Claas lexion 560 540 combine (type 584) service repair manual
Cours hydraulique 2_annee_6
1.
2. Hydraulique
INTRODUCTION.....................................................................5
GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS DES FLUIDES ......................................... 5
HISTORIQUE .............................................................................. 5
SYSTÈME D'UNITÉ ........................................................................ 6
PROPRIÉTÉ DES FLUIDES ............................................................... 6
Définition : solides - fluides........................................................................................................6
Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6
Pression......................................................................................................................................7
Compressibilité ...........................................................................................................................7
Viscosité .....................................................................................................................................8
Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9
La pression de vapeur saturante ................................................................................................9
HYDROSTATIQUE ................................................................10
Définition...................................................................................................................................10
Pression en un point.................................................................................................................10
Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10
Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11
Utilisation ..................................................................................................................................11
Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12
Pression absolue ou relative ....................................................................................................12
Changement de référentiel de pression ...................................................................................13
Application ................................................................................................................................13
Tube en U.................................................................................................................................14
Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14
Changement de référentielle ....................................................................................................15
FORCE DE PRESSION .................................................................. 15
Poussée sur une surface plane ................................................................................................15
Crève tonneau de Pascal .........................................................................................................19
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 1
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
3. Hydraulique
Vérin hydraulique......................................................................................................................19
Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20
FORCE D'ARCHIMÈDE .................................................................. 22
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22
Application ................................................................................................................................23
Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23
Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24
Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24
EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25
Rappel des hypothèses fondamentales ...................................................................................25
Application de l'équation de bernouilli ......................................................................................26
Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28
THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ...................................... 29
Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29
Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0).........................30
Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30
Cas d'embouchement...............................................................................................................31
EQUATION FLUIDE PARFAIT GÉNÉRALISÉ ........................................... 32
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32
Equation de quantité de mouvement........................................................................................32
HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS .............................32
GÉNÉRALITÉ SUR LA VISCOSITÉ ..................................................... 32
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33
Variation de la viscosité............................................................................................................33
EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 2
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
4. Hydraulique
LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34
Expérience de Reynolds...........................................................................................................34
Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34
ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35
ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35
Généralité .................................................................................................................................35
Equations de Reynolds.............................................................................................................35
HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ÉCOULEMENT EN CHARGE) .35
Généralité .................................................................................................................................35
Equation de conservation d'énergie .........................................................................................35
Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36
EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37
En écoulement laminaire ..........................................................................................................37
En écoulement turbulent lisse .................................................................................................37
En écoulement turbulent rugueux.............................................................................................37
Régime turbulent de transition..................................................................................................37
Diagramme de Moody ..............................................................................................................37
Formule de Strickler .................................................................................................................38
Rayon hydraulique....................................................................................................................38
Perte de charges singulières ....................................................................................................38
CALCUL DE RÉSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39
Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39
Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39
Conduite en série .....................................................................................................................40
TECHNIQUE DE RÉSOLUTION PAR RÉITÉRATION ................................... 40
Recherche de hR.......................................................................................................................40
Recherche de Q .......................................................................................................................40
Recherche de D........................................................................................................................41
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 3
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
5. Hydraulique
CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41
Conduite en parallèle................................................................................................................41
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41
Calcul d'une maille ...................................................................................................................42
Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43
HYDRAULIQUE DES CANAUX (ÉC. EN NAPPE LIBRE) ..............43
GÉNÉRALITÉ ............................................................................ 43
Définitions.................................................................................................................................43
But de l’étude............................................................................................................................43
Classification des fluides ..........................................................................................................43
EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MÊMES, MAIS ADAPTÉES)............. 44
Equation de continuité ..............................................................................................................44
Equation de conservation d’énergie .........................................................................................44
Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45
Nombre de Froude : FR............................................................................................................45
ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46
Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46
Profondeur normale..................................................................................................................47
Différents problèmes rencontrés ..............................................................................................48
ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIÉ .............................................. 49
Définition...................................................................................................................................49
Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs ».......................................................................49
Valeur de tCR en canal rectiligne ...............................................................................................50
COURBES DE REMOUS ................................................................ 51
Équations fondamentales .........................................................................................................51
Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51
Etude qualitative et classification des lignes d’eau...................................................................52
Illustrations en rivière................................................................................................................52
Illustrations en torrent ...............................................................................................................53
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 4
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
6. Hydraulique
Introduction
Hydraulique
Mécanique des fluides
Mécanique
Physique
Hydrostatique
Cinématique
Dynamique
Fluide parfait (viscosité nulle)
Ecoulement en charge
Ecoulement en nappe libre
Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps)
Généralités et propriétés des fluides
Bibliographie :
Hydraulique générale et appliquée
(Carlier, éd. Eyrolles)
Manuel d’hydraulique générale
(Lencastre, éd. Eyrolle)
Mécanique des fluides et hydraulique
(R.V Gile)
Fluid mechanics
(V. Streeter anglais)
Traité de génie civil
(Gref et Altinater)
Historique
Haute antiquité dès 4’000 ans avant J.C en Mésopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de
Joseph au Caire de 90m de profondeur.
Civilisation grecque :
Ecole d’Alexandrie
Archimède :
287 – 212 avant J.C
Ctésibios :
Pompe aspirante – refoulante
Hydraule (orgue)
Moyen âge :
Rien
Renaissance :
1452 – 1519 Léonard de Vinci : Equation de continuité
Siècle des lumières :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Vis d’Archimède
Le principe d’Archimède
Théorie des corps flottants
Stevin (Hollande)
Paradoxe de l’hydrostatique
Louis 14
Torricelli
Pascal (traité des liqueurs)
Newton (liquide Newtoniens viscosité)
Page 5
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
7. Hydraulique
18ème siècles :
Théorie :
Bernoulli :
Euler :
Hydraulique appliquée :
Equation de conservation de l’énergie
Equation de quantité de mouvement
Chézy (perte de charge)
19ème siècles :
machine hydro :
essai sur modèle :
Temps moderne :
école de Götting, Prandtl
essai sur modèle
Francis (turbine)
Froude, Reynolds
Système d'unité
Cours de M. Métroz + brochure UBS
Système légal : Système I international S.I.
Unité encore tolérée :
(pas dans le SI)
-
litre = 1 dcm3
Km/h
Car heure au lieu de secondes
KW h
bar (pression)
grade
mm de mercure (Hg)
Propriété des fluides
Définition : solides - fluides
Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans rigidité)
Liquide : occupe un volume déterminé, peu modifiable par la température et la pression
séparation par "la surface libre" d'avec le gaz qui le surmonte
Gaz
: occupe tout l'espace à disposition, pas forcément uniforme, et le volume est
fortement modifiable par la température et la pression
Masse volumique, poids volumique et densité
La masse volumique est la masse d'un corps par unité de volume et noté
S.I. : masse
Volume
kg
m3
Poids volumique : poids par unité de volume
S.I. : Poids
Volume
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
ρ [rhô]
γ [gamma]
N
m3
Page 6
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
8. Hydraulique
Relation :
Poids = Masse X Accélération
Champs terrestre :
Poids = Masse X g
Poids = Masse X g
Volume
Volume
Par unité de volume :
ce qui donne :
γ = ρ x g
Densité : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de référence ayant le même volume
- eau (4°) :
ρ = 1000 kg/m3
γ = 9807 N/ m3
- air (20°):
Quelques valeurs:
ρ=
1.20 kg/m3
ρ diminue avec la température (portance des avions pays chaud)
- mercure (0°) :
- mercure (20°) :
ρ=
ρ=
13595 kg/m3
13546 kg/m3
Pression
L'ensemble des phénomènes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément
Pression :
p = force de surface
Surface
[Pa]
Contrainte :
p = force
Surface
résistance des matériaux
Unité tolérée : le bar
[N]
[m2]
1 bar = 105 Pa
Compressibilité
C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures
∆ pression
∆ volume
volume init.
Module de compressibilité :
E
=
Quelques valeurs :
- eau (15°) :
- air (15°) :
E à une unité de pression
(Pa, N/m2)
E = 2.16 * 109 N/m2
E = 1.13 * 105 N/m2
E = 1.58 * 105 N/m2
(isotherme)
(adiabatique)
sans échange de chaleur
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 7
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
9. Hydraulique
Vitesse de propagation d'une onde de pression
c=
E (isotherme)
ρ
ceau = 1470 m/s
cair = 300 m/s
Viscosité
Existence d'efforts tangentiels dans un fluide
Viscosité dynamique :
F = ∂v ⋅ ∂s ⋅ µ
∂x
µ : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s]
si µ = 0 fluide parfait
si µ = cste fluide newtonien (ex: l'eau)
µ
ρ
Viscosité cinématique :
υ=
Quelques valeurs:
- eau (15°) :
µ = 1.14*10-3 Pa*s
ν = 1.14*10-6 m2/s
- air (15°):
µ=
ν=
µeau
νeau
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
>
<
ν [nû] = m2/s
1.78*10-5 Pa*s
1.55*10-5 m2/s
µair
νair
Page 8
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
10. Hydraulique
Tension superficielle : capillarité
A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores)
σ=
travail = force ⋅ déplacement [j]
surface
surface [m2]
σ [sigma] = travail nécessaire pour rester à la surface
Utilisation capillarité :
h = 2 ⋅σ cos θ
ρ ⋅g⋅r
Loi de Jurin :
h=k
r
Quelques valeurs:
- mercure :
- eau :
k = cste en fonction du liquide
r = diamètre du tube
σ=
θ=
σ=
θ=
0.514 N/m
140°
k ≅ -14 mm2
0.0736 N/m
0°
k ≅ 30 mm2
La pression de vapeur saturante
Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation)
Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure.
(ébullition à température ambiante)
Cavitation :
Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température
ambiante.
Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de
vapeur, ce qui provoque une usure.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 9
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
11. Hydraulique
Hydrostatique
Définition
Science qui étudie les conditions des fluides au repos :
- pression
- force de pression
- principe d'Archimède
Pression en un point
Les différentes forces agissantes sur un élément :
Forces intérieur : elles forment un système équivalent à zéro (aucune action)
Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient très proche
l'un de l'autre (force de surface)
- Force de volume, lié au champ :
-pesanteur
- magnétique
- électromagnétique
Equilibre d'un prisme
Relation géométrique
Dx = dl * cosα
Dz = dl * sinα
Poids : P = ½ * (dx * dy * dz) * g * ρ
Condition d'équilibre :
∑F
=0
Projection sur l'axe X .
0 + dF2 – dF3 * sinα + 0 = 0
p2 *(dz * dy) – p3 *sinα *(dz/sinα) = 0
p2 = p 3
Projection sur l'axe Y :
DF1 + 0 – dF3 * cosα - P = 0
p1 *(dx * dy) – p3 *cosα *(dx/cosα) –(½ * (dx * dy * dz) * g * ρ) = 0
p1 = p 3
Infiniment petit donc négligé
Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires à la surface, sinon la composante tangentielle
entraînerait un glissement des particules. (donc mouvement d'où pas d'hydrostatique)
les coefficients p (pression) sont les mêmes dans toutes les directions
Forces de pression :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
dF = p * ds
Page 10
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
12. Hydraulique
Equation fondamentale de l'hydrostatique
Equilibre d'un cylindre à axe vertical :
équilibre des forces et projection sur l'axe Oz
dF2 = p ⋅ ds
dF1 = (p +
∂p
⋅ dz) ⋅ ds
∂z
dF2 – dF1 – P = 0
( p ⋅ ds ) – ( (p +
(
P = g ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds
∂p
⋅ dz) ⋅ ds ) – ( z ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ) = 0
∂z
∂p
⋅ dz) - (z ⋅ρ ) = 0
∂z
Forme différentielle
∂p
)- ρ ⋅x =0
∂z
∂p
( )-ρ ⋅y =0
∂z
∂p
( )- ρ ⋅z =0
∂z
(
Donc pression en point
p 2 - p1 =
ρ ⋅ g (z1 - z2)
Utilisation
Plan de charge = indication de la pression
H=
p
ρ ⋅g
H
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 11
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
13. Hydraulique
Différence de pression entre 2 points
pA + ρ ⋅ g ⋅ zA = pB + ρ ⋅ g ⋅ zB
pB - pA = ρ ⋅ g ⋅ (zA - zB)
d'où pB > pA
Principe de Pascal
pB - p A =
ρ ⋅ g (zA - zB)
On modifie la pression en A de ∆ pA sans modifier l'équilibre du système donc la pression en B est modifiée
de ∆ pB
(pB + ∆ pB ) – (pA + ∆ pA )=
ρ ⋅ g (zA - zB)
∆ pB = ∆ pA
Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout
point de la masse du fluide.
Pression absolue ou relative
Expérience de Torricelli
zA +
p
ρ
A
Hg
= zB +
p
ρ
pA = pATM
pATM =
ρ
B
Hg
pB = vide = 0
Hg
⋅ g (zB - zA)
A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg
donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa
ρ
Hg
= 13'600 Kg/m3
Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec
du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg
donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa
= 1.013 bar
101'324 Pa =
ρ eau ⋅ g ⋅
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
∆z
∆z = 10.33 m. correspond à la hauteur du tube remplis d'eau.
Page 12
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
14. Hydraulique
Changement de référentiel de pression
pression absolue : pression avec le vide comme référence
vide = 0
pression relative : pression avec pATM comme référence
pATM = 0
Application
Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable)
ρ1
<
ρ2
<
ρ3
ρ1
ρ
ρ
en pression relative : pATM = 0
2
3
ρ 1 ⋅ g ( zA - zB)
pB +
ρ
2
⋅ g ( zB - zC)
p B + pC +
ρ
3
⋅ g ( zC - zD)
Pression au point D :
avec pA = 0
pB - p A =
pC - p B =
pD - p C =
pD =
ρ 1 ⋅ g (zA - zB)
ρ 2 ⋅ g (zB - zC)
ρ 3 ⋅ g (zC - zD)
ρ 1 ⋅ g (zA - zB) + ρ
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
ρ 1 ⋅ g (zA - zB)
pC = pB + ρ 2 ⋅ g (zB - zC)
pD = pB + pC + ρ 3 ⋅ g (zC - zD)
pB =
2
⋅ g (zB - zC) + ρ
3
⋅ g (zC - zD)
Page 13
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
15. Hydraulique
Tube en U
Egalité de pression : 1 pB = pA
(on peut passer de A à B sans changer de pression)
pA = pATM +
ρ 1⋅g⋅
pB = pATM +
ρ 2 ⋅ g ⋅ zB
1
ρ 1⋅g⋅
ρ 1⋅
zA =
zA =
zA
ρ 2 ⋅ g ⋅ zB
ρ 2 ⋅ zB
Différence de pression entre 2 réservoir
px - p y = ?
1 p 4 = p5
2 p 4 = px +
3 p 5 = py +
1 px +
ρ x ⋅g⋅
ρ y ⋅g⋅
ρ x ⋅g⋅
px - p y = +
pour des gaz,
Lx
Ly +
Lx = p y +
ρ y ⋅g⋅
Ly
ρ
ρ
x
et
ρ ⋅ g ⋅ ∆h
ρ y ⋅ g ⋅ Ly + ρ ⋅ g ⋅ ∆ h
ρ x ⋅ g ⋅ L + ρ ⋅ g ⋅ ∆h
x
x
sont petit face à
px - p y =
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
ρ
mercure
ρ ⋅ g ⋅ ∆h
Page 14
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
16. Hydraulique
Changement de référentielle
- surface de référence : la surface libre du liquide
- pression de référence : pATM = 0
- axe vertical 'h' : positif vers le bas
Relation fondamentale
p + ρ ⋅ g ⋅ z = cste , mais avec z = - h
p - ρ ⋅ g ⋅ h = cste
Entre A et B
pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pB - ρ ⋅ g ⋅ hB
pA - pB = ρ ⋅ g ⋅ (hA – hB)
Entre A et C
pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pC - ρ ⋅ g ⋅ hC
hc = 0
pC = pATM = 0
pA = ρ ⋅ g ⋅ hA
p = ρ ⋅g⋅ h
h=
p
ρ ⋅g
Force de pression
Poussée sur une surface plane
Paroi plane horizontale
dF = p ⋅ ds = ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds
∫ dF = F
∫ ( ρ ⋅g⋅
h) ⋅ ds =
ρ ⋅ g ⋅ h ∫ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S
D'où
F=
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
ρ ⋅g⋅ h ⋅ S
Page 15
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
17. Hydraulique
Paroi plane verticale, de profondeur B = cste
F=
=
∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅
ρ ⋅g⋅ B
h2
∫
h) ⋅ ds
ds = (B ⋅ dh)
h ⋅ dh
h1
=
=
ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 1 h2
2
h2
h1
ρ ⋅ g ⋅ ( h1+h2 ) ⋅ B ⋅ (h2 - h1)
2
pression moyenne
surface
F = pmoyenne ⋅ S
Paroi plane inclinée
a) intensité de la force
F=
=
∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅
h) ⋅ ds =
∫ ρ ⋅ g ⋅ L ⋅ sinα ⋅ ds
ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds
définit la position du centre de gravité
=
ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ LG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ hG ⋅ S = pG ⋅ S
F = pG ⋅ S
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
pression au centre de gravité de la surface S
Page 16
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
18. Hydraulique
b) direction de la force
- toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface
- donc elles sont parallèles entre elles
- et donc F est perpendiculaire au plan de la surface
c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c"
∫ dM
= F ⋅ LC
calcul de
d'où
∫ dM
=
∫ dF ⋅
L=
=
Donc
LC =
LC =
∫ ρ ⋅g⋅
∫dM
F
L2 ⋅ sinα ⋅ ds
ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds
ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds
=
ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds
IOO'
IOO'
S ⋅ LG
= inertie de la surface par rapport à l'axe OO'
IOO'
=
IGG
+ S ⋅ L2G
LC =
On montre que :
IOO' = IGG + LG
S ⋅ LG S ⋅ LG
LC - L G =
LC = L G +
inertie par rapport à un axe passant par G et // à OO'
IGG
S ⋅ LG
IGG
S ⋅ LG
LC - L G ≥ 0
La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G'
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 17
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
19. Hydraulique
Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B
ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (B ⋅ h)
2
1 ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ h2
=
2
Force :
F = pG ⋅ S =
Position :
LC - L G =
IGG
S ⋅ LG
B ⋅ h3
12
=
(B ⋅ h) ⋅ h
2
= h
6
d'où C – A = h - h - h =
2
6
h
3
Vanne circulaire : Rayon R, centre O à la hauteur h de la surface, point O = G
Force : F = pG ⋅ S =
ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ π ⋅ R2
Position : LC - LG = hC - hG =
IGG
S ⋅ LG
=
π ⋅ R4 ⋅
1
4
π ⋅ R 2 ⋅ hG
=
R
4 ⋅ hG
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
2
Page 18
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
20. Hydraulique
Crève tonneau de Pascal
Liquide :
10-2 [dm2] ⋅ 100 = 1 [dm3] = 1 litre
Augmentation de pression :
ρ ⋅ g ⋅ ∆h ≅ 104 ⋅ 10 = 105 Pa
Augmentation de force
∆p ⋅ S = 105 ⋅ 1 ⋅ 0.1 = 104 N
Charge normale :
ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S = 104 ⋅ 0.5 ⋅ 0.1 = 250 KN
Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin)
Vérin hydraulique
2 portions dans le même plan horizontal
avec la pression p
p=
f = F
s S
d'où : F =
S ⋅f
s
volume du fluide : s ⋅ l = S ⋅ L
travail à gauche :
f⋅ l = p⋅ s⋅ l
conservation du travail
travail à droite : F ⋅ L = p ⋅ s ⋅ S ⋅ L = p ⋅ s ⋅ l
s
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 19
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
21. Hydraulique
Poussée sur une surface gauche (non plane)
Les dF ne sont plus // entre elles.
La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique.
On définit une force dans une direction donnée
Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale)
dFX = dF ⋅ cosα =
dF =
dFX
dFZ
ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ cosα
ds projeté sur le plan verticale = dSV
FX =
∫
∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSV
dFX =
FX =
=
ρ ⋅ g ∫ hGV ⋅ dSV = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV
ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = pGV ⋅ SV
hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul
SV : surface projetée sur le plan vertical
FX : passe par le centre de poussée de SV
dFZ =
ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ sinα
ds projeté sur le plan horizontale = dSH
FZ =
∫
dFZ =
∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSH
=
ρ ⋅ g ∫ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ⋅ V
FZ =
ρ ⋅g ⋅ V = P
V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle
FX passe par le centre de poussée de SV
Cas particuliers
Si la surface S possède un centre de courbure fixe (cylindre ou sphère), toutes les forces (F)
passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 20
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
22. Hydraulique
Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.)
2
FX =
ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
2
FZ =
ρ ⋅g⋅π ⋅R ⋅B
F=
2
4
ρ ⋅ g ⋅ R2 ⋅ B ⋅ 1 + π
tgα =
4
2
16
FZ = π
FX
2
Vanne hydraulique, liquide à gauche (B =1m.)
FX =
2
ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2−
π ⋅ R 2) = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 2 (1 − π )
R
4
4
1 ⎛ π
+ ⎜1 −
F = ρ ⋅g⋅R ⋅B⋅
4 ⎜
4
⎝
2
tgα =
⎞
⎟
⎟
⎠
2
FZ = 2(1 − π )
FX
4
Vanne hydraulique, liquide à droite (B = 1m.)
2
FX =
ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
2
FZ =
ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R )
2
4
=
ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ R 2 (1 − π )
4
La force FZ passe par le centre de poussée de SV
et est dirigée vers le haut.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 21
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
23. Hydraulique
Force d'Archimède
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique
On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H
A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1
B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2
Forces agissant sur les volume A et B
1 - F1 - P1 + p1 ⋅ S = 0
2 F2 - P2 - p2 ⋅ S = 0
PAR DEFINITION : on appelle force d'Archimède FA, la différence entre les forces F1 et F2
FA = F1 – F2
Volume de FA = (- P1 + p1 ⋅ S) - (P2 + p2 ⋅ S)
= S⋅
ρ ⋅ g ⋅ H - (P1 + P2)
FA =
ρ ⋅g ⋅ V
V : volume immergé du solide
Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du
volume de fluide déplacé.
ATTENTION
1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé
2. la force d'Archimède passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 22
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
24. Hydraulique
Application
Masse volumique d'un corps
Un objet pèse :
dans l'eau, 540N
dans l'air, 240N
Volume ?
P = FA + T
FA = 540 – 240 = 300N
FA =
ρ ⋅g ⋅ V
D'où V =
FA =
ρ ⋅g
300
= 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres
1000 ⋅ 9.81
Masse volumique ?
ρeau ⋅ g
= 1800 kg/m3
ρ = masse = P ⋅
volume g
FA
Un iceberg flottant dans l'océan
ρ glace : 912 kg/m3
ρ eau salée : 1025 kg/m3
partie visible : 600 m3 : V1
volume total de l'iceberg ?
Condition :
P = FA
poids total
(V1 + V2) ⋅
V2 = V1 ⋅
volume immergé
ρ glace ⋅ g = V2 ⋅ ρ eau salée ⋅ g
ρ glace
= 4843 m3
ρ eau salée ⋅ ρ glace
Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 23
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
25. Hydraulique
Equilibre des corps immergés
Equilibre : FA = P
et colinéaire
P : passe par le centre de gravité du solide
FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé
C et G sur une même verticale = équilibre stable
C et G sur une même verticale = équilibre instable
C et G confondu = équilibre indifférent
Equilibre stable
Equilibre des corps flottants
Ex : une balle de ping pong.
La position relative de C et G ne suffit
pas pour déterminer l'équilibre.
C'est le métacentre.
Equilibre stable
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 24
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
26. Hydraulique
Equation de Bernouilli
Rappel des hypothèses fondamentales
Fluide compressible :
ρ = cste
∂V = 0
∂t
Ecoulement permanent :
Force de volume due à l'apesanteur
x=0
y=0
z=0
F
hypothèse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsèque le long de la ligne de courant
2
ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste
2
Autre forme de l'équation :
2ème équation fondamentale de l'hydraulique
Divisant par
2
z + P + V = cste
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g :
équation de Bernouilli ou équation
de conservation d'énergie (E.E.)
2
2
= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g
E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
ρ ⋅g
charge H2
charge H1
2
Plan de charge : z +
2
P +V
ρ ⋅g 2⋅g
La ligne piézométrique : z +
c'est aussi :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
V1
2⋅g
P1
ρ ⋅g
2
V2
2⋅g
P2
ρ ⋅g
P
ρ ⋅g
2
H- V
2⋅g
Page 25
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
27. Hydraulique
Interprétation énergétique
Energie de vitesse
(cinétique)
Résultat d'intégration :
2
ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste
2
Energie potentielle
Energie de pression
(de hauteur)
! ! ! conservation de l'énergie totale ! ! ! par unité de volume
Energie : Le Joule = Newton * mètres
Alors que : P= Pa = Newton
Mètre2
Application de l'équation de bernouilli
Ecoulement par un orifice
2
2
= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g
E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
ρ ⋅g
pATM
pATM
V1 très petit
V1/2g = 0
E.E.1-2 : (z1 - z2) 2g = V22
V2 =
∆H
2g ⋅ ∆H
formule de torriceli
Débit :
Q = V2 ⋅ S2
Equation de continuité (E.C.)
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 26
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
28. Hydraulique
Tube de Pilot (vue en plan)
ρ ⋅ g ⋅ ∆H
1. réaction hydrostatique : p1 – p2 =
2
2
= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g
2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
ρ ⋅g
∆H
z1 = z2 = 0 car même altitude
V1 = déviation à 90° = 0
(ATTENTION : uniquement plan horizontal)
E.E.1-2 : P1 - P2 = V 2
ρ ⋅g
donc :
V2 =
2
d'où : ∆H = V 2
2⋅g
2
2⋅g
2 ⋅ g ⋅ ∆H
Tube de Venturi
1. réaction hydrostatique : p1 – p2 =
2
2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
ρ ⋅g
E.E.1-2 : P1 - P2 =
ρ ⋅g
2⋅g
ρ ⋅ g ⋅ ∆H
= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
1 ( 2 − 2)
2 ⋅ g V2 V1
ou encore :
(ATTENTION : uniquement plan horizontal)
2 ⋅ g ⋅ ∆H =V 22 −V 12
3. E.C. : Q = cste = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2
Q 2 Q 2
) −( )
S2
S1
Si on cherche le débit : 2 ⋅ g ⋅ ∆H = (
2
2 ⋅ g ⋅ ∆H = Q ( 1 2 − 1 2 )
S2 S1
2
V1
2⋅g
2
∆H
V2
2⋅g
Q = ...
P1
ρ ⋅g
P2
ρ ⋅g
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 27
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
29. Hydraulique
Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique
2
Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + V 1
ρ ⋅g
2⋅g
= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
=
charge H1
charge H2
Avec machine
∆HP
∆HT
2
V1
2⋅g
pompe : H1
turbine : H1
=
=
H3 - ∆HP
H2 + ∆HT
P1
ρ ⋅g
2
z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ± ∆HT / P
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
Puissance d'une turbomachine (pas de démo.)
Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique
Puissance = Energie *
1
Temps
= Déplacement * Force *
1
Temps
Déplacement * accélération * masse *
m.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
P=
m/s2
* kg/m3
∆H
puissance :
*
*
g
*
ρ
1
Temps
* 1/s * m3
*
Q
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ ∆ HT / P [watts]
Page 28
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
30. Hydraulique
Théorème des quantités de mouvement
Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton
∑F
ext
= m⋅a =
∂(m ⋅ V)
∂t
m ⋅ V : impulsion ou quantité de mouvement
Cas de l'hydraulique
Hypothèse :
- mouvement permanent
- fluide incompressible
- filet liquide sur la section droite
- pas d'écoulement à travers
le "tube" de courant
Ø = cste
V = cste
Démonstration :
Volume initial ABCD ( à l'instant t)
Volume devient A'B'C'D' ( à l'instant t + ∆t)
- par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt
- pour écoulement permanent, quantité de mvt de A'B'CD reste le même
- la variation de quantité de mvt sera :
m1 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ
m2 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ
∂(m ⋅ V) = m2 ⋅ V2 - m1 ⋅ V1
mais :
∂(m ⋅ V) = ρ ⋅ Q ⋅ ∂t ⋅ (V2 - V1)
et comme
∑F
ext
= ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1)
∑F
ext
=
∂(m ⋅ V)
∂t
équation de quantité de mouvement
(théorème d'Euler)
forces de pesanteur
F ext =
P
K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R
force de pression
Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 29
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
31. Hydraulique
Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0)
k2
Donnée :
- déviation α
- débit Q
- section S1 et S2
k1
α
Projection sur X :
0 + k1 - k2 ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1)
0 + (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1)
Projection sur Y :
0 + 0 - k2 ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα - 0)
0 + 0 - (p2 ⋅ S2) ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα )
2 équations à 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY)
E.C. :
Q = V1 ⋅ S1
Q = V2 ⋅ S2
E.E. :
z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
et
+ 2 équations
2
+ 1 équation
5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus.
Force d'un jet sur un aubage mobile
Principe :
- vitesse absolue du jet V
- vitesse absolue périphérique de l'aubage u
- vitesse relative du jet par rapport à l'aubage ( V - u )
- débit reçu par l'aubage Q = S ( V - u )
- puissance de la turbine P = RX ⋅ u
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 30
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
32. Hydraulique
Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton
S = 10 cm2
direction = 150 °
u = 20 m/s
V = 45 m/s
vitesse relative : 45 – 20 = 25 m/s
α
25 ⋅ 0.0010 = 0.025 m /s
3
débit relatif :
pression = pATM = 0
E.E. : ( V - u ) = cste le long de l'aubage
- RX = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée )
E.M. :
(V -
u ) ⋅ cosα
(V -
u)
- RX = ρ ⋅ Q(V - u ) ( cosα - 1)
puissance :
= 1167 KN
P = 1167 ⋅ 20 = 23.3 KW
Cas d'embouchement
E.M. :
∑F
ext
= ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée )
Il faut reprendre l'équation de base avec:
∑F
ext
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
c'est faux d'utiliser cette équation
∂(m ⋅ V)
= ρ [ ∑(Q ⋅ Vsortie) -
∑(Q ⋅ V
Page 31
entrée
)]
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
33. Hydraulique
Equation fluide parfait généralisé
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant)
2
2
z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2
2⋅g
2⋅g
ρ ⋅g
ρ ⋅g
U = vitesse moyenne = Q/S
α = coefficient de Coriolis
1 < α < 2
Domaine usuel du G.C. :
1.05 < α < 1.10
Equation de quantité de mouvement
∑F
ext
= ρ ⋅ Q ⋅ (β2 ⋅ U2 - β1 ⋅ U1)
U = vitesse moyenne = Q/S
α = coefficient de Boussinesq
Domaine usuel du G.C. :
1 < β < 1.35
β = 1.05
Hydrodynamique des fluides réels
Généralité sur la viscosité
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)
Le cylindre extérieur tourne
Le cylindre intérieur fixe grâce à une force
F : force qui empêche le cylindre intérieur de tourner
F : proportionnelle à la vitesse
F : proportionnelle à la surface (2*π*R*H)
F : inversement proportionnelle à "e"
F : lié à la nature du fluide (K)
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 32
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
34. Hydraulique
F = V ⋅S ⋅ K
e
mais
avec les dérivées : ∂F = ∂V ⋅ ∂S ⋅ K
∂y
∂F c'est aussi la contrainte tangentielle :
∂S
τ = ∂V ⋅ K
∂y
ou encore
∂F = ∂V ⋅ K
∂S ∂y
K = coefficient de viscosité
dynamique noté aussi µ
τ = ∂V ⋅ µ
∂y
aussi
τ = grad. V ⋅ µ
Viscosité cinématique :
Par définition la viscosité cinématique : ν =
µ
ρ
Unité de viscosité dans le S.I.:
µ=
Dynamique :
τ
∂V
∂y
µ
ν=
ρ
Cinématique :
[Pa*sec.]
[m2/sec.]
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens
(répartition de
τ
fonction de ∂V )
∂y
τ
-µ=0
axe ∂V = fluide parfait
- µ = cste
droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..)
- µ ≠ cste
courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..)
-µ= ∞
solide élastique = axe
∂y
τ
∂V
∂y
Variation de la viscosité
Influence de la pression
Influence de la température
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
:
:
très faible pour les liquides
très importante
température augmente
viscosité diminue
ex. : l'huile dans une poêle
Page 33
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
35. Hydraulique
Equation de Navier-Stokes
Rappel :
fluide parfait :
ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p
forces de surface
(presion)
∂t
forces de volume
(poids)
forces d'inertie
fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle)
ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f
∂t
forces de viscosités
∂V =F - 1 ⋅ grad p + ν ⋅ ∇2 ⋅ V
ρ
∂t
Les différents régimes d'écoulement
Expérience de Reynolds
"débit" faible
"débit" augmente
"débit" encore plus
"débit" encore plus plus
: le filet colorant ne se mélange pas
: le filet oscille en forme de sinusoïde
: la sinusoïde oscille
: le filet explose et se mélange
= écoulement laminaire
= écoulement critique
= écoulement turbulent
Le nombre de Reynolds
Le critère de passage d'écoulement laminaire à écoulement turbulent et inversement, c'est le nombre de
Reynolds :
Re =
Zone critique pour
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
V⋅D
ν
avec D = diamètre et ν = viscosité cinématique
2'000 < Re < 5'000
Page 34
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
36. Hydraulique
Ecoulement laminaire
Intégration de Navier-Stokes
Ecoulement turbulent
Généralité
La vitesse près de la paroi change de répartition
Equations de Reynolds
On ajoute aux équations de Navier-Stokes les forces de turbulence
f ':
ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f - f '
∂t
Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes.
Hydraulique des conduites (écoulement en charge)
Généralité
Domaine d'étude : conduite entièrement remplie d'un seul fluide
Hypothèse
:
fluide incompressible ρ = cste
écoulement permanent
champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g)
Equation de conservation d'énergie
2
2
z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 ± ∆HT / P + hR
2⋅g
2⋅g
ρ ⋅g
ρ ⋅g
Perte d'énergie le long de la conduite
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 35
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
37. Hydraulique
Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)
Hypothèse :
α
2
V1
2⋅g
P1
ρ ⋅g
2
V2
2⋅g
- α et θ sont petit d'ou cosα = 1 et cosθ =1
- sinα = tgα = J
- sinθ = tgθ
τ0
P2
ρ ⋅g
V12 = z2 + P2 + V22 + h
E.E.1-2 : z1 + P1 +
R
ρ ⋅g
ρ ⋅g
2⋅g
=0
1)
θ
2⋅g
=0
hR = (z1 - z2) + P1 - P2
ρ ⋅g
E.M. projection l'axe du tuyau
périmètre du tuyau
(p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) + G ⋅ sinθ - τ0 ⋅ P ⋅ ∆L = 0
avec
∆L = z1 - z2
sinθ
ρ ⋅ g ⋅ ∆L ⋅ S
en divisant ensuite par
ρ ⋅g :
2) (z1 - z2) + P1 - P2 =
ρ ⋅g
d'où :
2
τ
⋅ P ⋅ ∆L = hR
ρ ⋅g S
0
hR = V ⋅ ∆L
g ⋅ K RH
Formule de Chézy :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
mais
τ
J= V ⋅ 1
g ⋅ K RH
c=
Page 36
0
2
hR = J
∆L
V = c ⋅ J ⋅ RH
2
=V
ρ K
S = rayon hydraulique RH
p
En hydro :
K ⋅ g = coefficient de Chézy
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
38. Hydraulique
Equation de Darcy-Weissbach (hR)
2
2
hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g
λ
ou
Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2
est sans dimension et fn(Re et rugosité relative)
En écoulement laminaire
λ
Equation de Naver-Stockes :
En écoulement turbulent lisse
=
64
Re
avec Re = V ⋅ D
ν
K=0
Equation de von Karman:
1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ 2,51 ⎞
⎟
⎜
λ
⎝ Re ⋅ λ ⎠
En écoulement turbulent rugueux K ≠ 0
Equation de Nikuradge :
1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ K ⎞
⎜ 3,7 ⋅ D ⎟
⎝
⎠
λ
Régime turbulent de transition
⎛ 2,51
Equation de Colebrook et White : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎜
+
λ
⎝ Re ⋅ λ
K ⎞
⎟
3 ,7 ⋅ D ⎠
Diagramme de Moody
Attention, question d'examen final
Voir feuille annexe
harpe de Nikuradge
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 37
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
39. Hydraulique
Formule de Strickler
V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2
pente de la ligne de charge
Rayon hydraulique
hR = J
L
section
périmètre mouille
Coefficient de Strickler [m1/3 / s]
30 < KS < 120
Vitesse moyenne de l'écoulement
ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!!
Rayon hydraulique
RH =
section
périmètre mouillé
Pour une conduite circulaire :
RH =
π ⋅ D2 ⋅ 1 = D
4
π⋅D 4
On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamètre équivalent = 4*
RH.
Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle.
Perte de charges singulières
Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singulières) dues :
changement de section brusque
changement de direction brusque ou de pente
vannes, grille, crépine
problème de joints : environ 2 à 5% de hR
hS =
2
ζ V
2⋅g
ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re
Réf. Bibliographique : Mémento des pertes de charges, éd. Eyrolles
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 38
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
40. Hydraulique
Calcul de réseaux (principe et technique)
Conduite entre 2 réservoirs
E.E.1-2 :
2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
=0
=0
=0
=0
hR = z1 - z2 = ∆H
D-W :
2
hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g
ATTENTION : la ligne de charge est indépendante de la pente du tuyau !!!
Conduite crachant " à gueule bée "
E.E.1-2 :
2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
=0
=0
=0
2
hR = V2 + ∆H
2⋅g
2
D-W :
V2
2⋅g
2
hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 39
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
41. Hydraulique
Conduite en série
E.C.
: Qi = cste
E.E.1-2 : z1 - z2 = ∆H = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2
∆H = ∑ hRi + ∑ hSi
i
hS = ζ ⋅
i
2
V
2⋅g
Technique de résolution par réitération
Recherche de hR
Q, L, D, K et ν connus
Rugosité rel. =
K
D
Re =
V⋅D
ν
diagramme Moody :
λ
D – W : hR
Recherche de Q
hR, L, D, K et ν connus
calcul de la rugosité rel. =
Choix de λ
Re =
Vitesse V
V⋅D
ν
K
D
diagramme Moody :
avec λ '
λ'
λ'
=
λ
?
si oui : stop
si non
2
calcul de Q avec D – W :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2
Page 40
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
42. Hydraulique
Recherche de D
K = ? et Re = V ⋅ D = ?
D
ν
hR, L, K et ν connus
1
D – W + E.C. = D 5
2
Technique :
Re + E.C
= Re et K'
D
2
1
Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2
2
Re =
Choix de λ
5
D =λ⋅
8 ⋅ L ⋅ Q2
g ⋅ π 2⋅ hR
V⋅D = 4⋅Q ⋅ 1
ν
π ⋅ν D
2 calcul Re et K'
D
1 calcul D
Moody :
λ'
λ'
avec λ '
=
λ
?
si oui : stop
si non
Calcul de réseaux maillé
Conduite en parallèle
Q = Q1 + Q2
A et B = noeuds
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff
1. pour un nœud :
∑Q
entrant
=
∑Q
sortant
convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire.
d'où :
2. pour une maille :
∑Q=0
la perte de charge est la même quel que soit l'itinéraire : hR (A-B)
convention de signe pour un itinéraire complet (A
a)
= hR (A-B)
b)
A) :
Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q
d'où :
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
∑Q=0
Page 41
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
43. Hydraulique
Calcul d'une maille
But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires
2
Q
2
hR = λ ⋅ L ⋅
= m⋅Q
D 2 ⋅ g ⋅ S2
(1)
(2)
hR = m ⋅ Q
Q
Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb
Répartition exacte :
Qa' = Qa + ∆q
Avec cette répartion :
Qb' = Qb - ∆q
∑ h '=0
R
ma (Qa + ∆q) - mb (Qb - ∆q) = 0
2
Alors :
2
2 ⋅ ∆q (ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb) + ∆q 2 ( . . . ) = - ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb
2
2
2
= 0 car au carré devient très petit
2
Avec (1) :
La formule
2
ma ⋅ Qa - mb ⋅ Qb 1
∆q = ⋅
ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2
∆q = -
:
Avec (2) :
∆q = - hRa - hRb ⋅ 1
hRa + hRb 2
Qa Qb
∑h
2⋅∑ h
Q
Ri
Ri
i
Exemple :
Q = 200 l/s
K = 0.1 mm
L1 = 500 m
D = 30 cm
ν = 1.3*10-6 m3/s
L2 = 600 m
D = 20 cm
Tronçon
AB
BA
Q choisis [l/s]
+ 140
- 60
hR [m]
+ 5.54
- 10.17
- 4.63
hR/Q
0.0396
0.1695
0.2091
∆q [l/s]
+ 11.1
+ 11.1
Q corrigé [l/s]
+ 151.1
- 48.9
200.0
AB
BA
+ 151.1
- 48.9
+ 6.37
- 6.82
- 0.45
0.0421
0.1395
0.1816
+ 1.2
+ 1.2
+ 152.3
- 47.7
200.0
Contrôle : on calcule avec les nouveaux débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique.
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 42
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
44. Hydraulique
Cas de plusieurs mailles
Pour la maille 1 : terme correcteur de ∆q1
Pour la maille 2 : terme correcteur de ∆q2
ATTENTION tronçon commun AB
affecte la maille 1 de - ∆q2
affecte la maille 2 de - ∆q1
Voir exemple sur feuille annexe
Hydraulique des canaux (éc. En nappe libre)
Généralité
Définitions
Il y a une surface de liquide avec un gaz (l’air à la pATM)
But de l’étude
-
relation entre forme des frontières, débit, ligne d’eau
transformation d’énergie potentiel / cinétique
particularités d’écoulement dues à des obstacles
Classification des fluides
Ecoulement permanent :
- écoulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne d’eau) = cste
- écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous
- ec. brusquement varié : ressaut hydraulique
Ecoulement non permanent :
- onde de transition
- houle
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 43
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
45. Hydraulique
Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées)
Equation de continuité
Q = V⋅ S
où S n’est plus donné par le profil entier mais par la section d’eau
Equation de conservation d’énergie
Particule à la surface :
2
(z+t)
hauteur
+
0
V
2⋅g
+
pression
+
cinétique
hR
= cste
perte de charge
Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1)
Particule dans le liquide :
( z + t’ )
+
2
P
ρ ⋅g
V +
+
2⋅g
= t’’ (idem, si R est très grand)
hR
= cste
or t’ + t’’ = t
2
(z+t)
+
V
2⋅g
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
+
hR
= cste = H
Page 44
où H est la charge hydraulique
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
46. Hydraulique
Equation de quantité de mouvement (tjs valable)
∑F
ext
= ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1)
équation de quantité de mouvement
(théorème d'Euler)
P (poids)
force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R
force de pesanteur
F ext =
Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
Ec. en charge
Ec. en nappe libre
ρ ⋅g ⋅H
p = cste
p=
Force de pression = p ⋅ S
Force de pression = pG ⋅ S
Nombre de Froude :
FR
V2 1
Force d' inertie
masse ⋅ accél. vitesse 2 1
⋅ =
⋅ =
=
=
L g
Force de gravité
masse ⋅ g
longêur g
Q2 1
Q 2 ⋅ L' 1
Q 2 ⋅ L' 1
⋅ = 2
⋅
⋅
=
S2 ⋅ L g
S3
g
S ⋅ L ⋅ L' g
FR =
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Q2 ⋅ B 1
⋅
S3
g
Page 45
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
47. Hydraulique
Ecoulement uniforme
Dans un lit prismatique (profil en travers constant)
V = cste d’une section à l’autre
E.C.
S = cste
t = cste
∂H
=0
∂x
E.E. : charge H = cste
2
H= z + t +
V + h
R
2⋅g
V2
∂(
)
∂H
∂z
∂t
∂hR
2⋅g
=
+
+
+
= 0
∂x
∂x
∂x ∂x
∂x
J = pente de la ligne de charge
-Jo = pente du lit du canal
= -Jo + 0 + 0 + J = 0
D’où
Jo = J
Conclusion :
les 3 lignes
lit du canal
ligne d’eau
ligne de charge
sont parallèles.
Lois des pertes de charges :
1. Formule de Chézy :
V = c ⋅ J ⋅ RH
RH =
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
c = coefficient de Chézy [m1/2/s]
V = vitesse moyenne de l’écoulement
RH = rayon hydraulique
J = pente de la ligne de charge
13 (rugueux) < c < 120 (lisse)
Surface
périmètre mouillé
Page 46
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
48. Hydraulique
2. Formule de Bazin
Formule de Chezy + explication de « c »
87
c=
1+
γ
où γ dépend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) à 1.75 (rugeux))
RH
3. Formule de Strickler
RH : rayon hydraulique
J : pente de la ligne de charge
V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2
Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s]
Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2
rivière :
béton :
23
75
<
<
Ks
Ks
<
<
50
85
Profondeur normale
Profondeur en écoulement uniforme : t0
Loi de Strickler : Q = KS ⋅ S ⋅ RH
2/3
⋅ J1/2
en éc. uniforme J = J0 = cste
S ⋅ RH2/3 en fonction de la profondeur
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 47
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
49. Hydraulique
Cas particulier :
a) canal rectangulaire, infiniment large
RH =
Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2
B⋅t
=t
B+ 2⋅t
où
2 ⋅ t est négligé
Q = KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ t 2/3 ⋅ J1/2
⎛
⎞
Q
t =⎜
⎜ KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ 1/2 ⎟
⎟
J ⎠
⎝
3/5
b) canaux circulaire ou ovoïde (égouts)
Q max
= 1.6 * Q plein
Différents problèmes rencontrés
- rugosité non uniforme
⎡
⎢ P
Formule d’Einstein : K pondéré = ⎢
Pi
⎢ ∑ 3/2
⎣ Ki
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
- lit mineur / majeur
Q =
∑
Q partiels
- lit avec méandres
mais
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
J0 Majeur ≠ J0 Mineur
Page 48
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
50. Hydraulique
Ecoulement graduellement varié
Définition
- graduellement
∂t
est petit, donc perte de charge faible
∂L
- brusquement
∂t
est grand, donc perte de charge importante
∂L
Charge spécifique Hs
2
2
V = t + Q
Hs = t +
2⋅g
2 ⋅ g ⋅ S2
Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs »
En fonction de t (Q = cste)
ED(f) : [ 0 , ∞ ]
0
alors
Hs
∞
t
Minimum lorsque
t
∞
alors
Hs
∞
∂Hs
=0
∂t
1+
2
Q ⋅B
=0
1g ⋅ S3
B : largeur libre du canal
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
2
Q ⎛ 2 ⎞ ∂s
⋅⎜− ⎟⋅ = 0
2 ⋅ g ⎝ S3 ⎠ ∂t
Page 49
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
51. Hydraulique
2
Q ⋅B
= nobre de Froude FR
g ⋅ S3
1 - FR = 0
FR = 1
Donc un minimum pour :
La valeur de « t » qui correspond à FR = 1 s’appelle : la profondeur critique « tCR »
Asymptote :
Hs
t
1
pour t
∞
d’où asymptote de pente 1
Si « t » est petit ( < tCR )
FR > 1
: éc. torrentielle
Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité
FR =
Finertie > Fgravité
FR < 1
: éc. fluvial
Force d' inertie
Force de gravité
Remarque :
« tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks »
Valeur de tCR en canal rectiligne
FR = 1
2
2
Q ⋅B
=1
g ⋅ t 3 ⋅ B3
CR
t3 =
CR
Q
g ⋅ B2
2
t CR =
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
3
Q
g ⋅ B2
Page 50
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
52. Hydraulique
Courbes de remous
Équations fondamentales
2
2
⎛ 2 ⎞
⋅ ∂L + t + V = t + ∂t + V + ∂⎜ V ⎟ + J ⋅ ∂L
⎜ 2⋅g ⎟
2⋅g
2⋅g
⎝
⎠
2
2
⎛ V ⎞
⎛
V ⎞
(Jo - J) ⋅ ∂L = ∂t + ∂⎜
⎜ 2 ⋅ g ⎟ = ∂⎜ t + 2 ⋅ g ⎟ = ∂E
⎜
⎟
⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
E.E1-2 = Jo
énergie
α
θ
∂E
= (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés
∂L
Equations différentielles dans un canal prismatique
Hyp. :
-
canal long (l’écoulement graduellement variés peut s’établir)
l’écoulement est sensiblement rectiligne et //
les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne
les pente J et J0 sont faible
sinα = tgα = J ,
cosα = 1
sinθ = tgθ = J0 ,
cosθ = 1
(Jo - J) =
∂E
∂L
J −J
∂t
= 0
∂L
1 − FR
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
(Jo - J) =
∂E ∂t
⋅
∂t ∂L
J
J0
∂t
= J0 ⋅
1 − FR
∂L
1−
ou
Page 51
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
53. Hydraulique
Etude qualitative et classification des lignes d’eau
a) rappel :
Si FR > 1
Si FR < 1
t < tCR
t > tCR
b)
Si t > t0
Si t < t0
J < J0
J > J0
t0 > tCR
t0 < tCR
c) définitions :
éc. torrentielle
éc. fluvial
le canal est une rivière
le canal est un torrent
d) convention de signe
J0 > 0 (positif)
pour un canal descendant
e) conditions aux limites
t
t0 , J
t
tCR , FR
t
∞ , FR
t = tCR
J0
1
0, J
alors :
∂t
∂L
∂t
alors :
∂L
∂t
alors :
∂L
alors :
0
0
profondeur normal est 1 asymptote
∞
tangente verticale pour la profondeur critique
J0
∂t
= J0
∂L
Illustrations en rivière
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation
Page 52
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004