1. Universidade do Estado do Par´.
a
Curso de Licenciatura Plena em Matem´tica.
a
´
ESTUDO SOBRE QUADRILATEROS
Vamos come¸ar com a defini¸ao de “quadril´tero”.
c c˜ a
Defini¸˜o 0.1 Sejam A, B, C, D pontos coplanares, distintos, com 3 pontos n˜o coline-
ca a
ares. Chama-se Quadril´tero ABCD ` uni˜o dos segmentos AB, BC, CD, DA.
a a a
• AB, BC, CD, DA s˜o os lados do quadril´tero.
a a
• A, B, C, D s˜o os ˆngulos internos.
a a
• AC e DB s˜o diagonais.
a
• Um quadril´tero sempre tem duas diagonais.
a
• A soma dos angulos internos de um quadril´tero ´ sempre 360o .
ˆ a e
• A soma dos angulos externos: 360o .
ˆ
Estudaremos alguns quadril´terios convexos especiais:
a
´
1. TRAPEZIO: ´ um quadril´tero convexo que possui dois lados paralelos.
e a
ABCD Trap´zio ⇐⇒ AB//CD ou AD//BC
e
Os lados paralelos s˜o as bases (Na figura s˜o os lados DC e AB)
a a
• trap´zio is´sceles: lados n˜o paralelos s˜o congruentes.
e o a a
1

2. • trap´zio escaleno: lados n˜o paralelos n˜o s˜o congruentes.
e a a a
• trap´zio retˆngulo: possui dois angulos retos.
e a ˆ
2. PARALELOGRAMO: quadril´tero convexo que possui os lados opostos pa-
a
ralelos.
ABCD Paralelogramo ⇐⇒ AB//CD e AD//BC
Observa¸˜o 0.1 Todo o paralelogramo ´ um trap´zio.
ca e e
ˆ
3. RETANGULO: quadril´tero convexo que possui 4 ˆngulos congruentes.
a a
ABCD Retˆngulo ⇐⇒ A ≡ B ≡ C ≡ D
a
4. LOSANGO: quadril´tero convexo com os 4 lados congruentes.
a
ABCD Losango ⇐⇒ AB ≡ CD ≡ AD ≡ BC.
5. QUADRADO: Quadril´tero convexo com 4 lados e 4 ˆngulos congruentes.
a a
ABCD Quadrado ⇐⇒ AB ≡ CD ≡ AD ≡ BC e A ≡ B ≡ C ≡ D
Observa¸˜o 0.2 Quadrado ⇐⇒ Losango e Retˆngulo.
ca a
2

3. Veremos agora algumas PROPRIEDADES dos quadril´teros not´veis.
a a
• Propriedades dos trap´zios
e
Teorema 0.1 (T1) Em qualquer trap´zio ABCD (nota¸˜o c´clica) de bases AB e
e ca ı
CD, temos que A + D = B + C = 180o .
Teorema 0.2 (T2 - Is´sceles) Num trap´zio is´sceles, os ˆngulos da base s˜o
o e o a a
congruentes.
Teorema 0.3 (T3 - Is´sceles) As diagonais de um trap´zio is´sceles s˜o congru-
o e o a
entes.
• Propriedades dos Paralelogramos
Teorema 0.4 (P1) Em qualquer paralelogramo, os ˆngulos opostos s˜o congruen-
a a
tes.
Teorema 0.5 (P2 - rec´
ıproca) Todo quadril´terio convexo que possui ˆngulos
a a
opostos congruentes ´ um paralelogramo.
e
Portanto, todo retˆngulo ⇒ paralelogramo.
a
Teorema 0.6 (P3) Em todo paralelogramo, os lados opostos s˜o congruentes.
a
Teorema 0.7 (P4) Todo quadril´tero convexo que possui os lados opostos congru-
a
entes ´ um paralelogramo.
e
3

4. Portanto, todo losˆngo ⇒ paralelogramo.
a
Exerc´
ıcio 1 Prove que: “Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se nos seus
pontos m´dios.”
e
• Propriedades dos retˆngulos, losangos e quadrados
a
Teorema 0.8 (R1) Em todo retˆngulo, as diagonais s˜o congruentes.
a a
Teorema 0.9 (R2) Todo paralelogramo que tem as diagonais congruentes ´ retˆngulo.
e a
Logo, o retˆngulo ´ um paralelogramo mas com diagonais congruentes.
a e
Teorema 0.10 (L1) Todo Losango tem diagonais perpendiculares.
Teorema 0.11 (L2) Todo paralelogramo com diagonais perpendiculares ´ um lo-
e
sango.
Portanto, o losango ´ um paralelogramo com diagonais perpendiculares.
e
Observa¸˜o 0.3 (Resumo) Estudo das diagonais: Quadril´terio convexo com -
ca a
– diagonais que se cortam ao meio: Paralelogramo;
– diagonais que se cortam ao meio e s˜o congruentes: Retˆngulo;
a a
– diagonais que se cortam ao meio e s˜o perpendiculares: Losango;
a
– diagonais que se cortam ao meio e s˜o congruentes e perpendiculares: Qua-
a
drado.
4

5. ´
# BASE MEDIA
• Base m´dia do Triˆngulo: ´ o segmento de reta com extremidades sendo os pontos
e a e
m´dios de dois lados. Tˆm as duas propriedades:
e e
i) A Base M´dia ´ paralela ao terceiro lado (base);
e e
ii) A Base M´dia tem a metade da medida da base.
e
AB
M N //BC MN =
2
Demonstra¸˜o: (Exerc´
ca ıcio)
• Base M´dia do Trap´zio: ´ o segmento de reta com extremidades nos pontos
e e e
m´dios dos lados n˜o paralelos. Tˆm duas propriedades:
e a e
´
i) E paralela as bases;
`
ii) Ele mede a semi-soma das bases.
AB + CD
M N//AB e CD MN =
2
5