Construcción de portafolio óptimo mediante análisis de activos

“CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO
OPTIMO”
MATRIZ SOLVER
UNIVERSIDAD GALILEO
FACULTAD DE INDUSTRIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DOCTORADO EN ADMINISTRACIÓN CON ESPECIALIDAD EN
FINANZAS

ARQ. ALVARO COUTIÑO
Carnet 1300-4393

“CONSTRUCCIÓN PORTAFOLIO OPTIMO”
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 4
1.

Tipos de activos elegibles para el portafolio de inversión .............................................. 7

1.1.

Valor de mercado de las acciones................................................................................ 7

1.2.

Gráfica Valor de mercado de las acciones................................................................... 7

2.

Rendimiento de las acciones: .......................................................................................... 8

2.1.

Rendimiento de las acciones........................................................................................ 8

2.2.

Gráfica Valor de mercado de las acciones................................................................... 9

3.

Riesgos y rendimiento ..................................................................................................... 9

4.

Coeficiente de correlación ............................................................................................. 10

4.1.

Matriz de coeficientes de correlaciones..................................................................... 10

4.2.

Tabla de correlaciones: .............................................................................................. 11

5.

Covarianzas ................................................................................................................... 12

5.1.

Matriz de covarianzas ................................................................................................ 12

5.2.

Tabla de covarianzas ................................................................................................. 12

6.
6.1.
7.

Inversión en el mercado: ............................................................................................... 12
Matriz de riqueza ....................................................................................................... 12
Portafolio Eficiente ....................................................................................................... 13

7.1.

Matriz de Markowitz ................................................................................................. 13

7.2.

Niveles de volatilidad para el portafolio.................................................................... 16

8.

Opciones de línea de eficiencia: .................................................................................... 17

8.2.

Gráfica de línea de tendencia: Exponencial .............................................................. 18

8.3.

Gráfica de línea de tendencia: Lineal ........................................................................ 18

8.4.

Gráfica de línea de tendencia: Logarítmica. .............................................................. 19

8.5.

Gráfica de línea de tendencia: Potencial.................................................................... 19

1

8.6.
9.

Gráfica de línea de tendencia: Media móvil. ............................................................. 20
Alternativas de Portafolios de inversión. ...................................................................... 20

9.1.

Menor Riesgo ............................................................................................................ 21

9.1.1.

Informe de respuestas de la opción con menor riesgo: .......................................... 21

9.1.2.

Informe de confidencialidad de la opción con menor riesgo ................................. 21

9.1.3.

Informe de límites de la opción con menor riesgo ................................................. 22

9.2.

Rendimiento máximo y menor riesgo: (Portafolio eficiente) .................................... 22

9.2.1.

Informe de respuestas de la opción de rendimiento máximo y menor riesgo:....... 22

9.2.2.

Informe de confidencialidad de la opción de máxima eficiencia y riesgo

controlado ............................................................................................................................. 23
9.2.3.

Informe de límites de la opción de rendimiento máximo eficiencia y riesgo

controlado ............................................................................................................................. 23
9.3.

Informe de respuestas de la opción de máximo riesgo: ............................................. 24

9.3.1.

Informe de confidencialidad de la opción de máximo riesgo ................................ 24

9.3.2.

Informe de límites de la opción de máximo riesgo ................................................ 25

10.

CONCLUSIONES ..................................................................................................... 26

11.

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 27

2

INDICE DE ILUSTRACIONES:
Ilustración 1 Riesgo sistemático y no sistemático. Fuente: (Fabozzi, Modigliano, & Ferri,
1996) ....................................................................................................................................... 6
Ilustración 2 Gráfica Valor de mercado de las acciones. Fuente: Elaboración propia. .......... 7
Ilustración 3 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance ....................................... 9
Ilustración 4 Frontera de eficiencia: Polinómica. Fuente: Elaboración propia. ................... 17
Ilustración 5 Frontera de eficiencia: Exponencial. Fuente: Elaboración propia................... 18
Ilustración 6 Frontera de eficiencia: Lineal. Fuente: Elaboración propia ............................ 18
Ilustración 7 Frontera e eficiencia: Logarítmica. Fuente: Elaboración propia. .................... 19
Ilustración 8 Frontera de eficiencia: Potencial. Fuente: Elaboración propia. ....................... 19
Ilustración 9 Frontera de eficiencia: Media móvil. Fuente: Elaboración propia. ................. 20

INDICE DE TABLAS:
Tabla 1 Valor de mercado delas acciones. Fuente: Yahoo finance ........................................ 7
Tabla 2 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance. .............................................. 8
Tabla 3 Riesgos y rendimientos. Fuente: Elaboración propia. ............................................... 9
Tabla 4 Matriz de coeficientes de correlaciones. Fuente: Elaboración propia. .................... 10
Tabla 5 Correlaciones. Fuente: Elaboración propia. ............................................................ 11
Tabla 6 Matriz de covarianzas. Fuente: Elaboración propia. ............................................... 12
Tabla 7 Covarianzas. Fuente: Elaboración propia. ............................................................... 12
Tabla 8 Matriz de riqueza. Fuente: Elaboración propia. ...................................................... 12
Tabla 9 Matriz de Markowitz. Fuente: Elaboración rpopia.................................................. 13
Tabla 10 Niveles de volatilidad para el portafolio. Fuente: Elaboración propia. ................. 16

3

INTRODUCCIÓN
El siguiente análisis de selección óptima de portafolio busca una selección razonable de
activos financieros con aversión al riesgo, con el objetivo de maximizar sus rendimientos y
con unos niveles de riesgo de cartera aceptables.
Según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) “la teoría de la cartera y de mercados de
capital proporciona un marco de referencia para especificar y medir el riesgo de una
inversión y desarrollar las relaciones entre el rendimiento del valor esperado y el riesgo.
Es decir, entre el riesgo y el rendimiento requerido sobre la inversión”. (pág. 271)
A continuación, pasaremos a definir los siguientes conceptos:
Teoría de la cartera:
La teoría moderna del portafolio es una teoría de la inversión que trata de maximizar el
retorno y minimizar el riesgo, mediante la cuidadosa elección de los componentes. Por lo
tanto, según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) al diseñar una cartera, “los inversionistas
buscan maximizar el rendimiento esperados de sus inversiones, dado el nivel de riesgo que
están dispuestos a aceptar”. (pág. 271).
Por lo tanto, la teoría de selección de cartera toma en consideración el retorno esperado
a largo plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo. En donde, la volatilidad se trata
como un factor de riesgo, y la cartera se conforma en virtud de la tolerancia al riesgo de
cada inversor en particular, tras ecuacionar el máximo nivel de retorno disponible para el
nivel de riesgo escogido.
En consecuencia, para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más
importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios.
En resumen, la idea de la cartera es, diversificar las inversiones en diferentes mercados y
plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo
tanto también del riesgo.
A

continuación,

procederemos

con

otras

definiciones

importantes

para

la

conceptualización del ejercicio.
4

¿Qué es un activo financiero?
Un activo financiero es un título o simplemente una anotación contable, por el que el
comprador del título adquiere el derecho a recibir un ingreso futuro de parte del vendedor.
Es decir, es un tipo de activo intangible, que pude tener un valor económico y que
representa un derecho legal sobre una cantidad monetaria futura. (Acciones, bonos).
Por lo tanto, La adquisición o compra de un activo financiero se considera una operación
financiera de inversión. En consecuencia, la adquisición de un conjunto de activos
financieros distintos y/o emitidos por distintas entidades autorizadas se dice que está en
posesión de una cartera de valores o portafolio.
Según Markowitz (1952) “la conducta racional del inversor persigue maximizar el
rendimiento esperado y, al mismo tiempo, minimizar su incertidumbre o riesgo”.
(Wikipedia, 2014)
Por lo que el inversor perseguirá conseguir una cartera que optimice la combinación
rendimiento-riesgo ¿Cómo? Adquiriendo más de un activo financiero con entidades
distintas. A este procedimiento se le conoce como diversificación. Según (Fabozzi,
Modigliano, & Ferri, 1996) “La diversificación resulta de la combinación de valores cuyo
rendimiento es menor que la correlación perfecta para reducir riesgo de la cartera”. (pág.
277)
En consecuencia, para poder realizar una adecuada diversificación (claro, todo en el
supuesto de incertidumbre) es necesario saber cuantificar el rendimiento esperado y el
riesgo.
Antes de describir cómo calcular el rendimiento y el riesgo, es necesario distinguir y a
su vez, excluir sobre qué tipo de diversificación podemos inferir.
Según (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996) podemos distinguir dos tipos de riesgos para
cualquier entidad:


Riesgo atribuible a la empresa



Riesgo de mercado
5

Gráfica Riesgo sistemático y no sistemático

Ilustración 1 Riesgo sistemático y no sistemático. Fuente: (Fabozzi, Modigliano, & Ferri, 1996)

Como siguiente paso, debemos construir una cartera de inversión, siguiendo los
siguientes pasos.


Primero: Definimos las Clases de Activos que debe tener todo Portafolio de
Inversión globalmente diversificado.



Segundo: Creación de expectativas frente al rendimiento potencial y la
determinación de la exposición al riesgo de cada activo financiero y de los tipos de
activos. Por lo tanto, cuando se crea un portafolio en el que se tiene un título libre
de riesgo combinado con un título que sí tiene riesgo, se puede crear la Línea de
Activos de Capital, que muestra todas las combinaciones de riesgo-rendimiento
posibles dadas las diferentes opciones de porcentajes invertidos en cada tipo de
activo. En donde, su pendiente nos indica el retorno adicional por el mayor riesgo
asumido.

Antes de pasar al siguiente paso, determinamos nuestro Perfil de Inversión
(Conservador, Moderado y Agresivo) y la tarea que nos resta ahora es construir un
portafolio de inversión que se adapte a nuestro perfil de riesgo


Tercera: Se seleccionan los activos y la proporción de inversión en cada uno. Esta
decisión implica definir la proporción invertida en activos riesgosos y activos no
riesgosos y esto se conoce como Capital Allocation. En consecuencia, es importante
tener en cuenta no solo la relación riesgo-retorno de cada activo financiero
individualmente sino también cómo interactúan a lo largo del tiempo (su
covarianza).
6

1. Tipos de activos elegibles para el portafolio de inversión
Para este caso se consideran las siguientes opciones de inversión:
1.1. Valor de mercado de las acciones
Valor de mercado de las acciones
1 twtr
2 appl
3 cocacola

Date

4 hersheys

1

31/12/2013

63.65

557.68

41.31

96.79

2

30/12/2013

60.51

551.22

41.09

97.12

3

27/12/2013

63.75

556.76

40.66

95.85

4

26/12/2013

73.31

560.54

40.49

96.03

5

24/12/2013

69.96

564.29

40.19

95.52

6

23/12/2013

64.54

566.7

40.16

95.13

7

20/12/2013

60.01

545.75

40.04

95.87

8

19/12/2013

57.49

541.22

39.86

95.83

9

18/12/2013

55.51

547.49

40.02

95.37

10

17/12/2013

56.45

551.69

39.1

93.69

11

16/12/2013

56.61

554.18

39.27

94.38

12

13/12/2013

59

551.13

39.23

94.41

13

12/12/2013

55.33

557.2

39.21

94.53

14

11/12/2013

52.34

558.02

40.13

95.34

15

10/12/2013

51.99

562.18

39.85

95.13

16

09/12/2013

49.14

563.06

40.4

96.53

17

06/12/2013

44.95

556.69

40.46

96.72

18

05/12/2013

45.62

564.52

39.83

95.36

19

04/12/2013

43.69

561.64

40.37

96.3

20

03/12/2013

41.37

562.95

40.35

96.61

21

02/12/2013

40.78

547.95

40.08

96.06

Tabla 1 Valor de mercado delas acciones. Fuente: Yahoo finance

1.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones
1000

Valor de mercado
acciones
1 twtr

0

2 appl
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Ilustración 2 Gráfica Valor de mercado de las acciones. Fuente: Elaboración propia.

CONCLUSIONES.
El comportamiento del valor de mercado se puede observar que la empresa Twitter tiene
una tendencia a la baja, mientras que las otras empresas Cocacola y Hersheys se comportan
constantes, se puede observar en Appl también se comporta con altibajos, es bastantes
inestable, lo que puede indicar que su sector es muy competitivo y no tiene una ventaja

7

competitiva sostenible. Todo lo contrario con cocacola y Hersheys los cuales evidencia
poseer una ventaja competitiva sostenible.
2. Rendimiento de las acciones:
El rendimiento esperado de las acciones

(Eri) se determina con base en varios

escenarios posibles y la probabilidad de que se presenten esos escenarios como se muestra
en la ecuación siguiente:
( )

∑

Dónde:



= Probabilidad de que se presente el escenario s.
Rendimiento del título en el escenario s.

Los rendimientos de una acción vienen dados por:
(

)

(

)

2.1. Rendimiento de las acciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

Date
31/12/2013
30/12/2013
27/12/2013
26/12/2013
24/12/2013
23/12/2013
20/12/2013
19/12/2013
18/12/2013
17/12/2013
16/12/2013
13/12/2013
12/12/2013
11/12/2013
10/12/2013
09/12/2013
06/12/2013
05/12/2013
04/12/2013
03/12/2013
02/12/2013

Rendimiento de las acciones
1 twtr
2 appl
3 cocacola
5.06%
1.17%
0.53%
-5.22%
-1.00%
1.05%
-13.97%
-0.68%
0.42%
4.68%
-0.67%
0.74%
8.06%
-0.43%
0.07%
7.28%
3.77%
0.30%
4.29%
0.83%
0.45%
3.50%
-1.15%
-0.40%
-1.68%
-0.76%
2.33%
-0.28%
-0.45%
-0.43%
-4.14%
0.55%
0.10%
6.42%
-1.10%
0.05%
5.56%
-0.15%
-2.32%
0.67%
-0.74%
0.70%
5.64%
-0.16%
-1.37%
8.91%
1.14%
-0.15%
-1.48%
-1.40%
1.57%
4.32%
0.51%
-1.35%
5.46%
-0.23%
0.05%
1.44%
2.70%
0.67%

4 hersheys
-0.34%
1.32%
-0.19%
0.53%
0.41%
-0.77%
0.04%
0.48%
1.78%
-0.73%
-0.03%
-0.13%
-0.85%
0.22%
-1.46%
-0.20%
1.42%
-0.98%
-0.32%
0.57%

Tabla 2 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance.

8

2.2. Gráfica Valor de mercado de las acciones

Rendimiento de las acciones
20.00%
1 twtr

10.00%

2 appl

0.00%
-10.00%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

3 cocacola
4 hersheys

-20.00%
Ilustración 3 Rendimiento de las acciones. Fuente: Yahoo finance

CONCLUSIONES:
 En esta gráfica se puede observar más claramente el comportamiento muy volátil
con altibajos de Twiter, mientras que Coca-Cola y Hersheys se mantienen uniforme,
lo que puede decirse que tienen una ventaja competitiva sostenible. Por otro lado,
Appl su comportamiento se puede observar que es bastante estable, el nivel de
volatilidad es bajo, aunque el sector donde compite es elevado y sus necesidades de
investigación y desarrollo de tecnología lo puede llevar a reducir sus utilidades.
Como siguiente paso, se calcula el riesgo de un portafolio compuesto por varias
acciones. Este riesgo se calcula usando la desviación estándar del retorno, así como
también las correlaciones de los diferentes tipos de activos que componen el portafolio,
haciendo que las ponderaciones sumen 1 por lo general.
3. Riesgos y rendimiento
RIESGOS Y RENDIMIENTOS
1 Twtr

2 Appl

3 Cocacola

4 Hersheys

E (Ri)

2.23%

0.09%

0.15%

0.04%

Vol (Ri)

5.37%

1.29%

1.01%

0.81%

Marginalidad

2.41

14.65

6.65

21.46

Tabla 3 Riesgos y rendimientos. Fuente: Elaboración propia.

FORMULAS:
Dónde:
 =ABS (5.37% / 2.23%)
 =ABS (Vol (Ri) / E (Ri))

9

CONCLUSIONES:
1. La rentabilidad E (Ri) de la empresa Twiter es muy alta 2.23%, los activos financieros
deben tener una rentabilidad por encima del mercado
2. El nivel de riesgo o volatilidad asociada a la rentabilidad de los activos = Vol (Ri) de
Twitter es muy elevado 5.37%, lo que necesitamos es que el nivel de riesgo debe ser más
pequeño que la del mercado.
3. La Marginalidad es el valor absoluto de la volatilidad sobre la rentabilidad (Vol (Ri) / E
(Ri)) = Marginalidad nos dice que por cada uno por ciento que queramos obtener tenemos
que tener un costo asociado, es decir que para obtener 1 % en los niveles de rentabilidad
debo pagar un costo asociado en términos de riesgo de x: en el caso de Twiter (2.41%)
Appl (14.65%) Cocacola (6.65%) y Hersheys (21.46%). Por lo consiguiente, lo que
debemos de buscar que estos datos de marginalidad sea más pequeño que el del mercado.
4.

Coeficiente de correlación
Como siguiente paso: se calcula el coeficiente de correlación, el cual siempre va a estar

dentro de un rango desde -1 hasta +1, siendo este un indicador del movimiento
completamente entre títulos. En consecuencia, -1 = a un indicador de movimiento en el
sentido opuesto; y +1 un indicador de movimiento en el mismo sentido; y un coeficiente de
correlación en 0 indica que no existe relación alguna entre los movimientos de los
rendimientos de los títulos.
EN RESUMEN:
La idea en la diversificación es tomar dos o más títulos con coeficiente inferior a +1
para disminuir el riesgo dentro de un portafolio. Esto nos indica que a menor correlación,
menor riesgo total el portafolio. Así, al conformar el portafolio se debe tener en cuenta el
peso o proporción invertida en cada título, en lugar de su probabilidad de renta.
4.1. Matriz de coeficientes de correlaciones
1 twtr
2 appl
3 cocacola
4 hersheys

1 twtr
1
0.317746749
-0.378249172
-0.354910411

2 appl

3 cocacola

4 hersheys

1
-0.090110906
-0.354354724

1
0.829040839

1

Tabla 4 Matriz de coeficientes de correlaciones. Fuente: Elaboración propia.

10

EN RESUMEN:


1 = Significa que la rentabilidad se relaciona perfectamente



La correlación más alta (0.829040839) = peligroso ya que están altamente
relacionadas, eso significa que si le va mal a hersheys también le va mal a cocacola.



El grado de correlación negativa significa que mientras en un activo se gana en el
otro se pierde, lo ideal es que los indicadores sean lo más pequeños posibles, ideal
menos de 30 lo más cercanos a 0

4.2. Tabla de correlaciones:
twtr

appl

cocacola

hersheys

1 twtr

100.00%

31.77%

-37.82%

-35.49%

2 appl

31.77%

100.00%

-9.01%

31.77%

3 cocacola

-37.82%

-9.01%

100.00%

82.90%

4 hersheys

-35.49%

-35.44%

82.90%

100.00%

Tabla 5 Correlaciones. Fuente: Elaboración propia.

Dónde:


Correlación perfecta positiva: Si el coeficiente de correlación es igual a la unidad =
1, en general serán activos de la misma empresa o de distintas empresas que han
comenzado un proceso de fusión.



Correlación perfecta negativa: Si la correlación entre ambos títulos es perfectamente
negativa = -1, nos indicará que el comportamiento del rendimiento de cada activo es
completamente opuesto al del otro.

CONCLUSIONES:


Cuando los rendimientos de los activos no están perfectamente correlacionados
positivamente, la diversificación puede aumentar el ratio del rendimiento esperado
de la cartera con respecto a su riesgo. Esto es, la diversificación puede alterar el
equilibrio rendimiento-riesgo de las posibles inversiones según nos movamos a lo
largo de la curva.



Cuanto menor sea el coeficiente de correlación entre los activos, mayor será el
beneficio de la diversificación.



Las combinaciones de dos activos financieros nunca pueden tener más riesgo que el
que se encuentra en la línea recta que conecta ambos.

11

Ahora calculamos la covarianza para saber cómo reacciona un título ante el movimiento
de otro título, así, la covarianza es una medida de dispersión que mide la relación entre dos
variables aleatorias, en nuestro caso la covarianza mide si los rendimientos de los activos se
mueven conjuntamente.
5. Covarianzas
5.1. Matriz de covarianzas
1 twtr

2 appl

3 cocacola

4 hersheys

1 twtr

0.002879834

2 appl

0.000219832

0.000166208

3 cocacola

-0.000204157

-1.16844E-05

0.000101159

4 hersheys

-0.000154732

-3.71142E-05

6.77415E-05

6.60014E-05

Tabla 6 Matriz de covarianzas. Fuente: Elaboración propia.

5.2. Tabla de covarianzas
twtr

appl

cocacola

Hersheys

1 twtr

0.2880%

0.0220%

-0.0204%

-0.0155%

2 appl

0.0220%

0.0166%

-0.0012%

-0.0037%

3 cocacola

-0.0204%

-0.0012%

0.0101%

0.0068%

4 hersheys

-0.0155%

-0.0037%

0.0068%

0.0066%

Tabla 7 Covarianzas. Fuente: Elaboración propia.

Dónde:


Un valor positivo, indicará que ambos rendimientos tienden a moverse en el mismo
sentido



Un valor negativo, indicará que se mueven en sentidos opuestos



Un valor nulo, nos advertirá de una posible ausencia de relación entre mambos
rendimientos.

6. Inversión en el mercado:
6.1. Matriz de riqueza
twtr

appl

cocacola

hersheys

Total

10.00%

30.00%

20.00%

40.00%

100.00%

Tabla 8 Matriz de riqueza. Fuente: Elaboración propia.

EN RESUMEN:


Matriz de riqueza = Hay que tomar en cuenta todas las variables económicas que
influyan en la empresa y el mercado.



Hay que tener información cuantitativa y cualitativa para tomar las decisiones,

12



Hay que recordar que lo que estamos haciendo es colocando recursos y lo que
buscamos es optimizarlos.



Debemos basar nuestras decisiones en datos ya obtenidos como los siguientes:
a. Marginalidad: El que tenga el menor coeficiente de marginalidad es en el
cual tengo que más invertir. Hersheys (4.66%) Appl (6.83%) Cocacola
(15.03%)

7.

Portafolio Eficiente
El siguiente paso, es generar un portafolio que ofrezca el más alto rendimiento con un

nivel de riesgo definido, en consecuencia a esto se le llama un “Portafolio Eficiente”. En
consecuencia, se debe tener en cuenta el riesgo de cada activo para construir el portafolio,
tratando de obtener un balance entre riesgo y retorno. Este proceso de diversificación,
tienen como objeto disminuir la exposición a factores de riesgo propios de cada empresa,
haciendo que disminuya la volatilidad del portafolio.
7.1. Matriz de Markowitz
SUMATORIA INTERNA SUMATORIA EXTERNA

Wi*Wj* cov ij

1

twtr

2

twtr

appl

0.0007%

3

twtr

cocacola

-0.0004%

4

twtr

hersheys

-0.0006%

5

appl

twtr

0.0007%

6

appl

appl

0.0015%

7

appl

cocacola

-0.0001%

8

appl

hersheys

-0.0004%

9

cocacola

twtr

-0.0004%

10

cocacola

appl

-0.0001%

11

cocacola

cocacola

0.0004%

12

cocacola

hersheys

0.0005%

13

hersheys

twtr

-0.0006%

14

hersheys

appl

-0.0004%

15

hersheys

cocacola

0.0005%

16

hersheys

hersheys

0.0011%

twtr

0.0029%

17

Varianza (Rp)

0.0052%

18

Volatilidad (Rp)

0.7179%

19

Rentabilidad del portafolio E (Rp)

0.2944%

20

Marginalidad del portafolio

2.43873

Celda sensibilidad
0.7179%

Tabla 9 Matriz de Markowitz. Fuente: Elaboración propia.

13

EN RESUMEN:


Combinación 1: Empresa Twtr x empresa Twtr x covarianza de Twtr con Twtr y así
sucesivamente. ¿Para qué sirve esta matriz? = para obtener la varianza del
portafolio.



Varianza del portafolio = la suma de todas = 0.0052%



Es un indicador estadístico, el cual nos dice como están dispersos los datos
alrededor de su media aritmética. En consecuencia, el siguiente dato que nos
interesa es la raíz cuadrada, por lo que en términos financieros describe lo que se
conoce como la volatilidad de la rentabilidad del portafolio. En otras palabras, lo
que es el riesgo de invertir simultáneamente de las empresas Twtr, Appl, Cocacola,
y Hersheys. Por lo tanto esta volatilidad es el resultado de invertir 10% en Twtr +
30% en Appl + 20% en Cocacola + 40% en Hersheys = raíz cuadrada de 0.0052 =
0.7179% lo que significa que ese es el riesgo del portafolio.



Como siguiente paso calcularemos la Rentabilidad del portafolio = valor esperado
de la rentabilidad conjunta de los activos financieros. En consecuencia,
multiplicaremos la rentabilidad individual en los activos objeto del análisis por su
respectiva participación dentro de la matriz de riqueza. Rentabilidad empresa A
multiplicada por su participación de la matriz de riqueza + así sucesivamente en
todas las empresas sujetas de análisis, el resultado = 0.2944% este dato corresponde
a la rentabilidad del portafolio que se obtendría si invertirnos 10% en Twtr + 30%
en Appl + 20% en Cocacola + 40% en Hersheys con un riesgo asociado del
0.7179% a esta alternativa de inversión.



Como siguiente paso, podemos hacer el cálculo de la Marginalidad del portafolio =
un valor absoluto de la volatilidad / rentabilidad = 2.4387, si observamos este dato
se encuentra por debajo del dato más bajo de las empresas analizadas Hersheys
(4.66%). La idea es que este dato se encuentre por debajo de lo que obtenemos en el
mercado.



Como siguiente paso es programar de forma lineal una situación en la que podamos
maximizar la rentabilidad del portafolio, minimizando el nivel de riesgo asociado,
esto nos permitirá al mismo tiempo que tenemos un mejor indicador de:

14

marginalidad + rentabilidad y + riesgo, nos indicará como debemos invertir de una
forma eficiente. Para realizar ese cálculo se necesita una celda de sensibilidad.


Celda de Sensibilidad: Debe permitir generar simulaciones, para determinados
niveles de riesgo asociado correspondan diferentes niveles de rentabilidad y por lo
tanto, diferentes formas de invertir en la matriz de riqueza. En consecuencia, se
utiliza la herramienta SOLVER, con el objeto de crear el modelo que establece
Markowitz en la teoría de portafolios de inversión.



Parámetros de Solver:
1. Establecer objetivos: Rentabilidad del portafolio (0.2944)
2. Para: Maximizar
3. Cambiando las celdas de variables: Componentes de la matriz de riqueza =
celdas de variables que van a cambiar, así para permitirnos la maximización
de la rentabilidad y reducción del riesgo.
4. Sujeto a las restricciones:
4.1 Datos deben ser mayores o iguales a 0, estos datos no pueden ser negativos,
ya que las inversiones no son negativas.
4.2 El 100% de la inversión debe ser 100%, no puede pasarse de la cantidad fija
para la inversión
4.3 La volatilidad debe ser igual a la celda de sensibilización
5. Cerrar

15

7.2. Niveles de volatilidad para el portafolio
NIVELES DE VOLATIBILIDAD PARA EL PORTAFOLIO

MATRIZ DE RIQUEZA

Volatilidad (Rp)

no hay

0.54653%

0.1053%

2.4

29.92

0

67.68

100

0.54680%

0.1124%

2.73

29.44

0

67.83

100

0.54700%

0.1147%

2.84

29.31

0

67.85

100

0.54750%

0.1189%

3.04

29.03

0

67.93

100

0.55000%

0.1312%

3.62

28.25

0

68.14

100.01

0.56000%

0.1567%

4.82

26.61

0

68.57

100

0.57000%

0.1735%

5.61

25.53

0

68.86

100

0.58000%

0.1800%

6.17

24.61

1.86

67.35

99.99

0.59000%

0.1999%

6.62

23.75

4.78

64.86

100.01

0.60000%

0.2118%

7.04

22.97

7.35

62.64

100

0.6500%

0.2632%

8.87

19.49

19

52.64

100

0.7000%

0.3074%

10.44

16.5

28.98

44.08

100

0.7100%

0.3157%

10.73

15.95

30.83

42.49

100

0.7150%

0.3198%

10.88

15.65

31.73

41.73

99.99

0.7160%

0.3206%

10.91

15.6

31.94

41.55

100

0.7170%

0.3214%

10.94

15.55

32.16

41.36

100.01

0.71790%

0.3221%

10.96

15.5

32.34

41.19

99.99

0.7180%

0.3222%

10.97

15.5

32.32

41.21

100

0.7190%

0.3230%

11

15.45

32.48

41.07

100

1.00%

0.2944%

18.06

2.01

77.37

2.55

99.99

2.00%

0.9819%

40.04

0

59.96

0

100

3.00%

1.3626%

58.39

0

41.61

0

100

4.00%

1.7305%

76.12

0

23.88

0

100

5.00%

2.0936%

93.62

0

6.38

0

100

5.3664%

punto 0

E (Rp)

0.54652%

twtr

appl

cocacola

hersheys

Total

2.2260%

100

0

0

0

100

Solver no encontró ninguna solución viable

Tabla 10 Niveles de volatilidad para el portafolio. Fuente: Elaboración propia.

16

8. Opciones de línea de eficiencia:
8.1. Gráfica de línea de tendencia: Polinómica

FRONTERA DE EFICIENCIA (Polinómica)
2.5000%

Esperanza (Rp)

2.0000%
y = -3.0545x2 + 0.6014x - 0.0015
R² = 0.9936

1.5000%

FRONTERA DE EFICIENCIA
1.0000%
Lineal (FRONTERA DE EFICIENCIA)
0.5000%

0.0000%
0.00000%

Polinómica (FRONTERA DE
EFICIENCIA)

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 4 Frontera de eficiencia: Polinómica. Fuente: Elaboración propia.

EN RESUMEN:


La mejor grafica será aquella donde tengamos un R2 lo más elevado posible, por lo
tanto sin comparamos el R2 de la gráfica del modelo tipo polinómica (R2 = 0.9936)
es el que se encuentra más cercano a 1. En conclusión podemos decir que es el
modelo polinómico es el que mejor caracteriza a las fronteras de eficiencia.
Gráfica

R2

Polinómica

0.9936

Exponencial

-27.33

Lineal

0.9858

Logarítmica

0.9751

Potencial

0.9155

Media móvil

17

8.2. Gráfica de línea de tendencia: Exponencial

FRONTERA DE EFICIENCIA (Exponencial)
45.0000%
40.0000%

Esperanza (Rp)

35.0000%
y = e-172.1x
R² = -27.33

30.0000%
25.0000%

FRONTERA DE
EFICIENCIA

20.0000%
15.0000%
10.0000%

5.0000%
0.0000%
0.00000%

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 5 Frontera de eficiencia: Exponencial. Fuente: Elaboración propia

8.3. Gráfica de línea de tendencia: Lineal

FRONTERA DE EFICIENCIA (Lineal)
2.5000%


Esperanza (Rp)

2.0000%

y = 0.4212x
R² = 0.9858

1.5000%


1.0000%


0.5000%

0.0000%
0.00000%

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 6 Frontera de eficiencia: Lineal. Fuente: Elaboración propia

18

8.4. Gráfica de línea de tendencia: Logarítmica.

FRONTERA DE EFICIENCIA (Logaritmica)
2.5000%

Esperanza (Rp)

2.0000%
y = 0.0084ln(x) + 0.0448
R² = 0.9751

1.5000%

1.0000%

Logarítmica (FRONTERA DE
EFICIENCIA)

0.5000%

0.0000%
0.00000%

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 7 Frontera e eficiencia: Logarítmica. Fuente: Elaboración propia.

8.5. Gráfica de línea de tendencia: Potencial.

FRONTERA DE EFICIENCIA (Potencial)
3.0000%

Esperanza (Rp)

2.5000%
2.0000%

y = 0.8468x1.1873
R² = 0.9155

1.5000%


1.0000%

Potencial (FRONTERA DE
EFICIENCIA)

0.5000%
0.0000%
0.00000%

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 8 Frontera de eficiencia: Potencial. Fuente: Elaboración propia.

19

8.6. Gráfica de línea de tendencia: Media móvil.
2.5000%

FRONTERA DE EFICIENCIA (Media móvil)

Esperanza (Rp)

2.0000%

1.5000%


1.0000%

2 per. media móvil (FRONTERA
DE EFICIENCIA)
2 per. media móvil (FRONTERA
DE EFICIENCIA)

0.5000%

0.0000%
0.00000%

1.00000%

2.00000%

3.00000%

4.00000%

5.00000%

6.00000%

Volatilidad (Rp)
Ilustración 9 Frontera de eficiencia: Media móvil. Fuente: Elaboración propia.

A continuación, analizaremos las siguientes opciones de portafolios de inversión:
9. Alternativas de Portafolios de inversión.
 Menor riesgo


Rendimiento máximo y menor riesgo (Portafolio eficiente)



Mayor riesgo

20

9.1. Menor Riesgo
9.1.1. Informe de respuestas de la opción con menor riesgo:
Microsoft Excel 14.0 Informe de respuestas
Hoja de cálculo: [00 intergado.xlsx]5 resumen
Informe creado: 02/03/2014 08:10:44 p.m.
Resultado: Solver ha convergido a la solución actual. Se cumplen todas las restricciones.
Motor de Solver
Motor: GRG Nonlinear
Tiempo de la solución: 0.062 segundos.
Iteraciones: 15 Subproblemas: 0
Opciones de Solver
Tiempo máximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automática
Convergencia 0.0001, Tamaño de población 100, Valor de inicialización aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir límites
Máximo de subproblemas Ilimitado, Máximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo
Celda objetivo (Máx.)
Celda
Nombre
$G$79 Rentabilidad del portafolio E (Rp) Wi*Wj* cov ij

Valor original
0.2944%

Valor final
0.1053%

Celdas de variables
Celda
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Valor original
10.00%
30.00%
20.00%
40.00%

Valor final
2.40%
29.92%
0.00%
67.68%

Valor de la celda
100.00%
0.5465%
2.40%
29.92%
0.00%
67.68%

Fórmula
$G$55=1
$G$78=$I$78
$C$55>=0
$D$55>=0
$E$55>=0
$F$55>=0

Nombre

Restricciones
Celda
Nombre
$G$55 Total
$G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Entero
Continuar
Continuar
Continuar
Continuar

Estado
Demora
Vinculante
0
Vinculante
0
No vinculante 2.40%
No vinculante 29.92%
Vinculante
0.00%

9.1.2. Informe de confidencialidad de la opción con menor riesgo
Microsoft Excel 14.0 Informe de confidencialidad

Celdas de variables
Celda
$C$55
$D$55
$E$55
$F$55

Nombre
twtr
appl
cocacola
hersheys

Final
Valor
0.023950301
0.299204692
0
0.676845007

Reducido
Degradado
0
0
-1.06236726
0

Restricciones
Final
Lagrange
Celda
Nombre
Valor
Multiplicador
$G$55 Total
1 -4.176820191
$G$78 Volatilidad (Rp) Wi*Wj* cov ij 0.005465307 764.5034468

21

9.1.3. Informe de límites de la opción con menor riesgo

9.2. Rendimiento máximo y menor riesgo: (Portafolio eficiente)
9.2.1. Informe de respuestas de la opción de rendimiento máximo y menor
riesgo:
Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones y condiciones óptimas.
Motor de Solver
Opciones de Solver
Celda
Nombre

Valor original
0.2944%

Valor final
0.3221%

Celdas de variables
Celda
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Valor original
10.00%
30.00%
20.00%
40.00%

Valor final
10.96%
15.50%
32.34%
41.19%

Valor de la celda
100.00%
0.7179%
10.96%
15.50%
32.34%
41.19%

Fórmula
$G$55=1
$G$78=$I$78
$C$55>=0
$D$55>=0
$E$55>=0
$F$55>=0

Nombre

Restricciones
Celda
Nombre
$G$55 Total
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Entero
Continuar
Continuar
Continuar
Continuar

Estado
Vinculante
Vinculante
No vinculante
No vinculante
No vinculante
No vinculante

Demora
0
0
10.96%
15.50%
32.34%
41.19%

22

9.2.2. Informe de confidencialidad de la opción de máxima eficiencia y riesgo
controlado
2

Objetivo
Celda Nombre Valor
0.3221%

Variable
Celda Nombre
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Valor
10.96%
15.50%
32.34%
41.19%

Inferior Objetivo
Límite Resultado
10.96%
0.32%
15.50%
0.32%
32.34%
0.32%
41.19%
0.32%

Superior Objetivo
Límite Resultado
10.96%
0.32%
15.50%
0.32%
32.34%
0.32%
41.19%
0.32%

9.2.3. Informe de límites de la opción de rendimiento máximo eficiencia y
riesgo controlado

Celdas de variables
Celda
$C$55
$D$55
$E$55
$F$55

Nombre
twtr
appl
cocacola
hersheys

Final
Valor
0.10961245
0.155044422
0.32342971
0.411913418

Reducido
Degradado
0
0
0
0

Restricciones
Final
Valor

Lagrange
Celda
Nombre
Multiplicador
$G$55 Total
1 -0.002603254

23

9.3. Informe de respuestas de la opción de máximo riesgo:
Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones y condiciones óptimas.
Motor de Solver
Opciones de Solver
Celda
Nombre

Valor original
0.2944%

Valor final
2.2260%

Celdas de variables
Celda
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Valor original
10.00%
30.00%
20.00%
40.00%

Valor final
100.00%
0.00%
0.00%
0.00%

Valor de la celda
100.00%
5.3664%
100.00%
0.00%
0.00%
0.00%

Fórmula
$G$55=1
$G$78=$I$78
$C$55>=0
$D$55>=0
$E$55>=0
$F$55>=0

Nombre

Restricciones
Celda
Nombre
$G$55 Total
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Entero
Continuar
Continuar
Continuar
Continuar

Estado
Demora
Vinculante
0
Vinculante
0
Vinculante
0.00%
No vinculante
0.00%
Vinculante
0.00%

9.3.1. Informe de confidencialidad de la opción de máximo riesgo

Celdas de variables
Celda
$C$55
$D$55
$E$55
$F$55

Nombre
twtr
appl
cocacola
hersheys

Final
Reducido
Valor
Degradado
0.99999838
0
0 -0.00348388
1.61996E-06
0
0 -0.001465356

Restricciones
Final
Valor

Lagrange
Celda
Nombre
Multiplicador
$G$55 Total
1
0.00288492

24

9.3.2. Informe de límites de la opción de máximo riesgo
Microsoft Excel 14.0 Informe de límites

Objetivo
Celda Nombre
Valor
2.2260%

Variable
Celda Nombre
$C$55 twtr
$D$55 appl
$E$55 cocacola
$F$55 hersheys

Valor
100.00%
0.00%
0.00%
0.00%

Inferior
Objetivo
Límite
Resultado
100.00%
2.23%
0.00%
2.23%
0.00%
2.23%
0.00%
2.23%

Superior Objetivo
Límite Resultado
100.00%
2.23%
0.00%
2.23%
0.00%
2.23%
0.00%
2.23%

25

10. CONCLUSIONES
Conociendo la diversidad de portafolios accesibles en el mercado, un inversionista debe
buscar opciones de inversión que se adapten a su perfil y que, dado ese perfil, obtenga el
mejor rendimiento posible. Por lo tanto, el inversionista debe comparar los resultados con
el estudio de la varianza y covarianza y confirmar si los portafolios óptimos se componen
en mayor medida por los portafolios con menor desviación estándar cuando la aversión al
riesgo es mayor, y también establecer que a menor riesgo asumido, menor riesgo obtenido.
(Ver tabla 11) Pero la mayor conclusión debe ser la consecución de una mezcla de activos
para el perfil de riesgo asignado que ofrezca una rentabilidad mejor con una volatilidad
menor que una inversión en un solo activo.

EN CONCLUSIÓN:


La opción recomendada de Máxima rendimiento y menor riesgo es el punto 0.

Niveles de volatilidad del portafolio
NIVELES DE VOLATIBILIDAD PARA EL PORTAFOLIO

MATRIZ DE RIQUEZA

Volatilidad
(Rp)

E (Rp)

twtr

0.54652%

no hay

Solver no encontró ninguna solución viable

Menor riesgo

0.54653%

0.1053%

2.4

29.92

0

67.68

100

Declina

0.7150%

0.3198%

10.88

15.65

31.73

41.73

99.99

Eficiente

0.7160%

0.3206%

10.91

15.6

31.94

41.55

100

Eficiente

0.7170%

0.3214%

10.94

15.55

32.16

41.36

100.01

Punto 0 Máximo rendimiento y menor riesgo

0.71790%

0.3221%

10.96

15.5

32.34

41.19

99.99

Eficiente

0.7180%

0.3222%

10.97

15.5

32.32

41.21

100

Eficiente

0.7190%

0.3230%

11

15.45

32.48

41.07

100

Declina

1.00%

0.2944%

18.06

2.01

77.37

2.55

99.99

Alta riesgo

5.3664%

2.2260%

100

0

0

0

100

appl

cocacola

hersheys

Total

Tabla 11 Niveles de volatilidad para el portafolio. Matriz de riqueza alternativas: menor riesgo, eficiente y mayor
riesgo.

26

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