1. Página 1.
Factorización.
Diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que
tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos.
Ejemplos.
1. 36x2- 64y2.
2. 100m4- 144n4
3. 81k2- 25w2.
Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas
de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el
producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas.
Ejemplos 1
Factorizar
49m2-100y2
buscamos la raíz cuadrada de cada término.
2
49m2 = 7m.
2
100y 2 = 10y.
Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).
Ejemplo 2.
Factorizar 36a4 – 64m4.
Buscamos las raíces cuadradas de cada término.
2
36a4 =6a2
2
64m4 =8m2
y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de
dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.
Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).
Ejemplo 3.
Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados.
81x4 – 144y4
Buscamos la raíz cuadrada de cada término
81x 4 = 9x2
144y 4 =12x2
Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos
binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las
mismas.
Luego los factores buscados son:
(9x2+12y2)(9x2-12y2)
2. Página 2.
Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.
1. 25x4 –16a4
2. 144m2 –169y2
3. 9x2 - 81y2
4. 169w6 –100z6
5.
16
25
m4 −
64
81
x4
6. 121 b8 – 36 y8
Trinomio de la forma x2± bx ±c
Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la
raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto
sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx.
Ejemplos.
1. x2+6x+8
2. a2+9x+20
3. m2-12m+32
4. y2+5y-36
Hallar los factores de los siguientes trinomios
1. x2+7x-60
Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados
algebraicamente nos den 7.
Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7
Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5)
Ejemplo 2.
Hallar los factores de m2+16m+28
Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16
Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores
son:
(m+14) (m+2)
Ejemplo 3.
Hallar los factores de a2-8a-48
Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8
Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores
son:
(a-12) (a+4).
Factorizar los siguientes trinomios.
1. x2+10x+21
2. w2-5w+6
3. b2+15b+56
4. y2+7y-44
5. m2-10m+24
3. Página 3.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
¿Cómo se obtiene
Dado el trinomio 5x2+8x+3
un trinomio de la
forma ax2+bx +c?
Hallar sus factores.
Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
5(5x2)+5(8x)+5(3)
Se escribe de la forma
(5x)2+8(5x)+15
Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a
a2+8a+15
Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados
den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5
(a+5)(a+3) y como a=5x, entonces
(5x+5)(5x+3)
𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)
𝟓 𝐱 𝟏
= (x+1) (5x+3)
Como multiplique por 5, divido por 5 para
volver el trinomio a su forma original.
Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)
Ejemplo 2.
Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3
Solución
Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
7(7x2)+7(10x)+7(3)
Se escribe de la forma
(7x)2+10(7x)+21
Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c
Se asume que a=7x
buscamos dos cantidades cuyo producto sea
21 y cuya suma algebraica sea 10
a2+10a+21
Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:
(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x
(7x+7)(7x+3)
𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)
𝟕 𝐱 𝟏
= (x+1) (7x+3)
Como multiplique por 7 se divido por 7 para
que el trinomio vuelva a su forma original
Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)
Ejercicios propuestos
Factorice los siguientes trinomios.
1. 8x2+15x+7
2. 4x2+9x+5
3. 9x2+6x-3
4. 5x2+14x+9
5. 7x2+12x+5
Una forma de obtener un
trinomio ax2+bx+c es
combinando con operaciones de
(+ o − ) una variable al
cuadrado con su coeficiente
numérico y una constante, de
forma que el término medio sea
la suma del coeficiente numérico
de la variable cuadrada y la
constante.
4. Página 4.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer
término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de
las raíces de los otros dos
Ejemplos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:
1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino
2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos
términos.
Ejemplo 1.
Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.
36x2+60xy+25y2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término
36x 2 =6x
25y 2 =5y
Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:
(6x+5y)(6x+5y)
Ejemplo 2.
Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino
100a2 = 10a
16b 2 = 4b
Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(10a) (4b)= 80ab
Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son:
(10a+4b) (10a+4b)
Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
5. 144y2+120ym+100m2
5. Página 5.
Factorización de una suma de cubos.
Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen
raíz cubica exacta.
Ejemplos:
1. 27x3+64m3
2. 729 a3+125b3
3. 216x3+343y3
4. 512w3+8n3
¿Cómo factorizar una suma de cubos?
Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la
forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el
cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado
de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo
estos los factores buscados.
Ejemplos.
Factorice la siguiente suma de cubos.
27x3+64m3
1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3
3
27x 3 =3x
3
64m3 =4m
2. Formamos un binomio con las raíces
(3x+4m)
Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.
(9x2-12xm+16m2)
Luego los factores buscados son:
(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)
Halle los factores de 125a3+729y3
3
125a3 = 5a
3
729y3 = 9y
Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.
Factorice
27
343
w3 + 8 m 3
64
Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos
𝟑
3
27 3 3
w =4w
64
7
9
( 4 w + 2 m) (16 w2 -
𝟑
21
8
343
7
m3 = 2 m
8
wm+
49
4
m2)
luego los factores buscados son:
6. Página 6.
Evaluación.
Seleccione la respuesta correcta.
1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:
A. (8x – 6m) (8x – 6m)
B. (6x –8m) (6x+8m)
C. (6x+8m)(6x+8m)
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
A. 4x2+ 40xy+25y2
B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2
3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?
A. (10w+8k)(10w+8k)
C. (10w+4k) (10w+4k)
B. (10w −8m)(10w+4k)
4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56?
A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)
5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son:
A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y)
B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)
6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?
A. (x+8)
B. (8x – 6m)
C. (4x+5m)
Factorice las siguientes expresiones.
1. 64x2+ 80xy+25y2
2. x2+15x+54
3. 5x+12x+7
4. 27w3 +64a3
5. 81x2 −100y2
6. 49m2 −16w2
7. 4a2+72ab+81b2
8. 4k2+10k+6
9. 125x3 −729y3
10. a2+20a+9
Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.
1.
2.
3.
4.
5.
36x 2 +84xy +49y 2
(6x+7y)
=
216m 3 +512k 3
(36x 2 −48mk +64k 2 )
81w 2 −144a 2
(9w−12a)
9x 2 +16x+7
(9x+7)
=
=
343w 3 +729y 3
(7w+9y)
=
=
7. Página 7.
Productos y Cocientes Notables.
Productos Notables.
Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario
multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas
reglas o patrones.
Entre los productos notables tenemos:
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejemplo 1.
Recuerda:
(x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2
Debes
(x+y)2 = x2 +2xy + y2
aprenderte la
Ejemplo 2.
regla de cada
(2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2
producto
(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2
notable.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2
(a−b)2 = a2 +2ab + b2
Ejemplo 2.
(2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2
(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2
Cubo de la suma de dos cantidades.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3
veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera
por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3
(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3
(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3
Ejemplo 2.
(5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3
(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3
(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3
8. Página 8.
Cubo de la diferencia de dos cantidades.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la
primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda
cantidad.
Ejemplo 1.
(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3
(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3
(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3
Ejemplo 2.
(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3
(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3
Observa con
(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3
Ejercicios Resueltos.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2
= 4b2 +24by + 36y2
2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2
= 25x2 +100xk + 100k2
3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3
= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3
= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3
4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3
= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3
= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3
3
2
3
3
2
2
4
5
4
4
5
5
5. ( x − y)2 = ( x)2 −2( x) ( y)+ ( y)2
=
=
9
16
9
16
x2 −2(
6
20
12
x y)+
x2 − 20 x y+
4
25
4
25
y2
y2
6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2
= 16m6 +16m3 x2+4x4
detenimiento
estos ejemplos
9. Página 9.
Cocientes notables.
Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario
dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por
simple inspección.
Ejemplos:
Diferencia de cuadrados
1.
2.
a 2 −b 2
a−b
a−b (a+b)
=
(a−b)
(25m 2 −100x 2 )
(5m−10x)
=
= a+b
5m−10x (5m+10x)
(5m−10x)
= 5m+10x
Suma de cubos
3.
4.
5.
x 3 +y 3
(x+y)
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
= x2−xy+y2
(x+y)
y 2 +𝑦𝑘 +𝑘 2
(x 3 +y 3 )
(y 2 +yk +k 2 )
=
x 3 +y 3
(x 2 −xy +y 2 )
y+k (y 2 +yk +k 2 )
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
=
1
(y+k)
Observa estas reglas de los
cocientes notables, porque
te serán muy útiles cuando
vayas a simplificar
expresiones algebraicas.
= x+y
(x 2 −xy +y 2 )
Diferencia de cubos
6.
7.
x 3 −y 3
(x 2 +xy +y 2 )
x 3 −y 3
(x−y)
=
x−y (x 2 +xy +y 2 )
=
(x 2 +xy +y 2 )
x−y (x 2 +xy +y 2 )
= x−y
= x2+xy+y2
(x−y)
Trinomio de la forma x2+bx+c
8.
9.
(a 2 +10a+24)
(a+6)
(x 2 +8x+15)
(x+5)
a+6 (a+4)
=
(a+6)
x+5 (x+3)
=
(x+5)
= a+4
= x+3
Trinomio cuadrado perfecto
10.
11.
(a 2 +8a+16)
(a+4)
a+4 (a+4)
=
(a+4)
(36m 2 +120mk +100k 2 )
(6m+10k)
=
= a+4
6m+10 (6m+10k)
(6m+10k)
Trinomio de la forma ax2+bx +c
12.
13.
(4x 2 +12x+8)
(x+2)
=
(5k 2 +15k+10)
(5k+5)
=
x+2 (4x+4)
(x+2)
= 4x+4
k+2 (5k+5)
(5k+5)
= k+2
= 6m+10k
10. Página 10.
Evaluación.
Explique las reglas de:
1. El cuadrado de la suma de dos cantidades.
2. El cubo de la suma de dos cantidades.
3. El cubo de la diferencia de dos cantidades.
4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(7x+8m)2 =
(9m−5y)3 =
(4k+3a)2 =
(8w+6m)3 =
(3y−10k)2 =
(2x2 +3y4)2 =
Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna
de la izquierda.
1. (3m+2y)2
______ 4a2+24ay +36y2
2. (7x+5k)3
______ (5w −2z)2
3. 4x2 + 20xy+25y2
______ (3x2 +2)3
4. (2a+6y)3
______ 9m2 +12my+4y2
5. 27x6 +54x4 +36x2 +8
______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3
6. 25w2 −20wz+4z2
______ (2x+5y)2
Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.
1.
2.
3.
4.
5.
2x+4m 2 . 2x+4m 4
2x+4m 3
3k+5y 3 . 3k+5y 4
3k+5y 5
=
=
10a+8x 7
=
10a+8x 4
5m+10k 2 . 6w+2y 4
=
25m 2 +100mk +100k 2 6w+2y 2
7x+9y 3 . 7x+9y 2
7x+9y 4
=
