1. MACS 2-. SESIÓN DÍA 03/11/2010. hoja 5
1.
a) Si aplicamos el método de Gauss a esta matriz, tendremos:
Como la última fila nos sale 0 0 0 indica que esta matriz no tiene inversa.
b)
c)
2.
Calculamos
La expresión anterior puede escribirse
Operando, tendremos
Para que estas dos matrices sean igules, tiene que ser:
cuyas soluciones son:
3.

2. Hacemos la comprobación:
De la igualdad anterior se desprende que
4.
La comprobación se hace fácilmente (queda para vosotros). Asumimos que
Para demostrar que la matriz es la matriz inversa de , tenemos que demostrar
que su producto es la matriz unidad (definición de matriz inversa)
Como
ya lo tenemos demostrado. (En lo anterior hemos sustituido por la matriz nula
5.
Si calculamos los potencias sucesivas de A, tendremos:

3. Podemos hacer la siguiente conjetura
En Matemáticas, para poder demostrarlo necesitamos el método de inducción, que dice:
1. Comprobamos que la conjetura es cierta para n=1
2. Suponiendo que es cierta para n, comprobamos que es cierta para n+1
En nuestro caso es cierta para n1, trivialmente
Suponemos que es cierta para n=1, calculemos
Luego es cierta para n+1.
Por tanto hemos demostrado que
6.
Sea , plantemos la ecuación,
que nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:
siendo a, b cualesquiera números reales.
Luego, cualquier matriz de la forma conmuta con la matriz A, en particular si hacemos
a=b=1, tendremos la propia matriz A
Para el apartado siguiente, calculamos
Así
7.

4. Os dejo que comprobéis la afirmación. Si despejamos, tenemos