El documento define el determinante como una función que asigna un único número real a una matriz cuadrada. Explica métodos para calcular determinantes como la regla de Sarrus y el método de la estrella. También describe propiedades de los determinantes como que cambian de signo si se intercambian dos filas o columnas y que son iguales al producto de los elementos de la diagonal principal para matrices triangulares. Por último, explica cómo calcular la inversa de una matriz usando determinantes.

1. 2.DETERMINANTES
2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único
número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el
determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras
no significan valor absoluto).
Determinante de orden uno
Determinante de orden dos
Dada , se define como el determinante de A como:
Determinante de orden tres
Dada
2.2.MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES
REGLA DE SARRUS
Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo
que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la
respectiva matriz inicial.

2. MÉTODO DE LA ESTRELLA
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal
principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal
secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
MENORES Y COFACTORES
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij, que se indica con
Mijse define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-
ésimo fila y la j-ésima columna de A.
Veamos un ejemplo para poder entenderlo mejor. Sea A la matriz:
Para hallar el menor del elemento a11 debemos quitar la fila 1 y la columna 1, entonces
tenemos un el determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento a 11 y asi
realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores
términos o tenga ceros en su mejor caso.
Debemos tener en cuenta los signos para cada menor que escogemos así si sumamos
i+j y obtenemos un numero par es positivo e impar lo contrario.
Del ejemplo anterior vamos a reducir la columna 1 ya que tiene los menores términos
y llegaremos a obtener la siguiente expresión:

3. 2.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. |A t |= |A|
2. |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de
las otras.
3. Un determinante triangular es igual al producto de los
elementos de la diagonal principal.
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas
paralelas su determinante cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos
de otra paralela multiplicados previamente por un nº real
el valor del determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un número real,
queda multiplicado por dicho número cualquier línea,
pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o columna están
formados por dos sumandos, dicho determinante se
descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|

4. 2.4 OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O
COLUMNA EN UN DETERMINANTE
1. Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante
queda multiplicado por dicho escalar.
Notación:
2. Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda
multiplicado por -1.
Notación:
3. Sumar a una fila o columna y un múltiplo de otra el valor del determinante
no cambia.
Notación:
Ejercicio:
Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.
1. Usando el método de Sarrus

5. 2. Usando la propiedad tres de los determinantes
Ejemplo 1:
=
Ejemplo 2:
2.5 DETERMINANTE DE VANDERMONDE
Un determinante de Vandermonde es un determinante que
presenta una progresión geométrica en cada fila o en cada
columna, siendo el primer elemento 1.
Ejemplo 1:

6. Ejemplo 2:
1 1 1 1 1 1
b a c a 1 1
a b c 0 b-a c-a (b a )( c a)
b(b a ) c(c a ) b c
a2 b2 c2 0 b 2 - ab c 2 ac
(b a)(c a)(c b)
2.6 MÉTODO DEL ACUMULADOR
Este método consiste en sumar todos los elementos de todas las filas y
columnas en una sola, si y solo si los elementos de las demás filas o
columnas suman lo mismo.
Ejemplos:

=


7. 2.7 CALCULO DE LA INVERSA POR
DETERMINANTES
Ejemplo:
Sea:
1 Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el
determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

8. 2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se
sustituye por su adjunto.
3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta .
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la
matriz traspuesta de la adjunta.
Ejemplo:
Calcular la inversa de A

9. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante
sea nulo la matriz no tendrá inversa.
Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se
sustituye por su adjunto
Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta
La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la
matriz traspuesta de la adjunta.