Reflexiones matemáticas.

Profesor Joel Amauris Gelabert S.

Índice.
Ecuaciones lineales…………….......…2
Factorización……………………………4
Evaluación………………………….…….6
Factorización……………………………7
Evaluación………………………………12
Productos y Cocientes
Notables…………………………………13
Inducción matemática……………...18
La línea recta……………………...…....27
Distancia de un punto a una
Recta………………………….………...…28
Funciones trigonométricas……...34
Funciones trigonométricas de la
suma y diferencia de ángulos…..37
Resolución de triángulos
rectángulos………………………….....43
Aplicaciones de la resolución de
triángulos rectángulos……….…...45
Cálculo trigonométrico del área de
un triángulo rectángulo………….46
Resolución de triángulos no
rectángulos…………………………....47
Evaluación………………………….…49
Problemas resueltos sobre
geometría analítica………….……50
Funciones cuadráticas y
gráficos…………………………………56
Ecuaciones de segundo
grado……………………………..…..…58
Resolución de problemas
aplicando ecuaciones de 2do
grado……………………………………61
Sistemas de ecuaciones
lineales…………………………………62
Método de sustitución…………...66
Método de igualación…………….69
Sistemas de 3 ecuaciones y
3 variables……………………………72
Evaluación……………………………74

Reflexiones Matemáticas

Nagua, Rep. Dom.

Angulo entre dos vectores…............75
Logaritmos naturales y
ecuaciones logarítmicas…………….79
Ecuaciones exponenciales…………81
Identidades trigonométricas……...83
Demostración de identidades
trigonométricas………………………...86
Traslaciones, Simetrías, Rotaciones
y Homotecias…………………………….94
Progresiones aritméticas…….…….99
Resolución de problemas aplicando
progresiones aritméticas……….....100
Evaluación……………………………….101
Binomio de Newton………………….102
Aplicaciones del binomio de
Newton……………………………………105
Evaluación……………………………….108
Arcos y ángulos de la
circunferencia………………………….109
Evaluación……………………………….113
Matrices y determinantes……..…..114
Operaciones con matrices…….…..116
Producto de matríces……………….117
Resolución de problemas
aplicando matrices………………..….119
Determinante de una matriz
cuadrada…………………………………120
Propiedades de los
determinantes……………...………….121
Aplicación de los determinantes en la
solución de sistemas de sistemas de
ecuaciones lineales………………….122
Evaluación……………………………....124
Sucesiones……………………...……….125
Límite de una sucesión……………126
Derivada de funciones
algebraicas……………………………..129
Derivada de funciones
trigonométricas………………….…..131
Nociones de cálculo integral……135

Joel Amauris Gelabert 1


Nagua, Rep. Dom.

Ecuaciones Lineales.
Una ecuación lineal o de primer grado:
Es una igualdad en la que aparecen relacionadas mediante las operaciones
matemáticas básicas constantes y variables cuyos valores son desconocidos.
Ejemplos:
1. 5x+8=48
2. 3m+6m−25=56
3. 4y+8y+50= 5y+99
4.

5x

+5= 15

4

Solución de una ecuación lineal.
Resolver una ecuación lineal es bastante sencillo y para ello debemos tener en
cuenta las operaciones matemáticas básicas y sus operaciones inversas, así como
también las propiedades del opuesto aditivo y del opuesto multiplicativo.
Ejemplos:
Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones lineales.
1.

5x
4

+5=15

5x

4(

4

2.

+5)= 4 (15)

5x+20=60
5x= 60 −20
5x
5

=

5x
4
5x
4

+5=15

= 15− 5
5x

40

4( 4 )= 4 (10)
5x =40

5

5x

x=8

5

=

40
5

x=8

2. 8m+4m−30=90
12m−30=90
12m= 90+30
12m=120
12m
12

=

120
12

m =10


En esta ecuación se puede
utilizar tanto el
procedimiento 1 como el
procedimiento 2 porque si
observamos bien ambos
procesos son similares.
En ambos se observa que
se transpone la constante
que se está sumando y
luego se multiplica por 4
en ambos lados de la
igualdad y luego se
simplifica hasta obtener el
resultado.

En el ejemplo que está
a mi izquierda se
redujeron los términos
semejantes, se
transpuso al otro lado
el −30 aplicando la
propiedad del opuesto
aditivo y luego se
dividió de ambos lados
por 12 para obtener el
valor de la variable m.



Nagua, Rep. Dom.

3. Halle el valor de x
5x

+

3

− = 70
4

+

3

3x
2

36x

+

3

x

2

5x

12 (
60x

3x

2

−

x

− ) =12(70)
4

12x
4

= 840

20x+18x −3x = 840
35x = 840
35x

840

=

35

35

Para resolver esta ecuación
buscamos un común
denominador entre 3, 2 y 4, o sea
un número que pueda dividirse
exactamente entre 2, entre 3 y
entre 4.
Este común denominador o
número es 12, luego
multiplicamos ambos miembros
de la igualdad por 12 y
simplificamos los resultados
reduciendo términos semejantes
hasta obtener el valor de x.

x= 24

4. Halle el valor de y
4y+8y+50= 5y+99
12y+50= 5y+99
12y− 5y= 99 −50
7y = 49
7y
7

=

49
7

y=7

En esta ecuación
sumamos (4y) y (8y),
luego se transponen el 50
hacia la derecha y el 5y
hacia la izquierda, se
reducen los términos
semejantes y se divide
para hallar el valor de y.

5. Halle el valor de m
3m+6m−25=56
9m −25=56
9m= 56+25
9m= 81
9m
9

=

81
9

m=9




Nagua, Rep. Dom.

Resolución de problemas aplicando ecuaciones lineales.
1. Halle 3 números consecutivos sabiendo que la suma de ellos es 87.
Solución:
Se a x el primer número.
X+1 el segundo número
X+2 el tercer número
Conforme a esto tendremos que:
x+x+1+x+2= 87
3x+3= 87

3x= 87−3
3x= 84

Luego:
x+1=28+1
3x
84
=
x+1=29
3
3
x+2=28+2
x =28
x+2=30
Los números consecutivos buscados son: 28, 29 y 30
2. Problema 2.
Un grupo de palomas van volando y en el aire se encuentran con un Loro el
cual les pregunta: ¿A dónde van mis 100 palomas?
Por su parte las palomas respondieron: No, nosotras no somos 100,
nosotras, mas una parte igual a nosotras, más la mitad de nosotras, más la
cuarta parte de nosotras y tú completamos 100.
¿Con cuántas palomas se encontró el Loro?
Solución:
Sea m la cantidad de palomas.
Sea

m

la mitad de ellas y

2

m
4

la cuarta parte

Luego:
m

m+ m+
2m+
2m+

2

m

+

2
m

+

2

m
4
m

m
4

2

4m

= 99

2

+

+

+1= 100

= 100 −1

4
m m

4(2m +
8m +

+

4

4m
4

)= 4(99)
=396

Se realiza la suma m+m y se transpone el 1 hacia
el otro lado de la igualdad aplicando la
propiedad del opuesto aditivo.
Se toma el 4 como común denominador y se
multiplican ambos miembros de la igualdad por
4, luego simplificamos reduciendo términos
semejantes hasta llegar al cociente:

396
11

cuyo

resultado es la solución del problema.

8m +2m + m=396

Comprobación:

11m = 396

m+ m+

11m
11

=

m

396
11

m=36
El Loro se encontró con 36 palomas.

36+ 36+

2

+

36
2

m
4

+

+1= 100
36
4

+1= 100

72+18+9+1=100
100=100



Nagua, Rep. Dom.

3. Halle 3 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es
igual a 54.
Solución:
¡Recuerda!
Siempre debes
Sea x el primer número.
practicar.
x+2 el segundo número.
x+ 4 el tercer número.
Luego:
x+x+2+x+4=54
3x+6=54
Por tanto:
3x = 54 −6
x+2= 16+2
3x = 48
x+2= 18
3x
3

=

48

x+2= 16+4
x+2= 20

3

x = 16
Los números buscados son: 16, 18 y 20.
4. Resuelve.
Si al tríplo de un número se le suma su duplo disminuido en 60, el resultado
es igual a 190.
¿Cuál es el número?
Solución:
Si representamos por k el número, tendremos que:
3k+2k − 60=190
5k − 60=190
5k =190+60
5k= 150
5k
5

=

150
5

k =30
El número buscado es 30.
5. Un padre le dice a su hijo: dentro de 5 años mi edad será el doble de la tuya
más 6 años.
Si dentro de los 5 años la suma de sus edades será 81 años.
¿Qué edad tendrá cada uno al transcurrir los 5 años?
Solución:
Sea y la edad actual del hijo.
En 5 años tendrá y+5 años y la edad del padre será: 2(y+5)+6 o sea
(2y+16) años.
Luego:
y+5+2y+16 = 81
3y+21 = 81

3y = 81 −21
3y = 60
3y
3

=

60

La edad del hijo
será 25 años y la
edad del padre
será 56 años.

3

y = 20



Nagua, Rep. Dom.

Evaluación.
I. Seleccione la respuesta correcta.
1. El valor de x en la ecuación 7x−19=30 es igual a:
A. 8
B. 5
C. 7
2. Si Juan le dice a Pedro: yo tengo el doble del dinero que tú tienes más $250
pesos y entre los dos tienen $1,750. ¿Qué cantidad de dinero tiene Juan?
A. $500
B. $700
C. $1,250
3. ¿Cuál es el procedimiento correcto para resolver la ecuación
A.

5m
4
5m
4
5m
4

+ 8=33

= 33 −8
= 25

B.

5m
4
5m
4
5m
4

+ 8=33

= 33+ 8
= 41

5m=4(25)
5m=100

5m=4(41)
5m=160

5m

100

5m

5

5

5

=

=

160
5

5m
4

+ 8=33?

C. 5m + 8=33
4
5m
4

4(

= 33+ 8
5m
4

)= 4(41)

5m=164
5m
5

=

164
5

m=32.8
m=32
m=20
4. ¿Qué número tiene la peculiaridad de que si se le suma su triplo disminuido
en 60 el resultado es él mismo incrementado en 30?
A. 40
B. 30
C. 20
5. ¿Cuáles son los valores de m y a en las ecuaciones 4m+25=125 y
8a−24=40?
A. m=8 y a=5
B. a=25 y m=8
C. m=25 y a=8
II. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.
1. 6k+26=10
2. 7m+25+3m=5m+225
3.

18𝑤

+10=2w+26
5
4. 8x+4x−100=20

5. 9y−4y+15=60
III. Resuelve los siguientes problemas aplicando ecuaciones.
1. Si al duplo de la edad de Marcos se suma su cuádruplo disminuido en 40
años, el resultado es su edad aumentada en 60 años.
¿Qué edad tiene Marcos?
2. Halle 4 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es
igual a 132.
3. El precio de un producto es el triplo del precio del otro menos $55 pesos, si
por ambos productos se pagó un total de $305 pesos.
¿Cuál es el precio de cada producto?




Nagua, Rep. Dom.

Factorización.
Diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que
tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos.
Ejemplos.
1. 36x2- 64y2.
2. 100m4- 144n4
3. 81k2- 25w2.
Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas
de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el
producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas.
Ejemplos 1
Factorizar
49m2-100y2
buscamos la raíz cuadrada de cada término.
2
49m2 = 7m.
2

100y 2 = 10y.

Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).
Ejemplo 2.
Factorizar 36a4 – 64m4.
Buscamos las raíces cuadradas de cada término.
2
36a4 =6a2
2
64m4 =8m2
y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de
dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.
Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).
Ejemplo 3.
Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados.
81x4 – 144y4
Buscamos la raíz cuadrada de cada término
81x 4 = 9x2
144y 4 =12x2
Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos
binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las
mismas.
Luego los factores buscados son:
(9x2+12y2)(9x2-12y2)




Nagua, Rep. Dom.

Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.
1. 25x4 –16a4
2. 144m2 –169y2
3. 9x2 - 81y2
4. 169w6 –100z6
5.

16
25

m4 −

64
81

x4

6. 121 b8 – 36 y8

Trinomio de la forma x2± bx ±c
Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la
raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto
sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx.
Ejemplos.
1. x2+6x+8
2. a2+9x+20
3. m2-12m+32
4. y2+5y-36
Hallar los factores de los siguientes trinomios
1. x2+7x-60
Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados
algebraicamente nos den 7.
Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7
Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5)
Ejemplo 2.
Hallar los factores de m2+16m+28
Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16
Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores
son:
(m+14) (m+2)
Ejemplo 3.
Hallar los factores de a2-8a-48
Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8
Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores
son:
(a-12) (a+4).
Factorizar los siguientes trinomios.
1. x2+10x+21
2. w2-5w+6
3. b2+15b+56
4. y2+7y-44
5. m2-10m+24




Nagua, Rep. Dom.

Trinomio de la forma ax2+bx+c
¿Cómo se obtiene

Dado el trinomio 5x2+8x+3
un trinomio de la
forma ax2+bx +c?
Hallar sus factores.
Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
5(5x2)+5(8x)+5(3)
Se escribe de la forma
(5x)2+8(5x)+15
Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a
a2+8a+15
Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados
den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5
(a+5)(a+3) y como a=5x, entonces
(5x+5)(5x+3)
𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)
𝟓 𝐱 𝟏

= (x+1) (5x+3)

Como multiplique por 5, divido por 5 para
volver el trinomio a su forma original.

Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)
Ejemplo 2.
Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3
Solución
Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
7(7x2)+7(10x)+7(3)
Se escribe de la forma
(7x)2+10(7x)+21
Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c
Se asume que a=7x
buscamos dos cantidades cuyo producto sea
21 y cuya suma algebraica sea 10
a2+10a+21
Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:
(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x
(7x+7)(7x+3)
𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)
𝟕 𝐱 𝟏

= (x+1) (7x+3)

Como multiplique por 7 se divido por 7 para
que el trinomio vuelva a su forma original

Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)
Ejercicios propuestos
Factorice los siguientes trinomios.
1. 8x2+15x+7
2. 4x2+9x+5
3. 9x2+6x-3
4. 5x2+14x+9
5. 7x2+12x+5


Una forma de obtener un
trinomio ax2+bx+c es
combinando con operaciones de
(+ o − ) una variable al
cuadrado con su coeficiente
numérico y una constante, de
forma que el término medio sea
la suma del coeficiente numérico
de la variable cuadrada y la
constante.



Nagua, Rep. Dom.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer
término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de
las raíces de los otros dos
Ejemplos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:
1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino
2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos
términos.
Ejemplo 1.
Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.
36x2+60xy+25y2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término
36x 2 =6x
25y 2 =5y
Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:
(6x+5y)(6x+5y)
Ejemplo 2.
Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino
100a2 = 10a
16b 2 = 4b
Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(10a) (4b)= 80ab
Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son:
(10a+4b) (10a+4b)
Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
5. 144y2+120ym+100m2




Nagua, Rep. Dom.

Factorización de una suma de cubos.
Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen
raíz cubica exacta.
Ejemplos:
1. 27x3+64m3
2. 729 a3+125b3
3. 216x3+343y3
4. 512w3+8n3
¿Cómo factorizar una suma de cubos?
Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la
forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el
cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado
de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo
estos los factores buscados.
Ejemplos.
Factorice la siguiente suma de cubos.
27x3+64m3
1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3
3

27x 3 =3x

3

64m3 =4m
2. Formamos un binomio con las raíces
(3x+4m)
Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.
(9x2-12xm+16m2)
Luego los factores buscados son:
(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)
Halle los factores de 125a3+729y3
3

125a3 = 5a

3

729y3 = 9y
Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.
Factorice

27

343

w3 + 8 m 3
64
Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos
𝟑

3

27 3 3
w =4w
64
7

9

( 4 w + 2 m) (16 w2 -

𝟑

21
8

343
7
m3 = 2 m
8

wm+

49


4

luego los factores buscados son:

m2)



Nagua, Rep. Dom.

Evaluación.
Seleccione la respuesta correcta.
1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:
A. (8x – 6m) (8x – 6m)
B. (6x –8m) (6x+8m)
C. (6x+8m)(6x+8m)
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
A. 4x2+ 40xy+25y2
B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2
3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?
A. (10w+8k)(10w+8k)
C. (10w+4k) (10w+4k)
B. (10w −8m)(10w+4k)
4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56?
A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)
5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son:
A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y)
B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)
6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?
A. (x+8)
B. (8x – 6m)
C. (4x+5m)
Factorice las siguientes expresiones.
1. 64x2+ 80xy+25y2
2. x2+15x+54
3. 5x+12x+7
4. 27w3 +64a3
5. 81x2 −100y2
6. 49m2 −16w2
7. 4a2+72ab+81b2
8. 4k2+10k+6
9. 125x3 −729y3
10. a2+20a+9
Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.
1.

2.

3.

4.

5.

36x 2 +84xy +49y 2
(6x+7y)

=

216m 3 +512k 3
(36x 2 −48mk +64k 2 )
81w 2 −144a 2
(9w−12a)
9x 2 +16x+7
(9x+7)

=

=

343w 3 +729y 3
(7w+9y)

=

=




Nagua, Rep. Dom.

Productos y Cocientes Notables.
Productos Notables.
Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario
multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas
reglas o patrones.
Entre los productos notables tenemos:
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejemplo 1.
Recuerda:
(x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2
Debes
2 = x2 +2xy + y2
(x+y)
aprenderte la
Ejemplo 2.
regla de cada
(2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2
producto
(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2
notable.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2
(a−b)2 = a2 +2ab + b2
Ejemplo 2.
(2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2
(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2
Cubo de la suma de dos cantidades.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3
veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera
por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3
(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3
(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3

Ejemplo 2.
(5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3
(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3
(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3




Nagua, Rep. Dom.

Cubo de la diferencia de dos cantidades.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la
primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda
cantidad.
Ejemplo 1.
(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3
(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3
(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3
Ejemplo 2.
(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3
(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3
Observa con
(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3
detenimiento
estos ejemplos

Ejercicios Resueltos.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2
= 4b2 +24by + 36y2
2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2
= 25x2 +100xk + 100k2
3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3
= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3
= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3
4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3
= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3
= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3
3

2

3

3

2

2

4

5

4

4

5

5

5. ( x − y)2 = ( x)2 −2( x) ( y)+ ( y)2
=
=

9
16
9
16

x2 −2(

6

20

12

x y)+

x2 − 20 x y+

4
25

4
25

y2

y2

6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2
= 16m6 +16m3 x2+4x4




Nagua, Rep. Dom.

Cocientes notables.
Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario
dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por
simple inspección.
Ejemplos:
Diferencia de cuadrados
1.
2.

a 2 −b 2
a−b

a−b (a+b)

=

(a−b)

(25m 2 −100x 2 )
(5m−10x)

=

= a+b

5m−10x (5m+10x)
(5m−10x)

= 5m+10x

Suma de cubos

3.
4.
5.

x 3 +y 3
(x+y)

=

x+y (x 2 −xy +y 2 )

= x2−xy+y2

(x+y)

y 2 +𝑦𝑘 +𝑘 2
(x 3 +y 3 )

(y 2 +yk +k 2 )

=

x 3 +y 3
(x 2 −xy +y 2 )

y+k (y 2 +yk +k 2 )

=

x+y (x 2 −xy +y 2 )

=

1
(y+k)

Observa estas reglas de los
cocientes notables, porque
te serán muy útiles cuando
vayas a simplificar
expresiones algebraicas.

= x+y

(x 2 −xy +y 2 )

Diferencia de cubos
6.
7.

x 3 −y 3
(x 2 +xy +y 2 )
x 3 −y 3
(x−y)

=

x−y (x 2 +xy +y 2 )

=

(x 2 +xy +y 2 )

x−y (x 2 +xy +y 2 )

= x−y

= x2+xy+y2

(x−y)

Trinomio de la forma x2+bx+c
8.
9.

(a 2 +10a+24)
(a+6)
(x 2 +8x+15)
(x+5)

a+6 (a+4)

=

(a+6)
x+5 (x+3)

=

(x+5)

= a+4

= x+3

Trinomio cuadrado perfecto
10.
11.

(a 2 +8a+16)
(a+4)

a+4 (a+4)

=

(a+4)

(36m 2 +120mk +100k 2 )
(6m+10k)

=

= a+4
6m+10 (6m+10k)
(6m+10k)

= 6m+10k

Trinomio de la forma ax2+bx +c
12.
13.

(4x 2 +12x+8)
(x+2)

=

(5k 2 +15k+10)
(5k+5)

=

x+2 (4x+4)
(x+2)

= 4x+4

k+2 (5k+5)
(5k+5)


= k+2



Nagua, Rep. Dom.

Evaluación.
Explique las reglas de:
1. El cuadrado de la suma de dos cantidades.
2. El cubo de la suma de dos cantidades.
3. El cubo de la diferencia de dos cantidades.
4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.

(7x+8m)2 =
(9m−5y)3 =
(4k+3a)2 =
(8w+6m)3 =
(3y−10k)2 =
(2x2 +3y4)2 =

Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna
de la izquierda.
1. (3m+2y)2

______ 4a2+24ay +36y2

2. (7x+5k)3

______ (5w −2z)2

3. 4x2 + 20xy+25y2

______ (3x2 +2)3

4. (2a+6y)3

______ 9m2 +12my+4y2

5. 27x6 +54x4 +36x2 +8

______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3

6. 25w2 −20wz+4z2

______ (2x+5y)2

Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.
1.
2.
3.
4.
5.

2x+4m 2 . 2x+4m 4
2x+4m 3
3k+5y 3 . 3k+5y 4
3k+5y 5

=

=

10a+8x 7

=
10a+8x 4
5m+10k 2 . 6w+2y 4

=
25m 2 +100mk +100k 2 6w+2y 2
7x+9y 3 . 7x+9y 2
7x+9y 4

=




Nagua, Rep. Dom.

Halle el resultado de los siguientes cocientes sin tener que realizar la división.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

16b 2 +40bm +25m 2
(4b+5m)
144x 4 −81y 4

=

(12x 2 +9y 2 )
k 2 +15k+56
(k+8)

=

343w 3 +512a 3
(7w +8a)
y 2 −yz +z 2
(y 3 +Z 3 )

=

=

=

729a 3 +64m 3
(9a 2 +36am +16m 2 )
k 2 +15k+56
(k+8)
10x 2 +8x−2
(x+1)

=
=

64z 2 +96zk +36k 2
(8z+6k)
k 2 +15k+56
(k+8)

=

=

=

27b 3 −125a 3
(3b−5a)
169n 2 −49p 2
(13n 2 −7p 2 )

=
=




Nagua, Rep. Dom.

Inducción matemática.
La inducción matemática:
Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o
demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier
número natural, es decir, (∀n∈N).
Principio de inducción matemática
Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se
cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier
número natural.
Pasos para probar una proposición por inducción matemática
1. Se prueba la proposición dada para n=1
2. Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis
de la inducción.
3. Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para
n=k+1.
Ejemplo 1.
Pruebe por inducción matemática que 3+7+11+………..+4n-1= n (2n+1)
Solución:
1. Para n=1
4(1)-1=1[2(1)+1]
4-1=1(3)
3=3
2. Para n=k
3+7+11+……..+4k-1=k (2k+1) hipótesis
3. Para n=k+1
3+7+11+……. +4k-1 +4(k+1)-1=k+1[2(k+1) +1]
k (2k+1)+4k+4-1=k+1(2k+2+1)
2k2+k+4k+3=2k2+2k+k+2k+2+1
2k2+5k+3=2k2+5k+3


L.Q.Q.D.



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 2.
Pruebe por inducción que ∀n∈ N se cumple que 3+5+7+………+ (2n+1)=n(n+2)
Solución:
1. Probamos que se cumple para n=1
2(1)+1=1(1+2)
3=3
2. Si se cumple para n=1, entonces debe cumplirse para n=k
3+5+7+…………+2k+1=k (k+2)
hipótesis
3. Probamos para n=k+1
3+5+7+………..+2k+1+ 2(k+1) +1= (k+1) [(k+1) +2]
Como: 3+5+7+………..+2k+1 es igual a k (k+2) entonces:
k (k+2) +2k+2+1= (k+1)(k+3)
k2 +2k+2k+3= k2+3k+k+3
k2+4k+3= k2+4k+3

L.Q.Q.D.

Ejemplo 3
Probar por inducción matemática que: 1+3+5+……….+2n-1=n2 se cumple
para cualquier numero natural.
Solución:
1. Probamos la propiedad para n=1
2(1)-1= (1)2
2-1=1
1=1.
2. Probamos ahora para n=k
1+3+5+………..2k-1=k2
hipótesis
3. Se hace n=k+1 y se prueba la propiedad
1+3+5+……….+2k-1 + 2(k+1)-1= (k+1)2
Como: 1+3+5+……….+2k-1 = k2 tendremos que:
k2+2k+2-1=k2+2(k) (1)+ (1)2
k2+2k+1=k2+2k+1


Se desarrolla el cuadrado del binomio (k+1)2

L.Q.Q.D.



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 4.
Pruebe por inducción que 5+9+13+…………+4n+1=n (2n+3) se cumple para
cualquier numero natural.
Solución:
1. Para n=1
4(1)+1=1[(2(1)+3]
4+1= 1(5)
5=5
2. Para n=k
5+9+13+………..+4k+1=k (2k+3)
hipótesis inductiva
3. Para n=k+1
5+9+13+………+4k+1 + 4(k+1)+1= (k+1) [2(k+1)+3]
k (2k+3)+4k+4+1=(k+1)(2k+2+3)
2k2+3k+4k+5=k2+2k+3k+2k+2+3
2k2+7k+5= k2+7k+5

L.Q.Q.D.

Ejemplo 5.
Pruebe aplicando el método de inducción matemática que
1.2+2.3+3.4+……..+n(n+1)=

n n+1 (n+2)
3

numero natural.

se cumple para cualquier

Solución:
Paso 1.
Se hace la prueba para n=1
1(1+1)=
1(2)=
2=

1 1+1 (1+2)
3

1 2 (3)
3

6
3

2=2
Paso 2.
Ahora se hace n=k
1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1)=

k k+1 (k+2)


3




Nagua, Rep. Dom.

Paso 3.
Se hace n=k+1
1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1) + (k+1) (k+1+1) =

3

+ (k+1) (k+2) =

3

k k+1 (k+2)

La parte subrayada se sustituye por
k k+1 (k+2)

(k+1) k+1+1 (k+1+2)

3

por lo que:

(k+1) k+2 (k+3)
3

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.
k k+1 k+2 +3 k+1 (k+2)
3

=

(k+1) k+2 (k+3)
3

Extrayendo (k+1) (k+2) como factor común del lado izquierdo,
nos queda que:
k+1 k+2 k+3

=

3

(k+1) k+2 (k+3)
3

L.Q.Q.D.

Ejemplo 6.
Pruebe por inducción matemática que
1.3+2.4+3.5+………..+n(n+2)=
numero natural.

n n+1 (2n+7)
6

se cumple para cualquier

Solución:
Paso 1.
Verificamos si la proposición se cumple para n=1
1(1+2)=
1(3)=
3=

18

1 1+1 [2(1)+7)]
6

1 2 (9)
6

6

3=3
Paso 2.
Al cumplirse para n=1, ahora se sustituye por n=k
1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2)=

k k+1 (2k+7)

hipótesis

6

Paso 3.
Se sustituye a n por k+1
1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2) + (k+1) (k+1+2) =

k+1 k+1+1 [2 k+1 +7]

La parte subrayada se sustituye por la expresión:


6
k k+1 (2k+7)
6



Nagua, Rep. Dom.

Por tanto:
k k+1 (2k+7)
6
k k+1 (2k+7)
6

+ (k+1) (k+1+2) =
+ (k+1) (k+3) =

k+1 k+1+1 [2 k+1 +7]

6
k+1 k+2 (2k+2+7)
6

k k+1 2k+7 +6 k+1 (k+3)
6

=

k+1 k+2 (2k+9)
6

Del lado izquierdo se extrae (k+1) como factor común
k+1 [k 2k+7 +6 k+3 ]
6

=

k+1 k+2 (2k+9)
6

Se multiplica k (2k+7) y 6(k+3)
(𝒌+𝟏) [(𝟐𝒌 𝟐 +𝟕𝒌+𝟔𝒌+𝟏𝟖)]
𝟔
𝒌+𝟏

𝟐𝒌 𝟐 +𝟏𝟑𝒌+𝟏𝟖

=

𝟔

=

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)
𝟔

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)
𝟔

Se toma el trinomio 2k2+13k+18 y lo factorizamos.
Este trinomio tiene la forma ax2+bx+c, por lo que:
2(2k2)+2(13k)+2(18)
(2k)2+13(2k)+36
Haciendo a=2k, se tiene que:
a2+13a+36
(a+9)(a+4), pero como a=2k
(2k+4)(2k+9)
2x1

(k+2)(2k+9)
Sustituyo estos factores en el lugar del trinomio 2k2+13k+18
(𝒌+𝟏) [(𝟐𝒌 𝟐 +𝟏𝟑𝒌+𝟏𝟖)]
𝟔

k+1 k+2 2k+9 ]
6

=

=

(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟗)
𝟔

k+1 k+2 (2k+9)


6

L.Q.Q.D.



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 7.
Pruebe aplicando el método de inducción que
0.1+1.2+……+(n-1)n =

n n−1 (n+1)
3

se cumple para cualquier numero natural.

Solución:
Paso 1.
Se sustituye n por 1.
(1-1)(1)=
(0)(1) =
0=

1 1−1 (1+1)
3
1 0 (2)
3

0
3

0=0
Paso 2.
Se sustituye a n por k.
0.1+1.2+…….+ (k-1) k =

k k−1 (k+1)

hipótesis inductiva.

3

Paso 3.
Se sustituye n por k+1
0.1+1.2+……. + (k-1) k + (k+1-1) (k+1) =
La parte subrayada se sustituye por
k k−1 (k+1)

(k+1) k+1−1 (k+1+1)
3

k k−1 (k+1)
3

(k+1) k (k+2)

+k (k+1) =
3
3
k k−1 k+1 +3k(k+1)

=

(k+1)k(k+2)

3
3
Se extrae k (k+1) como factor común
k k+1 [(k−1+3)]

=

k(k+1)(k+2)

3
3
Simplificando nos queda:
k k+1 (k+2)
3

=

k(k+1)(k+2)
3


L.Q.Q.D.



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 8.
Pruebe por inducción matemática que
1

1

+

1.5

5.9

1

+…….+

4n−3 (4n+1)

=

n
4n+1

se cumple ∀n∈N.

Solución:
Paso 1
Se sustituye n por 1
1
4 1 −3 (4(1)+1)
1
4−3 (4+1)
1
5

=

=

=

1
4(1)+1

1
4+1

1
5

Paso 2
Se sustituye n por k
1

+

1.5

1

1

+…….+

5.9

4k−3 (4k+1)

=

k
4k+1


Paso 3.
Se sustituye n por k+1
1

+

1.5

1

+……+

5.9

1

+

4k−3 (4k+1)

1
4 k+1 −3 (4(k+1)+1)

La parte de la elipse se sustituye por
k
4k+1

+

k
(4k+1)

1
4k+4−3 (4k+4+1)

+

1
4k+1 (4k+5)

=

=

=

(k+1)
4(k+1)+1

k
4k+1

(k+1)
4k+4+1

(k+1)
(4k+5)

k[ 4k+1 4k+5 +(4k+1)
(4k+1) 4k+1 (4k+5)

=

(k+1)
(4k+5)

Se extrae (4k+1) como factor común y simplificamos.
(4k+1)[k 4k+5 +1]
(4k+1) 4k+1 (4k+5)

=

(k+1)
(4k+5)



k 4k+5 +1
4k+1 (4k+5)

Nagua, Rep. Dom.

(k+1)

=

(4k+5)

Se multiplica k por (4k+5)
4k 2 +5k+1
(4k+1)(4k+5)

=

(k+1)
(4k+5)

Factorizamos el trinomio 4k2+5k+1
Como tiene la forma ax2+bx+c, se procede del siguiente modo.
4(4k2)+4(5k)+4(1)
(4k)2+5(4k)+4
Hacemos a=4k
a2+5a+4
(a+4)(a+1)
Y como a=4k,
Entonces:
(4k+4)(4k+1)
4x1

(k+1)(4k+1)
k+1 (4k+1)
4k+1 (4k+5)

k+1
(4k+5)

=

=

(k+1)

simplificamos eliminando (4k+1)

(4k+5)

(k+1)
(4k+5)

L.Q.Q.D.




Nagua, Rep. Dom.

Ejercicios propuestos.
Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se
cumplen para cualquier número natural.
1) 12+22+32+………..+n2 =

2)

13+23+33+…………+n3

n n+1 (2n+1)
6

=

n 2 n+1 2
4

3) 12+32+52+…………+(2n-1)2 =

4)

1
1.3

+

1
3.5

+………….+

n 2n−1 (2n+1)
3

1
2n−1 (2n+1)

=

n
2n+1

5) 2+6+10+…………..+ (4n-2)= 2n2

Sustituye a n por cualquier número natural y pruebe que An
es divisible por b.
1. An=22n -1

b=3

2. An=n(2n2-3n+1)

b=6

3. An=n3+5n

b=6

4. An=n5-n

b=5

5. An = 4n -1

b=3




Nagua, Rep. Dom.
LA LÍNEA RECTA.

Una línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos
diferentes cualesquiera P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) del lugar, el valor de la pendiente m
calculado por medio de la formula: m=

y2−y1
x2−x1

resulta siempre constante.

Problemas resueltos.
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,4) y tiene pendiente m=5
Solución:
y-y1= m(x-x1)
y-4=5(x-3)
y-4=5x-15
y-4-5x+15=0
y-5x+11=0
Ecuación buscada.
Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto P (-5,2) y tiene un ángulo de
inclinación 1350
Solución:
Puesto que m= tan 𝜃 entonces:
m= tan 1350
m= -1
y-y1= m(x-x1)
y-2= -1[x-(-5)]
y-2=-1(x+5)
y-2= -x-5
y-2+x+5=0
y+x+3=0
Ecuación buscada.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos usamos la formula:
y-y1=m(x-x1).
Ejemplos:
Halle la ecuación de recta que pasa por los puntos A (2,4) y B (4,10)
Solución:
y-4=

10−4
4−2

(x-2)

6

y-4= (x-2)
2

y-4=3(x-2)
y-4=3x-6
y-4-3x+6=0
y-3x+2=0


Ecuación buscada.



Nagua, Rep. Dom.

Distancia de un punto a una recata
Para hallar la distancia de un punto a una recta usamos la formula:
d=

Ax 1+By 1+C
A 2 +B 2

1. Hallar la distancia de la recta 3x-4y+12=0 al punto P (4,-1)
Solución:

3x-4y-12=0 •

d
-1

d=
d=
d=
d=

1 2 3 4

•

Ax 1+By 1+C
A 2 +B 2

3 4 −4(−1)+12
32 +4 2
12+4+12
9+16

=

28
25

28
5

d= 5.6
La distancia del punto a la recta es 5.6 u.




Nagua, Rep. Dom.

2. Hallar la ecuación de la mediatriz (perpendicular a su punto medio)

del segmento A (-2,1), B (3,-5).
Solución:
Y
Buscamos el punto medio del segmento
AB.
A
•
A
-2 -1

2
1

L

•
-1

(𝑥1+𝑥2) (𝑦1+𝑦2)

Pm=

1 2

3

X

Pm=
Pm=

-2

• Pm AB

-3

L1

-4
-5

,

2
2
(−2+3) (1+ −5 )
2
1 −4
2

,

2

,

=

2
1
2

, -2

Buscamos la pendiente de AB.
−5−1
(𝑦2−𝑦1)
−5−1
=
= 3−(−2)
𝑥2−𝑥1
3−(−2)
−6
6
m=
=−5
3+2

m=

•B

Como la condición suficiente
y necesaria para que dos
rectas L1 y L

Buscamos la ecuación de la
mediatriz teniendo en
cuenta que el punto medio

sean perpendiculares es
que el producto de sus
pendientes sea igual a -1,
entonces tenemos que:
m L1 . m L = -1
luego despejando a m L
nos queda que:

es

m L=
m L=
m L=

−1
m L1
−1

por lo que:

6

−5
5
6

1
2

, -2 y que su

pendiente es: m L=

5
6

Como la ecuación de la
recta que pasa por dos
puntos es:
y-y1=m(x-x1)
Tenemos:
6
5

1
2

y-(-2)= − (x- )
y+2=

5
6

1

(x- 2)
1

6(y+2)= 5 (x- 2)
5

6y+12= 5x- 2

Se multiplica todo por dos
5

2(6y+12)=2(5x)-2 ( )
12y+24=10x-5

2

12y-10x+29=0

En conclusión, la ecuación de la mediatriz perpendicular al
segmento AB siendo A (-2,1) y B (3,-5) es 12y-10x+29=0




Nagua, Rep. Dom.

A modo de comprobación realizaremos las siguientes operaciones.
1. Se calcula la longitud del segmento AB.
A (-2,1) y B (3,-5)
L= d AB= (x2- x1)2+(y2- y1)2
L= (3 − −2 )2 + −5 − 1
L= (3 + 2)2 + −6

2

2

L= 25 + 36 = 61
L= 7.8
2. Como el punto medio es
extremo al punto medio.

1
2

, -2 calcularemos la distancia de cada

1

d A Pm= (2 − −2 )2 + −2 − 1
1

d A Pm= (2 + 2)2 + −3
5

d A Pm= ( 2 )2 + 9 =
d A Pm=

25+36
=
4

2

2

25
+9
4

61 7.8
=
4
2

d A Pm= 3.9

1

d B Pm= (2 − 3)2 + −2 − (−5)
1−6

d B Pm= ( 2 )2 + −2 + 5
−5

d B Pm= ( 2 )2 + 32 =
d B Pm=

25+36
=
4

2

25
+9
4

61 7.8
=
4
2

d B Pm= 3.9

Como la longitud del segmento AB es 7.8 y la d A Pm es igual a d B Pm se
concluye que

1
2

, -2 es el punto medio.



2


Nagua, Rep. Dom.

Halle las longitudes de los lados y los ángulos del paralelogramo cuyos vértices
son: A (-2,1), B (1,5), C (10,7) y D (7,3).
Solución:
Y
•C

7
6
5

B
•

4
3

•D

2

A•

1

X
-2 -1

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

--

1. Se calcula la distancia entre los vértice del paralelogramo.
d AD= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d AB= (x2- x1)2+(y2- y1)2
d AB=

1 − −2

2

+ 5−1

d AB= (1 + 2)2 + 4

2

d AD=

2

7 − −2

+ 3−1

d AD= (7 + 2)2 + 2

2

2

2

d AB= 9 + 16 = 25

d AD= 92 + 22 = 81 + 4

d AB= 5

d AD= 85

d BC= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d CD= (x2- x1)2+(y2- y1)2

d BC= (10 − 1)2 + 7 − 5
d BC= (9)2 + 2

2

2

d CD= (10 − 7)2 + 7 − 3
d CD= (3)2 + 4

2

2

d BC= 81 + 4 = 85

d CD= 9 + 16 = 25

d BC= 85

d CD= 5

Estos resultados muestran que los lados paralelos tienen la misma longitud
2. Se calcula ahora las medidas de los ángulos pero antes se calcularemos
los valores de las pendientes.
m AB=
m AB=
m AB=

m AD=

𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
5−1
1−(−2)

=

4

m AD=

1+2

4
3


m AD=

𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
3−1
7−(−2)

=

2
7+2

2
9


𝑦2−𝑦1

m BC=
m BC=

Nagua, Rep. Dom.

Para el ∡ B m2= m BC=

𝑥2−𝑥1
7−5
10−1

=

2

y m1= m AB=

9

9

Tan ∡ B=

Se calcula la medida del ángulo A usando para
esto la fórmula:
Tan ∡ A=

𝑚2−𝑚1
1+𝑚2.𝑚1

4

Para el ∡ A m2= m AB=

3

Por lo que:
Tan ∡ A=

Tan ∡ B=

1+

Tan ∡ A =

4 2
−
3 9
4
2
3
9

36−6
27
27+8
27

∡ A= Tan-1

=

y m1= m AD=

2
9

=

2 4
−
9 3
2
4
9
3

6−36
27
8
1+ 27

=

35
−30
35

∡ B= -40.60 se calcula el
suplemento del -40.60
luego:

30
35

∡ B= 139.40

30
35

∡ A= 40.60

Conclusión:
AB= 5
CD= 5
BC= 85

AD= 85


−30
27
35
27

−30

∡ B= Tan-1

36−6
27
=
8
1+ 27
30
27
35
27

Tan ∡ B=

1+

9

3

Por lo que:

2

m BC=

4

2

∡A= 40.60
∡B= 139.40
∡C= 40.60
∡D= 139.40



Nagua, Rep. Dom.

Una recta pasa L1 pasa por los puntos A (3,2) y B (-4,-6) y otra recta L2 pasa por el
punto C (-7,1) y el punto D cuya ordenada es -6.
Hallar la abscisa del punto D sabiendo que L1 es perpendicular a L2.
Solución:
4
3

B
•

2

C
•

1

-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

X

6

-2
-4
-3
-5

A•

-6
-7

•D

Se busca la pendiente de la recta AB
𝑦2−𝑦1

m AB=

𝑥2−𝑥1
−6−2

m AB=

−4−3

=

−8
−7

m CD=

8

m AB=

Como la condición suficiente y
necesaria para que dos rectas sean
perpendiculares es que el producto de
sus pendientes sea -1, tenemos:
(m AB) (m CD)= -1

7

m CD=

−1
m AB

=

−1
8
7

−7
8

Como tenemos la pendiente de L2 entonces:
m CD=
−7
8

=

𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1

despejando a x2 tenemos que:

𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1

x2-x1(-7) = (-6-1)
-7x2+7(-7)= 8(-7)
-7x2-49= -56
-7x2 = -56+49
−7𝑥2
−7

=

X2 = 1

−7
−7

la abscisa del punto D es igual a 1, por lo que: D= (1,-6)




Nagua, Rep. Dom.

Funciones Trigonométricas.
Una función trigonométrica es una relación o cociente entre las longitudes de dos
de los lados o catetos de un triangulo rectángulo.
Estas funciones se clasifican en:
• Seno.
• Cotangente.
• Coseno.
• Secante.
• Tangente.
• Cosecante.
Definición de las funciones Trigonométricas.
Seno:
Es la razón que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno:
Es la razón que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente:
Es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente:
Es la razón que existe entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante:
Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante:
Es la razón que existe entre la hipotenusa el cateto opuesto.
Funciones Trigonométricas de ángulos notables.
Funciones de 300.

C
H

0
A 60

𝟏
𝟐

D

1
600
𝟏
𝟐

B

𝟏
𝟐

Al tomar el triángulo rectángulo DBC podemos
observar que no tenemos la longitud del lado CD.
Por lo cual aplicaremos el Teorema de Pitágoras
para calcularlo.

𝟐

D

1
600

C
0
𝟑 30

30o

1

Para calcular los valores de las funciones
de 300 hacemos referencia en el triangulo
equilátero de la izquierda, teniendo en
cuenta, que con el fin de conseguir
nuestro propósito usaremos el triangulo
rectángulo DBC.

B

Solución:
CD= BC 2 − DB 2
CD=

𝟏


−
𝟏

𝟏− 𝟒=

CD=

CD=

𝟐

𝟏

𝟐

𝟐

𝟒−𝟏
𝟒

=

𝟑
𝟒

𝟑
𝟐



Nagua, Rep. Dom.

Como ya conocemos las longitudes de los 3 lados del triángulo podemos proceder a
calcular las funciones trigonométricas de 300 y 600.
Funciones Trigonométricas de 300.
1. Sen

300

𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

=

𝟏
𝟐

=

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

3. Tan 300 =

=

𝟑

𝟑

=

𝟏
𝟏
𝟐

=

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝟐

=


𝟐
𝟑

𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

2. Cos 300 =

𝟏

=

1

𝟐

𝟏
𝟐

𝟑

÷

𝟐

𝟐

=

𝟐 𝟑

𝟑

×

𝟑

𝟐 𝟑

=

𝟐(𝟑)

𝟑

=

𝟑

𝟐

4. Cot

300

=

5. Sec 300 =


𝟑
𝟐
𝟏
𝟐

=


𝟏

=


𝟐

𝟐 𝟑
𝟐

÷ =

𝟐

=

𝟑

𝟏
𝟐

𝟑

=

𝟑

𝟑

×

𝟑

=

𝟑

=

𝟐 𝟑
𝟗

Se racionaliza el
denominador para
eliminar el radical.

=

𝟐 𝟑
𝟑

𝟐

6. Cosc 300 =


𝟏

=


𝟐

= =2

𝟏
𝟐

𝟏

Funciones Trigonométricas de 600.

1. Sen 600 =


3. Tan



1

=

𝟑

=
𝟏
𝟐

1

𝟐
𝟏

=

𝟐

𝟑


=

4. Cot 600 =

=


2. Cos 600 =

600

𝟑
𝟐

𝟐
𝟏
𝟐

=

𝟐

𝟐 𝟑

𝟏

÷ 𝟐=

𝟐

= 3
Se racionaliza el

𝟏
𝟐

=

𝟑

=

𝟏

= 𝟐÷

𝟑

𝟑
𝟐

=

𝟐
𝟐 𝟑

×

𝟑
𝟑

=

𝟐 𝟑
𝟐(𝟑)

=

𝟑 denominador para
𝟑

eliminar el radical.

𝟐

5. Sec 600 =


6. Cosc 600 =


=

1

=

𝟏
𝟐

=

1
𝟑

=

𝟐
𝟏

=2
𝟐
3

×

𝟑
𝟑

=

𝟐 𝟑
9

=

𝟐 𝟑
𝟑

𝟐




Nagua, Rep. Dom.

Funciones de 450.
Consideremos el triangulo rectángulo:
C

Como se observa, en este triángulo no se
conoce la longitud de la hipotenusa (BC).

450

Procederemos entonces a aplicar el
teorema de Pitágoras para calcular el lado BC.

2
0
A 90

450

B

2

Solución:
BC= AB 2 + AC2
BC= 22 + 22
BC= 4 + 4 = 8
BC= 4x2 =2 2
BC=2 𝟐

Conocidos las longitudes de los 3 lados, procederemos a calcular el valor de las
funciones de 450.

1. Sen 450 =



2. Cos 450 =


3. Tan 450 =
4. Cot 450 =
5. Sec 450 =


𝟐 𝟐
𝟐

=

𝟐 𝟐

𝟐
𝟐 𝟐

=

𝟐

x
𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

x

=
𝟐
𝟐

𝟐 𝟐
𝟐 𝟒

=

=

𝟐 𝟐
𝟐 𝟒

𝟐
𝟐

=

𝟐
𝟐

= =1
𝟐

𝟐

= =1


=

𝟐


6. Cosc 450 =

𝟐

=

𝟐

=
=


𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐

=

𝟐

=

𝟐



Nagua, Rep. Dom.

Funciones Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.
Formulas:
1. Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k
2. Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k
Tang w+Tang k

3. Tan (w+k)=

1−Tang w.Tang k

4. Sen (w−k)=Sen w.Cos k−Cos w.Sen k
5. Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k
6. Tan (w−k)=

Tang w−Tang k
1+Tang w.Tang k

Funciones del ángulo duplo.
Si en Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k, hacemos k=w, entonces:
Sen (w+w)=Sen w.Cos w+Cos w.Sen w.
Lo cual nos indica que:
1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.
De igual forma se procede con el coseno.
En Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k, hacemos k= w, luego:
Cos (w+w)=Cos w.Cos w−Sen w.Sen w
2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w
Tan (w+k)=

Tang w+Tang k
1−Tang w.Tang k

Tan (w+w)=

Tang w+Tang w
1−Tang w.Tang w

3. Tan 2w =

𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰
𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰

En resumen las formulas básicas del ángulo duplo son:
1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.
2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w
3. Tan 2w =


Pero:
Cos2 w = 1−Sen2 w
Sen2 w = 1−Cos2 w
Por lo que:
Cos 2w = 1−Sen2 w−Sen2 w
Cos 2w = 1−2Sen2 w.
O también:
Cos 2w = 2Cos2 w −1




Nagua, Rep. Dom.

Funciones del ángulo triplo.
1. Sen 3w = Sen (w+2w)
Sen 3w = Sen w.Cos 2w+Cos w.Sen 2w
Sen 3w = Sen w. (1−2Sen2 w)+Cos w (2Sen w. Cos w)
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w.Cos2 w
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w (1−Sen2 w)
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w −2Sen3 w
Sen 3w = 3 Sen w −4Sen3 w

En este caso se
sustituyen Cos 2w
por 1−2Sen2 w y
sen 2w por
2Sen w. Cos w y
se efectúan las
operaciones
correspondientes.

2. Cos 3w = Cos (w+2w)
Cos 3w =Cos w.Cos 2k−Sen w.Sen 2k
Cos 3w =Cos w (2Cos2 w −1)−Sen w (2Sen w. Cos w)
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Sen2 w. Cos w
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w − (1−Cos2 w) 2Cos w
Cos 3w =Cos w +2Cos3 w – (2Cos w−2Cos3 w)
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Cos w+2Cos3 w
Cos 3w = 4Cos3 w –3Cos w
3. Tang 3w = Tang (w+2w)
Tang 3w =

Tang w+Tang 2w
1−Tang w.Tang 2w

Se sustituye Tan 2w por


y

efectuamos las operaciones indicadas.

2Tang w
1−Tan g 2 w
2Tang w
w.
1−Tang 2 w

Tang w +

Tang 3w =

1−Tang

Tang 3w =

Tang w −Tang 3 w +2Tang w
1−Tan g 2 w
2Tang 2 w
1−
1−Tang 2 w

Tang 3w =

3Tang w −Tang 3 w
1−Tan g 2 w
1−Tang 2 w −2Tang 2 w
1−Tang 2 w

Tang 3w =

Se eliminan los denominadores
comunes 1−Tang2 w

𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟑 𝐰
𝟏−𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰




Nagua, Rep. Dom.

Funciones del ángulo mitad.
Puesto que Cos 2w = 1−2Sen2 w y si w =
k

1−2Sen2
k

−2Sen2

Sen2

2

k

2Sen2

2

k

2

entonces:

𝐤

= Cos 2 𝟐

= Cos k−1

= 1−Cos k

=

2

2

k

1−Cos k
2
𝐤

1. Sen = ±
𝟐

𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐

Para el Coseno del ángulo mitad, usamos:
2Cos2 w −1= Cos 2w y d igual forma w =
k

2Cos2

2
k

2Cos2
cos2

2

k
2

Tang

entonces:

𝐤

= Cos k+1
= Cos k+1

=

Cos k+1

2. Cos

Tang

2

−1= Cos 2 𝟐
2
k

2Cos2

k

k
2

k
2

2
𝐤
𝟐

=±

𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏
𝟐

±

𝟐

±

𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏
𝟐

=

𝟐
𝟏+𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐

=±

3. Tang

𝐤
𝟐

=±

𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝐤




Nagua, Rep. Dom.

Ejercicios Resueltos.
Si w =450 y k=600 halle:
1. Sen 1050
Solución:
Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k
Sen (450+600)=Sen 450. Cos 600+Cos 450. Sen 600
2

1
+
2

Sen 1050 = 2
2

Sen 1050 =

3
2

6
4

+

4

2
2

𝟐+ 𝟔

Sen 1050 =

𝟒

2. Cos 150
Solución:
Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k
Cos (600−450)=Cos 600. Cos 450+Sen 600. Sen 450
1

2
+
2

Cos 150 = 2
2

3
2

2
2

6

Cos 150 = 4 + 4
𝟐+ 𝟔

Cos 150 =

𝟒

3. Tan 1050
Solución:
Tan (w+k)=
Tan

Tang w+Tang k
1−Tang w.Tang k

(600+450)=

Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tan 1050 =

Tan 1050 =

Tang 60 0 +Tang 45 0
1−Tang 60 0 .Tang 45 0

3+1
1−

3 (1)

3+1
1− 3
3+1
1− 3

x

3+1
1+ 3

9+ 3+ 3+1
1 2−

En este caso sustituimos
Tang 600 y Tang 450 por
sus respectivos valores y
se realizan las
operaciones
correspondientes.

3

2

=

4+2 3
1−3

Se racionaliza el denominador
para eliminar el radical y luego
simplificamos.

4+2 3
−2

Tang 1050 = −2− 𝟑




Nagua, Rep. Dom.

4. Cos 1350.
Solución:
Cos 1350 = Cos 3(450)
Cos 1350 = 4Cos3 450 –3Cos 450
3

2

Cos 1350 = 4 2

2

Cos 1350 = 4

2 ( 2)
2x2x2
2

4

Cos 1350 =4

8
2

Cos 1350 =8

8

Cos 1350 = 2 −
Cos 1350 =

2

−3 2

−

−

−

3 2
2

3 2
2

3 2

2
3 2 2 2−3 2

=

2

2

− 𝟐
𝟐

5. Hale Tang 300
Solución:
Tan 300 =
Tang
Tang

k
2

60 0
2

1−Cos k

=±

60 0
2

1+cos k
1−Cos 60 0

=

1+cos 60 0
1

1−2

Tang 300 =

Tang 300 =
Tang 300 =

1
2

1+
1
3

x

=
3
3

=

2−1
2
2+1
2

=

𝟏
𝟐
𝟑
𝟐

=

𝟏
𝟑

3
9

𝟑
𝟑




Nagua, Rep. Dom.

6. Tan 1200
Solución:
Tang 1200 = Tang 2(600)
Tan 2w =

2 Tang w
1−Tang 2 w

Tan 2(600) =
Tan 1200 =
Tan 1200 =

2 Tang 60 0
1−Tang 2 60 0
2 3

1−
2 3
1−3

Tan 1200 = −

3

=

2

2 3
−2

𝟑




Nagua, Rep. Dom.

Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver el siguiente triangulo rectángulo.
A

En este triangulo se conocen la hipotenusa, uno de
sus ángulos agudos y su ángulo recto.

b

C=12cm

0
C 90

420

a

B

1. Se calcula el ángulo A.
La m ∡ A=900-m ∡ B.
La m ∡ A=900-420
La m ∡ A= 480
2. Sen 420 =

b
c

b= c sen 420
b= 12 cm (0.669)
b= 8.03cm

Se aplica este procedimiento para calcular el
ángulo A porque la suma de los ángulos ∡ B y
∡ A es igual a 900.
El cateto b es opuesto al ángulo de 420 y el
seno es igual a la longitud del cateto opuesto
entre la longitud de la hipotenusa.
Se despeja a b aplicando la operación inversa
de la división por lo que: b= c sen 420

3. El longitud del lado a se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras o
la función coseno.
a= c 2 − b 2
Se eleva 12 al cuadrado y al resultado se
a= (12cm)2 − (8.03cm)2
le resta el cuadrado de 8.03 y luego
2 − 64.48cm2
a= 144cm
buscamos la raíz cuadrada del resultado
2
de la resta.
a= 79.52cm
a= 8.92cm
4. Ahora buscamos el perímetro
P= a+b+c
P=8.92cm+8.03cm+12cm
P= 28.95cm
5. Por último se calcula el área.
A=

bxh

A=
A=

2
8.92cm (8.03)
2
71.63cm 2
2

Como el triangulo es rectángulo su área se
determina multiplicando la longitud de su base por
la longitud de su altura y dividiendo el resultado
entre dos.
Es decir: A=

bxh
2

A= 35.82cm2




Nagua, Rep. Dom.
C

Resolución de triángulos rectángulos.

c

b

Resolver el siguiente triangulo rectángulo.

B

A

x
a

A

Por Pitágoras c2= a2+b2
C=?

b=12 cm
0
C 90

En este triangulo se conocen las longitudes de los
dos catetos, lo cual nos indica que se podemos
aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la
longitud de la hipotenusa.

B

a= 8 cm
1. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de c.
C= a2 + b 2
C= (8 cm)2 + (12 cm)2
C= 64 cm2 + 144 cm2
C= 208 cm2
C=14.42 cm

Se sustituyen a y b por 8 y 12
respectivamente, se elevan cada uno al
cuadrado, se suman estos resultados y se
busca la raíz cuadrada.

2. Se aplica la función tangente para hallar uno de los ángulos agudos.
Tan ∡ B=
Tan ∡ B=

b
a
12
8

Tan ∡ B= 1.5

Se aplicó la función tangente para hallar el ángulo B
porque tangente es igual a la longitud del cateto
opuesto que para el ∡ B es b sobre la longitud del

cateto adyacente que es a.
∡ B= Tan-1 1.5
∡ B= 56.30
3. Buscamos ahora el ángulo C
Como en todo triangulo se cumple que:
∡ A+∡ B+∡ C=1800, entonces:
∡ C=900- ∡ B
∡ C=900-56.30
∡ C= 33.70
4. Se busca el perímetro
P=a+b+c
P= 8 cm+12 cm+14.42 cm
P= 34.42 cm
5. Calculamos el área.
1

A= b.h
2
1

A= (8cm) (12cm)
2
1

A= (96cm2 )
2

A= 48 cm2


En resumen
c =14.42 cm
∡ B =56.30

∡ C=33.70
El P=34.42 cm
A= 48 cm2


Nagua, Rep. Dom.

Aplicaciones de la resolución de triángulos rectángulos.

Solución:
Para resolver este problema podemos usar la función
Coseno ya que Cos=

cateto adyacente
hipotenusa

C

680

y si tomamos

Altura

 Una escalera está apoyada contra un poste de luz formando
con el suelo un ángulo de 680. Si la distancia del pie de la
escalera a la base de la pared es 2.4 metros.
¿cuál es la longitud de la escalera?
¿A qué altura está su tope?

a

900
2.4 m

como referencia el ángulo de 680, entonces tendremos:
Cos 680=
C=
C=

2.4 m
C

despejando a C tendremos que:

2.4 m
cos 68 0
2.4 m
0.37

C= 6.5 metros.
Para responder la segunda pregunta podemos aplicar la
función seno porque ya tenemos la longitud de C.
Sen 680=

a
C

a= c (Sen 680)
a= 6.5 m (0.93)
a= 6.05 metros
En conclusión:
1. La longitud de la escalera es 6.5 metros.
2. El tope del la escalera está a 6.05 metros.




Nagua, Rep. Dom.

Cálculo trigonométrico del área de un triángulo.
El área A de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de su base y de
la longitud de su altura.
1. A=

1
2

(b.h)

Según el triángulo ABC
Sen A=

B
c

A=

900

A

h

y Sen C= a luego:

c

h= c sen A y h= a sen B, si se
sustituyen los valores de h en 1,
tendremos que:

a

h

h

C

b

A=

1
2
1
2

bc sen A
ba sen C

Ejemplo 1.
Calcule el área del triángulo PQR.
R

Solución:
A=

q= 12cm

A=
P

480
r = 9cm

Q
A=

1
2
1
2
1
2

(qr) sen P
(12 cm) (9 cm) sen 480
(108 cm2) (0.74)

A= (54 cm2) (0.74)
A= 39.76 cm2
Ejemplo 2.
Calcule el área del triángulo ABC
C
Solución:

580

b= 14 cm

a= 16 cm

A=
A=

A

B
A=

1
2
1
2
1
2

(ba) sen C
(14 cm) (16 cm) sen 580
(224 cm2) (0.85)

A= (112 cm2) (0.85)
A= 95.2 cm2




Nagua, Rep. Dom.

Resolución de triángulos no rectángulos.
Resolver un triangulo es calcular la longitud de sus tres lados, las medidas de sus
tres ángulos, su perímetro y su área.
Caso 1.
Dado un triangulo con sus tres lados hallar los demás elementos.
C
b=12cm

a=9cm

A

B
c= 15cm

Para resolver este triangulo debemos aplicar la ley del coseno para calcular la
longitud del lado que falta y la medida de los otros ángulos.
Solución:
Se calculan las medidas de los ángulos.
Cos B=

a 2 +c 2 −b 2

B= cos -1

2ac
92 +15 2 −12 2
2 9 (15)
81+225−144

B= cos -1
B= cos -1

270
162
270

Cos A =

b 2 +c 2 −a 2

A= cos -1

2bc
122 +15 2 −92

A= cos -1
A= cos -1

2 12 (15)
144+225−81
360
288
360

Cos C =

b 2 +a 2 −c 2
2ba

C= cos -1
C= cos -1
C= cos -1

12 2 +92 −15 2
2 12 (9)

144+81−225
216
0
216

B= cos -1 0.6

A= cos -1 0.8

C= cos -1 0

B= 530 7’ 48’’

A= 360 52’ 11’’

C= 900

La medida del ángulo C se pudo haber calculado también aplicando el teorema
fundamental sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier
triangulo.
Se calcula el perímetro.
P= a+b+c
P= 9cm+12cm+15cm
P= 36cm
S es el semiperímetro
𝑝
S=
2
S=

Se calcula el área aplicando la formula de Herón.
A= s s − a s − b (s − c)
A= 18 18 − 9 18 − 12 (18 − 15)
A= 18 9 6 (3)
A= 2916
A= 54cm2

36cm
2

S = 18cm




Nagua, Rep. Dom.

Caso 2.
Otro ejemplo de resolución de triángulos no rectángulos es aquel en el que se nos
dan las longitudes de dos lados y un ángulo para que calculemos el lado que falta,
los tres ángulos, el perímetro y el área.
Ejemplo.
Resolver el siguiente triangulo.

C

b=14cm
A

a=?

560

c= 16cm

B

Como sabemos la ley del coseno establece que Cos A =

b 2 +c 2 −a 2
2bc

en este caso

vamos a despejar la variable a de la fórmula del coseno.
I. Calculamos el lado a
2bc.cos A= b2+c2-a2
conociendo los 3 lados se procede a calcular los
2 = b2+c2-2bc.cosA
a
ángulos que faltan.
2 + c 2 − 2bc. cosA
a= b
II. Calculamos la medida del ángulo B
a=

142 + 162 − 2 14 16 cos 56

a=

196 + 256 − 448(0.56)

Cos B=
B= cos -1

a 2 +c 2 −b 2
2ac

(14.18)2 +16 2 −142
2 14.18 (16)
201.07+256−196

a = 452 − 250.88

B= cos -1

a = 201.12

B= cos -1

a = 14.18cm

B= cos -1 0.57

III. calculamos el ángulo C.
C= 1800- (A+B)

453.76
261.07
453.76

B= 550 14’ 59’’
V. Calculamos el área

C= 1800-1110 14’ 59’’

A= s s − a s − b (s − c)

C= 680 45’ 01’’

A= 22.09 22.09 − 14.18 22.09 − 14 (22.09 − 16)

IV. calculamos el perímetro
P= a+b+c
P= 14.18cm+14cm+16cm
P= 44.18cm

A= 22.09 7.91 8.09 (6.09)
A= 8608.708
A= 92.78cm2

S=

p
2

S = 22.09cm.




1.

2.

3.

4.
5.

Nagua, Rep. Dom.

Evaluación.
Seleccione la respuesta correcta.
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, − 1) y B (5, 9)
es igual a:
A. 3
B. 5
C. 2
Si la pendiente de una recta es 2 y esta pasa por el punto (4, 2) y por
otro punto cuya ordenada es 6 ¿Cuál la abscisa del otro punto?
A. 4
B. 3
C. 5
La ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente
m=2 es igual a:
A. 4y+3x =0
B. y = 3x −7
C. 2y = 4x+8
¿Cuál es la distancia del punto (3, 4) a la recta 8x+6y −5=0?
A. 5
B. 4.5
C. 3.5
Si dos lados consecutivos de un triángulo miden 12cm y 15cm
respectivamente y el ángulo entre ellos es 48 0. ¿Cuál es el área de
ese triángulo?
A. 66. 6 cm2
B. 58.5 cm2
C. 78.4 cm2

Refuerza tus
conocimientos
poniendo en
práctica lo que
aprendiste.

Resuelve.
1. Si los vértices de un triángulo son los puntos A (2, 1), B (6, 1) y C (3,5)
calcule:
La longitud de los lados del triángulo.
La medida de cada uno de sus ángulos.
El perímetro y el área del triángulo.
¿Qué clase de triángulo es?
(De acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos)

8
7
6
5

•

4
3
2
1
-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

-1

•
1

•
2

3

4

5

6

X

-2
-4
-3
-5




Nagua, Rep. Dom.

Problemas resueltos sobre geometría analítica.
Los vértices de un triangulo son los puntos P1 (1,-2), P2 (4,-2) y P3 (4,2).
Determinar la longitud de sus lados, calcular la longitud de su hipotenusa
y su área

8
7
6
5

4
3

P3
•

2
1
-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

-1
-2
-3

1

•
P1

2

3

4

5

6

X

• P2

-4
-5

Solución:
Datos:
P1 (1,-2)
P2 (4,-2)
P3 (4, 2)
2.

D p2p3 = (4 − 4)2 + (2 − (−2))2
D p2p3 = (0)2 + (2 + 2)2
D p2p3 = 0 + (4)2

1. D p1p2 = (4 − 1)2 + (−2 − (−2))2
D p1p2 = (3)2 + (−2 + 2)2
D p1p2 = 9 + (0)2
D p1p2 = 9
D p1p2 = 3
3. D p1p3 = (4 − 1)2 + (2 − (−2))2
D p1p3 = (3)2 + (2 + 2)2
D p1p3 = 9 + 16

D p2p3 = 16

D p1p3 = 25

D p2p3 = 4

D p1p3= 5

4. A=

A=

𝑏𝑥 ℎ
2
3x4
2

=

12
2

5. Hip= 32 + 42
Hip= 9 + 16
Hip= 25
Hip= 5

A= 6 u2




Nagua, Rep. Dom.

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos P1 (-1,1) y P2 (3,1).
Hallar las coordenadas del tercer vértice.
Solución:
Datos:
P1 (-1,1)
8
P2 (3,1)
7
P3 (x, y)
6
5

4

•

P3
•

3
2

• P2

P1 • 1
-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

6

X

-2
-3
-4
-5

1. D p1p2 = (3 − (−1))2 + (1 − 1)2
D p1p2 =

(4)2 + (0)2

D p1p2 = 16
D p1p2 = 4
2. Puesto que el triángulo es equilátero se tiene
D p1p2 =
4=

𝑥 − (−1 )2 + 𝑦 − 1

𝑥 + 1 )2 + 𝑦 − 1

2

𝑥 + 1 )2 + 𝑦 − 1
16 = (x+1)2 + (y-1)2
16= x2+2x+1+y2-2y+1 A
(4)2 = (

3. D p1p2=

elevando al cuadrado ambos miembros
2 )2

𝑥 − 3 )2 + 𝑦 − 1

4=
𝑥 − 3 )2 + 𝑦 − 1 2
16= x2 -6x+9+y2-2y+1 B

2

2

elevando al cuadrado ambos miembros

Formamos un sistema de ecuaciones con las ecuaciones A y B.
16= x2+2x+1+y2-2y+1
16= x2 -6x+9+y2-2y+1




Nagua, Rep. Dom.

Multiplico la ecuación 1 por -1.
-x2-2x-1-y2+2y-1= -16
x2- 6x+9+y2-2y+1=16
- 8x+8=0
x=

resolvemos el sistema por reducción

−8
−8

x=1
Buscamos el valor de y.
x2+2x+1+y2-2y+1=16
(1)2+2(1)+1+ y2-2y+1=16
1+2+ y2-2y+1=16
5+ y2-2y=16
y2-2y-11=0.
Resolvemos esta ecuación por la formula general.
y=

y=
y=
y=
y=
y=

−b± b 2 −4ac
2a
−(−2)± (−2)2 −4 1 (−11)
2(1)
2± 4+44
2
2± 48
2
2± 16x3
2
2±4 3
2

2+4 3

y1=

2

y1= 1+2 3
2−4 3

y2=

2

y2=1-2 3

Las coordenadas del tercer punto del triángulo
son: (1, 4.5)




Nagua, Rep. Dom.

Calcule la longitud de los lados, los ángulos, el perímetro y el área del
triangulo cuyos vértices son los puntos: A (2,3), B (8,3) y C (5,7)
¿Qué clase de triangulo es? (Dos soluciones)
Solución:
Datos:
A (2,3)
B (8,3)
C (5,7)

8

C
•

7
6
5

4

A•

3

•B

2
1
-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

X

-2
-3
-4
-5

Se aplica la formula de distancia entre dos puntos para calcular la
longitud de los lados.
1. d AB =
x2 − x1 2 + y2 − y1
d AB =
8−2 2 + 3−3 2
d AB = 62 + 02 = 36
d AB = 6
2. d BC =
8−5 2 + 7−3
d BC = 32 + 42
d BC = 9 + 16 = 25
d BC = 5


2

3. d AC =

d AC =
d AC =
d AC = 5

5−2 2 + 7−3
32 + 42
9 + 16 = 25

2

2



Nagua, Rep. Dom.

Estos resultados nos indican que el triangulo es isósceles, ya que dos de sus lados
tienen la misma medida.
Para calcular las medidas de los ángulos se aplica la ley del coseno.
Para tal fin hacemos: d BC = a, d AC = b y d AB = c.
Cos A =
Cos A =
Cos A =
Cos A =

b 2 +c 2 −a 2

a 2 +c 2 −b 2

Cos B =

2bc
52 +62 −52

Cos B =

2 5 (6)
25+36−25

2ac
52 +62 −52

Cos B =

60
36

Cos B =

60

Cos A = 0.6
A= Cos-1 0.6

2 5 (6)
25+25−36
60
36
60

Cos B = 0.28
B= Cos-1 0.6

A= 53.130

B= 53.130

Como en cualquier triangulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es
igual a 1800
Tenemos que:
C= 1800-53.130-53.130
C= 76.740
Para calcular el área usamos la formula de Herón.

A= s s − a s − b (s − c)
Pero primero se busca el semi-perímetro
P=
P=

a+b+c
2
6+5+5
2

=

16
2

P= 8

Ahora se calcula el área.
A= s s − a s − b (s − c)
A= 8 8 − 6 8 − 5 (8 − 5)
A= 8 2 3 (3)
A= 144

A = 12 u2


En resumen
las longitudes de
los lados son: 6cm, 5cm
y 5cm
Los ángulos miden
53.130, 53.130 y 74.740
El perímetro es
igual a 16
El área es igual 12 u2



Nagua, Rep. Dom.

Segunda solución:
El problema anterior se puede resolver también aplicando el concepto de
pendiente de una recta que pasa por dos puntos.
Recordemos además que la pendiente es igual a la tangente del ángulo de
inclinación de la recta, es decir: m= tan 𝜃.
El teorema 5 del capítulo I de la geometría analítica de Lehmann establece que:
Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por:
m2−m1

Tan θ =

1+m2.m1

Resolvamos ahora el problema recordando que A=(2,3), B=(8,3) y C=(5,7)
Se buscan m1 y m2 teniendo en cuenta que los ángulos giran contrario a las
manecillas del reloj para poder identificar para un ángulo dado quien es m 1
y quien es m2.
Para el ángulo A:
Para el ángulo B:
m1=
m1=

y2−y1

m2=

x2−x1
3−3
8−2

0

=6

m2=

y2−y1
x2−x1
7−3
5−2

4

=3

4

m1= 0

m1=

m2= 3

m1=
m1=

y2−y1

m2=

x2−x1
3−7
8−5

0

=6

m2=

−4

y2−y1
x2−x1
3−3
8−2

4

=3

m2= 0

3

Como ya tenemos las pendientes de las rectas que determinan el ángulo A y al
ángulo B, entonces:
Tan A =

m2−m1
1+m2.m1
m2−m1

A = tan-1

1+m2.m1

4
−0
A = tan-1 3 4
1+ 3 (0)
4
3

A = tan-1
A= tan-1

1
4
3

A= 53.130

Tan B =

m2−m1
1+m2.m1

B = tan-1

m2−m1
1+m2.m1
4

B = tan-1

0+3
1+ 0
4
3

B = tan-1
B= tan-1

4
3

1
4
3

B= 53.130

Como ya tenemos las medidas de los ángulos A y B se aplica el teorema
fundamental sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de
cualquier triangulo el cual establece que:
∡A+∡B+∡C=1800 por lo que:
∡C=1800- ∡A+∡B
∡C=1800-106.260
∡C=76.740




Nagua, Rep. Dom.

Funciones cuadráticas.
Una función cuadrática:
Es aquella que contiene una o todas sus variables elevadas al cuadrado.
Ejemplo 1:
y= 3x2+2x-1
y= 2x2+1.
El gráfico de una función cuadrática da como resultado una línea curva llamada
parábola.
Se debe tener en cuenta que:
Si el coeficiente del término cuadrático es negativo la curva abre hacia arriba.
Si el coeficiente del término cuadrático es positivo la curva abre hacia abajo.
Represente gráficamente la función: y= x2+1
Solución:
Para representar gráficamente esta
x -2
-1 0 1 2
función, se le asignan los valores:
y
5
2 1 2 5
-2,-1,0,1,2 a la variable independiente
que es x y luego se sustituyen en la
y= (-2)2+1= 4+1=5
2+1
ecuación de la función que es y = x
y= (-1)2+1= 1+1=2
para hallar los valores de y.
y= (0)2+1= 0+1=1
y= (1)2+1= 1+1=2
Al tener todos los valores de y
y= (2)2+1= 4+1=5
completamos la tabla de variación y
luego cada par ordenado se representa
en el plano

8
7
6

•

•

5

4
3

•2

•

1•
-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

X

-2
-4
-3
-5




Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 2.
Represente gráficamente la función
y= -x2-1
Solución:

Recuerda:

3
2

Asignamos valores a la variable x.
x
y

-2
-5

-1
-2

0
-1

1
-2

• A (1,3)
• B (4,1)

1

2
-5

-1

Se sustituyen los valores de x para buscar
los valores de y.

1

2

3

4

La abscisa del punto A=1,
ordenada de A=3, abscisa del
punto B=4 y ordenada de B=3.

y= -(-2)2-1= -4-1= -5
y= -(-1)2-1= -1-1= -2
y= -(0)2-1= 0-1= -1
y= -(1)2-1= -1-1= -2
y= -(2)2-1= -4-1= -5

m AB=
m AB=

𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
1−3
4−1

=

−2
3

𝜃= Tan-1 m AB
5

𝜃= Tan-1

4
3

−2
3

𝜃= 146.30

2
1
-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

-1 •

•-2

1

2

3

4

5

6

X

•

-4
-3

•


-5

•



Nagua, Rep. Dom.

Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la cual el mayor exponente
de la variable o las variables que en ella aparece es 2.
Su forma general es
ax2±bx±c=0.
Este tipo de ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas 𝐱 =

−𝐛±

𝐛 𝟐 −𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚

, por factorización o por tanteo.

Discriminante de una ecuación de 2do grado.
El discriminante de una ecuación de segundo grado (∆) nos permite determinar el
tipo de raíces que tiene dicha ecuación y su fórmula es: ∆= b2-4ac
Propiedades del determinante.
1. Si el ∆ es menor que cero las raíces son complejas y conjugadas.
2. Si el ∆ es igual a cero las raíces son reales e iguales.
3. Si el ∆ es mayor que cero las raíces son reales y distintas.
Ejemplo.
Resolver la siguiente ecuación por la formula general.
3x2+ 8x-3=0
Solución:

x=
x=

−b± b 2 −4ac
2a
−8± 82 −4 3 (−3)
2(3)

Aplicamos la formula general
Se sustituyen las variables por sus valores y
Se multiplica 8x8 y -4(3) (-3)

x=
x=
x=
x=

−8± 64+36
6
−8± 100

Sumamos 64 y 36

−8±10
6
−8+10
6
2

1

6

3

x= =
x=

∆= b2-4ac
∆= 82-4(3)(-3)
∆= 64+36
∆= 100
Aquí
observamos que
∆>0 lo que
indica que las
raíces de esta
ecuación son
reales y
distintas.

Se busca la raíz cuadrada de 100

6

−8−10
6

se simplifica

=

−18
6

Calculemos el
discriminante de
la ecuación
3x2+8x-3=0.
Solución:

2
6

se divide -18 entre 6 para que de -3

x = -3
1

El conjunto solución de esta ecuación es [ 3 , -3]




Nagua, Rep. Dom.

Resolvamos ahora la misma ecuación por factorización
3x2+ 8x-3=0, como esta ecuación tiene la forma del trinomio ax2+bx+c
apliquemos entonces el procedimiento para factorizarlo.
Multiplico todo por 3
3(3x2)+3(8x)+3(-3)=0
(3x)2+8(3x)-9=0
Hacemos a=3x
a2+8a-9=0
Factorizamos este trinomio y obtenemos los factores
(a+9)(a-1)=0
(3x+9)(3x-1)=0
3x+9 (3x−1)
3

como ya habíamos dicho a=3x, ahora sustituimos a por 3x

=0

como multipliqué por 3, divido por 3 para que el trinomio
vuelva a su forma original y al simplificar nos queda

(x+3)(3x-1)= 0
x+3=0
x=0-3
x= -3

cada binomio se iguala a 0.

3x-1=0
3x=0+1
3x
1
=
3
3
x=

1
3

Como se observa al resolver la ecuación por la formula general y por factorización
el conjunto solución es el mismo.
Para resolver esta ecuación por tanteo solo debemos sustituir a x por cantidades
cualesquiera hasta encontrar una que satisfaga la igualdad.
Por ejemplo
Si sustituimos a x por 3, tendremos
3(3)2- 8(3)-3=0
3(9)- 24-3=0
27 – 27 =0
0=0
como se observa al sustituir a x por 3 la igualdad se cumple.
De igual manera se cumplirá si se sustituye a x por


1
3



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 2.
Resuelve la siguiente ecuación por la formula general.
5x2+7x-6=0

x=
x=
x=
x=
x=
x1=
x2=

−b± b 2 −4ac
2a
−7± 72 −4 5 (−6)
2(5)
−7± 49+120
10
−7± 169
10
−7±13
10
−7+13
10
−7−13
10

6

= 10 =

3
5

−20

= 10 = −20

Las raíces o soluciones de la ecuación son:


3
5

y −20



Nagua, Rep. Dom.

Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.
Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardaran en realizar el
mismo trabajo pero haciéndolo por separado, si uno tarda 5 horas más que el otro?
Solución:
Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.
1

En una hora hará

x

del total del trabajo

El segundo obrero empleará (x+5) horas y en una hora hará

1
x+5

del total del

trabajo.
Entre los dos tardan 12 horas en completar el trabajo, por lo que en una hora
1

harán
Luego:
1
x

+

del total del trabajo.

12

1
x+5

=

1

es la ecuación que nos dará la solución del problema.

12

Se resuelve esta ecuación
x(x+5)
x

+

x(x+5)

x+5+ x =

=

x+5

x(x+5)
12

x(x+5)
12

12(x+5+x)=

x(x+5)
12
12

24x+60 = x2+5x
x2+5x-24x-60= 0
x2-19x-60= 0
Resolvemos esta ecuación por la formula general

𝐱=
x=
x=

𝐛 𝟐 −𝟒𝐚𝐜

−𝐛±

𝟐𝐚
−(−19)± 192 −4 1 (−60)

Como se observa el primer obrero tarda

2(1)

21.75 horas o 21.

19± 361+240

x=
x=

2

100

= 21.

4,500
100

21. 45, es decir 21 horas y 45 minutos.

19± 601
2
19±24.5

x1 =
x2 =

75x60

2
19+24.5
2
19−24.5
2

=
=

43.5
2

= 21.75

− 5.5
2

= − 2.75


Como el segundo obrero tarda 5 horas
más que el primero, el tiempo que le
toma hacer el trabajo es 26.75 horas o
26 horas y 45 minutos.
En conclusión:
El primer obrero tarda 21 horas y 45
minutos
El segundo obrero tarda 26 horas y 45
minutos



Nagua, Rep. Dom.

Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 variables.
Un sistema de ecuaciones lineales es la asociación de dos o más ecuaciones cada
una con dos o más variables relacionadas mediante las operaciones de suma,
resta, multiplicación y/o división.
Ejemplo.

4a+ 5m=42
3a +2m=28

Para hallar la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones, podemos usar varios
métodos y el tipo de solución nos dirá que tipo de sistema de ecuaciones es.





Si el sistema tiene al menos una solución, es compatible.
Si el sistema tiene solución única, es compatible determinado.
Si el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado.
Si el sistema no tiene solución, es incompatible.

Entre los métodos algebraicos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones
lineales tenemos:
 Método de reducción o suma.
 Método de sustitución.
 Método de igualación.
 Método de Reducción o Suma.
Este método consiste en escribir una ecuación debajo de la otra, teniendo en
cuenta que los coeficientes numéricos de la misma variable en ambas ecuaciones
deben ser iguales y de signos opuestos.
Ejemplos.
Resuelve por el método de reducción o suma.
5x+4y=37
3x-4y= 3

Como se observa en este sistema, los coeficientes de y
en ambas ecuaciones son iguales y de signos contrario.

Escribimos ambas ecuaciones una debajo de la otra y eliminamos la variable y.
I.
5x+4y =37
3x- 4y =3
8x
8

=

40
8

x=5

ll. se sustituye x por su valor (5) en cualquiera de las dos ecuaciones
y buscamos el valor de y.
5(5)+4y=37
25+4y=37
4y=37- 25
4y
4

=

12
4

y=3



Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 2.
Resuelve por reducción.
6m+4x=32
Como se observa, los coeficientes de m son
iguales y de signos opuestos.

-6m+3x= -18

I. Escribimos una ecuación debajo de la otra y eliminamos la variable m.
6m+4x =32
-6m+3x =-18
7x
7

=

14
7

x=2
II. sustituyo a x por su valor para buscar a m.
6m + 4(2) =32
6m +8 = 32
6m=32- 8
6m
6

=

24
6

m= 4.
Ejemplo 3.
Resuelve por reducción el siguiente sistema.
4a + 7y =43
3a + 2y =16
Aquí observamos que los coeficientes de las variables no son opuestos aditivos por
tanto no pueden eliminarse de manera directa.
En este caso multiplicamos ambas ecuaciones por cantidades convenientes para
convertir los coeficientes de una misma variable en opuestos aditivos.
Por ejemplo, si multiplico la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por -4 se igualan los
coeficientes de a y podemos simplificar nuestro sistema.
1. 3(4a +7y)=3(43)
12a +21 y=129

2. -4(3a+2y)=-4(16)
-12a-8y=-64

Sumo el resultado de 1 y 2 y simplifico para buscar el valor de de y.
12 a+21y=129
-12 a-8y= -64
13y
13

=

65
13

y=5



Nagua, Rep. Dom.

Se toma una de las ecuaciones y se sustituye a y por su valor para buscar el
valor de a.
4a+7(5)=43
4a +35 =43
4a=43-35
4a
4

=

8
4

a= 2
Ejemplo 4.
Resuelve por reducción el siguiente sistema de ecuaciones.
3w-5m=3
7w+8m=66
Para resolver este sistema por reducción debemos convertir los coeficientes
numéricos de una misma variable en opuestos aditivos y una opción es multiplicar
la ecuación 1 por 8 y la ecuación 2 por 5.
I.

1.

8(3w-5m)=8(3)
24w-40m=24

II.

Se suman los resultados de 1 y 2
24w-40m=24
35w+40m=330
159w
59

=

2. 5(7w+8m)=5(66)
35w+40m=330.

354
59

w=6
III.

Sustituyo a w por su valor para buscar a m.
3(6)-5m=3
18-5m=3
-5m=3-18
−𝟓𝐦
−𝟓

=

−𝟏𝟓
−𝟓

m= 3




Nagua, Rep. Dom.

9x+3y= 51

2a+10b=108

4x-3y=14

4a+6b=76

3a+5m=66

5m+3a=33

6a+2m=60

3m-3a=15

2x-7y=-22

7k+8w=86

4x+7y=40

2 k+3w=26




Nagua, Rep. Dom.

Método de sustitución
Este método consiste en tomar cualquiera de las dos ecuaciones y despejar en ella
una de las dos variables, luego sustituirla por su valor en la otra ecuación y
efectuar las operaciones de lugar hasta reducir el sistema a una ecuación lineal que
al ser resuelta nos dará el valor de la primera variable, luego con la variable
hallada sustituimos este valor en una de las ecuaciones para obtener el valor de la
segunda variable.
Ejemplos 1.
Resuelve por sustitución.
8a +3y=38
4a +5y=26.
Se despeja la variable y.
8a+3y=38
3y
3

=

y=

38−8a

3
38−8a
3

Se sustituye la variable y por su valor en la otra ecuación
38−8a

4a+5

=26

3

4a+ 190-40a =26
3
3(4a) + 190-40a=3(26)
12a+190-40a=78
-28a=78-190
−28 m
−28

=

se multiplica el 5 por 38 y por 8a.
se multiplica el 3 por 4a y por 26.

se suman algebraicamente 12a y - 40a
se transpone el 190.

−112
−28

a= 4
Se sustituye la variable a por su valor para hallar el valor y.
y=
y=

38−8(4)
3
38−32
3

=

6
3

y= 2




Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 2.
Resuelve por sustitución.
3m+6x=30
5m+7x=47
Se despeja la variable m.
3m+6x=30
3m
30−6x
=
3
3
m=

30−6x
3

Se sustituye la variable m por su valor en la otra ecuación.
5

30−6x
3

150−30x
3

+7x =47
+7x=47

150 -30x +3(7x)=3(47)
150-30x+21x=141
-9x=141-150
−9x
−9

=

se multiplica el 5 por 30 y por 6x.

se multiplica 3 por 7x y por 47.
se restan -30 y 21 y se transpone el 150.

−9
−9

x=1
Buscamos el valor de m sustituyendo a x por su valor .
m=

30−6(1)

m=

3

30−6
3

=

24
3

m= 8




Nagua, Rep. Dom.

Ejemplo 3.
Resolver por sustitución.
7w-4a =43
3w+ 6a =57
Despejo a w en la ecuación 1.
7w-4a=43
7w

=

7

w=

43+4a
3

43+4a

7
Sustituyo a w por su valor en la otra ecuación 2.

3

43+4a
7

+6a=57

129+12a
7

el 3 se multiplica por 43y por 4a

+6a =57

129+12a+7(6a)=7(57)
129+12a+42a=399
54a=399−129
54a
54

=

multiplicamos el 7 por 6 a y por 57
se suman 12a y 42a y se transpone el 129.

270
54

a= 5
Sustituyo a a por su valor y busco el valor
w=
w=

43+4(5)
63

7

=

43+20
7

7

w= 9




Nagua, Rep. Dom.

Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones.
4a+7y=43

3a+5m=66

3a+2y=16

6a+2m=60

5a+2y= 60
3a-2y=20
7w+8k=86

6m+4x=32

2w+3k=26

-6m+3x=-18

Método de igualación.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación debemos
despejar en las dos ecuaciones la misma variable, igualar estos resultados y
resolver las operaciones indicadas hasta hallar el valor de una de las variables,
luego sustituimos la variable hallada por su valor en cualquiera de las expresiones
que resultaron en la primera operación para hallar el valor de otra variable.
Ejemplo 1.
8m+5x=34
4m+3x=18
I.

Despejo ecuación la variable m en cada ecuación.
1. 8m+5x=34
8m
8

m=

=

8

34−5𝑥
8

2. 4m+3x=18
4m
4

m=

se transpone el 5x y se divide por 8.

34−5x

=

se transpone el 3x y se divide por 4.

18−3x
4

18−3𝑥
4




II.

Nagua, Rep. Dom.

Se igualan los resultados de 1 y 2.
34−5𝑥
8

=

18−3𝑥

se realizan los productos 4(34-5x) y 8(18-3x)

4

136-20x=144-24x.
-20x+24x=144-136
4x
4

Se transponen -24x y 136

8

=

2

x=2
III.

Sustituyendo a x por su valor buscamos a m.
m=
m=

18−3(2)
4

=

18−6
4

12
4

m=3
Ejemplo 2.

Resolver por el método de igualación.
5a+2y=60
3a-2y=20
Se despeja la variable a en las dos ecuaciones.
5a+2y=60
5a
5

=

60−2𝑦
5

se transpone el 2y y se divide por 5

60−2𝑦

a=

5

3a-2y=20
3a
3

=

a=

20+2𝑦
3

transponiendo el 2y y dividiendo por 3.

20+2𝑦
3




Nagua, Rep. Dom.

Igualamos los valores de a.
60−2𝑦
5

=

20+2𝑦
3

180-6y = 100+10y
-6y-10y=100-180
−16y
−16

=

efectuamos los productos: 3(60-2y) y 5(20+2y)
se transponen 10y y 180

−80
−16

y= 5
Sustituyo a y por su valor y busco ahora el valor de a.
a=
a=

20+2(5)
3
20+2(5)
3

=

30
3

a=10
EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve por el método de igualación.
3a+7y=27
5a+2y= 16
− 8m+4y= −12
3m+2y =29
4a+7y=43

3a+2y=16

5a+2y=60
3a−2y=20

7w+8k=86
2w+3k=26




Nagua, Rep. Dom.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 3 VARIABLES Y 3 ECUACIONES.

Son aquellos sistemas que están formados por 3 ecuaciones lineales y cada
contiene 3 variables.
Ejemplo.
3a+2b+4m=18
5a+6b-2m= 32
2a+4b+8m=28
Este tipo de sistemas de ecuaciones pueden resolverse por los mismos métodos
que los sistemas con dos ecuaciones y dos variables.
Resolvamos el sistema anterior por sustitución.
1. Despejamos la variable a en la primera ecuación.
3a+2b+4m=18
3a
3

=

a=

18−4m−2b
3

18−4m−2b
3

2. Sustituimos el valor de a en las otras dos ecuaciones.
5

18−4m−2b
3

90−20m−10b
3

+6b-2m=32

multiplicamos el 5 por 18,- 4m y por -2b

+ 6b-2m=32

se multiplica el 3 por 6b, -2m y por 32

90-20m-10b+3(6b)-3(2m) =3(32)
90-20m-10b+18b-6m=96-90

simplificando y transponiendo el 90 nos queda

-26m+8b= 6
Tomamos ahora la 3ra ecuación y sustituimos a la variable a por su valor.
2

18−4m−2b
3

36−8m −4b
3

+4b+8m=28

se multiplica el 2 por 18, - 4m y por – 2b

+3(4b)+3(8m)= 3(28) se multiplica 3 por 4b, 8m y por 28

36-8m-4b+12b+24m=84
16m+6b=84-36

se simplifica y se transpone el 36

16m+8b= 48




Nagua, Rep. Dom.

Como puede observarse el sistema se ha reducido a otro que solo contiene 2
ecuaciones y dos variables, por lo podemos aplicar cualquiera de los métodos ya
estudiados para resolverlo.
-26m+8b=6
16m+8b=48
Multiplico la ecuación 1 por -1 y dejo la ecuación 2 igual para aplicar el método de
reducción o suma.
a) -1(-26m+8b) = -1(6)
26m-8b= -6
26m-8b= -6
16m+8b= 48
se cancelan -8b y 8b por ser opuestos aditivos.
42m = 42
42m
42

42

=

42

m=1
Se despeja la variable b y se sustituye a m por su valor.
16m+8b=48
8b
8

=

b=
b=
b=

48−16m
8

48−16m
16
48−16(1)
8
48−16
8

=

32
8

b= 4
Sustituimos ahora a m y a b para buscar a a.
a=
a=
a=

18−4m−2b
3
18−4(1)−2(4)
6

3

=

18−4−8
3

3

a= 2
Los valores de las variables son: a=2, b=4 y m=1




Nagua, Rep. Dom.

Evaluación.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de
reducción o suma.
4m+6y=22
1.
3m−6y=−36
2x−5k=5
2.
4x+5k=55
7w+2z=44
3.
5w+3z=44
Resuelve por el método de sustitución y por el método de Igualación.
4m+2y=16
1.
8m+5y=35
3x−5k =17
2.
6x+2k=58
5w+2z=32
3.
2w+7z=19
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
1.

4m+6y+x =33
2m+4y+6x =26
3m+6y+5x =35

2.

2x−5k+4m=12
5x+2k+7m=50
4x+5k+3m=39




Nagua, Rep. Dom.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES.

Para hallar el ángulo entre dos vectores debemos conocer el módulo de cada uno y su
producto escalar.
Para hallar el módulo aplicamos el teorema de Pitágoras y el producto escalar se obtiene
sumando algebraicamente los productos de las coordenadas correspondiente de uno y
de otro.
Ejemplo.
Hallar el ángulo entre los vectores A= (2,4,-3) y B= (5,3,1).
Solución:
Producto escalar.
A . B = 10+12-3
A . B = 19
Módulo de A
A =

Módulo de B

22 + 42 + −3

2

B = 22 + 42 + −3

A = 4 + 16 + 9

B = 25 + 9 + 1

A = 29
A = 5. 385

2

B = 35
B = 5.916

Para buscar el ángulo debemos aplicar la formula cos -1 ∅ =
a ∅ nos queda que:
∅ = cos -1
∅ = cos
∅ = cos

-1

A . B
mod A . mod B

despejando

A . B
mod A x( mod B)
19

5.385 (5.916)
19
-1
31.857

∅ = cos -1 0.596
∅ = 53.410




Nagua, Rep. Dom.

Si las coordenadas de dos vectores están dadas por los sistemas de ecuaciones
2x+4y+3z = 27
x+3y+4z = 25
4x+2y+5z = 27

y

5m+3x+4y = 23
3m+2x+6y = 26
4m+5x+2y = 47

Calcular el ángulo entre ellos.
Solución:
Se resuelven ambos sistemas de ecuaciones para hallar los valores de las variables que
lo forman, las cuales a su vez nos darán las coordenadas de dichos vectores.
En el primer sistema despejamos la variable x de la segunda ecuación
x+3y+3z = 25
x=25-3y- 4z
Sustituimos a x por su valor en las otras ecuaciones.
2(25-3y- 4z) +4y+3z =27
4(25-3y- 4z)+2y+5z = 27
50-6y-8z +4y+3z = 27
100-12y-16z +2y+5z =27
-2y-5z = 27-50
-10y-11z = 27-100
-2y-5z = -23
-10y-11z = -73
Formamos un nuevo sistema
-2y-5z = -23
-10y-11z = -73
Multiplico la ecuación 1 por -5 y la sumo con la ecuación 2.
-5(-2y- 5z) = -5(-23)
10y+25z = 115
-10y -11z = -73
14𝑧 42
=
14 14
z=3
Sustituyo a z por su valor para buscar a y.
10y+25(3) = 115
10y+ 75= 115
10y = 115-75
10y = 40
10𝑦 40
=
10
10
y=4
Buscamos a x sustituyendo a z e y.
x= 25 -3(4)- 4(3)
x= 25- 12- 12
Representando por A el vector, tenemos:
x=1

A = (3, 4, 1)


Nagua, Rep. Dom.

Resolvemos ahora el segundo sistemas de ecuaciones.
5m+3x+4y = 49
3m+2x+6y = 30
4m+5x+2y = 47
Despejamos a m en la ecuación 1.
5m= 49-3x- 4y
5m
5

=

m=

49−3x−4y
5
49−3x−4y
5

Sustituyo a m por su valor en la ecuación 2.
49−3x−4y
+ 2x+6y = 30
5

3

147−9x−12y
5

se multiplica el 3 por 49,-3x y por - 4y

+ 2x+6y = 30

multiplico el 5 por 2x, por 6y y por 26

147- 9x-12y+10x+30y = 150
x+18y =150-147
x+18y = 3
Sustituyo a m en la ecuación 3.
4

49−3x−4y
5

196−12x−16y
5

se reducen los términos semejantes.

+5x + 2y = 47 multiplico el 4 por 49, por -3x y por - 4y
+ 5x+2y = 47 multiplicamos el 5 por 5x, 2y y por 47

196-12x-16y+25x+10y = 235
13x- 6y = 235-196
13x- 6y = 39
x+18y = 3
Formamos el sistema
13x- 6y =39
Multiplico la ecuación 2 por 3.
3(13x- 6y) = 3(39)
39x- 18y = 117

x+18y = 3
39x- 18y =117
40x = 120
40x
40

=

120
40

x=3
Sustituyo a x por su valor para calcular a y.
3+18y = 3
18y =3-3
18𝑦
0
=
18
18
y=0



Nagua, Rep. Dom.

Calculamos el valor de m.
m=
m=
m=

49−3(3)−4(0)
5
49−9−0
5
40
5

m= 8
Representando por B el vector
B = (8, 3, 0)
Para hallar el ángulo entre los vectores, primero se calcula el producto escalar
A . B = (3x8)+ (4x3)+ (1x0)
A . B = 24+12+0
A . B = 36
Ahora buscaremos el módulo de cada vector.
Módulo de A = 32 + 4 + 1

Módulo de B = 82 + 32 + 02

Módulo de A =

9 + 16 + 1

Módulo de B = 64 + 9 + 0

Módulo de A =

26

Módulo de B = 73

Módulo de A = 5.09

Módulo de B = 8.54

Habiendo calculado ya el producto escalar y los módulos de los vectores se
procede a calcular el ángulo entre ellos.
∅ = cos -1
∅ = cos -1
∅ = cos -1

A . B
mod A ( mod B)
36
5.09 ( 8.54)
36
43.4686

∅ = cos -1 0.828
∅ = 34.10610




Nagua, Rep. Dom.

LOGARITMOS NATURALES.

Propiedades de los logaritmos.
1. El logaritmo de la base es igual a la unidad.
Log x x=1.
2. El logaritmo de la unidad es igual a cero.
Log x 1=0.
3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
Log x (A x B)= log x A + Log x B.
4. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la
base.
Log x ay= y log x a.
5. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical
dividido entre el índice de la raíz
Log n a =

log a
n

6. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor.
A

Log = log A – Log B.
B

7. Los números negativos no tienen logaritmo.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la cual la variable está
afectada por la operación de logaritmación.
Ejemplos.
1. Log2 (x+2)3=6
2. Log3 (x+4)+Log3(x-4)=2
3. Log5 (x+64)-Log5 (x-8)=2
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA

Para resolver una ecuación logarítmica debemos dar los siguientes pasos:
1. La ecuación dada se expresa como el logaritmo de una sola expresión.
2. Se expresa de la forma exponencial.
3. Se resuelve la ecuación resultante.




Nagua, Rep. Dom.

EJERCICIOS RESUELTOS.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
1. Log3 (x-4)+ log3 (x+4)=2
Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión.
Log3[(x-4) (x+4)]=2
(x-4)(x+4)=32
Expresamos la ecuación de la forma exponencial.
2 +4 x-4x-16=9
X
Efectuamos el producto de (x-4) (x+4) y calculamos 32
x2 – 16= 9
Se transpone el -16
2 = 9+16
x
x2 = 25
Se aplica radicación en ambos lados.
𝑥 2 = 25

Se busca raíz cuadrada en ambos lados.

X=5
2. Log4 (x2 +12x+35)-Log4 (x+7)=2 Expresamos la ecuación como el logaritmo de
una sola expresión y factorizamos el denominador.

Log4

x+7 (x+5)
(x+7)

=2

(x+5)=42
X+5=16
x=16-5

expresamos de la forma exponencial.
se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se transpone el 5

x = 11
3. Log4 (2x2+6x+12)2=3
(2x2+6x+12)2=43
(2x2+6x+12)2= 64
2x 2 + 6x + 12 2 = 64
2x2+6x+12= 8
2x2+6x+12-8=0
2x2+6x+4=0
se factoriza este trinomio para hallar el valor de x
2(2x2)+2(6x)+2(4)=0 se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del
término cuadrático y el 6 por 2.

Hacemos a=2x
a2+6a+8=0
(a+4)(a+2)=0
(2x+4)(2x+2)=0
2x+4 (2x+2)
2 x 1

=0

(x+2)(2x+2)=0

Buscamos los factores de este trinomio.
Se sustituye a a por 2x
Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original
se iguala cada factor a cero

x+2=0
x= -2
Los valores de x son: -2 y -1

2x+2=0
2x −2
=
2
2
x= -1


Nagua, Rep. Dom.

ECUACIONES EXPONENCIALES.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la cual la variable aparece como
exponente.
EJERCICIOS RESUELTOS.

1. 52X+3 =3,125
52x+3 =55
2x+3=5
2x=5-3
2x
2

Igualamos las bases.
Igualamos los exponentes.
Resolvemos la ecuación 2x+3=5.

2

=

2

x=1
2. 162X-4 = 256
(42)2X-4

=44

44X-8 =44
4x-8=4
4x=4+8
4x
4

=

En este caso, escribimos 16 en función de 42 y 256 en función de 44
Multiplicamos el exponente del 4 de la izquierda por 2x-4
para igualar las bases.
Resolvemos la ecuación 4x-8=4.

12
4

x=3
3. 644a+2 = 512a+8
(82)4a+2 = (83)a+8
88a+4 = 83a+24
8a +4=3a+24
8a-3a=24-4
5a
5

=

Escribimos 64 Y 512 en función de 8
se multiplica 2(4a+2) y 3(a+8)

igualamos las bases iguales
igualamos los exponentes y se transponen 3ª y 4

20
5

a=4
4. (24a+2)(8a)=256
(24a+2)(23)a =28
(24a+2)(23a) =28
27a+2 = 28
7a+2=8
7a=8-2
7𝑎
7

=

6
7

a=0.857




Nagua, Rep. Dom.

6. 92x-4 = 27-2x+2

5. 7292x+1= 81x+6
(93)2x+1 = (92)x+6

(32)2x-4 = (33 )-2x+2

96x+3 = 92x+12

34x-8 = 3-6x+6

6x+3=2x+12
6x-2x=12-3
4x=9

4x-8 = -6x+6
4x+6x = 6+8
10x = 14

4x

9

10x

4

10

4

=

x = 2.25

=

14
10

x = 1.4

7. (4x+1)(162x-1)(8x+2)=256
[((22)x+1)((24)2x-1)(23)x+2]= 28
(22x+2)(28x-4)(23x+6)= 28
22x+8x+3x+6+2-4 = 28
2x+8x+3x+6+2-4 = 8
13x+4= 8
13x = 8-4
13x= 4
13x
13

=

4
13

x = 0.307




Nagua, Rep. Dom.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad problemática condicional que se
verifica para cualquier valor de los ángulos que la forman.
Identidades trigonométricas primarias.
1

1. Sen x =

cosc x
1

2. Cos x =
3. Tan x =

sec x
1
cot x

Identidades trigonométricas inversas.
1. Cosc x =
2. Cot x =

3. Sec x =

1
sen x
1

tan x
1
cos x

Equivalencias por cociente.
1. Tan x =
2. Cot x =

3. Sen x =

4. Cos x =

5. Sen x =

sen x
cos x
cos x
sen x
cos x
cot x
sen x
tan x
tan x
sec x

sec x
6. Sec2 x = cos x

tan x

7. Tan2 x =

cot x

8. Cosc x =

9. Cot 2 x =

10. Cos x =


cos x
cot x
tan x

cot x
cosc x

11. Cos2 x =

12. Sec x =

cot x

cos x
sec x

cosc x
cot x

sec x

13. Cosc x =
14. Tan x =

tan x
sec x
cosc x

15. Sen2 x =

16. Sec x =

sen x
cosc x

cosc x
cot x

17. Cosc2 x =

18. Sec x =

cosc x
sen x

tan x
sen x



Nagua, Rep. Dom.

Equivalencias por productos.
1. Tan x. cos x = sen x

7. Cosc x. cos x = cot x

2. Cot x. sen x = cos x

8. Cot2 x. tan x = cot x

3. Sen x. sec x = tan x

9. Cos x. cosc x = cot x

4. Sec2 x. cos x = sec x

10. Cos2 x. sec x = cos x

5. Tan2 x. cot x = tan x

11. Cosc2 x. sen x = cosc x

6. Sec x. cot x = cosc x

12. Cosc x. tan x = sec x

Toda función multiplicada por su inversa es igual a uno.
Cualquier función dividida por su inversa es igual al cuadrado de dicha función.

Identidades pitagóricas.
Son aquellas identidades trigonométricas que se obtienen mediante la
aplicación del teorema de Pitágoras.
En el triangulo ABC, a2+b2=c2

B

c

a
C

x

A

b

Además si hacemos referencia en el triangulo anterior se cumple que:
Sen x =
Cos x =
Tan x =

a
c
b
c
a
b

Cosc x =
Sec x =
cot x =


c
a

c
b
b
a



Nagua, Rep. Dom.

Elevando al cuadrado las funciones anteriores tenemos:
Sen2 x =
Cos2 x =
Tan2 x =

a2

c2

Cosc2 x =

c2
b2

Sec2 x =

c2
a2

Cot2 x =

b2

a2
c2

b2
b2
a2

Tomamos ahora el teorema de Pitágoras a2+b2 =c2 y se divide por c2.
a2

1.

c2

+

b2
c2

=

c2
c2

como se observa en los cuadrados de las funciones
Sen2 x =

Sen2 x + cos2 x = 1

a2
c2

, cos2 x =

b2
c2

y

c2
c2

= 1 por lo que:

Se repite el procedimiento pero dividiendo ahora por b2
a2

2.

b2

+

b2

c2

b

b2

=
2

por lo que:

Tan2 x + 1= sec2
Por último se divide por a2

a2
a2

+

b2
a2

=

c2
a2

por lo que

1+cot2 x = cosc2 x
En resumen las identidades trigonométricas pitagóricas primarias son
1.
2.
3.

Sen2 x + cos2 x = 1
Tan2 x + 1= sec2
1+cot2 x = cosc2 x

De las identidades anteriores se derivan:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Cos2 x = 1- sen2 x
Sen2 x = 1- cos2 x
Tan2 x = sec2 x – 1
Sec2 – tan2 x = 1
Cot2 x = cosc 2 x – 1
Cosc2 x – cot2 x = 1




Nagua, Rep. Dom.

Las identidades anteriores se pueden escribirse también de la forma:
1. Cos x = 1 − sen2 x
2. Sen x= 1 − cos 2 x
3. Tan x = sec 2 x − 1
4.

sec 2 x − tan2 x = 1

5. Cot x = cosc 2 x − 1
6.

cosc 2 x − cot 2 x =1
Demostración de identidades trigonométricas.
1. Pruebe que:
Sen x. Tan x =

sen x+tan x
cot x+cosc x

Solución:

Se sustituye tan x por

Sen x. Tan x =

Sen x
Sen x+
cos x
cos x
+ cosc x
sen x

Sen x. Tan x =

cos x

y cot x por

sen x
cos x

sen x .cos x +sen x
cos x
cos x +1
sen x

Sen x. Tan x =

sen x

sen x (cos x +1)
cos x
cos x +1
sen x

Sen x. Tan x =

Sen x. Tan x =

Sen x. Tan x =

sen x(cos x+1)
cos x
se n 2 x(cos x+1)
cos x(cos x+1)
se n 2 x

÷

cos x+1
sen x

se realiza el producto cruzado

simplificando nos queda

se n 2 x
cos x

se expresa sen2 x como Sen x . Sen x

cos x

Sen x. Tan x = sen x.

se realiza la suma de quebrados

sen x
cos x

Sen x .Tan x = Sen x .Tan x


Se sustituye

sen x
cos x

por tan x

L.Q.Q.D.



2.

Nagua, Rep. Dom.

Pruebe que:

tan k−cot k
tan k−cot k

= Cot k . Tan k

Solución:
Sustituimos tan k por
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠

𝑘
𝑐𝑜𝑠 𝑘
– 𝑠𝑒𝑛 𝑘
𝑘
𝑘
𝑐𝑜𝑠 𝑘
–
𝑘 𝑠𝑒𝑛 𝑘

sen k
cos k

y cot k por

cos k
sen k

= Cot k . Tan k

Se realiza la suma de quebrados en el numerador y en el denominador
sen k .sen
cos
sen k .sen
cos

k –cos
k . sen
k –cos
k . sen

k .co s k
k
k .co s k
k

= Cot k . Tan k

Simplificamos cancelando los numeradores de las dos fracciones.
cos k .sen k
sen k .cos k

= Cot k . Tan k

Se escribe como
cos k
sen k

.

sen k
cos k

Se sustituye

= Cot k . Tan k
cos k
sen k

por cot k y

sen k
cos k

por tan k

Cot k . Tan k = Cot k . Tan k

L.Q.Q.D.

3. Demuestre que 1+sen k = cos k .

1+sen k
1−sen k

Solución:
Racionalizamos multiplicando por

1+sen k = cos k .

1+sen k
1−sen k

.

1 + sen k

1+sen k
1+sen k

(1+sen k)(1+sen k)= (1+sen k)2 y (1- sen k)(1+sen k)= 1- sen2k




Nagua, Rep. Dom.

Se sustituyen estos resultados y la expresión toma la forma
1+sen k

1+sen k = cos k .
1+sen k = cos k .

1−sen 2 k
1+sen k
cos 2 k
1+sen k

1+sen k = cos k .
1+sen k =

2

cos k

cos k (1+sen k)
cos k

1+sen k = 1+sen k

L.Q.Q.D.

4. Pruebe que sec2 k = 1+Tan2 k
Solución:
Sec2 k = 1+

Sec2 k =

Sec2 k =

sen 2 𝑘
cos 2 k

cos 2 𝑘+sen 2 𝑘
cos 2 k
1
cos 2 k

Sec2 k = sec2 k

L.Q.Q.D.

5. Demuestre que cosc2 k = 1+cot2 k
Cosc2 k = 1+

Cosc2 k =
Cosc2 k =

cos 2 𝑘
sen 2 k

sen 2 𝑘+cos 2 𝑘
sen 2 k
1
sen 2 k

Cosc2 k = Cosc2 k


L.Q.Q.D.


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