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Los Números
Los Números Naturales
2. Contenidos
Artículos
Número natural 1
Conjunto numerable 6
Conjunto 8
Blackboard bold 14
Teoría de conjuntos 16
Operación matemática 18
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 22
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 23
Licencias de artículos
Licencia 24
3. Número natural 1
Número natural
Los números naturales pueden usarse para contar
(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de un conjunto.
Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el
cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de
los mismos. Dependiendo del área de la matemática, el conjunto de los
números naturales puede presentarse entonces de dos maneras
distintas:
•• Definición sin el cero:
•• Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana
de la península ibérica,
[1]
pero no se consideraba un número natural.
[2]
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones
conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,
[3]
y otras, como la teoría de la
computación.
[4]
En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.
[4]
Sin embargo, en la actualidad ambos
convenios conviven.
[5]
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en los
naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota
como . Alternativamente también se utiliza .
[6]
Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en
divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números
cardinales y se lo denota .
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para
contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.
Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una
vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor
del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de
escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,
en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,
mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard
Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto
de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
4. Número natural 2
existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege
perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la
existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del
axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de
números naturales como ordinales según von Neumann.
Las propiedades de los números naturales son:
1.1. Que un número natural va después del otro
2.2. Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro
3.3. Que son infinitos
Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las
que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de
conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.
Los cinco axiomas de Peano son (definición sin el cero):
1.1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural
cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números
naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La
idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se
quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga
precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por
Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en
3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.
Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene
elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada
número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes
expresiones:
5. Número natural 3
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por
ejemplo:
• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
•• y en general
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por
naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus
antecesores. Así si y sólo si .
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo
axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de
demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que
si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto
inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado
Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en
un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones
Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación
binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación
biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación
verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente
los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las
operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los
conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y
unitario.
6. Número natural 4
Operaciones con los números naturales
Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
• El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.
• Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera
específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.
Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o
suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales
y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa:
Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números
naturales.
• Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a
× b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo
si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones
aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos
encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
y .
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,
son estudiadas por la teoría de números.
Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento
en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de
un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo
de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.
Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.
• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,
para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N:
(a,b) ~ (c,d) si y solo si a + d = b + c.
7. Número natural 5
Sustracción o resta con números naturales
Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)=
m-n = d si solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción
o resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es posible en el caso que m ≥ n.
Proposiciones
•• Si m - n = p, entonces m - p= n
•• Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p
• Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;
•• como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.
•• La resta no es conmutativa ni asociativa.
• Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´y m´tal que m´- n´= p; de modo tal que en ℕxℕ la
relación (m,n) ≈ (m´,n´) s.s.s. m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la
construcción del ℤ de los números enteros
[7]
.
Referencias
[3][3] Véanse textos como o
[4][4] Véase .
[5][5] Véase
[6][6] , p. 27.
[7][7] "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidad Nacional de Buenos Aires
Bibliografía
• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.
ISBN 970-32-1392-8.
• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN
978-84-8236-049-2.
• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.
8. Conjunto numerable 6
Conjunto numerable
En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia
uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.
Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos.
Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y
algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable
o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y
la segunda permitiendo conjuntos finitos.
Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que marcaría el
nacimiento de la teoría de conjuntos.
[1]
Sin embargo, su importancia se manifiesta en numerosos campos de las
matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en topología.
Ejemplos
• El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función:
es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa.
• El conjunto de todos los enteros también es numerable.
• El conjunto es numerable.
•• Como consecuencia del ejemplo anterior, el conjunto de todos los racionales también es numerable.
• Por inducción puede probarse que son numerables para cualquier número natural k.
Introducción
Definiciones
De manera más formal, un conjunto C se dice que es numerable cuando es equipotente con el conjunto de los
números naturales , es decir, cuando existe una biyección de con C. Algunos autores extienden la definición
para incluir los conjuntos finitos, y bajo esta extensión un conjunto numerable es aquel que se puede poner en
biyección con un subconjunto de los números naturales. Esta extensión será designada en este artículo con la
expresión «conjunto a lo sumo numerable» o «conjunto finito o numerable».
[2]
En caso de que pueda haber
ambigüedad, siempre se puede especificar que un conjunto equipotente con es un «conjunto infinito numerable».
Por el contrario, un conjunto (infinito) no numerable es un conjunto infinito que no es equipotente con . El
argumento de la diagonal de Cantor permite demostrar que el conjunto de los números reales y el conjunto de las
9. Conjunto numerable 7
partes de no son numerables, y asimismo muestra la existencia de numerosos infinitos distintos de los anteriores y
que tampoco son numerables.
Teorema de Cantor
Un conjunto que contiene un subconjunto infinito numerable es necesariamente infinito. A partir de los axiomas de
la teoría de conjuntos, en particular el axioma de elección, se puede mostrar que el infinito numerable es el infinito
más pequeño en el sentido de que todo conjunto infinito contiene un conjunto infinito numerable. Se puede entonces
caracterizar un conjunto infinito como un conjunto que contiene un subconjunto numerable, definición que tiene
aplicaciones en teoría de la cardinalidad.
El cardinal de , y por tanto el cardinal de cualquier conjunto numerable, se denota (alef cero). Es el primero
de los ordinales transfinitos álef, que representan todos los cardinales dado el axioma de elección.
Origen del término
La noción de numerabilidad fue introducida por Georg Cantor en un artículo de 1874,
[3]
Sobre una propiedad del
sistema de todos los números algebraicos reales
[4]
donde establece por una parte que el conjunto de números
algebraicos reales (es decir, el conjunto de los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica con
coeficientes enteros) es numerable,
[5]
y por otra que el conjunto de todos los números reales no lo es, a partir de lo
cual deduce inmediatamente la existencia de números trascendentes o no algebraicos, redescubriendo así un
resultado de Liouville.
Su origen está ligado a la concepción del infinito en matemáticas. Hasta el descubrimiento de Cantor, el infinito era
el infinito potencial, la posibilidad de continuar un proceso sin detenerse nunca. La comparación de conjuntos
infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un
concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc).
[6]
Para ellos, el hecho de considerar una infinidad de objetos como un todo, es decir, el concepto de conjunto infinito,
no tiene sentido, sino que el infinito sólo puede surgir del proceso de enumeración sin repetición que nunca se
detiene. Sólo el infinito numerable puede tener en rigor algún sentido.
Notas y referencias
[1] Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophia, (http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/)
[2][2] Formalmente, para que estas dos expresiones sean equivalentes, hace falta demostrar que todo subconjunto de
UNIQ-math-0-30d28ee347dbf0e7-QINU es finito o numerable.
[3][3] y en 1873 en su correspondencia con Dedekind.
[4] Cantor (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (ver el centro de
numeración de Göttingen (http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49464)). Disponemos del origen de esta
demostración, que todavía no es la demostración más conocida que utiliza el argumento diagonal, gracias a las cartas del 7 y 9 de diciembre de
1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.
[5][5] Demostración de Dedekind, según su correspondencia.
[6] Véase por ejemplo Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.
10. Conjunto 8
Conjunto
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los
elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección
de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto,
en particular, un subconjunto del primero.
En matemáticas, un conjunto es una agrupación
de objetos considerada como un objeto en sí. Los
objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:
personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto.
[1]
Por
ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris
es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde,
Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una
propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define
un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil,
Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los
planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro
lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de
axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Historia
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida
que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
[2]
Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya
contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind
al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna:
relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones
relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus
investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La
influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de
«axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las
11. Conjunto 9
diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.
Definición
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de
elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
—Georg Cantor
[3]
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:
números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman
elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:
[4]
a ∈ A se lee
entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.
Por ejemplo:
3 ∈ A , ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación
Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la
imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
Existen varias maneras de referirse a un
conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva
o por comprensión, donde se especifica una
propiedad que todos sus elementos poseen. Sin
embargo, para los conjuntos B y C se usa una
definición extensiva, listando todos sus
elementos explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los
elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i , o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza
cuando los conjuntos se especifican de forma
intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n
2
: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
12. Conjunto 10
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la
forma n
2
tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros
cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .
Igualdad de conjuntos
Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A,
tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o
mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.
Un conjunto está totalmente determinado por sus
elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se
establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los
mismos elementos son el mismo conjunto,
A = B.
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un
mismo conjunto puede especificarse de muchas
maneras distintas, en particular extensivas o
intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los
números naturales menores que 5 es el mismo
conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2,
3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la
bandera de México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de
dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
{1, 2} = {1, 2, 1}
En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto
de la derecha es que 1 es uno de sus elementos.
13. Conjunto 11
Subconjuntos
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto
propio).
Un subconjunto A de un conjunto B, es un
conjunto que contiene algunos de los elementos
de B (o quizá todos):
Un conjunto A es un subconjunto del
conjunto B si cada elemento de A es a su
vez un elemento de B.
Cuando A es un subconjunto de B, se denota
como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en
B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse
que B es un superconjunto de A y también «B
contiene a A» o «B incluye a A».
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo,
ya que siempre se cumple que «cada elemento de
A es a su vez un elemento de A». Es habitual
establecer una distinción más fina mediante el
concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B.
Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).
[5]
Ejemplos.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Conjuntos disjuntos
A y B son conjuntos disjuntos.
Un conjunto A es disjunto a otro B si los
elementos de A no pertenecen a B:
la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es
disjunto de B, B es disjunto de A:
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si
no tienen elementos comunes, que también
puede decirse:
Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
14. Conjunto 12
Cardinalidad
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del
conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B|
= 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N =
{1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen
conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número
transfinito.
Operaciones con conjuntos
Operaciones con conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento
Diferencia simétrica
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos
conjuntos:
15. Conjunto 13
• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes
a A y B.
• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A
cualquier elemento que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos
los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos
los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
Ejemplos
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Notas
[1][1] Para esta introducción, véase y .
[2][2] Esta sección está basada en
[3][3] Véase
[4] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 y
pág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X".
[5] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B
y B ⊋ A. Véase Subconjunto.
Referencias
Bibliografía
• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary
Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II.
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el
18-04-2011.
• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/
set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el
22-04-2011.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
•• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la
OEA, traducida al español por César E. Silva.
16. Conjunto 14
Bibliografía adicional
• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.
primera edición en español.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons.
• Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld.wolfram.com/Set.html)» (en inglés), MathWorld, consultado el
22-04-2011
• Esta obra deriva de la traducción de Set, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia
Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.
Blackboard bold
La palabra "bold" (negrita) escrita en Blackboard bold.
La negrita de pizarra o blackboard
bold en inglés, es una tipografía
utilizada en textos matemáticos para
ciertos símbolos, que se distingue
porque ciertas líneas en el símbolo
(usualmente verticales) se duplican.
Esta tipografía se utiliza habitualmente
para denotar conjuntos.
La tipografía blackboard bold se originó como un intento de representar en un pizarrón símbolos tradicionalmente
impresos en negrita. Este hábito terminó por introducirse en los textos impresos, diferenciado de la negrita normal.
Uso
TeX, el lenguaje estándar para escritura de textos matemáticos, no soporta directamente símbolos en blackboard
bold, pero los tipos de letra de la AMS (amsfonts) incluyen esta capacidad. Una "R" con esta tipografía se escribe
como mathbb R, y genera .
Ejemplos
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado
con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra
disponibles), y su significado habitual en matemáticas:
17. Blackboard bold 15
TeX Unicode Uso en matemáticas
ℂ Números complejos
ℍ Cuaterniones
ℕ Números naturales
ℙ Números primos
ℚ Números racionales
ℝ Números reales
ᵔ Esfera
ℤ Números enteros
Referencias
• Clark, Malcolm (1992) (en inglés). A plain TEX primer. Oxford University Press. ISBN 9780198537243.
Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. "Doublestruck."
[1]
. Definción del tipo de letra en MathWorld.
• Esta obra deriva de la traducción de Blackboard bold, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU
y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores
[2]
de la Wikipedia en
inglés.
Referencias
[1] http://mathworld.wolfram.com/Doublestruck.html
[2] http://toolserver.org/~daniel/WikiSense/Contributors.php?wikilang=en&wikifam=.wikipedia.org&page=Blackboard+bold&
grouped=on&hidebots=on&hideanons=on&order=-edit_count&max=200&order=first_edit&format=html
18. Teoría de conjuntos 16
Teoría de conjuntos
Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N)
tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en
una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de
las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos,
consideradas como objetos en sí
mismas. Los conjuntos y sus
operaciones más elementales son una
herramienta básica en la formulación de
cualquier teoría matemática.
[1]
Sin embargo, la teoría de los conjuntos
es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas:
números, funciones, figuras
geométricas, ...; y junto con la lógica
permite estudiar los fundamentos de
esta. En la actualidad se acepta que el
conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para
desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos
es objeto de estudio per se, no sólo
como herramienta auxiliar, en particular
las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal
inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones
conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició
los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría básica de conjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos
elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección
determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de
pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como
elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números
enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno
19. Teoría de conjuntos 17
es subconjunto del siguiente:
• El espacio tridimensional E
3
es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E
3
. Las rectas r y
planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E
3
, r ⊆ E
3
y α ⊆ E
3
.
Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones
aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos
en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los
pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.
Teoría axiomática de conjuntos
La teoría de conjuntos «informal» o «elemental» apela a la intuición para determinar como se comportan los
conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción
si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el
desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados
acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las
propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:
• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
20. Teoría de conjuntos 18
Referencias
[1][1] Véase o
Bibliografía
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el
18-10-2010.
• Jech, Thomas. « Set Theory (http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/)» (en inglés). Stanford
Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado el 16-12-2011.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de conjuntosCommons.
Operación matemática
En matemática una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los
elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no;
esto se conoce técnicamente como ley de composición.
El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo
sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y
escalares que conforman un espacio vectorial).
Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal
según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.
Operación interna
Una operación es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto .
es un conjunto.
Que también puede expresarse:
O también:
Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:
• Operaciones finitas si el conjunto inicial es producto cartesiano finito.
• Operaciones infinitas en caso contrario.
21. Operación matemática 19
Operación n-aria
Diremos que es una operación n-aria en el conjunto , si:
a se le llama la ariedad o anidad.
Operación binaria
Una operación es binaria cuando es igual a dos:
y también:
Ejemplo:
En el conjunto de los números naturales, , la operación de adición: , , con las
diferentes expresiones:
1.
2.
3.
donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.
Operación unaria
Una operación unaria, con un solo parámetro:
también suelen denominarse funciones.
Ejemplos:
• Dado el conjunto de los números naturales , la operación unaria incremento o siguiente, como:
Donde:
• Dado el conjunto de los números enteros , la operación opuesto, como:
esto es:
22. Operación matemática 20
Operación 0-aria
Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación es decir:
Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:
Que asigna a a el valor real del número pi.
• Una operación que designa un elemento distiguido de , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un
grupo.
[1][2]
Operación externa
Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:
esta aplicación se dice que es una operación externa.
Ejemplo: Dado el conjunto de los vectores en el plano y el conjunto de escalares de números reales, tenemos
que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:
Dado el vector:
Si lo multiplicamos por un escales 3:
podemos ver que los dos vectores son del plano:
Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:
se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano,
da como resultado un número real, esto es:
Tomando los vectores del plano:
Y siendo su producto escalar:
Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:
Operando
23. Operación matemática 21
Referencias
[1][1] J. Barja Perez, pg 7
[2][2] Donald w. Barnes, pg 2
Bibliografia
• J. Barja Perez.Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones.Universidad de Santiago de Compostela
España. 1978.
• Donald W. Barnes, John M. Mack.Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978.
• Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda
edición.
