presentación de funciones vectoriales

2. Curvas en el espacio y funciones vectoriales
Una curva C en el plano se puede definir como un conjunto de pares ordenados
(f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas
x = f (t) e y = g (t);
donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I.
En forma similar se define una curva C en el espacio es un conjunto de
ternas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas
x = f (t) , y = g (t) y z = h (t)
Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.
Veremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales , éstas asignan
a números reales vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.

3. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Se llama función vectorial a cualquier función de la forma
Plano
r(t) = (f(t) , g(t) , h(t)) Espacio
donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con
valores reales.
Este concepto se puede generalizar a espacios n dimensionales
r(t) = (f(t) , g(t))

4. Se debe distinguir entre la función vectorial r y las funciones
de variable real f, g y h que son sus componentes y son
funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector
mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor
especificado de t).
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la
representación de curvas. Tomando como parámetro t el
tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo
largo de una curva. Más en general, podemos usar una
función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En
ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide
con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las
ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La
flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir,
el sentido de valores crecientes de t.
Salvo que se especifique otra cosa, se considera como
dominio de una función vectorial r la intersección de los
dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:
( ) ( ) tkjtittr +−+= 1ln
es el intervalo (0, 1]

5. (Trazado de una curva en el plano)
EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial
( ) sentjtitr 3cos2 −= π20 ≤≤ t
Solución:

6. (Tazado de una curva en el espacio)
EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial
( ) tksentjtitr ++= 4cos4 π40 ≤≤ t
Solución:
Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4,
centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la
tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra,
que cuando t crece de 0 a 4π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia
arriba, describiendo una hélice

7. EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada
por:
x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - t
Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es
inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la
función vectorial
r (t) = (2 + t)i + 3tj + (4 – t)k
Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión,
el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar
un conjunto de ecuaciones paramétricas