Mathematisches Institut                        derBayerischen Julius-Maximilians-Universit¨t Wurzburg                     ...
InhaltsverzeichnisEinfuhrung    ¨                                                                     2I. Pr¨liminarien   ...
INHALTSVERZEICHNIS                                                         2III. Spezielle Klassen von Raumkurven         ...
Einfuhrung    ¨Ausgangspunkt dieser Arbeit war der Fundamentalsatz der Kurventheorief¨r den dreideimensionalen euklidische...
¨EINFUHRUNG                                                                 4entwickelte einen Ansatz zur Reduzierung der ...
¨EINFUHRUNG                                                                5sen - ebene Kurven, B¨schungslinien und Kurven...
¨EINFUHRUNG                                                              6hier jedoch verzichtet, denn die Theorie der Diff...
¨EINFUHRUNG                                                                7netgleichungen f¨r Kreisellinien erm¨glicht. Z...
I. Pr¨liminarien     a1       Der Orientierte Euklidische RaumThema dieser Arbeit sind Kurven im orientierten euklidischen...
¨PRALIMINARIEN                                                                       10Vektoren werden durch ihre kartesis...
¨PRALIMINARIEN                                                             11Eine Abbildung X ∈ Rn → M X ∈ Rn heißt Drehun...
¨PRALIMINARIEN                                                             12wobei S ∈ R3  0 Richtungsvektor der Geraden u...
¨PRALIMINARIEN                                                                13matrixwertigen Funktion                  B...
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¨PRALIMINARIEN                                                             15Bemerkung. In der Begleitbasisdefinition wurde...
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A treatise in classical curve theory featuring the development of the complete theory of Frenet frames and the Frenet equations, and the derivation of explicit representations of important curve classes (Helices, Curves of Constant Precession, Slant Helices)

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¨Uber die Darstellung von Raumkurven durch ihre Invarianten

  1. 1. Mathematisches Institut derBayerischen Julius-Maximilians-Universit¨t Wurzburg a ¨ ¨ Uber die Darstellung von Raumkurven durch ihre Invarianten Diplomarbeit von Toni Menninger aus Ballingshausen Betreuer: Dr. Johann Hartl, Prof. Dr. Helmut Pabel M¨rz 1996 (erg¨nzt August 2001) a a
  2. 2. InhaltsverzeichnisEinfuhrung ¨ 2I. Pr¨liminarien a 9 1 Der Orientierte Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Begleitbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II. Zur Theorie der Frenetkurven 20 4 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1 Kurve, Tangente, Bogenl¨nge und Kr¨mmungsmaß a u 21 4.2 Tangentiale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 Frenetkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1 Frenetsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 (Un-)Eindeutigkeit der Frenetkr¨mmungen . . . . . u 35 6 Das Bishopsystem einer Raumkurve . . . . . . . . . . . . . 44 7 Zusammenhang zwischen Frenet- und Bishopsystem . . . . 50 1
  3. 3. INHALTSVERZEICHNIS 2III. Spezielle Klassen von Raumkurven 58 8 Fl¨chenkurven und sph¨rische Kurven . . . . . . . . . . . a a 59 8.1 Die Darbouxbegleitbasis einer Fl¨chenkurve . . . . a 59 8.2 Sph¨rische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 62 8.3 Lokale Kurvengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 66 9 Explizit integrierbare Frenetkurven . . . . . . . . . . . . . 72 9.1 Geradlinige Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9.2 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 9.3 B¨schungslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 75 9.4 Kreisellinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Literaturverzeichnis 86
  4. 4. Einfuhrung ¨Ausgangspunkt dieser Arbeit war der Fundamentalsatz der Kurventheorief¨r den dreideimensionalen euklidischen Raum: durch zwei stetige Funk- utionen ist eindeutig eine Raumkurve mit den vorgegebenen Funktionen alsKr¨mmung und Torsion (als Funktionen der Bogenl¨nge) – ihren skalaren u aInvarianten – festgelegt. Die Fragestellung lautet nun: Wie kann aus denvorgegebenen Kr¨mmungen m¨glichst viel Information uber die durch sie u o ¨definierte Kurve abgeleitet werden? Insbesondere, wann kann diese Kur-ve explizit bestimmt werden? (dann bezeichnen wir sie als explizit inte-grierbar). Dazu muß im allgemeinen ein System von linearen Differential-gleichungen, den Frenetschen Ableitungsgleichungen oder den nat¨rlichen uGleichungen der Kurve, gel¨st werden (sie wurden 1847 von Frenet und o1851 unabh¨ngig von Serret aufgestellt). Das generelle Verfahren zur aL¨sung linearer Differentialgleichungen hat den Nachteil, daß es unendlich oviele Integrationen erfordert. Lie (1882) und Darboux (1914, Ch. I-IV)zeigten, daß die L¨sung der Frenetgleichungen aquivalent zur L¨sung einer o ¨ oRiccatischen Differentialgleichung ist, die im allgemeinen nicht integrierbarist. L¨sungen der Frenetgleichungen in einer Reihe von Spezialf¨llen (bis o aauf Integration) sind jedoch wohlbekannt. Schon Euler (1736) fand dieexplizite Darstellung ebener Kurven aus ihrer Kr¨mmung. Hoppe (1862) u
  5. 5. ¨EINFUHRUNG 4entwickelte einen Ansatz zur Reduzierung der Frenetgleichungen mittelsIntegraltransformationen. F¨r vier der einfachsten F¨lle gab er L¨sungen u a oan, ohne dabei auf ihre geometrische Interpretation einzugehen. Sie f¨hren uauf ebene Kurven, B¨schungslinien und Kurven konstanter Pr¨zession, die o aerst k¨rzlich von Scofield (1995) eingehend untersucht wurden. Weitere uBeispiele f¨r aus ihren Kr¨mmungen explizit angebbaren Kurvenklassen u uwurden bisher nicht bekannt. Neuere Ans¨tze von Hartl und Scofield haben dieses Bild vervollst¨ndigt. a aHartl (1983) stellte fest, daß die linearen Frenet-Differentialgleichungen(verallgemeinert auf den Rn ) unter bestimmten Bedingungen durch Expo-nentierung des Integrals uber ihre Koeffizientenmatrix l¨sbar sind. Hartl ¨ okl¨rte, daß diese direkt integrierbaren Kurven genau die (Hyper)B¨schungs- a olinien im n-dimensionalen Raum sind. Im Dreidimensionalen f¨hrt das auf udie bekannten B¨schungslinien. o Scofield (1994) versucht, die Frenetgleichungen frontal anzugehen.Er findet eine pr¨gnante Neuformulierung des Problems unter Verwendung avon Integraloperatoren, auf deren Invertierung es nun ankommt. Scofieldzeigt auch, daß diese Methode praktisch anwendbar ist; er erh¨lt eine neue aDifferentialgleichung, die in einem Sonderfall zwanglos zur L¨sung f¨hrt, o un¨mlich genau im Falle von Kurven konstanter Pr¨zession. Allerdings sieht a adiese Differentialgleichung in allen anderen F¨llen hoffnungslos aus. Ob der aAnsatz mittels Integraloperatoren neue Ergebnisse bringen wird, bleibtabzuwarten. In dieser Arbeit wurde ein rein geometrischer Zugang gew¨hlt. Nir- a ¨gends werden explizit Differentialgleichungen diskutiert. Die Uberlegungist folgende: Die drei bisher als explizit integrierbar erkannten Kurvenklas-
  6. 6. ¨EINFUHRUNG 5sen - ebene Kurven, B¨schungslinien und Kurven konstanter Pr¨zession - o asind dies aufgrund ihrer speziellen geometrischen Eigenschaften, genauer:aufgrund bestimmter Eigenschaften ihrer Tangenten und Normalen. Die-se Kurvenklassen sind als Glieder einer Folge aufsteigender Komplexit¨t ainterpretierbar: Eine B¨schungslinie hat ein ebenes Tangentenbild, das ei- oner Kurve konstanter Pr¨zession liegt wiederum auf einer B¨schungslinie, a ow¨hrend ihr Normalenbild eben ist. Allgemein werden Kurven mit ebenem aNormalenbild als Kreisellinien definiert; die Kurven konstanter Pr¨zession asind ein Sonderfall davon, bei dem gewisse Parameter konstant sind. Insgesamt kann nach diesem Schema eine unendliche Folge von Kur-venklassen definiert werden, deren erste Glieder ebene Kurven, B¨schungs- olinien und Kreisellinien und deren Spezialf¨lle, die Kreise, Schraubenlinien aund Kurven konstanter Pr¨zession, sind. In Abschnitt 7 wird dieses Prinzip apr¨zisiert und die Beziehung zwischen den aufeinanderfolgenden Kurven- aklassen gekl¨rt. Es zeigt sich, daß, ausgehend von der Eulerschen L¨sung a of¨r ebene Kurven, alle Folgekurvenklassen explizit integrierbar sind. Dabei ukommt die Verallgemeinerung einer Rekursionsformel von Bilinski (1955) ¨zur Anwendung, die den Ubergang von der Frenetbegleitbasis einer Kurvezu der der Folgekurve beschreibt. Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Ermittlung expliziter Parameter-darstellungen f¨r ebene Kurven, B¨schungslinien und erstmals f¨r Krei- u o usellinien nach der skizzierten Methode (Abschnitt 9). Die Vermutung liegtnahe, daß die Kurvenklassen dieser Folge die einzigen sind, die durch end-lich viele Integrationen aus ihren Kr¨mmungen bestimmbar sind. u In der dreidimensionalen Kurventheorie ist es weithin ublich, sich auf ¨wendepunktfreie Kurven zu beschr¨nken. Auf diese Einschr¨nkung wurde a a
  7. 7. ¨EINFUHRUNG 6hier jedoch verzichtet, denn die Theorie der Differentialgleichungen garan-tiert die Existenz einer L¨sung der Frenetgleichungen auch dann, wenn odie vorgegebene Kr¨mmungsfunktion Nullstellen besitzt; vorausgesetzt ist uallein die Stetigkeit. Um aber Kurven mit Wendepunkten in die Analysedieser Arbeit einzubeziehen, brauchen wir eine Verallgemeinerung der Fre-nettheorie, die es erlaubt, die bekannten Methoden auch auf solche Kurvenanzuwenden. Auf die M¨glichkeit dieser verallgemeinerten Frenettheorie owies zuerst Wintner (1956) hin, und Nomizu (1959) und Wong &Lai (1967) bauten sie aus. Es zeigt sich, daß nicht alle Kurven in dieFrenettheorie einbezogen werden k¨nnen und daß die von wendepunktfrei- oen Kurven her gewohnte Eindeutigkeit von Begleitbasis, Kr¨mmung und uTorsion verloren geht. Aber wichtige Kurvenklassen wie die hier unter-suchten sind als Frenetkurven beschreibbar und besitzen charakteristische, nat¨rliche“ Begleitbasen. u” Die ausf¨hrliche Darstellung der verallgemeinerten Frenettheorie nimmt uden gesamten Teil II in Anspruch. Einen zentralen Stellenwert nimmt da-bei der Begriff der Begleitbasis ein, dem schon der vorbereitende 2. Ab-schnitt gewidmet ist. Zun¨chst werden allgemeine Eigenschaften gewisser atangentialer Begleitbasen betrachtet (Abschnitt 4). Die interessantestenvon ihnen sind die bekannten Frenetbegeitbasen (Abschnitt 5) und dievon Bishop (1975) eingef¨hrten, die hier als Bishopbegleitbasen bezeich- unet werden (Abschnitt 6). Letztere zeichnen sich dadurch aus, daß ihreExistenz schon unter schwachen Voraussetzungen gesichert ist, anders alsbei Frenetbegleitbasen. Der Zusammenhang zwischen Frenet- und Bishopbegleitbasen (Ab-schnitt 7) erweist sich in verschiedener Hinsicht als Schl¨ssel. Zum einen uwird daraus die Rekursionsformel gewonnen, die u.a. die L¨sung der Fre- o
  8. 8. ¨EINFUHRUNG 7netgleichungen f¨r Kreisellinien erm¨glicht. Zum anderen bieten die Bi- u oshopbegleitbasen einen besonders nat¨rlichen Zugang zu einer Reihe wich- utiger Probleme. So gewonnene Ergebnisse k¨nnen dann in die Begriffe der oFrenettheorie ubertragen werden. Einige Anwendungen, insbesondere f¨r ¨ usph¨rische Kurven, werden in Abschnitt 8 gezeigt. a Sph¨rische Kurven sind im allgemeinen nicht explizit integrierbar. Zu- amindest ist die Eigenschaft, sph¨risch zu sein, aus den Invarianten ables- abar. Eine umfassende notwendige und hinreichende Bedingung daf¨r, daß ueine Kurve sph¨risch ist, wurde erst von Wong (1967, 1972) formuliert. aBishop (1975) erkannte, daß diese Bedingungen mit Hilfe von Bishopbe-gleitbasen sehr leicht abzuleiten sind. Fast von selbst ergibt sich dann derSatz uber die Gesamttorsion geschlossener sph¨rischer Kurven. ¨ a
  9. 9. I. Pr¨liminarien a1 Der Orientierte Euklidische RaumThema dieser Arbeit sind Kurven im orientierten euklidischen Raum Rn .In diesem Abschnitt werden einige wichtige Begriffe zusammengestellt unddie Notationen eingef¨hrt. uGegeben ist der Vektorraum Rn mit kanonischer Basis e1 , . . . , en undkanonischem Skalarprodukt ·, · mit den Eigenschaften ei , ej = δij , aV + bW, X = a V, X + b W, X , V, W = W, Vf¨r a, b ∈ R, V, W, X ∈ Rn , durch das der Vektorbetrag u |X| = X, X f¨r X ∈ Rn udefiniert ist. Zugleich ist der Winkel Θ zwischen zwei Vektoren V, W er-kl¨rt durch a V, W cos Θ = . |V ||W |Die Menge der Einheitsvektoren bilden die Einheitssph¨re a S n = {X ∈ Rn+1 |X| = 1}.
  10. 10. ¨PRALIMINARIEN 10Vektoren werden durch ihre kartesischen Koordinaten in Spaltenform be-schrieben, n t X = (x1 , . . . , xn ) = xi ei i=1 t(wo Transposition bezeichnet). Dann ist X, Y = X t Y . Punkte werdenauf die gleiche Weise in Koordinaten geschrieben; eine strenge begriffli-che Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren wird in dieser Arbeitnicht gemacht. Wir schreiben X Y ⇔ die Vektoren X und Y sind linear abh¨ngig, und a X ⊥ Y ⇔ X, Y = 0 ⇔ die Vektoren X und Y sind orthogonal.Das lineare Erzeugnis eines Vektortupels V1 , . . . Vk ist k V1 , . . . , Vk = αi Vi αi ∈ R, f¨r i = 1, . . . , k u i=1und das orthogonale Komplement ist {V1 , . . . , Vk }⊥ = V1⊥ ∩ . . . ∩ Vk⊥ = {X ∈ Rn X ⊥ Vi f¨r i = 1 . . . k}. uEine Orthonormalbasis (ONB) des Rn ist ein Vektortupel B1 , . . . Bn mit Bi , Bj = δij .Orthonormalbasen werden als Spaltentupel B = (B1 , . . . Bn )t geschriebenund mit ihrer orthogonalen Koordinatenmatrix B ∈ Rn×n identifiziert. Esgilt B t B = I mit Einheitsmatrix I. Eine ONB B heißt positiv orientiert,falls det B = +1.Die Orthogonalen Matrizen mit Determinante +1 heißen auch eigentlichorthogonal. Sie bilden die Gruppe SO(n) = {M ∈ Rn×n M t M = I ∧ det M = +1}.
  11. 11. ¨PRALIMINARIEN 11Eine Abbildung X ∈ Rn → M X ∈ Rn heißt Drehung, falls M ∈ SO(n). ¨Sie beschreibt den Ubergang von der kanonischen Basis auf die Basis mitKoordinatenmatrix M . Eine Abbildung α : R n → Rn , α(X) = X0 + M X (X0 ∈ Rn , M ∈ SO(n)),eine Drehung, kombiniert mit einer Translation, heißt eigentliche oder ori-entierungserhaltende Bewegung.Ein beliebiger Vektor X besitzt zur ONB B = (B1 , . . . Bn )t die Darstellung n X= X, Bi Bi = B t X. i=1X ist der Koordinatenvektor von X bez¨glich B: u X = ( X, B1 . . . X, Bn )t = BX.Im R3 , f¨r den wir uns haupts¨chlich interessieren, ist zus¨tzlich das Vek- u a atorpodukt zweier Vektoren definiert. F¨r eine beliebige positiv orientierte uONB (B1 , B2 , B3 )t gilt B1 × B2 = B3 , B2 × B3 = B1 , B3 × B1 = B2und f¨r a, b ∈ R und V, W, X ∈ R3 ist u (aV + bW ) × X = a(V × X) + b(W × X), V × W = −W × V.Schließlich gilt f¨r Vektoren X, Y ∈ R3 u X Y ⇐⇒ X × Y = 0.Eine Gerade im R3 ist eine Punktmenge g = x0 + S = {x ∈ R3 x × S = x0 × S = const.},
  12. 12. ¨PRALIMINARIEN 12wobei S ∈ R3 0 Richtungsvektor der Geraden und x0 ∈ R ein Punkt aufihr ist.Eine Ebene im R3 ist eine Punktmenge E = x0 + V, W = x0 + N ⊥ = {x ∈ R3 x, N = x0 , N = const.},wobei x0 ∈ R3 ein Punkt auf ihr, V und W zwei linear unabh¨ngige aRichtungsvektoren und N V × W = 0 ein Normalenvektor der Ebeneist.Eine Sph¨re schließlich mit Mittelpunkt m ∈ R3 und Radius R ∈ R+ ist aeine Punktmenge SR,m = {x ∈ R3 |x − m| = R}.Nat¨rlich ist S 2 = S1,0 . Die Schnittmenge aus einer Sph¨re und einer Ebe- u ane wird, falls sie mehr als einen Punkt enth¨lt, als Kreislinie bezeichnet. a2 BegleitbasenDas f¨r diese Arbeit wichtigste Hilfsmittel der Kurventheorie ist die Be- ugleitbasis. Ziel ist, einer Kurve in jedem Punkt eine an sie angepaßte ONBanzuheften, die oft als begleitendes Dreibein‘ bezeichnet wird. Zun¨chst a ’dient der Begriff nur zur Unterscheidung einer variablen von einer starrenBasis (etwa im Sinne von ‘moving frame’).Definition 1 (Begleitbasis). Ein Vektortupel B1 , . . . , Bn von C k -Ein-heitsvektorfeldern Bi : G → S n−1 (G ⊂ R eine offene Menge) heißt C k -Begleitbasis, falls die Komponenten f¨r jeden Parameterwert t ∈ G eine posi- utiv orientierte Orthonormalbasis des Rn bilden. Die Begleitbasis wird mit der
  13. 13. ¨PRALIMINARIEN 13matrixwertigen Funktion B : G → Rn , B(t) = (B1 (t), . . . , Bn (t))tidentifiziert mit B(t) ∈ SO(n) f¨r alle t aus G. uDie Ableitungen der Begleitbasisvektoren (falls k ≥ 1) k¨nnen nun wieder odurch die Basis selbst ausgedr¨ckt werden. Wir haben dann u B = B B t · B = (B1 , . . . , Bn )t (B1 , . . . Bn ) · B.Ausgeschrieben, erhalten wir so Ableitungsgleichungen der Form     B B  1   1   .   .   .  = Bi , Bj . ·  . . . (2.1)   i=1...n   j=1...n Bn BnAuf die Koeffizientenmatrix (mit Zeilenindex i und Spaltenindex j) dieserAbleitungsgleichungen kommt es an.Definition 2 (Ableitungsmatrix). Sei B = (B1 , . . . , Bn )t eine C 1 -Be-gleitbasis (k ≥ 1). Die Matrix ΦB = B B t mit Eintr¨gen a Φi,j = Bi , Bj Bheißt Ableitungsmatrix der Begleitbasis B.Nun ist ΦB + Φt = B B t + BB t = (BB t ) = I = 0 Bwegen der Orthogonalit¨t. Daraus folgt aLemma 1. Die Ableitungsmatrix einer C 1 -Begleitbasis ist schiefsymmetrisch.
  14. 14. ¨PRALIMINARIEN 14Umgekehrt legt eine schiefsymmetrischen Matrix eine im wesentlichen ein-deutige Begleitbasis fest.Lemma 2. Sei Φ : I → Rn×n eine schiefsymmetrische Matrix mit stetigenKoeffizientenfunktionen auf einem offenen Intervall I ∈ R, und sei t0 ∈ Iund B0 eine positiv orientierte ONB des Rn . Dann gibt es genau eine Rn -Begleitbasis B mit ΦB = Φ und B(t0 ) = B0 . Sie ist aus Φ und B0 alsGrenzfunktion der Picardschen Folge von Integraliterationen darstellbar: t t σ2 B(t) = B0 + Φ(σ1 )B0 dσ1 + Φ(σ2 ) Φ(σ1 )B0 dσ1 dσ2 + · · · t0 t0 t0Beweis. Die lineare Differentialgleichung B = ΦB besitzt zu der vor-gegebenen Anfangsbelegung B0 eine eindeutig bestimmte L¨sung in der oangegebenen Form, wie aus der Theorie der Differentialgleichungen be-kannt ist. Die L¨sung B = (B1 , . . . , Bn )t ist nun tats¨chlich eine Begleit- o abasis. Denn aus der Schiefsymmetrie von Φ folgt, daß alle SkalarprodukteBi , Bj konstant sind: Bi , Bj ≡ Bi (t0 ), Bj (t0 ) ≡ δij .B bleibt auf dem ganzen Intervall kongruent; da der Anfangswert als ONBgew¨hlt wurde, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Auch die Orientierung ableibt erhalten wegen der Stetigkeit der Determinante.Korollar. Zwei auf einem Intervall definierte Begleitbasen mit der selbenAbleitungsmatrix unterscheiden sich h¨chstens durch eine Drehung. oBeweis. Seien B und B Begleitbasen mit ΦB = ΦB . Die beiden ONBen ˜B(t0 ) und B(t0 ) sind durch eine Drehung M ineinander uberf¨hrbar, also ¨ uB(t0 ) = B(t0 )M (Gruppeneigenschaft von SO(n)). Nun ist (BM ) = ΦB ·BM . BM hat die selbe Ableitungsmatrix und den selben Anfangswert wieB. Nach Lemma 2 ist dann B ≡ BM .
  15. 15. ¨PRALIMINARIEN 15Bemerkung. In der Begleitbasisdefinition wurden auch unzusammenh¨n- agende Definitionsmengen G zugelassen. F¨r das Lemma muß nat¨rlich u uZusammenhang vorausgesetzt werden. Im folgenden bezeichnet I immerein offenes Intervall. 1Das Lemma k¨nnte auch so formuliert werden: die o 2 n(n − 1) Koeffizi-entenfunktionen der schiefsymmetrischen Ableitungsmatrix legen im we-sentlichen eine Rn -Begleitbasis fest. Die in der Kurventheorie bevorzugteFrenetbegleitbasis hat den Vorteil, daß alle bis auf n − 1 Koeffizienten ver-schwinden.3 PolarkoordinatenZu jedem nichtverschwindenden Vektor W ∈ R2 gibt es eindeutig be-stimmte Polarkoordinaten r > 0 und ϕ ∈ [0; 2π[, so daß W = r · E(ϕ).Dabei ist r = |W | als Betrag und ϕ als Polarwinkel zu interpretieren, denW mit der positiven ersten Koordinatenachse einschließt, und E(ϕ) =(cos ϕ, sin ϕ)t bezeichne den vom Winkel ϕ festgelegten Einheitsvektor.Wir werden uns h¨ufig die Darstellung zweidimensionaler Vektoren (bzw. aebener Kurven) in Polarkoordinaten zunutze machen. xDefinition 3 (Polarkoordinaten). Sei V = y : I → R2 ein Vektorfeld.Die stetigen Funktionen r und ϕ : I → R heißen Polarkoordinaten von V ,falls gilt: x r cos ϕ = r · E(ϕ) = (3.1) y r sin ϕWir bezeichnen ϕ als Polarwinkel und r als Polarabstand von V .
  16. 16. ¨PRALIMINARIEN 16Die Definition l¨ßt bewußt auch negativen oder verschwindenden Polar- aabstand zu. Soweit m¨glich, sollen auch einem Vektorfeld mit Nullstellen oPolarkoordinaten zugeschrieben werden.F¨r die weitere Untersuchung f¨hren wir die Drehmatrix u u   cos ϕ − sin ϕ D(ϕ) =   ∈ SO(2). sin ϕ cos ϕein, die die Drehung eines Vektors um den Winkel ϕ im positiven Drehsinn(gegen den Uhrzeigersinn) vermittelt. Offensichtlich gelten die Beziehun-gen: D(ϕ) · E(ψ) = E(ϕ + ψ) D(ϕ) · D(ψ) = D(ϕ + ψ) x −y D(π/2) · = y xIst ϕ eine differenzierbare Winkelfunktion, so gilt: E (ϕ) = ϕ · E (ϕ + π/2) D (ϕ) = ϕ · D (ϕ + π/2) .Die Polarkoordinatengleichung (3.1) liefert mit Hilfe dieser Beziehungen x x cos ϕ + y sin ϕ r D(−ϕ) · = rE(0) ⇔ = (3.2) y −x sin ϕ + y cos ϕ 0und es folgt r2 = r(x cos ϕ + y sin ϕ) = x · r cos ϕ + y · r sin ϕ = x2 + y 2 . (3.3)Ableitung der linken Gleichung von (3.2) ergibt x x r x r−ϕ D(π/2)D(−ϕ) +D(−ϕ) = ⇔ D(−ϕ) = ⇒ y y 0 y ϕr
  17. 17. ¨PRALIMINARIEN 17 x x y x rr =⇒ rD(−ϕ) = · = ⇒ −yx + xy = r2 ϕ . y −y x y r2 ϕ (3.4)Aus den Gleichungen 3.2, 3.3 und 3.4 erhalten wir das Lemma xLemma 3. Sei y : I → R2 ein Vektorfeld. ϕ : I → R ist genau dannzugeh¨rige Polarwinkelfunktion, wenn gilt o x sin ϕ = y cos ϕ.Durch den Polarwinkel sind bereits eindeutig Polarkoordinaten festgelegt, wo-bei der Polarabstand durch r = x cos ϕ + y sin ϕgegeben ist. Es gelten die Beziehungen r 2 = x2 + y 2 und, falls x, y, ϕ differenzierbar, ϕ r2 = xy − yx .Bemerkung. Offensichtlich sind Polarkoordinaten nicht eindeutig fest-gelegt. Sind (r, ϕ) Polarkoordinaten, so auch (r, ϕ + 2kπ) und (−r,ϕ + (2k + 1)π) (f¨r k ∈ Z). Verschwindet die Vektorfunktion auf einem ugewissen Intervall, so ist der Polarwinkel im Innern dieses Intervalls sogarv¨llig unbestimmt. oAndernfalls gilt eine eingeschr¨nkte Eindeutigkeitsaussage. aLemma 4. Sei V : I → R2 ein Vektorfeld, das auf keinem ganzen Intervallverschwindet, d.h. die Nullstellenmenge I0 = {t ∈ I | V (t) = 0} enthaltekeine inneren Punkte. Wenn V Polarkoordinaten besitzt, dann ist der Pola-rabstand bis aufs globale Vorzeichen und der Polarwinkel (mod π) eindeutigbestimmt.
  18. 18. ¨PRALIMINARIEN 18Beweis. Seien (r, ϕ) und (˜, ϕ) Polarkoordinaten von v, also rE(ϕ) = r ˜rE(ϕ), so muß auf I I0 gelten˜ ˜ 1 r 1 ˜ rD(−ϕ)E(ϕ) = r ˜ ˜ ⇒ E(ϕ − ϕ) = ˜ ⇒ sin(ϕ − ϕ) = 0. ˜ 0 r 0Die auf I stetige Funktion sin(ϕ − ϕ) verschwindet auf einer dichten ˜Teilmenge von I, also verschwindet sie identisch auf ganz I. Daraus folgtϕ − ϕ = kπ und r = ±r. ˜ ˜Beispiel 1. Polarkoordinaten existieren nicht immer. Die Vektorfunktion x y : R → R2 mit    −1/t2 te  −1/t2 f¨r t = 0, u te f¨r t < 0, u x(t) = y(t) = 0 f¨r t = 0 u 0 f¨r t ≥ 0, u  ist C ∞ -differenzierbar, hat aber keine stetige Polarwinkelfunktion. Ihr Bildist eine im Nullpunkt geknickte Gerade, die beiden Halbgeraden schließen 3den Winkel 4 π ein. Nach dem Lemma m¨ßte sich der Polarwinkel im uNullpunkt um diesen Betrag (mod π) ¨ndern, also sprunghaft. W¨rde a uv auf einem ganzen Intervall verschwinden, dann h¨tte der Polarwinkel aallerdings Gelegenheit, sich kontinuierlich zu ¨ndern. aEs ist anschaulich klar, daß Probleme mit der Stetigkeit des Polarwinkelsnur in Nullstellen einer Kurve auftauchen. Ansonsten ist die Existenz vonPolarkoordinaten gesichert.Lemma 5. Seien α und β skalare C k -Funktionen auf einem offenen IntervallI ⊂ R, die nirgends gleichzeitig verschwinden. Dann gibt es C k -Polarkoordina- αten r und ϕ f¨r u β . Sie sind im wesentlichen eindeutig (im Sinne von Lemma4) und f¨r sie gilt u β α−αβ r = ± α2 + β 2 und (falls k ≥ 1) ϕ = . α2 + β 2
  19. 19. ¨PRALIMINARIEN 19Beweis. Wir setzen r := α2 + β 2 (r ∈ C k , da r > 0) und betrachten 1 αden Einheitsvektor U := r β . Sei ϕ0 der Polarwinkel zum Parameterwertt0 ∈ I, also U = E(ϕ0 ), und t1 ∈ I ein anderer Parameterwert. W¨hrend ader Parameter stetig von t0 nach t1 l¨uft, bewegt sich U stetig auf dem aEinheitskreis von U (t0 ) nach U (t1 ). Der dabei uberstrichene Gesamtwin- ¨kel (oder die auf dem Einheitskreis insgesamt zur¨ckgelegte Bogenl¨nge, u awobei Bewegung in negativer Richtung auch negativ gewertet wird) sei∆ϕt1 . Dann ist durch ϕ(t1 ) := ϕ0 + ∆ϕt1 eine stetige Polarwinkelfunkti- αon f¨r U definiert und damit sind (r, ϕ) Polarkoordinaten f¨r u u β , f¨r die udie Eindeutigkeitsaussage von Lemma 4 gilt.1 Wir haben nun α β = cos ϕ und = sin ϕ. r rKosinus und Sinus sind lokal umkehrbar, ϕ also lokal durch einen Astvon Arkuskosinus bzw. Arkussinus darstellbar und damit differenzierbar,falls k ≥ 1. Die Formel f¨r ϕ folgt dann aus Lemma 3; sie garantiert die uDifferentiationsordnung f¨r ϕ. uBemerkung. Ist eine der Funktionen positiv, etwa α > 0, so ist nat¨rlich u β ϕ = arctan αein Polarwinkel. Im allgemeinen kann ϕ aber nicht so einfach ausgedr¨ckt uwerden.Mit Hilfe dieses Lemmas k¨nnen wir insbesondere einen ebenen Einheits- ovektor bez¨glich einer beliebigen (festen oder Begleit-)Basis durch den u 1 Eine andere Beweism¨glichkeit f¨r diese wichtige Existenzaussage w¨re die Zu- o u asammensetzung einer Polarwinkelfunktion mit Hilfe von lokalen, mod π eindeutigenPolarwinkeln (analog Satz 11). Der hier gegebene Beweis folgt Wong & Lai (1967,10). Andere Beweise bei Spivak (1979, Vol. II, 22 f.) und Chern (1957, Ch. 1, §3.2).
  20. 20. ¨PRALIMINARIEN 20Polarwinkel ausdr¨cken. Setzen wir T = αU1 + βU2 , β 2 + α2 = 1, so folgt umit Lemma 5Korollar. Jede C k -Einheitsvektorfunktion T : I → R2 ist als T = E(ψ) miteiner C k -Funktion ψ darstellbar. Bez¨glich einer C k -Begleitbasis (U1 , U2 )t des uR2 lautet ihre Darstellung T = cos θU1 + sin θU2 .(U1 , U2 ) wiederum kann als E(ϕ), E(ϕ + π/2) geschrieben werden (θ undϕ sind ebenfalls C k ; es gilt dann ψ = θ + ϕ) und ihre Ableitungsgleichunglautet (falls k ≥ 1)       U1 0 ϕ U   =  ·  1 . U2 −ϕ 0 U2Die Basis beschreibt eine Drehung mit Winkelgeschwindigkeit ϕ .
  21. 21. II. Zur Theorie derFrenetkurven4 Raumkurven4.1 Kurve, Tangente, Bogenl¨nge und Krummungs- a ¨ maßWir beginnen mit einer Zusammenstellung elementarer Definitionen undTatsachen der Kurventheorie im euklidischen Raum. 1. Eine parametrisierte C r -Kurve ist eine C r -Abbildung x : I → Rn eines offenen Intervalls I in den euklidischen Raum Rn . Ihr Bild x[I] heißt Spur. 2. Ein Kurvenpunkt x(t0 ) einer parametrisierten Kurve heißt regul¨r, falls a x in t0 eine nichtverschwindende Ableitung x(t0 ) = 0 besitzt. Eine para- ˙ metrisierte C 1 -Kurve heißt regul¨r, falls alle ihre Kurvenpunkte regul¨r a a sind.
  22. 22. THEORIE DER FRENETKURVEN 22 3. Ist x : I → Rn eine regul¨re parametrisierte C r -Kurve (r ≥ 1), so heißt a das C r−1 -Vektorfeld x ˙ T : I → S n−1 , T = |x| ˙ Tangentenvektor(feld) der parametrisierten Kurve. Ein Vektorfeld V : I → Rn heißt normal zur parametrisierten Kurve oder ein Normalen- vektor von x, falls ¨berall T ⊥ V , und tangential, falls ¨berall T V u u ist. 4. Ist x eine regul¨re parametrisierte Kurve auf einem Intervall I, so heißt a die Funktion t s(t) := |x(τ )| dτ ˙ t0 f¨r beliebiges t0 ∈ I Bogenl¨nge(nfunktion) von x. Sie mißt die Bo- u a genl¨nge der parametrisierten Kurve von einem festen Kurvenpunkt x(t0 ) a aus in der von der Parametrisierung festgelegten Orientierung. ˜ ˜ 5. Zwei parametrisierte C r -Kurven x : I → Rn und x : I → Rn heißen C r -¨quivalent, falls sie durch einen orientierungstreuen C r -Diffeomor- a ˜ phismus µ : I → I ineinander ¨berf¨hrbar sind, d.h. x = x ◦ µ. Eine u u ˜ ¨ C r -Kurve ist eine Aquivalenzklasse [s → x(s)] von regul¨ren parametri- a sierten C r -Kurven. Man beachte, daß dieser Kurvenbegriff Regularit¨t a (und damit Differenzierbarkeit) impliziert, anders als der Begriff para- ’ metrisierte Kurve‘. 6. F¨r jede regul¨re parametrisierte C r -Kurve gibt es eine ¨quivalente C r - u a a Parametrisierung x(s) nach ihrer Bogenl¨nge s. Sie ist bis auf eine a Translation des Parameterbereichs eindeutig bestimmt. Deshalb kann als Repr¨sentant einer Kurve stets ihre Bogenl¨ngenparametrisierung a a
  23. 23. THEORIE DER FRENETKURVEN 23 gew¨hlt werden. Alle Kurvengr¨ßen, die aus dieser Parametrisierung ge- a o wonnen werden, sind stets invariant gegen¨ber Parametertransformatio- u nen. 7. F¨r die Bogenl¨ngenparametrisierung x(s) einer Kurve gilt u a |x (s)| ≡ 1 und T =x (der Strich bezeichnet hier wie im folgenden immer Differentiation nach der Bogenl¨nge). Umgekehrt ist durch Vorgabe eines Einheitsvektorfel- a des T (s) und eines Anfangspunktes x0 = x(s0 ) eine Kurve mit Tangen- tialvektor T und Bogenl¨nge s eindeutig festgelegt. Ihre Bogenl¨ngen- a a parametrisierung ist gegeben durch s x(s) = x0 + T (σ)dσ. (4.1) s0Wir beschr¨nken uns ab jetzt auf Raumkurven im R3 . Die Schreibweise a γ : x = x(s) (oder k¨rzer γ : x(s)) ist eine Kurve‘ bedeutet, daß die u’Raumkurve γ durch eine regul¨re Parametrisierung x : I → R3 nach der aBogenl¨nge s gegeben sein soll. aDefinition 4 (Krummungsmaß). Sei γ : x = x(s) eine C 2 -Kurve und ¨T = x ihr Tangentenvektor. Dann bezeichnen wir die stetige Funktion κN : I → R+ , 0 κN := |T | = |x |als ihr Kr¨mmungsmaß. Ein Kurvenpunkt x(s0 ) mit u κN (s0 ) = 0 heißt einWendepunkt.Lemma 6. Eine Raumkurve ist genau dann geradlinig, wenn ihr Kr¨mmungs- umaß verschwindet. Sie ist genau dann eben, wenn sie einen konstanten Nor-malenvektor M = 0 besitzt.
  24. 24. THEORIE DER FRENETKURVEN 24Beweis. Die Spur einer Kurve γ : x(t) liegt genau dann auf einer Geraden,wenn x × R ≡ const. f¨r einen Richtungsvektor u R = 0 ⇔ T ×R ≡0 ⇔ T (t) ∈ R f¨r alle t. Da u R nur zwei Vektoren der L¨nge 1 aenth¨lt und T stetig ist, ist das ¨quivalent zu T ≡ const., also κN ≡ 0. a aDie Spur liegt genau dann auf einer Ebene, wenn f¨r einen festen Vektor uM = 0 gilt x(s), M ≡ const., also T, M ≡ 0, M ist Normalenvektor.4.2 Tangentiale SystemeDefinition 5 (Tangentiale Begleitbasen). Sei γ : x = x(s), s ∈ I eineKurve. Eine Begleitbasis U : I → R3×3 , U = (U1 , U2 , U3 )t heißt tangentialzu γ, falls U1 ≡ x . Ist U differenzierbar mit Ableitungsmatrix   0 p3 −p2   ΦU = −p3 0 p1  ,     p2 −p1 0so ist das stetige Vektorfeld     p U ,U  1  2 3  p(U) = p2  =  U3 , U1          p3 U1 , U2der Koeffizientenvektor der Begleitbasis. Das Tupel (U, p(U)) aus tangen-tialer C 1 - Begleitbasis und Koeffizientenvektor bildet ein tangentiales Systemder Kurve. 3Bemerkung. Mit DU := i=1 pi Ui = U t p(U) kann die Ableitungsglei-
  25. 25. THEORIE DER FRENETKURVEN 25chung auch als   D × U1  U  U = ΦU U = U t p(U) × U = DU × U2      DU × U3geschrieben werden (das gilt auch f¨r nichttangentiale C 1 -Begleitbasen). uDie Begleitbasis beschreibt momentan eine Drehung um die Achse DUmit Winkelgeschwindigkeit |p|. Diese Momentandrehachse wird auch alsZentrode und DU als der nicht normierte Drehvektor bezeichnet.Definition 6 (Drehvektor). Ein stetiges Einheitsvektorfeld D : G → S 2(G ⊂ R offen) heißt Drehvektor oder Zentrodenvektor der Begleitbasis U :G → R3×3 , falls DU D auf ganz G gilt mit DU = U t p(U).Die Ableitungsgleichung lautet dann U = ωD × U mit ω := D, DU .Offensichtlich sind Zentrode und Drehvektor eindeutig bzw. bis aufs Vor-zeichen eindeutig bestimmt, falls G zusammenh¨ngend und die Begleitba- asis nirgends station¨r, d.h. p = 0 ist. aDie Relevanz der tangentialen Systeme und ihrer Koeffizienten f¨r die uKurventheorie besteht in der M¨glichkeit, sie zur Charakterisierung von oKurven zu verwenden.Satz 1 (Fundamentalsatz fur tangentiale Systeme). Seien ein steti- ¨ges Vektorfeld p : I → R3 , p = p(s), ein Parameterwert s0 ∈ I, ein Punktx0 ∈ R3 und eine positiv orientierte ONB U0 des R3 vorgegeben. Dann gibtes eine eindeutig bestimmte C 2 -Kurve γ : x = x(s), s ∈ I und eine eindeutigbestimmte Begleitbasis U auf I, die folgende Bedingungen erf¨llen: u
  26. 26. THEORIE DER FRENETKURVEN 26 • x(s0 ) = x0 und U(s0 ) = U0 , • s ist Bogenl¨ngenfunktion der Kurve, a • (U, p) ist tangentiales System der Kurve.Beweis. Durch p ist eine schiefsymmetrische Koeffizientenmatrix nachdem Schema von Definition 5 festgelegt, die zusammen mit U0 eine C 1 -Begleitbasis U festlegt (Lemma 2). Deren erster Vektor U1 ist Tangenti-alvektor einer C 2 -Raumkurve, deren Bogenl¨ngenparametrisierung aus U1 aund x0 eindeutig durch Integration (Gleichung 4.1) hervorgeht. Sie erf¨llt uoffensichtlich die Bedingungen.Analog zum Korollar zu Lemma 2 gilt dasKorollar. Durch ein stetiges Vektorfeld p auf einem Intervall I ist eine C 2 -Kurve samt tangentialer Begleitbasis bis auf eine orientierungstreue Bewegung(eine Drehung, kombiniert mit einer Translation) eindeutig festgelegt.Nat¨rlich kann eine Kurve viele tangentialen Systeme haben. Im R3 h¨ngen u asie alle durch eine einfache Transformation zusammen.Satz 2 (Transformation zwischen tangentialen Systemen). Sei(U, p) ein tangentiales System einer C 2 -Kurve. Dann ist die Gesamtheit ihrertangentialen Systeme (U, p) der Kurve genau durch ˜ t t U = D1 (ϕ) U, p = D1 (ϕ) p + ϕ e1 ˜gegeben, wobei ϕ eine beliebige differenzierbare Winkelfunktion ist und   1 0 0   D1 (ϕ) =  0 cos ϕ − sin ϕ .     0 sin ϕ cos ϕ
  27. 27. THEORIE DER FRENETKURVEN 27Beweis. Offensichtlich sind die U nach Konstruktion ebenfalls tangentialeBegleitbasen. Daß jede tangentiale Begleitbasis in der angegebenen Formdarstellbar ist, ist eine f¨r diese Arbeit zentrale Folgerung aus dem Lemma uuber die Existenz von Polarkoordinaten. Ist U = (U1 , U2 , U3 )t , so hat jede¨ ˜ ˜ ˜weitere tangentiale C 1 -Begleitbasis eine Darstellung (U1 , U2 , U3 ) mit U2 = ˜ ˜αU2 + βU3 und U3 = U1 × U2 = −βU2 + αU3 . Wegen (α, β) = 0 ist Lemma5 anwendbar, es gibt eine C 1 -Funktion ϕ mit (α, β) = (cos ϕ, sin ϕ). ˜ tIst nun U = D1 (ϕ)U, so ergibt sich ˜ t U = D1 (ϕ)U ˜ ˜ = D1 (−ϕ)ΦU · D1 (ϕ)U + D1 (−ϕ) · D1 (ϕ)U =⇒ =⇒ ΦU = D1 (−ϕ)ΦU D1 (ϕ) + D1 (−ϕ)D1 (ϕ). ˜Wir erhalten   0 p3 cos ϕ − p2 sin ϕ −p2 cos ϕ − p3 sin ϕ   ΦU =  ∗ ,   ˜ 0 p1 + ϕ   ∗ ∗ 0wobei die Sternchen f¨r schiefsymmetrische Eintr¨ge stehen. Das bedeutet u a p2 ˜ p2 p1 = p1 + ϕ ˜ und = Dt (ϕ) p3 ˜ p3wie behauptet.Wenn ein tangentiales System bekannt ist, sind im Prinzip schon alle be-kannt. Aber gibt es uberhaupt f¨r jede C 2 -Kurve tangentiale Systeme? In ¨ ueinem sp¨teren Abschnitt (Satz 11) wird die Existenz eines solchen gezeigt, adas i. A. aber nicht direkt konstruierbar ist. Folgendes Lemma zeigt, wieunter Umst¨nden eines konstruiert werden kann. Dazu wird als Keim‘des a ’Systems ein nirgends tangentiales Vektorfeld ben¨tigt. o
  28. 28. THEORIE DER FRENETKURVEN 28Lemma 7. Sei γ : x = x(s), s ∈ I eine C 2 -Kurve und V : I → R3 einnirgends tangentiales C 1 -Vektorfeld, d.h. x × V = 0 auf ganz I. Dann ist(U1 , U2 , U3 ) mit U1 × V U1 := x , U2 := , U3 := U1 × U2 |U1 × V |eine tangentiale C 1 -Begleitbasis von x.Beweis. Dies ist eine Anwendung des Schmidtschen Orthogonalisierungs-verfahrens. Nach Voraussetzung und Konstruktion sind die Ui wohldefi-nierte Einheitsvektoren, orthogonal, positiv orientiert und C 1 .Bemerkung. Ebene Kurven (Lemma 6) besitzen einen konstanten Nor-malenvektor und damit eine tangentiale Begleitbasis mit einer konstantenKomponente. Eine C 2 -Kurve ist also genau dann eben, wenn es ein tangen-tiales System mit zwei verschwindenden Koeffizienten gibt. Sie ist genaudann geradlinig, wenn sie ein tangentiales System mit verschwindendemKoeffizientenvektor besitzt.Bei nichtebenen Raumkurven wird h¨chstens ein Koeffizient verschwinden. oTangentiale Systeme, bei denen gerade ein Koeffizient verschwindet, sindnat¨rlich von besonderem Interesse. In den folgenden Abschnitten werden ualle Systeme dieser Art untersucht. Die Bedingung p2 ≡ 0 f¨hrt auf die uFrenetsysteme.5 Frenetkurven5.1 FrenetsystemeDie Aufgabe, ein tangentiales System einer Kurve zu konstruieren, ist imR3 und in h¨herdimensionalen R¨umen keineswegs trivial (im Gegensatz o a
  29. 29. THEORIE DER FRENETKURVEN 29zum R2 ). Nach Lemma 7 brauchen wir daf¨r ein differenzierbares, nir- ugends tangentiales Vektorfeld. Bei einer Fl¨chenkurve (der Spezialfall ebe- aner Kurven wurde schon erw¨hnt) kann daf¨r die Fl¨chennormale l¨ngs a u a ader Kurve gew¨hlt werden (s. Abschnitt 8.1). Ansonsten ist als Anhalts- apunkt nur die Tangentenfunktion T der Kurve gegeben. Ihre Ableitungist normal und kann als ‘Keim’ im Sinne des Lemmas gew¨hlt werden. aDas ist der wohl einzige sinnvolle Weg, ein tangentiales System f¨r ei- une Raumkurve aus ihrer Parametrisierung (also in intrinsischer Weise) zukonstruieren. Er ist allerdings nur gangbar, wenn T = 0 und T /|T | dif-ferenzierbar ist, also zumindest f¨r C 3 -Kurven ohne Wendepunkte. Das uErgebnis ist die intrinsische Frenetbegleitbasis der Kurve und f¨r sie ver- uschwindet der Koeffizient p2 . Auf dieser Idee ist die klassische Frenettheo-rie aufgebaut. In diesem Abschnitt wird dieser Zugang unter teilweisemVerzicht auf Eindeutigkeit und intrinsischen Charakter auf Kurven mitWendepunkten verallgemeinert.Definition 7 (Geradenstucke und gekrummte Bogen). F¨r eine C 2 - ¨ ¨ ¨ uKurve γ : x = x(s), s ∈ I mit Kr¨mmungsmaß κN erkl¨ren wir die Bezeich- u anungen • IN := {s ∈ I κN (s) = 0} • IW := {s ∈ I κN (s) = 0} = I IN ◦ • IG := I W ◦ • IK := I IG = INEine regul¨re Kurve heißt wendepunktfrei, falls IW = ∅, und geradenst¨ck- a ufrei, falls IG = ∅. Die Einschr¨nkung der Kurve auf eine Zusammenhangs- akomponente von IG bzw. IK heißt ein Geradenst¨ck bzw. ein gekr¨mmter u u
  30. 30. THEORIE DER FRENETKURVEN 30Bogen der Kurve. Das Urbild eines Geradenst¨cks nennen wir ein Geradenin- utervall.Bemerkung. Die Menge IN ist offen. Sie ist das Urbild der Menge derNichtwendepunkte und ist komplement¨r zur abgeschlossenen Parameter- amenge der Wendepunkte IW . IN liegt dicht in IK (K steht f¨r krumm‘). u ’Eine Kurve ist aus abz¨hlbar vielen gekr¨mmten B¨gen und Geradenst¨cken a u o uzusammengesetzt.Auf IN kann wie oben angedeutet eine Begleitbasis konstruiert werden.Definition 8 (Intrinsische Kurvengroßen). Sei γ : x = x(s), s ∈ I ¨eine regul¨re C 2 -Kurve mit Tangentenvektor T . Wir definieren die Einheits- avektorfelder • NN : IN → S 2 , NN := 1 κN T und • BN : IN → S 2 , BN := T × NN . Es sei • FN := (T, NN , BN )t .Ist NN differenzierbar, so definieren wir weiter • τN : IN → R, τN := NN , BN , • ωN : IN → R+ , ωN := κ2 + τN N 2 und 1 • DN : IN → S 2 , DN := (τN T + κN B). ωNWir bezeichnen NN und BN als intrinsische Haupt- bzw. Binormale der Kurveund τN als ihre intrinsische Torsion.Satz 3 (Ableitungsgleichungen von Frenet und Darboux). Sei γ :x = x(s), s ∈ I eine C 2 -Kurve. Dann ist FN eine stetige Begleitbasis auf IN .
  31. 31. THEORIE DER FRENETKURVEN 31Ist FN außerdem differenzierbar, so gelten auf IN die Ableitungsgleichungen2         T 0 κN 0 T D ×T        N  NN  = −κN τN  · NN  = ωN · DN × NN          0         BN 0 −τN 0 BN DN × BNBeweis. Nach Konstruktion ist FN stetige Begleitbasis, denn T ⊥ T . κNund τN sind nach Definition die Eintr¨ge ihrer Ableitungsmatrix und DN aist Drehvektor gem¨ß Definition 6. aBemerkung. In der Definition der Begleitbasen wurden auch unzusam-menh¨ngende Parameterbereiche wie hier IN zugelassen. FN ist aber kei- ane tangentiale Begleitbasis, da eine solche auf dem gesamten Intervall Idefiniert sein muß (sonst w¨rde sie die Kurve nicht mehr ganz charakteri- usieren).FN ist nur f¨r wendepunktfreie Kurven uberall definiert. Auch in anderen u ¨F¨llen gibt es aber Begleitbasen mit denselben Eigenschaften (tangentialer aBasisvektor und p2 ≡ 0).Definition 9 (Frenetsysteme).a) Ein tangentiales System (F, p(F)) einer Raumkurve heißt Frenetsystem der Kurve, falls p2 (F) ≡ 0. F ist eine Frenetbegleitbasis der Kurve und ihre stetigen Koeffizienten κ := p3 und τ := p1 heißen Kr¨mmung u und Torsion bzw. die Frenetschen Kr¨mmungen des Frenetsystems. Wir u √ bezeichnen außerdem ωL := |p| = κ2 + τ 2 als Lancretsches Kr¨m-u mungsmaß des Systems. 2 Aufgestellt 1847 von Frenet und 1851 unabh¨ngig von Serret. Den rechten Teil ader Gleichung fand Darboux.
  32. 32. THEORIE DER FRENETKURVEN 32b) Ein Drehvektor eines Frenetsystems heißt Darbouxvektor.c) Eine Kurve heißt Frenetkurve, falls sie ein Frenetsystem besitzt.Bemerkung. Ein Darbouxvektor existiert i. A. nicht, wenn ωL Nullstellenhat. Sonst ist der Darbouxvektor 1 D=± (τ T + κB). ωLDiese Frenetkurvendefinition geht auf Wintner (1956), Nomizu (1959)und Wong & Lai (1967) zur¨ck. Nomizu und Wong & Lai definieren als uFrenetkurve eine Kurve mit einer Begleitbasis, die die Frenetgleichungenerf¨llt, ¨hnlich wie in der hier verwendeten Definition. u aWintner definierte eine regul¨re C 2 -Kurve in ¨quivalenter Weise als Fre- a anetkurve, wenn sie eine C 1 -Binormale gem¨ß folgender Definition besitzt. aDefinition 10 (Haupt- und Binormale). Sei eine C 2 -Kurve mit Tan-gentialvektor T gegeben. • Ein Normaleneinheitsvektorfeld N : I → S 2 heißt Hauptnormale der Kurve, falls die Tangentenableitung ¨berall kollinear zu ihm ist: u T N. • Ein Normaleneinheitsvektorfeld B : I → S 2 heißt Binormale der Kurve, falls die Tangentenableitung ¨berall orthogonal zu ihm ist: u T ⊥ B.Lemma 8. Eine regul¨re C 2 -Kurve ist genau dann eine Frenetkurve, wenn sie aeine C 1 -Hauptnormale oder eine C 1 -Binormale besitzt. Ihre Frenetbegleitbasisbesteht genau aus der Tangente, einer Hauptnormalen und einer Binormalen.Beweis. Ist (T, N, B) eine Frenetbegleitbasis, so ist wegen p2 = 0 T , B =0 ⇒ T ⊥ B und T N . N ist Hauptnormale und B ist Binormale. IstN eine C 1 -Hauptnormale einer Kurve, so ist nat¨rlich (T, N, T × N ) eine uFrenetbegleitbasis und analog f¨r B. u
  33. 33. THEORIE DER FRENETKURVEN 33Bemerkung 1. Frenetsysteme werden k¨nftig in der Form (F, κ, τ ) ge- uschrieben mit F = (T, N, B)t . Wir haben dann κ = T ,N und τ = N ,B .Bemerkenswert sind auch die Beziehungen: κ2 = T , T = κ2 , N 2 ωL = N , N , τ2 = B , B .Die drei Funktionen sind also Maße f¨r die momentane Ver¨nderung des u aNormalenraums N, B , der rektifizierenden Ebene T, B unddes Schmiegraums T, N .Bemerkung 2. Nat¨rlich ist eine wendepunktfreie C 3 -Kurve eine Frenet- ukurve mit Frenetbegleitbasis FN und Kr¨mmungen κN , τN . uBemerkung 3. Ebenso sind ebene C 2 -Kurven Frenetkurven, da ihr kon-stanter Normalenvektor (normiert auf die L¨nge 1) als Binormale gew¨hlt a awerden kann. Die Torsion des so definierten Frenetsystems verschwindet.Bemerkung 4. Eine Frenetkurve ist mindestens von der Ordnung C 2 .Die sonst ubliche Voraussetzung C 3 ist aber nicht notwendig; schon eine ¨C 2 -Kurve kann eine C 1 -Begleitbasis haben (vgl. Hartman & Wintner(1959), S. 770-774).Die S¨tze der klassischen Theorie gelten, soweit sie allein aus den Fre- anetgleichungen gefolgert wurden, auch f¨r verallgemeinerte Frenetkurven. u¨Uber die wendepunktfreien Kurven hinaus kann jetzt eine Vielzahl weite-rer Kurven in die Frenettheorie einbezogen werden. U. a. sind die ebenenKurven bruchlos in die Theorie der Raumkurven integrierbar; weitere Bei-spiele von Frenetkurven werden am Ende des n¨chsten Abschnitts und in a8.1 erw¨hnt. a
  34. 34. THEORIE DER FRENETKURVEN 34In der verallgemeinerten Frenettheorie gilt eine erweiterte Version des Fun-damentalsatzes der Kurventheorie. Sie best¨tigt die N¨tzlichkeit des Fre- a unetkurvenbegriffes.Satz 4 (Fundamentalsatz der Frenettheorie). Durch zwei beliebigestetige, reelle Funktionen κ = κ(s) und τ = τ (s) auf einem offenen IntervallI ⊂ R ist eine Frenetkurve mit κ und τ als Kr¨mmungen und Bogenl¨nge s u abis auf eine orientierungstreue Bewegung eindeutig festgelegt.Beweis. Dies ist ein Spezialfall von Satz 1. Nat¨rlich ist die durch p = u(τ, 0, κ)t als Koeffizientenvektor festgelegte Kurve eine Frenetkurve.In der klassischen Theorie wird dieser Satz in abgeschw¨chter Version for- amuliert, indem κ als positiv und differenzierbar vorausgesetzt wird.3 Diesentspricht der Beschr¨nkung auf wendepunktfreie C 3 -Kurven. Unter die- aser Einschr¨nkung ist umgekehrt Existenz und Eindeutigkeit der Frenet- abegleitbasis und der Kr¨mmungen gew¨hrleistet. In dieser Formulierung u ableibt aber die Frage offen, welche Bedeutung die L¨sungen der Frenetglei- ochungen haben, die man erh¨lt, wenn man eine beliebige stetige Funktion a 3 So bei Blaschke & Leichtweiß (1973, 43); Brauner (1981, 97); Do Carmo(1983, 16 f. und 241 f.); Laugwitz (1968, 18 ff.); Stoker (1969, 65 f.). Norden (1956,92) und Spivak (1979, Vol. II, 45) fordern f¨r κ Positivit¨t, aber nur Stetigkeit. Als Be- u agr¨ndung f¨r die Beschr¨nkung gibt Spivak (ebd., 63 f.) die Kurve von Beispiel 2 unten, u u adie keine Frenetkurve ist, an. Blaschke (1921, 21) l¨ßt beide Einschr¨nkungen weg; a aerst in der Bearbeitung von Leichtweiß wurden sie eingef¨gt. Allerding gibt Blaschke, uebenso wie Kommerell & Kommerell (1931, 39) die Kehrwerte der Kr¨mmungen uvor, so daß Wendepunkte auch in der urspr¨nglichen Version implizit ausgeschlossen uwerden. Strubecker (1964, §§15-16) fordert κ ≡ 0 und stetig; Duschek & Mayer(1931, 50) und Struik (1957, 29) setzen explizit nur Stetigkeit voraus.
  35. 35. THEORIE DER FRENETKURVEN 35κ als Kr¨mmung vorgibt. Die Antwort ist nun klar: Diese L¨sungen ent- u osprechen genau der Klasse der Frenetkurven.45.2 (Un-)Eindeutigkeit der Frenetkrummungen ¨Im Unterschied zur klassischen Theorie haben wir nicht mehr eine vorgege-bene Frenetbegleitbasis, sondern m¨ssen im Zweifelsfall erst eine suchen. uEs stellt sich daher die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit von Frenet-begleitbasis und -kr¨mmmungen. uBeispiel 2. Nicht jede vern¨nftige“ Kurve ist eine Frenetkurve. Sei u ”   −1/t2 e f¨r t < 0 u f (t) := 0 f¨r t ≥ 0. u Dann ist t γ : x = x(t) = t, f (t), f (−t) , t ∈ Ieine C ∞ -Kurve, aber keine Frenetkurve.5 Die Kurve, die nicht zuf¨llig astark an Beispiel 1 erinnert, besteht aus zwei ebenen gekr¨mmten B¨gen. u o 4 Fast in keinem der g¨ngigen Lehrb¨cher wird die L¨cke zwischen dem eingeschr¨nk- a u u aten Fundamentalsatz und den weitergehenden M¨glichkeiten, die aus der Theorie der oDifferentialgleichungen folgen, diskutiert. Wahrscheinlich ist es ohne den begrifflichenRahmen der verallgemeinerten Frenetkurve schwierig, mit den theoretisch existieren-den L¨sungen f¨r κ beliebig‘etwas anzufangen. Einzig Stoker (1969) stellt die Frage, o u ’“What about κ = 0?” (S. 67 f.) Er nennt ein Beispiel, das zeigen soll, daß, entgegendem oben bewiesenen Satz, verschiedene Raumkurven dieselben Kr¨mmungen haben uk¨nnen, wenn κ = 0 zugelassen ist. Tats¨chlich sind die Kurven in seinem Beispiel aber o adurch eine Drehung ineinander uberf¨hrbar, verletzen also nicht den Satz. ¨ u 5 Die Beispielkurve wird auch bei Nomizu (1959, 111) und Spivak (1979, Vol. II, 63f.) angef¨hrt. u
  36. 36. THEORIE DER FRENETKURVEN 36Im Wendepunkt x(0) wechselt sie sprunghaft von der x1 /x2 - auf die x1 /x3 -Ebene: die Schmiegebene ver¨ndert sich unstetig. Der linke Grenzwert der aHauptnormalen liegt auf der x2 -, der rechte auf der x3 -Achse. Solche Un-stetigkeiten kommen bei Frenetkurven nicht vor. Die geforderte Existenzeiner stetigen Hauptnormale impliziert n¨mlich, daß die Hauptnormalen- a ’raum‘-Abbildung NN : IN → P2 , NN (s) := T (s) = NN (s)auf ganz I stetig fortsetzbar ist (analog f¨r den Binormalenraum). uEine Frenetbegleitbasis existiert also nicht immer, und wenn sie existiert,ist sie i. A. nicht eindeutig.Beispiel 3. Es gibt Frenetkurven mit unendlich vielen verschiedenen Fre-netbegleitbasen. Ein regul¨res Geradenst¨ck ist Frenetkurve. Ist (N1 , N2 ) a ueine feste ONB des konstanten Normalraumes T ⊥ der Kurve, so daß dieBasis F0 = (T, N1 , N2 )t positiv orientiert ist, so haben die Frenetbegleit-basen gerade die Form F = D1 (ϕ)F0 (ϕ eine C 1 -Funktion) mit Koeffi- tzientenvektor p(F) = ϕ e1 , also κ = 0 und τ = ϕ (Satz 2).In diesem Beispiel hat die Torsion“ keinerlei geometrische Bedeutung f¨r u ”die eigentliche Kurve. Sie beschreibt die Geschwindigkeit, mit der die Nor-malenvektoren um die Tangente rotieren, und kann v¨llig beliebig sein. oDie Frenetschen Kr¨mmungen sind in diesem Fall keine echten Invarian- uten der Kurve wie in der klassischen Theorie. Es k¨nnte immerhin sein, odaß es unter den verschiedenen Begleitbasen und Torsionen eine speziellegibt, die gegen¨ber den anderen aufgrund intrinsischer Eigenschaften der uKurve ausgezeichnet ist. Es w¨rde nahe liegen, Geradenst¨cken die Torsion u u
  37. 37. THEORIE DER FRENETKURVEN 37Null zuzuschreiben. In der Tat hat Wintner (1956, §§1-4) diese L¨sung ovorgeschlagen. Er nahm an, daß jeder Frenetkurve eindeutige und stetigeKr¨mmungen zugeschrieben werden k¨nnten, indem einfach κ ≡ κN und u oauf Geradenst¨cken τ ≡ 0 gesetzt werden. uGegenbeispiele widerlegen diese Annahme.Beispiel 4. Wir betrachten eine Variante von Beispiel 2. Der Wendepunktan der Stelle t = 0 werde zu einem ganzen Intervall [0, a] verl¨ngert, auf adem die Kurve geradlinig verl¨uft. Sie besteht dann aus zwei ebenen ge- akr¨mmten B¨gen mit einem Geradenst¨ck dazwischen. Diese so modifi- u o uzierte Kurve ist eine Frenetkurve. Ebene B¨gen sind wie schon erw¨hnt o aFrenetkurven. Wir k¨nnen eine Frenetbegleitbasis F f¨r beide B¨gen defi- o u onieren und diese auf das Geradenst¨ck fortsetzen. Das geht nach folgendem uallgemeinen Prinzip: F(0), F(a), τ0 und τa werden jeweils durch die Grenz-werte dieser Gr¨ßen in 0 und a erkl¨rt (im Beispiel τa = τ0 = 0). Wegen o a tT (0) = T (a) gibt es einen Winkel ϕa mit F(a) = D1 (ϕa ) F(0). Sei nun ϕeine auf [0, a] definierte, im Innern differenzierbare Funktion mit ϕ(0) = 0, ϕ(a) = ϕa , lim ϕ (s) = τ0 und lim ϕ (s) = τa . (5.1) s→0 s→aDann ist F mit der Fortsetzung t F [0,a] :≡ D1 (ϕ) F(0) (5.2)eine Frenetbegleitbasis der ganzen Kurve. Auf dem Geradenst¨ck ist die u ¨Situation wie in Beispiel 3, und der Ubergang an den Endpunkten istnach Konstruktion differenzierbar. Auf ]0, a[ ist p = ϕ e1 und auf dengekr¨mmten B¨gen p = (τ, 0, κ)t , wobei κ(0) = κ(a) = 0 und τ und ϕ u oan den Endpunkten die selben Grenzwerte haben.
  38. 38. THEORIE DER FRENETKURVEN 38Diese Konstruktion ist f¨r jedes Geradenst¨ck einer Frenetkurve m¨glich, u u ound ϕ kann beliebig gew¨hlt werden, wenn nur die Festlegungen 5.1 und a5.2 erf¨llt sind. Daraus folgt: uSatz 5 (Frenetkurven mit Geradenstucken). Eine Frenetkurve, die ¨Geradenst¨cke enth¨lt, besitzt unendlich viele verschiedene Frenetsysteme. u aInsbesondere ist es i. A. unm¨glich, die Torsion auf Geradenst¨cken Null o uzu setzen. Die Kurve von Beispiel 4 kann als Flugbahn eines Punktes ver-anschaulicht werden, an den die Frenetbegleitbasis als Dreibein geheftetist. Der Punkt kommt im Parameter 0 mit einer Hauptnormalen paral-lel zur x2 -Achse an und verl¨ßt das Geradenst¨ck mit der Hauptnorma- a ulen in x3 -Richtung. Auf ]0, a[ muß sich das Dreibein um 90◦ um die x1 -Achse drehen, und die Torsion ist die Winkelgeschwindigkeit, also sichernicht verschwindend. Unter den unendlich vielen M¨glichkeiten, die Dre- ohung zu realisieren, ist keine in irgend einer Weise vor den anderen ausge-zeichnet. Frenetbegleitbasis und Torsion einer Kurve mit Geradenst¨cken usind wirklich uneindeutig. Wong & Lai (1967, 9) haben daher den Be-griff Pseudotorsion vorgeschlagen, um dieser Uneindeutigkeit Rechnungzu tragen. Konsequenterweise m¨ßte man eigentlich sogar von Pseudo- ukr¨mmung, Pseudohauptnormale etc. sprechen. uAllerdings herrschen zumindest auf gekr¨mmten Kurvenb¨gen recht klare u oVerh¨ltnisse. aLemma 9. Zwischen einem Frenetsystem ((T, N, B)t , κ, τ ) einer Frenetkurveund ihren intrinsischen Gr¨ßen gelten die Beziehungen oN IN = εNN , B IN = εBN , κ IN = εκN , τ IN ≡ τN , ωL IN ≡ ωN ,wobei ε : IN → {−1, +1} eine auf jeder Zusammenhangskomponente von INkonstante Vorzeichenfunktion ist.
  39. 39. THEORIE DER FRENETKURVEN 39Beweis. N und NN sind beide Einheitsvektoren und ihre Richtung ist aufIN durch T = 0 festgelegt. Also nimmt die Funktion ε := N, NN nur dieWerte ±1 an. ε ist stetig und diskret, muß also auf jeder zusammenh¨ngen- aden Menge konstant sein und damit auch differenzierbar. Dann ist auchNN = εN auf IN differenzierbar (N wurde ja C 1 vorausgesetzt) und τNwohldefiniert. Weiter ist (jeweils auf IN ) B = T × N = T × εNN = εBNund κ = N, T = εNN , T = εκN . Schließlich ist τ = N , B = √εNN , εBN = +τN und ωL = κ2 + τ 2 = κ2 + τN = ωN . N 2Daraus folgt, daß die Torsion einer Frenetkurve auf jedem gekr¨mmten uBogen eindeutig bestimmt ist. Es gilt sogar:Satz 6 (Frenetkurven ohne Geradenstucke). Eine geradenst¨ckfreie ¨ uFrenetkurve besitzt ein bis aufs Vorzeichen von Haupt- und Binormale undKr¨mmung eindeutig bestimmtes Frenetsystem. Insbesondere ist ihre Torsion ueindeutig bestimmt. ˜ ˜Beweis. Seien N und N C 1 -Hauptnormalen. Die Funktion ε := N, N ˆist stetig differenzierbar. Auf IN existieren Funktionen ε, ε, so daß N = ˜ ˜εNN und N = εNN (Lemma 9), die auf jeder Zusammenhangskomponente ˜von IN konstant ±1 sind. Also ist ε I = ε˜ und ε ˆ ε ˆ IN ≡ 0. IN liegt nach NVoraussetzung dicht im Definitionsbereich I, und aus Stetigkeitsgr¨nden u ˆ ˜ist ε konstant +1 oder −1, demnach N ≡ ±N . Nat¨rlich ist dann auch u ˜B ≡ ±B, κ ≡ ±˜ und τ ≡ +˜. κ τBemerkung. Die Torsion ist somit zumindest auf gekr¨mmten B¨gen ei- u one echte Invariante, die Kr¨mmung aber nur fast. Zwar ist der Betrag der uKr¨mmung, der ja mit dem Kr¨mmungsmaß κN ubereinstimmt, eindeutig, u u ¨er gen¨gt aber nicht zur vollst¨ndigen Charakterisierung einer Kurve; denn u a
  40. 40. THEORIE DER FRENETKURVEN 40 u ¨Vorzeichenwechsel der Kr¨mmung zeigen eine Anderung der Kr¨mmungs- urichtung an und sind nicht zu vernachl¨ssigen. Lassen wir eine stetige aFunktion κ mit Vorzeichenwechseln zusammen mit einer anderen Funkti-on τ eine Kurve charakterisieren (gem¨ß Fundamentalsatz 4), so erhalten awir f¨r (|κ|, τ ) eine v¨llig andere Kurve, f¨r (−κ, τ ) dagegen dieselbe. Es u o uist also nicht m¨glich, gem¨ß der Annahme von Wintner (s.o.) jeder Fre- o anetkurve eine nichtnegative Kr¨mmung zuzuschreiben. Bei Kurven mit uGeradenst¨cken ist die Situation wiederum un¨bersichtlicher. Es kann in u udiesem Fall unendlich viele verschiedene Kr¨mmungen geben, denn das uVorzeichen von κ kann auf jedem gekr¨mmten Bogen jeweils unabh¨ngig u avariiert werden, und unter ihnen gibt es i. A. keine bevorzugte Wahl.In der klassischen Theorie bilden Kr¨mmung und Torsion einer wende- upunktfreien Kurve ein vollst¨ndiges Invariantensystem einer Kurve. In der aVerallgemeinerung gilt das noch mit einer kleinen Einschr¨nkung f¨r ge- a uradenst¨ckfreie Kurven. Allgemein bilden sie zwar eine vollst¨ndige, aber u akeine invariante Charakterisierung der Kurve: verschiedene Paare von Fre-netschen Kr¨mmungen k¨nnen zu verschiedenen Begleitbasen derselben u oKurve geh¨ren. o ¨Satz 7 (Aquivalenz von Frenetschen Krummungen). Zwei Paare ste- ¨ κ ˜tiger Funktionen (κ, τ ) und (˜ , τ ) sind genau dann Frenetsche Kr¨mmungen uderselben Kurve, wenn es eine C 1 -Funktion θ gibt mit κ sin θ = 0, κ cos θ = κ ˜ und θ = τ − τ. ˜Beweis. Ist p = (τ, 0, κ)t Ableitungsvektor eines Frenetsystems, so hatjeder andere Ableitungsvektor p nach Satz 2 die Form ˜      p2 ˜ cos θ sin θ 0 p1 = τ + θ ,   =  ˜   p3 ˜ − sin θ cos θ κ
  41. 41. THEORIE DER FRENETKURVEN 41mit einer C 1 -Funktion θ. Die Bedingung ! (˜1 , p2 , p3 ) = (˜, 0, κ) p ˜ ˜ τ ˜f¨hrt dann auf obige Beziehungen. uIn der Beziehung zwischen verschiedenen Frenetkr¨mmungspaaren spie- ulen die Torsionsintegrale eine wichtige Rolle. Bei der Untersuchung vonGeradenst¨cken (Beispiele 3 und 4) stellte sich das Torsionsintegral l¨ngs u aeines Geradenst¨cks als der Winkel, um den sich die Begleitbasis dreht, uheraus. Bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von π ist dieser Winkel durchdie Kurve offensichtlich eindeutig festgelegt. Wir bezeichnen diesen Win-kel als Torsionswinkel und stellen seine intrinsische Eigenschaft allgemeinfest.Definition 11 (Torsionswinkel). Sei τ Torsion einer Frenetkurve auf Iund G ⊂ I ein Intervall. Die Gesamttorsion ΛG und der Torsionswinkel Λπ Gder Kurve entlang G sind durch ΛG := τ (s) ds, Λπ = ΛG G (mod π) Gdefiniert.Satz 8 (Der Torsionswinkel als intrinsische Gr¨ße). Der Torsions- owinkel Λπ einer Frenetkurve ist eine intrinsische Gr¨ße der Kurve, falls die G oEndpunkte des Intervalls G nicht in einem Geradenintervall liegen. Insbeson-dere sind der Torsionswinkel einer Frenetkurve entlang eines Geradenst¨cks uund der Torsionswinkel Λπ := Λπ γ [a,a+L] (mit a ∈ IG ) ¨ber einer geschlossenen / uKurve γ der L¨nge L eindeutig bestimmt. aBeweis. Sind τ und τ Torsionen der selben Frenetkurve, dann gibt es ˜nach Satz 7 eine Funktion θ mit κ sin θ = 0 und θ = τ − τ . Auf IN gilt ˜
  42. 42. THEORIE DER FRENETKURVEN 42dann sin θ = 0 ⇒ θ = kπ. Aus Stetigkeitsgr¨nden gilt das sogar auf dem uAbschluß IN = I IG . F¨r s0 und s1 aus dieser Menge folgt dann u s1 ˜ Λπ 0 ,s1 ] − Λπ 0 ,s1 ] = (˜(s) − τ (s))ds (mod π) = τ [s [s s0 s1 = θ (s) ds (mod π) = θ(s1 ) − θ(s0 ) (mod π) ≡ 0 (mod π). s0Nat¨rlich k¨nnen f¨r s0 und s1 auch die Endpunkte eines Geradenintervalls u o ugew¨hlt werden. aZu kl¨ren ist noch, daß der Torsionswinkel einer geschlossenen Kurve wohl- adefiniert ist. O. B. d. A. sei eine geschlossene Kurve der L¨nge L als L- aperiodische Parametrisierung x auf R gegeben (eine andere Parametri-sierung kann periodisch auf R fortgesetzt werden). Da ein Geradenst¨ck unicht geschlossen ist, ist IN = ∅ und f¨r beliebige a, b ∈ IN (b > a) gilt uΛπ = Λπ [a,b] [a+L,b+L] . Das folgt aus x [a,b] ≡x [a+L,b+L] und dem intrinsischenCharakter des Torsionswinkels. Dann ist weiter Λπ π π π π π [a,a+L] − Λ[b,b+L] = Λ[a,b] + Λ[b,b+L] − Λ[a+L,b+L] − Λ[b,b+L] = 0.Also ist der Torsionswinkel einer geschlossenen Kurve unabh¨ngig von ader Wahl des Anfangspunktes, sofern dieser nicht in einem Geradenst¨ck uliegt.Bemerkung. Eine ebene Kurve besitzt ein Frenetsystem mit verschwin-dender Torsion; also verschwindet auch generell der Torsionswinkel aufzul¨ssigen Intervallen. Insbesondere gilt: Die Torsion verschwindet auf al- alen gekr¨mmten B¨gen und der Torsionswinkel verschwindet auf jedem u oGeradenst¨ck. Diese Bedingungen sind auch hinreichend daf¨r, daß ir- u ugendwelche Kr¨mmungen (κ, τ ) zu einer ebenen Kurve geh¨ren. Denn ver- u oschwindender Torsionswinkel auf einem Geradenst¨ck ist ¨quivalent dazu, u a
  43. 43. THEORIE DER FRENETKURVEN 43daß die Schmiegebene in den Endpunkten die gleiche ist; die Kurvenb¨gen oliegen also alle in der gleichen Ebene. ¨Das Aquivalenzkriterium wurde erstmals von Wong & Lai (1967) ange-geben und durch elementare Rechnung bewiesen. Sie formulierten auch dieAussage f¨r den Torsionswinkel, f¨r geschlossene Kurven sogar mod 2π; u udies w¨rde bedeuten, daß alle Frenetsysteme die selbe Periodizit¨t aufwei- u asen (vom Verhalten auf Geradenst¨cken abgesehen). Dem ist nicht so. Eine ugeschlossene Frenetkurve der L¨nge L mit einem Geradenst¨ck besitzt so- a uwohl ein 2L-periodisches Frenetsystem, bei dem Haupt- und Binormalenach jedem vollen Durchlauf das Vorzeichen wechseln, als auch ein L-pe-riodisches. Die Gesamttorsionen beider Systeme unterscheiden sich um π,deshalb ist der Satz nur modulo π richtig. F¨r geradenst¨ckfreie Kurven ist u unat¨rlich die Gesamttorsion intrinsisch, da ja die Torsion selber intrinsisch uist.Zum Schluß dieses Abschnitts uber Existenz und (Un)Eindeutigkeit von ¨Frenetsystemen m¨chte ich noch einen sch¨nen Satz von Nomizu (1959), o oder im folgenden allerdings nicht weiter gebraucht wird, zitieren (ohneBeweis):Satz 9 (Analytische Kurven). Jede (regul¨re) analytische Kurve ist eine aFrenetkurve. Falls sie nicht geradlinig ist, sind ihre Wendepunkte allesamtisolierte Punkte und das Frenetsystem ist bis auf ein Vorzeichen eindeutigbestimmt.
  44. 44. THEORIE DER FRENETKURVEN 446 Das Bishopsystem einer RaumkurveTangentiale Systeme mit verschwindendem Koeffizienten p2 wurden alsFrenetsysteme untersucht. Der Fall p3 ≡ 0 f¨hrt auf die selbe Situation nur umit anderer Numerierung. Im folgenden betrachten wir den verbleibendenFall p1 ≡ 0.Definition 12 (Bishopsystem). Ein tangentiales Sytem (B, p(B)) einerKurve γ : x := x(s), s ∈ I heißt Bishopsystem, falls der erste Koeffizient p1des Ableitungsvektors verschwindet. B =: (T, M1 , M2 )t heißt Bishopbegleit-basis der Kurve und die stetige parametrisierte Kurve p2 M2 , T k : I → R2 , k= = p3 T , M1heißt Normalenentwicklung des Systems.Bemerkung 1. Die Ableitungsgleichungen eines Bishopsystems((T, M1 , M2 )t , (k1 , k2 )t ) sehen dann so aus:       T 0 k2 −k1 T       M1  = −k2 0  · M 1  .       0       M2 k1 0 0 M2Bemerkung 2. Es gilt |k| = |T | = κN , also entspricht die Null-stellenmenge der Normalenentwicklung genau der Wendepunktmenge derKurve. Insbesondere sind Geradenst¨cke durch k ≡ 0 gekennzeichnet. uDie Normalenkomponenten einer Bishopbegleitbasis haben tangentiale Ab-leitungen. Solche Normalenfelder, die hier als relativ parallel bezeichnetwerden, sind nicht nur zur Konstruktion von Bishopsystemen n¨tzlich, usondern auch f¨r die Untersuchung von Parallelkurven. u
  45. 45. THEORIE DER FRENETKURVEN 45Definition 13 (Relativ parallel). 1. Ein C 1 -Normalenfeld entlang einer Kurve heißt relativ paralleles Norma- lenfeld (RPNF) der Kurve, falls seine Ableitung tangential ist. 2. Zwei C 1 -Kurven heißen Parallelkurven, falls sie diffeomorph aufeinan- der bezogen werden k¨nnen so, daß die Normalebenen beider Kurven in o entsprechenden Punkten ¨bereinstimmen. Das heißt, es gibt C 1 -Para- u metrisierungen x(t), x(t) f¨r die beiden Kurven, so daß f¨r alle Para- u u meterwerte gilt x(t) + x(t)⊥ = x(t) + x(t)⊥ . ˙ ˙Bemerkung. Normalenfelder mit tangentialer Ableitung und daraus kon-struierte Begleitbasen wurden m. W. erstamls von Bishop (1975) ausf¨hr- ulich untersucht. In der Literatur (vgl. Blaschke 1921) tauchen sie aberschon im Zusammenhang mit sogenannten Kr¨mmungsstreifen auf. Ist uE(s) ein Vektorfeld l¨ngs einer regul¨ren Kurve γ : x(s), so ist durch a aR(s, v) := x(s) + vE(s) eine Regelfl¨che definiert. Sie ist eine Torse, al- aso in die Ebene verbiegbar, falls die Torsenbedingung det(E, E , T ) = 0erf¨llt ist. Dies ist sicher der Fall, wenn f¨r E ein RPNF gew¨hlt wird. u u aDie so definierte Torse wird als Kr¨mmungsstreifen bezeichnet. uSatz 10 (Parallelkurven). Zwei C 1 -Kurven γ : x = x(s), s ∈ I undγ : x = x(s) sind genau dann Parallelkurven, wenn es ein RPNF M auf Izu γ gibt, so daß die parametrisierte Kurve x := x + M regul¨r und C 1 - ˜ a¨quivalent zu x ist.aBeweis. Ist M RPNF zu γ, so haben die parametrisierten Kurven x undx in entsprechenden Punkten gleiche Normalebenen. Die Tangential- und˜
  46. 46. THEORIE DER FRENETKURVEN 46 ¨ ˙damit auch die Normalr¨ume stimmen uberein wegen x = αx = 0. M ist a ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˜ ˜ ˙normal, also ist x = x + M ∈ x + x⊥ ⇒ x + x⊥ = x + M + x⊥ = x + x⊥ . ˜Sind umgekehrt zwei Parallelkurven γ : x(t) und γ : x(t) gegeben mit ˜ ˜ ˙ ˙x(t)+ x(t)⊥ = x(t)+ x(t)⊥ , so ist x(t) x(t) ⇒ M := x−x hat tangentiale ˙ ˙Ableitung zu beiden Kurven und die Normalenr¨ume stimmen uberein. a ¨Offensichtlich ist M dann selbst normal und damit ein RPNF.Parallelkurven haben also die interessante Eigenschaft, daß sie in entspre-chenden Punkten parallele Tangenten haben und die Verbindungsstreckedazwischen auf beiden Kurven senkrecht ist.6Wir bemerken einige Eigenschaften der RPNFs.Lemma 10. Sei eine C 2 -Kurve mit Tangentialvektor T gegeben; M und M1seien relativ parallele Normalenfelder (RPNFs). Dann gilt:a) |M | ≡ const.b) M, M1 ≡ const.c) ˆ Sind c, c1 reelle Konstanten, so ist M := cM + c1 M1 wieder relativ parallel.d) M := T × M ist wieder relativ parallel.Beweis. M ist tangential ⇒ M, M ≡ 0 ⇒ M, M ≡ const. Genausoist M, M1 ≡ const. 6 Zuweilen werden Kurven auch als Parallelkurven bezeichnet, wenn nur die Tangen-ten parallel, d.h. ihre Tangentenbilder kongruent sind. In diesem Sinne w¨re ein RPNF aeiner Kurve, aufgegaßt als parametrisierte Kurve, sogar selbst Parallelkurve (falls re-gul¨r). a

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