 0 e a reta
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
1z
λ35y
λx
:r :
a) determinar a intersecção da reta com o plano;
b) determinar a projeção ortogonal do ponto A = (0, 5, 1) sobre o plano;
c) determinar as equações normais da reta r’, simétrica de r em relação ao plano.
Identificando os elementos da reta e do plano, temos:
r: (A = (0, 5, 1), v = (1, -3, 0)) π : (n = (1, 2, -3))
Observem que: v . n = (1, -3, 0) . (1, 2, -3) = 1 – 6 = -5 ≠ 0, o que comprova que r e π
são concorrentes.
a) r ∩ π = { T }
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒−=−⇒=+−−+
=+−−+⇒∈
−=⇒∈
⇒
2λ10λ5033λ610λ
03(1)3λ)3(52λπT
λ,1)35(TrT ,λ
Portanto, T = (2, -1, 1).
T
A
M
A’
r
r’
s
t
π
n
θ
θ

95
b) Pela figura acima, notamos que a projeção ortogonal do ponto A ∈ r sobre o plano
π , é o ponto M, intersecção da reta t com o plano π . A reta t é uma reta passando por
A, perpendicular a π . Logo, um vetor diretor da reta t é o vetor
n = (1, 2, -3), normal ao plano π .
Portanto a reta t fica bem definida pelo ponto A = (0, 5, 1) e pelo vetor diretor
n = (1, 2, -3), tendo as seguintes equações paramétricas:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+=
=
λ31z
λ25y
λx
:t
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇒=⇒=++−++
=+++⇒∈
−+=⇒∈
⇒∩=
7
5
-λ-10λ1403λ93λ410λ
03λ)3-(13-λ)2(52λπM
λ)31,25,(MtM λλ
πtM
Portanto, M = )
7
22
,
7
25
,
7
5
(− .
NOTAS
1) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano ou sobre uma reta é feita sempre
por uma reta traçada pelo ponto, perpendicularmente ao plano ou à reta sobre os
quais queremos projetar.
2) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é feita por um plano traçado pela
reta, perpendicularmente ao plano sobre o qual queremos projetar.
A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano também pode ser obtida através da
projeção ortogonal de dois pontos distintos dessa reta sobre o plano (utilizando-se a
explicação da Nota 1).
c) Pela figura acima, notamos que a reta r’, simétrica de r em relação a π , passa pelo
ponto T, intersecção de r com π e pelo ponto A’, simétrico do ponto A em relação a π .
Se A’ é simétrico de A em relação a π , então M é o ponto médio do segmento AA'.
Aplicando-se as coordenadas do ponto médio de um segmento em R3
, temos:

96
7
10
x
2
x0
7
5
2
xx
x A'
A'A'A
M
−=⇒
+
=−⇒
+
=
7
15
y5
7
50
y
2
y5
7
25
2
yy
y A'A'
A'A'A
M
=⇒−=⇒
+
=⇒
+
=
7
37
z1
7
44
z
2
z1
7
22
2
zz
z A'A'
A'A'A
M
=⇒−=⇒
+
=⇒
+
=
Portanto , A’ = )
7
37
,
7
15
,
7
10
(− .
Logo, a reta r’ fica bem definida, por exemplo, pelo ponto T = (2, -1, 1) e pelo vetor
diretor 15)11,12,(
7
2
)
7
30
,
7
22
,
7
24
( −=−=TA' , observando-se que pode ser usado o
vetor 15)11,12,(−=v' , paralelo a TA'. Logo, a reta r’ é dada por:
15
1z
11
1y
12
2x −
=
+
=
−
−
:r' .
NOTAS
1) O simétrico A’, de um ponto A, em relação a um plano ou a uma reta, é o ponto que
se encontra à mesma distância que A está desse plano ou dessa reta. Sendo assim, o
ponto M, projeção ortogonal de A sobre o plano ou sobre a reta, será ponto médio do
segmento AA’, pois, |MA'||AM| = .
2) Chama-se ângulo que uma reta não paralela a um plano, faz com o plano, ao ângulo
agudo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano.
Se a reta é paralela ao plano, o ângulo entre ela e o plano mede 0°.
Se a reta é perpendicular ao plano, o ângulo entre ela e o plano mede 90°.
3) Dada uma reta r, concorrente com um plano, mas não perpendicular a esse plano, a
reta simétrica de r em relação ao plano, é aquela que faz com o plano, ângulo igual ao
que r faz com esse mesmo plano.

97
5 Resolução dos Exercícios
5.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios
1) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM em
função dos vetores ACeAB .
Resolução:
Temos que:
• MC5BM3 = Multiplicando a igualdade “em cruz”, temos:
•
35
MCBM
=
• E pelo desenho temos que:
8
5
BCBM =
• ACBABC +=
Temos que escrever o vetor AM em função de AB e AC .
Logo devemos encaminhar as igualdades acima, tentando relacionar com os vetores
AB e AC .
Pela soma de vetores, podemos escrever que:
BMABAM += , mas
8
5
BCBM = . Então, substituindo:

98
8
5
BCABAM += , mas ACBABC += . Substituindo novamente:
)(
8
5
ACBAABAM ++= lembrando que - ABBA = , e efetuando a distributiva, temos
que:
8
5
8
5
ACABABAM +−=
8
5
8
5
ACABABAM +−= Efetuando a soma
8
5
ABAB − temos que:
8
5
8
3
ACABAM +=
2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . Sejam
cACebAB == .
Resolução:
a) Determinar o vetor CX em função de b e c .
AXCACX +=
ABACCX
3
1
−−=
bcCX
3
1
−−=
b
c

99
cbCX −−=
3
1
b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c .
++= ACBABM CM
++−= ACABBM CX
2
1
++−= cbBM )( bc
3
1
2
1
−−
−+−= cbBM bc
6
1
2
1
−
ccbbBM
2
1
6
1
−+−−=
cbBM
2
1
6
7
+=
3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que
MB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = ,
pede-se:
Resolução:
a) AM ;
BMABAM +=
BCABAM
3
1
+= *
)AC(BAABAM ++=
3
1
d c
b
*
Conforme enunciado MBCM 2=
Logo, BCBM
3
1
=

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