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MOVIMIENTO VIBRATORIO   TEMA 3
MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO

 MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se
  repiten todas las características del mismo en un tiempo
  determinado.

 MOVIMIENTO      OSCILATORIO:       es aquel   movimiento
  periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a
  otro de la posición de equilibrio.

 MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio
  en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.

 PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo
  completo, es decir, en volver a la situación inicial.
MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO

 FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan
  en un segundo.
                      1
                  ������ = ; ������ −1 = ������������
                      ������
 ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la
  partícula de la posición de equilibrio en un instante
  dado. (x → horizontal; y → vertical).

 AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la
  máxima distancia que se separa la partícula de la
  posición de equilibrio.
MOVIMIENTO
  VIBRATORIO
ARMÓNICO SIMPLE
M.V.A.S.

 Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.

 Es un movimiento periódico en el que la partícula se
  desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se
  caracteriza porque es un movimiento con aceleración
  variable.

 Esta aceleración está producida por una fuerza
  recuperadora que es proporcional al desplazamiento,
  pero de sentido contrario.

 Al móvil que describe este movimiento se le llama
  oscilador armónico.
LEY DE HOOK


                                        ������ = −������ · ������

 La fuerza va a ser máxima en los extremos
   ������ = ������ ������ ������ = −������ . Como esto es así, la aceleración también
  será máxima en dichos puntos.
 La fuerza en ������ = 0 va a ser 0, entonces, la aceleración
  también se anulará en el punto de equilibrio.
 Podemos decir que la aceleración es variable en función de
  la posición de la partícula.
 Si hablamos de la velocidad:    ������ = 0 ������������ ������ = ������ ������ ������ = −������
                                  ������ → ������������������ ������������ ������ = 0
M.V.A.S.

Elongación:     ������, ������ = ������ ������ ; ������
                              ������
Velocidad:     ������ = ������ ������ ;
                              ������
                              ������
Aceleración: ������ = ������ ������ ;
                              ������ 2
ECUACIONES DEL
  MOVIMIENTO
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

 Movimiento vertical:
                                              ������ 2 ������
              ������ = −������ · ������ = ������ · ������ = ������ ·
                                              ������������ 2
                                      ������ 2 ������
                    −������ · ������ = ������ ·
                                      ������������ 2
                         ������ 2 ������
                    ������ ·      2
                                 + ������ · ������ = 0
                         ������������

 Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de
  ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo
  que vamos a obtener…
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

                                ������
                ������ = ������ · sin      · ������
                                ������

                    ������
       Además,           = ������ (velocidad angular)
                    ������

                Comprueba que se
                cumple la ecuación
 ¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el
  argumento del seno…?

 ¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

                    ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0
                    ������ = ������ · cos ������������ + ������ 0

Donde     ������ → ������������������������������������������������ó������ (������)
          ������ → ������������������������������������������������ (������)
                                                                          ������������������
          ������ → ������������������������������������������ó������ ������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������
                                                                            ������
          ������ 0 → ������������������������ ������������������������������������������ ������������������ .
                 ������������������������������������������ ������������ ������������ ���������������������������������������������������� ������������ ������ 0

                            2������                           ������
                       ������ =     = 2������������ =
                            ������                            ������
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO



    CAMBIO DE UNIDADES:
    RADIANES → GRADOS

3 ′ 2������ ������������������ ⟶ 3 ′ 2 · 180 0 = 576 0
           sin 576 0 ≈ −0′9
EJEMPLO

   Suponemos que tenemos una
    masa colgada de un muelle
    como en la figura. Cuando lo
    dejamos estar, la masa está
    en reposo (izq.). Esa es su
    posición de equilibrio.
   Contraemos el muelle 2 cm y
    soltamos, dejando que la
    masa oscile libremente
    (despreciamos rozamiento
    con el aire).

   Queremos calcular la fase
    inicial.
EJEMPLO

Como es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirá
la Ley de Hook:
                         ������ = −������ · ������
Conocemos la solución que se obtiene para estos casos:

                   ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0

En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es
������ 0 = −2 ������������ y la amplitud ������ = 2 ������������ ; sustituimos en la
fórmula y despejamos:

                 −2 = 2 · sin ������ · 0 + ������ 0
                     −2 = 2 · sin ������ 0
EJEMPLO


Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos falta
un signo menos:

                       sin ������ 0 = −1
                             −1
                                        ������
                ������ 0 = sin        −1 = − ������������������
                                        2


                             ������
                      ������0 = − ������������������
                             2
REPRESENTACIÓN

 Si ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0   y además ������ 0 = 0:




        Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)
REPRESENTACIÓN


 ������1 = ������ · sin ������������1 + ������ 0
                                       Diferencia de fase:
                                  ∆������ = ������������ 2 + ������ 0 − ������������1 + ������ 0
 ������ 2 = ������ · sin ������������ 2 + ������ 0           ∆������ = ������������ 2 − ������������1


                                        ∆������ = ������ ������2 − ������1

  Observamos dos situaciones importantes y significativas en
      función del valor que tome esta diferencia de fase
REPRESENTACIÓN



 ∆������ = ������ ������2 − ������1


 ∆������ = 2������ · ������; ������ = 0, 1, 2, 3, … los puntos están en FASE, es
  decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia
  es el Periodo (o un múltiplo del mismo).
 ∆������ = (2������ + 1)������; ������ = 0, 1, 2, 3, … los puntos están es
  OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación,
  tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un
  múltiplo del mismo).
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.

                       ������������ ������ ������ sin ������������ + ������ 0
                  ������ =      =
                       ������������           ������������

                      ������ = ������������ cos ������������ + ������0
������������������������ → cos ������������ + ������ 0 = ±1
sin ������������ + ������ 0 = 0    ⇒       ������ sin ������������ + ������ 0 = ������ = 0


       ������������������������ = ±������������    ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.



                       ������ = ������������ cos ������������ + ������0

������ ������������������ → cos ������������ + ������ 0 = 0

sin ������������ + ������ 0 = ±1      ⇒       ������ sin ������������ + ������ 0 = ������ = ±������



    ������������������������ = 0    ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.

  sin2 ������ + cos 2 ������ = 1

cos ������������ + ������0 =    1 − sin2 ������������ + ������0                            ������ 2
                                             cos ������������ + ������0 =    1− 2
                              ������                                   ������
           sin ������������ + ������0   =
                              ������


                                            ������2 − ������ 2
        ������ = ������������ cos ������������ + ������0     = ������������            = ������ ������2 − ������ 2
                                               ������2


                             ������ = ������ ������2 − ������ 2
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.

                      ������������ ������ ������������ cos ������������ + ������ 0
                 ������ =      =
                      ������������            ������������


        ������ = −������������2 sin ������������ + ������0             ������ = −������2 ������

������ ������������������ → sin ������������ + ������ 0 = ±1     ⇒      ������ = ������������������������ = ±������



  ������������������������ = ±������������2   ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.

        ������ = −������������2 sin ������������ + ������0              ������ = −������2 ������
������ ������������������ → sin ������������ + ������ 0 = 0     ⇒      ������ = 0

      ������������������������ = 0      ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
EL PÉNDULO
  SIMPLE
EL PÉNDULO SIMPLE


 Se compone de un cuerpo que
  cuelga de un hilo de masa
  despreciable y que se desplaza
  ligeramente de su posición de
  equilibrio.
 Este mecanismo    describe   un
  m.v.a.s.
 La fuerza a la que se encuentra
  sometido el péndulo es la
  fuerza de la gravedad.
                                    1004065 de El bibliómata
EL PÉNDULO SIMPLE

        Vamos a calcular la fuerza total
        a la que se ve sometido el
        péndulo para entender así su
        movimiento.
           ������������ = ������ · sin ������ = −������������ sin ������
            ������������ = ������ · cos ������ = ������������ cos ������
                        ������ = −������������
         ������ = ������������ + ������������ + ������ = ������������ + ������������ − ������������



     ������ = ������������
EL PÉNDULO SIMPLE
                           Como θ va a ser muy pequeño si
                           queremos tratar al péndulo como
                           un m.v.a.s. (si las oscilaciones
                           son muy grandes no podemos
                           despreciar el rozamiento y deja
                           de serlo)
                                    ������ ≈ 0 ⇒ sin ������ ≈ ������
                                          ������������ = −������������������
                                      ������������������������������������ ������������������������������������������   ������
                                ������ =                              =
                                     ������������������������������������ ������������������������������������������������ ������
                             −������������
                        ������ =       ������
                              ������
Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario
EL PÉNDULO SIMPLE


      Podemos calcular la aceleración
      a la que se ve sometido:
                   ������ = ������������

                         −������������
                    ������         ������
               ������ =    =  ������
                    ������     ������


          −������
     ������ =     ������
           ������
EL PÉNDULO SIMPLE

      Y podemos calcular la frecuencia
      de oscilación del péndulo, ya que
      conocemos la aceleración de
      cualquier m.v.a.s:

                  ������ = −������ 2 ������

                        ������
                  −������      ������
               2
             ������ =     = ������ = ������
                   ������    ������   ������


             ������
     ������ =
             ������
EL PÉNDULO SIMPLE

      Y por último, podemos calcular la
      relación más importante que
      vamos a ver para un péndulo
      simple, su periodo:

                     2������   2������
                ������ =     =
                     ������     ������
                            ������


                ������
       ������ = 2������
                ������
ECUACIONES DE MOVIMIENTO

           ������ ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0

        ������ ������ = ������0 · sin ������������ + ������0
Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0
             ������ 0 = 10 0     ������ = 10 0
          ������ ������ = ������ 0 · sin ������������ + ������ 0
          10 0 = 10 0 · sin 0 + ������ 0
        sin ������ 0 = 1       ������ 0 = sin −1 (1)

                             ������
                       ������0 =
                             2
ENERGÍA DEL
 OSCILADOR
 ARMÓNICO
ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

En el m.v.a.s. se ponen en juego dos
 tipos de energía:

 La energía cinética

 La energía potencial


                           (Modelo de Einstein)
ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S.

      1     2 =
                1                               2
                                                     1
������������ = ������������       ������ ������������ cos ������������ + ������ 0           = ������������ 2 ������ 2 cos 2 ������������ + ������ 0 =
      2         2                                    2
 1     2
         ������     2 ������������ + ������
                                1
= ������������      cos             0 =   ������������ 2 1 − sin 2 ������������ + ������ 0           =
 2       ������                     2
 1                                         1
= ������ ������ 2 − ������ 2 sin 2 ������������ + ������ 0        = ������ ������ 2 − ������ 2
 2                                         2
                                                                          1 2
                                              ������������ ������ = 0 → ������������ ������á������   = ������������
      1                                                                   2
������������ = ������ ������2 − ������ 2 ;               ������
      2
                                               ������������ ������ = ±������ → ������������ ������������������ = 0
ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.

 Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas
  elásticas son fuerzas conservativas.
                                          ������ = −∆������������

Calculamos primero el trabajo:
        ������ 2                  ������ 2
                                                         ������ · ������ 2 ������ 2 1     2
                                                                                 1     2
������ =           ������ · ������������ =           −������ · ������ · ������������ = −               = ������������ 1 − ������������ 2
       ������ 1                  ������ 1                           2      ������ 1 2        2

                                                       1     2
                                                                1     2
                   ������ = −∆������������ = ������������1 − ������������2        = ������������ 1 − ������������ 2
                                                       2        2
ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.

                                          1     2
                                                   1     2
           ������ = −∆������������ = ������������1 − ������������2   = ������������ 1 − ������������ 2
                                          2        2

Consideramos E P = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición
de equilibrio:

                                  ������������ ������ = 0      → ������������ ������������������ = 0
        1 2
  ������������ = ������������ ;        ������
        2
                                                              1 2
                               ������������ ������ = ±������ → ������������ ������á������    = ������������
                                                              2
ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.

                      1            1      1      1      1
������������   = ������������ + ������������ = ������ ������ − ������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ 2
                            2    2      2      2      2
                      2            2      2      2      2


                            1 2
                      ������������ = ������������ ;               ������
                            2
                                                  1 2           1 2
 ������������ ������ = 0   → ������������ ������������������ = 0 ������ ������������ ������á������   = ������������ ⇒ ������������ = ������������
                                                  2             2

                               1 2                              1 2
 ������������ ������ = ±������ → ������������ ������á������   = ������������ ������ ������������ ������������������ = 0 ⇒ ������������ = ������������
                               2                                2
ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.

 ¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!
EJEMPLO

 Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
  amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
  mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
  en los extremos y en el punto de equilibrio?

         1              Vamos a necesitar calcular la constante k,
������������ = ������ ������ 2 − ������ 2   para eso nos dan T:
         2
           1                                2������     ������
     ������������ = ������������ 2                     ������ =     =
           2                                ������      ������

            1                                   4������ 2
    ������������   = ������������ 2                      ������ = ������ 2
            2                                   ������
                        Sustituimos los datos:

                                ′
                                         4������ 2    ′
                                                     ������������      ������
                          ������ = 0 5������������ ·       = 4 93 2 = 4′93
                                         2������ 2       ������        ������
EJEMPLO

 Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
  amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
  mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
  en los extremos y en el punto de equilibrio?


Calculamos las energías en x = 0’05m
         1              ������
������������ =       · 4 ′ 93        ·   0 ′ 1������   2
                                               − 0 ′ 05������   2
                                                                = 1 ′ 85 · 10 −2 ������
         2              ������

                        1 ′    ������
                 ������������ = · 4 93 · 0 ′ 05������ 2 = 6 ′ 16 · 10 −3 ������
                        2     ������
                          1 ′    ������
                  ������������ = · 4 93 · 0 ′ 1������ 2 = 2 ′ 47 · 10 −2 ������
                          2     ������
EJEMPLO

 Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
  amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
  mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
  en los extremos y en el punto de equilibrio?

Calculamos las energías en los extremos (x = ± A):
                                ������������ = 0
                     ������������ = ������������ = 2 ′ 47 · 10 −2 ������

Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0):
                     ������������ = ������������ = 2 ′ 47 · 10 −2 ������
                                ������������ = 0
AMORTIGUAMIENTO
AMORTIGUAMIENTO

                                       En     los     movimientos
                                       vibratorios existen fuerzas
                                       no conservativas como la
                                       fuerza de rozamiento que
                                       hacen que la energía
                                       disminuya. Esta pérdida
                                       de energía se traduce en
                                       una     disminución      de
                                       Amplitud.
                                                    1
                                                ������ = ������������ 2
                                                    2

Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema
energía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia se
la conoce como frecuencia de RESONANCIA .

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  • 2. MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO  MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se repiten todas las características del mismo en un tiempo determinado.  MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a otro de la posición de equilibrio.  MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.  PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo completo, es decir, en volver a la situación inicial.
  • 3. MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO  FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan en un segundo. 1 ������ = ; ������ −1 = ������������ ������  ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la partícula de la posición de equilibrio en un instante dado. (x → horizontal; y → vertical).  AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la máxima distancia que se separa la partícula de la posición de equilibrio.
  • 5. M.V.A.S.  Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.  Es un movimiento periódico en el que la partícula se desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se caracteriza porque es un movimiento con aceleración variable.  Esta aceleración está producida por una fuerza recuperadora que es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario.  Al móvil que describe este movimiento se le llama oscilador armónico.
  • 6. LEY DE HOOK ������ = −������ · ������  La fuerza va a ser máxima en los extremos ������ = ������ ������ ������ = −������ . Como esto es así, la aceleración también será máxima en dichos puntos.  La fuerza en ������ = 0 va a ser 0, entonces, la aceleración también se anulará en el punto de equilibrio.  Podemos decir que la aceleración es variable en función de la posición de la partícula.  Si hablamos de la velocidad: ������ = 0 ������������ ������ = ������ ������ ������ = −������ ������ → ������������������ ������������ ������ = 0
  • 7. M.V.A.S. Elongación: ������, ������ = ������ ������ ; ������ ������ Velocidad: ������ = ������ ������ ; ������ ������ Aceleración: ������ = ������ ������ ; ������ 2
  • 8. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
  • 9. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO  Movimiento vertical: ������ 2 ������ ������ = −������ · ������ = ������ · ������ = ������ · ������������ 2 ������ 2 ������ −������ · ������ = ������ · ������������ 2 ������ 2 ������ ������ · 2 + ������ · ������ = 0 ������������  Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo que vamos a obtener…
  • 10. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ������ ������ = ������ · sin · ������ ������ ������ Además, = ������ (velocidad angular) ������ Comprueba que se cumple la ecuación  ¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el argumento del seno…?  ¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?
  • 11. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0 ������ = ������ · cos ������������ + ������ 0 Donde ������ → ������������������������������������������������ó������ (������) ������ → ������������������������������������������������ (������) ������������������ ������ → ������������������������������������������ó������ ������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������ ������ 0 → ������������������������ ������������������������������������������ ������������������ . ������������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������ó������ ������������ ������ 0 2������ ������ ������ = = 2������������ = ������ ������
  • 12. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CAMBIO DE UNIDADES: RADIANES → GRADOS 3 ′ 2������ ������������������ ⟶ 3 ′ 2 · 180 0 = 576 0 sin 576 0 ≈ −0′9
  • 13. EJEMPLO  Suponemos que tenemos una masa colgada de un muelle como en la figura. Cuando lo dejamos estar, la masa está en reposo (izq.). Esa es su posición de equilibrio.  Contraemos el muelle 2 cm y soltamos, dejando que la masa oscile libremente (despreciamos rozamiento con el aire).  Queremos calcular la fase inicial.
  • 14. EJEMPLO Como es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirá la Ley de Hook: ������ = −������ · ������ Conocemos la solución que se obtiene para estos casos: ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0 En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es ������ 0 = −2 ������������ y la amplitud ������ = 2 ������������ ; sustituimos en la fórmula y despejamos: −2 = 2 · sin ������ · 0 + ������ 0 −2 = 2 · sin ������ 0
  • 15. EJEMPLO Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos falta un signo menos: sin ������ 0 = −1 −1 ������ ������ 0 = sin −1 = − ������������������ 2 ������ ������0 = − ������������������ 2
  • 16. REPRESENTACIÓN  Si ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0 y además ������ 0 = 0: Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)
  • 17. REPRESENTACIÓN  ������1 = ������ · sin ������������1 + ������ 0 Diferencia de fase: ∆������ = ������������ 2 + ������ 0 − ������������1 + ������ 0  ������ 2 = ������ · sin ������������ 2 + ������ 0 ∆������ = ������������ 2 − ������������1 ∆������ = ������ ������2 − ������1 Observamos dos situaciones importantes y significativas en función del valor que tome esta diferencia de fase
  • 18. REPRESENTACIÓN ∆������ = ������ ������2 − ������1  ∆������ = 2������ · ������; ������ = 0, 1, 2, 3, … los puntos están en FASE, es decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia es el Periodo (o un múltiplo del mismo).  ∆������ = (2������ + 1)������; ������ = 0, 1, 2, 3, … los puntos están es OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación, tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un múltiplo del mismo).
  • 19. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. ������������ ������ ������ sin ������������ + ������ 0 ������ = = ������������ ������������ ������ = ������������ cos ������������ + ������0 ������������������������ → cos ������������ + ������ 0 = ±1 sin ������������ + ������ 0 = 0 ⇒ ������ sin ������������ + ������ 0 = ������ = 0 ������������������������ = ±������������ ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
  • 20. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. ������ = ������������ cos ������������ + ������0 ������ ������������������ → cos ������������ + ������ 0 = 0 sin ������������ + ������ 0 = ±1 ⇒ ������ sin ������������ + ������ 0 = ������ = ±������ ������������������������ = 0 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
  • 21. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. sin2 ������ + cos 2 ������ = 1 cos ������������ + ������0 = 1 − sin2 ������������ + ������0 ������ 2 cos ������������ + ������0 = 1− 2 ������ ������ sin ������������ + ������0 = ������ ������2 − ������ 2 ������ = ������������ cos ������������ + ������0 = ������������ = ������ ������2 − ������ 2 ������2 ������ = ������ ������2 − ������ 2
  • 22. ACELERACIÓN DEL M.V.A.S. ������������ ������ ������������ cos ������������ + ������ 0 ������ = = ������������ ������������ ������ = −������������2 sin ������������ + ������0 ������ = −������2 ������ ������ ������������������ → sin ������������ + ������ 0 = ±1 ⇒ ������ = ������������������������ = ±������ ������������������������ = ±������������2 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
  • 23. ACELERACIÓN DEL M.V.A.S. ������ = −������������2 sin ������������ + ������0 ������ = −������2 ������ ������ ������������������ → sin ������������ + ������ 0 = 0 ⇒ ������ = 0 ������������������������ = 0 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
  • 24. EL PÉNDULO SIMPLE
  • 25. EL PÉNDULO SIMPLE  Se compone de un cuerpo que cuelga de un hilo de masa despreciable y que se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio.  Este mecanismo describe un m.v.a.s.  La fuerza a la que se encuentra sometido el péndulo es la fuerza de la gravedad. 1004065 de El bibliómata
  • 26. EL PÉNDULO SIMPLE Vamos a calcular la fuerza total a la que se ve sometido el péndulo para entender así su movimiento. ������������ = ������ · sin ������ = −������������ sin ������ ������������ = ������ · cos ������ = ������������ cos ������ ������ = −������������ ������ = ������������ + ������������ + ������ = ������������ + ������������ − ������������ ������ = ������������
  • 27. EL PÉNDULO SIMPLE Como θ va a ser muy pequeño si queremos tratar al péndulo como un m.v.a.s. (si las oscilaciones son muy grandes no podemos despreciar el rozamiento y deja de serlo) ������ ≈ 0 ⇒ sin ������ ≈ ������ ������������ = −������������������ ������������������������������������ ������������������������������������������ ������ ������ = = ������������������������������������ ������������������������������������������������ ������ −������������ ������ = ������ ������ Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario
  • 28. EL PÉNDULO SIMPLE Podemos calcular la aceleración a la que se ve sometido: ������ = ������������ −������������ ������ ������ ������ = = ������ ������ ������ −������ ������ = ������ ������
  • 29. EL PÉNDULO SIMPLE Y podemos calcular la frecuencia de oscilación del péndulo, ya que conocemos la aceleración de cualquier m.v.a.s: ������ = −������ 2 ������ ������ −������ ������ 2 ������ = = ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������
  • 30. EL PÉNDULO SIMPLE Y por último, podemos calcular la relación más importante que vamos a ver para un péndulo simple, su periodo: 2������ 2������ ������ = = ������ ������ ������ ������ ������ = 2������ ������
  • 31. ECUACIONES DE MOVIMIENTO ������ ������ = ������ · sin ������������ + ������ 0 ������ ������ = ������0 · sin ������������ + ������0 Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0 ������ 0 = 10 0 ������ = 10 0 ������ ������ = ������ 0 · sin ������������ + ������ 0 10 0 = 10 0 · sin 0 + ������ 0 sin ������ 0 = 1 ������ 0 = sin −1 (1) ������ ������0 = 2
  • 33. ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO En el m.v.a.s. se ponen en juego dos tipos de energía: La energía cinética La energía potencial (Modelo de Einstein)
  • 34. ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S. 1 2 = 1 2 1 ������������ = ������������ ������ ������������ cos ������������ + ������ 0 = ������������ 2 ������ 2 cos 2 ������������ + ������ 0 = 2 2 2 1 2 ������ 2 ������������ + ������ 1 = ������������ cos 0 = ������������ 2 1 − sin 2 ������������ + ������ 0 = 2 ������ 2 1 1 = ������ ������ 2 − ������ 2 sin 2 ������������ + ������ 0 = ������ ������ 2 − ������ 2 2 2 1 2 ������������ ������ = 0 → ������������ ������á������ = ������������ 1 2 ������������ = ������ ������2 − ������ 2 ; ������ 2 ������������ ������ = ±������ → ������������ ������������������ = 0
  • 35. ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.  Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas. ������ = −∆������������ Calculamos primero el trabajo: ������ 2 ������ 2 ������ · ������ 2 ������ 2 1 2 1 2 ������ = ������ · ������������ = −������ · ������ · ������������ = − = ������������ 1 − ������������ 2 ������ 1 ������ 1 2 ������ 1 2 2 1 2 1 2 ������ = −∆������������ = ������������1 − ������������2 = ������������ 1 − ������������ 2 2 2
  • 36. ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S. 1 2 1 2 ������ = −∆������������ = ������������1 − ������������2 = ������������ 1 − ������������ 2 2 2 Consideramos E P = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición de equilibrio: ������������ ������ = 0 → ������������ ������������������ = 0 1 2 ������������ = ������������ ; ������ 2 1 2 ������������ ������ = ±������ → ������������ ������á������ = ������������ 2
  • 37. ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. 1 1 1 1 1 ������������ = ������������ + ������������ = ������ ������ − ������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ������������ = ������������ ; ������ 2 1 2 1 2 ������������ ������ = 0 → ������������ ������������������ = 0 ������ ������������ ������á������ = ������������ ⇒ ������������ = ������������ 2 2 1 2 1 2 ������������ ������ = ±������ → ������������ ������á������ = ������������ ������ ������������ ������������������ = 0 ⇒ ������������ = ������������ 2 2
  • 38. ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. ¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!
  • 39. EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio? 1 Vamos a necesitar calcular la constante k, ������������ = ������ ������ 2 − ������ 2 para eso nos dan T: 2 1 2������ ������ ������������ = ������������ 2 ������ = = 2 ������ ������ 1 4������ 2 ������������ = ������������ 2 ������ = ������ 2 2 ������ Sustituimos los datos: ′ 4������ 2 ′ ������������ ������ ������ = 0 5������������ · = 4 93 2 = 4′93 2������ 2 ������ ������
  • 40. EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio? Calculamos las energías en x = 0’05m 1 ������ ������������ = · 4 ′ 93 · 0 ′ 1������ 2 − 0 ′ 05������ 2 = 1 ′ 85 · 10 −2 ������ 2 ������ 1 ′ ������ ������������ = · 4 93 · 0 ′ 05������ 2 = 6 ′ 16 · 10 −3 ������ 2 ������ 1 ′ ������ ������������ = · 4 93 · 0 ′ 1������ 2 = 2 ′ 47 · 10 −2 ������ 2 ������
  • 41. EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio? Calculamos las energías en los extremos (x = ± A): ������������ = 0 ������������ = ������������ = 2 ′ 47 · 10 −2 ������ Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0): ������������ = ������������ = 2 ′ 47 · 10 −2 ������ ������������ = 0
  • 43. AMORTIGUAMIENTO En los movimientos vibratorios existen fuerzas no conservativas como la fuerza de rozamiento que hacen que la energía disminuya. Esta pérdida de energía se traduce en una disminución de Amplitud. 1 ������ = ������������ 2 2 Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema energía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia se la conoce como frecuencia de RESONANCIA .