El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos sobre vectores ortogonales en espacios vectoriales. Explica que para que dos vectores sean ortogonales su producto interno debe ser cero. Muestra cómo calcular un vector perpendicular a otros dos dados y cómo demostrar la independencia lineal de un conjunto ortogonal aplicando la definición de producto interno. Finalmente, propone dos ejercicios sobre matrices y determinación de vectores ortogonales en R2.

1. Ejercicios resueltos y explicados<br />1 ejercicios (de clase) <br />S= {(3, -2, 2 ); (-2, 3, 6); (x, y, z )} Completar el conjunto ORTOGONAL:<br />Sea u= (3, -2, 2)<br />Sea v= (-2, 3, 6)<br />Como son dos vectores ORTOGONALES tenemos que (u / v ) = 0<br />En física aplicamos el producto cruz el cual nos ayudará en encontrar un vector perpendicular a los otros dos vectores u y v<br />XYZ<br />3-22<br />-236<br />Resolvemos el siguiente determinante utilizando el método estrella, quedando al final:<br />-12X- 4Y+ 9Z- 4Z- 6X- 18Y = -18X -22Y +5Z<br />Dando como resultado al vector n = ( -18, -22, 5 ) <br />2 ejercicio (folleto)<br />1.- EN R² DETERMINAR:<br />X, tal que (3, 2) y (1, x+2) sean ortogonales:<br />Sean u= (3, 2); y v= (1, x+2)<br />Primeramente para que los vectores u y v sean ortogonales deben cumplir ( u / v ) = 0, entonces aplicamos la definición de producto interno y multiplicamos los miembros de los vectores:<br />(3*1) + ( 2 * (x+2) ) = 0 (resolvemos la siguiente ecuación).<br />3 + 2x +4 = 0<br />2x +7 = 0<br />X= -7/2 (x debe valer 7/2 para que el vector v sea ORTOGONAL)<br />2.- A PARTIR DE UN ESPACIO VECTORIAL CUALQUIERA ORTOGONAL CON PRODUCTO INTERNO DEMOSTRAR QUE ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE.<br />Demostración:<br />Sea T = {t1, t2, t3, …, tn} conjunto ortogonal<br /> α1t1+ α2t2+ α3t3+…+αntn = 0v<br />(0v,ti) = 0donde 1<= i<=n (número de elementos del espacio vectorial)<br />(α1t1+ α2t2+ α3t3+…+αntn, ti) = 0v<br />α1(t1,ti)+ α2(t2,ti)+ α3(t3,ti)+…+αn(tn,ti) = 0 es decir<br />αi(ti,ti)= 0(resultan ser combinación lineal de otros vectores)<br />αi = 0<br />si para todo αi=0 entonces T es linealmente independiente<br />Ejercicios propuestos<br />2 ejercicios (folleto exámenes)<br />1.-SEA LA MATRIZ A= 1-2<br /> -23<br />A PERTENECE M2*2. HALLAR EL CONJUNTO COMPLEMENTO ORTOGONAL DE A.<br />2.- EN R² DETERMINAR:<br />X, tal que (-1+X, 2) y (1, x+2) sean ortogonales:<br /> <br />Evaluación<br />2 preguntas (1 pregunta debe pedir ejemplos del tema estudiado)<br />1.- QUE CONDICION DEBEN CUMPLIR LOS VECTORES PARA QUE SEAN ORTOGONALES<br />A- PRODUCTO INTERNO IGUAL A 0<br />B- MISMA DIRECCION<br />C.- NORMA IGUAL A 0<br />D- NORMA IGUAL A 1<br />2.-MEDIANTE UN GRÁFICO ILUSTRAR 3 VECTORES EN R³ QUE PERTENESCAN A UN CONJUNTO ORTOGONAL<br /> <br />