Teorema Chinês dos Restos

Seminário De Fundamentos De Álgebra
Sistema De Congruências
Teorema Chinês Dos Restos
Santos A. E.
aleniac@ufmg.br
UFMG
ICEx
14 de dezembro de 2015
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinês Dos Restos 14 de dezembro de 2015 1 / 33

Introdu¸cão
O objetivo deste seminário é apresentar o Teorema Chinês dos
Restos como método para resolu¸cão de equa¸cões e sistemas
lineares de congruências de um anel comutativo com unidade.
Apresentaremos também uma forma alternativa facilmente
implementável em computadores e um exemplo resolvido.
Os teoremas, lemas, corolários e proposi¸cões apontados nesta
apresenta¸cão estão contidos no Livro Fundamentos De Álgebra
Linear [1], conforme as suas respectivas referências.

Parte I - Equa¸cões Lineares
Equa¸cões Lineares
Seja Qm a congruência em módulo m ∈ N abaixo:
ax ≡ b mod m, a, b ∈ Z (1)
em que
d = mdc(a, m)
m =
m
d
, se d|b.

Teorema
Considere a congruência Qm (1) e d = mdc(a, m):
Teorema
i) A congruência aX ≡ b mod m tem solu¸cão, se, e somente se, d|b;
ii) Se X0 for uma solu¸cão de Qm, então X também é uma solu¸cão se, e
somente se, X0 ≡ X mod m em que m = m/d. Em particular, Qm
possui d solu¸cões não congruentes módulo m.

Condi¸cão de Existência de Solu¸cão
Demonstra¸cão i.
Assumiremos por hipótese que ax ≡ b mod m tem solu¸cão.
Então, temos:
ax ≡ b mod m
ax+ my = b. (2)
Aplicando o lema 7.67 [1], (2) também tem solu¸cão. Da´ı, d|b, e
portanto, ambos lados da equa¸cão abaixo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Consequentemente, mdc(a, m)|b se Qm tem solu¸cão.

Condi¸cão de Existência de Solu¸cão
Rec´ıproca i.
Reciprocamente, Existe d tal que d = mdc(a, m), conforme:
ax + my = d (3)
Note que a equa¸cão (3) tem solu¸cão. Além disso, podemos
expressar b = βd, β ∈ Z.
Multiplicando (3) por β, temos:
a(βx) + m(βy) = b
aX0 + mY0 = b,
em que X0 = βx. Logo, aX0 ≡ b mod m.
Portanto X0 é uma solu¸cão particular da congruência Qm.
Como quer´ıamos mostrar.

Classes Distintas De Solu¸cões
Demonstra¸cão ii.
Se x = X0 for uma solu¸cão de Qm, então d|b, logo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Então podemos escrever:
a = αd, b = βd, m = m d
Reescrevendo Qm em termos de α, β, temos:
ax ≡ b mod m
αdx ≡ βd mod m
⇓ (Corolário 7.17 [1])
αx ≡ β mod m . (4)

Logo, obtemos a congruência (4) que denotaremos por Qm .
Note que mdc(α, m ) = 1. Consequentemente, α posssui inverso
módulo m .
Logo, Qm têm uma solu¸cão particular da forma:
X0 ≡ βα−1
mod m .
Então temos como solu¸cão geral a equa¸cão:
x = X0 + m k, k ∈ Z.

Da´ı, qualquer elemento X ∈ [X0]m satisfaz Qm .
Logo, X também é solu¸cão de Qm.
Temos então garantido que:
X0 ≡ X mod m .
Portanto, X também é solu¸cão de Qm se X0 ≡ X mod m .
Rec´ıproca ii.
Seja X0 uma solu¸cão particular de Qm tal que X0 ≡ X mod m .
Obviamente, [X0]m é solu¸cão de Qm , então X0 e X são solu¸cões.
Se x = X0 e x = X são solu¸cões de Qm , temos que x satisfaz:
αx ≡ β mod m .

Se β = bd, então o podemos aplicar o corolário 7.11 [1] em Qm
multiplicando-a por d:
dαx ≡ dβ mod dm
⇓
ax ≡ b mod m
em que a = a d e m = m d.
Logo, a solu¸cão geral de Qm é dada por:
x ≡ X mod m, X ∈ [X0]m . (5)
Portanto, se X é solu¸cão de Qm, então X0 também é.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinês Dos Restos
14 de dezembro de 2015 10 /
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Número De Solu¸cões Não Congruentes Módulo m
Verifica¸cão.
Seja X0 uma solu¸cão particular de Qm e Qm na forma reduzida,
0 ≤ X0 < (m − 1).
Seja Rm e Rm , respectivamente, os conjuntos das classes de Zm e
Zm .
Fazendo u = m − 1 e espandindo ambos conjuntos, temos:
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u, . . . , 2u, . . . , 3u, . . . , du}
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u}
Temos que a congruência Qm (4) possui solu¸cão da forma:
x = X0 + m k, k ∈ Z.
Isto é, [X0]m ∈ Rm é solu¸cão única de Qm .
33

Número De Solu¸cões Não Congruentes Módulo m
Da´ı, a solu¸cão geral de Qm (5) pode ser escrita da seguinte forma:
x = X + mt t ∈ Z
em que X ∈ [X0]m .
Note que:
1 O conjunto Rm possui m = m d classes distintas.
2 As solu¸cões X não são congruentes módulo m, pois:
[X0]m = [X0]m .
3 Cada solu¸cão X é um representante de alguma classe de Zm.
4 Rm possui exatamente d elementos congruentes a X0 módulo m , a
saber, cada um deles está entre cada múltiplo de (m − 1).
Conclu´ımos, portanto, que Qm possui d solu¸cões distintas módulo
m. Como quer´ıamos mostrar.
33

Parte II - Sistemas De Congruências
Sistemas de Congruências
Considere o sistema de congruências abaixo:



a1x ≡ b1 mod m1
a2x ≡ b2 mod m2
...
...
akx ≡ bk mod mk
Vamos assumir que:
1 O mdc(ai, mi) = 1, para todo i = 1, 2, ..., k;
2 O mdc(mi, mj) = 1, para todo i = j.
33

Defini¸cões Importantes
Defini¸cões:
M =
k
i=1
= mmc(m1, m2, ..., mk)
Ni =
M
mi
=
m1m2...mi...mk
mi
Note que:
a) mi|Nj para todo i = j. Consequentemente, Nj ≡ 0 mod mi;
b) O mdc(Ni, mi) = 1. Portanto, Ni posssui inverso módulo mi, ou
seja:
NiLi ≡ 1 mi, em que Li = N−1
i . (6)
33

Teorema
Suponhamos as hipóteses (1) e (2), então para quaisquer das
congruências dadas nos seus respectivos módulos m1, ..., mk, o
sistema possui solu¸cão da forma:
X0 =
k
i=1
ciNiLi
em que:
ci é uma solu¸cão de aix ≡ bi mod mi.
NiN−1
i ≡ 1 mod mi possui solu¸cão N−1
i = Li.
Além disso, X é uma outra solu¸cão do sistema se, e somente se,
X ≡ X mod M.
33

Teorema Chinês Dos Restos - Demonstra¸cão
Demonstra¸cão.
Vamos assumir que X0 = k
j=1 cjNjLj é uma solu¸cão particular
do sistema de congruências dado. Isto é, para todo i = 1, ..., k,
aiX0 ≡ bi mod mi. Então, temos:
aiX0 = ai(
k
j=1
cjNjLj)
=
k
j=1
aicjNjLj.
33

Note que, se i = j, Nj(aicjLj) é múltiplo de mi, pois mi|Ni. Logo:
aicjNjLj ≡ 0 mod mi.
Portanto,
k
j=1
aicjNjLj = aiciNiLi. (7)
Da´ı, reescrevemos a equivalência da seguinte forma:
aiX0 ≡ aiciNiLi mod mi
≡ aici mod mi (8)
aplicando NiLi ≡ 1 mod mi em (8).
33

Observe que:
aici ≡ aiX0 mod mi
aiX0 ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aici ≡ bi mod mi
E, portanto,
aiX0 ≡ bi mod mi.
Como quer´ıamos provar.
33

Solu¸cões Equivalentes Mod M
Seja X uma outra solu¸cão do sistema. Então pra todo i = 1, ..., k:
aiX0 ≡ bi mod mi
e
aiX ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aiX0 ≡ aiX mod mi
⇓ (Proposi¸cão 7.16 [1])
X0 ≡ X mod mi
⇓ (Proposi¸cão 7.18, ii [1])
X0 ≡ X mod mmc(m1, ..., mk).
Da´ı, conclu´ımos que X ≡ X0 mod M.
33

Solu¸cões Equivalentes Mod M
Rec´ıproca
Reciprocamente, temos:
X ≡ X0 mod M
⇓ (Proposi¸cão 7.18, i [1])
X ≡ X0 mod mi
⇓
aiX ≡ aiX0 mod mi
⇓ (X0 satisfaz a congruência i)
aiX ≡ bi mod mi
Portanto, conclu´ımos que X também é uma solu¸cão do sistema.
Como quer´ıamos provar.
33

Método Iterativo Para Congruências Lineares
Sistemas de congruências da forma x = bi mod mi
Como pudemos verificar, devemos considerar a h´ıpotese de que o
mdc(mi, mj) = 1, para todo i = 1, ..., k e i = j, no método
apresentado.
Além disso, é dif´ıcil de implementá-lo computacionalmente.
Mostraremos uma técnica alternativa que facilita a implementa¸cão
em computadores e que não depende que o mdc(mi, mj) = 1, i = j.
O mdc(ai, mi)|bi, para i ∈ {1, ..., k}, é uma condi¸cão necessária e
suficiente para que uma congruência tenha uma solu¸cão individual.
Em contrapartida, não necessariamente, o sistema tem solu¸cão se
mdc(ai, mi)|bi [3].
33

Isolando A Icónita X Do Sistema
Considere o sistema de congruências lineares em que
di = mdc(ai, mi) e di|bi:
{aix ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Vimos que um passo crucial foi dividir cada equa¸cão de ordem i
pelo seu respectivo di. E, consequentemente, reca´ımos numa nova
congruência da forma:
{αix ≡ βi mod mi, i = 1, ..., k,
cujo mdc(αi, mi) = 1.
Sabemos que αi possui inverso módulo mi. Da´ı, mutiplicando
ambos lados de cada equa¸cão pelo seu inverso, obtemos:
{x ≡ βiα−1
i mod mi, i = 1, ..., k.
33

Solucionando As Duas Primeiras Congruências
Da´ı, podemos considerar um novo sistema da forma:
{x ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Resolvemos este sistema solucionando-o par a par. Substitu´ımos,
então, o par original pela nova congruência encontrada.
O processo se repete sucessivamente até a última equa¸cão.
A princ´ıpio, vamos considerar as duas primeiras equa¸cões do
sistema dado:
x ≡ b1 mod m1 (a)
x ≡ b2 mod m2 (b)
Sabemos que a solu¸cão da equa¸cão (a) acima é da forma:
x = b1 + m1k, k ∈ Z. (9)
33

Da´ı, podemos levar o lado direito de (9) para a equa¸cão (b):
x ≡ b2 mod m2
b1 + m1k ≡ b2 mod m2
⇓
m1k ≡ b2 − b1 mod m2
⇓
k ≡ (b2 − b1)m−1
1 mod m2,
em que m−1
1 é o inverso de m1 módulo m2.
Portanto,
k = (b2 − b1)m−1
1 + m2t
em que t ∈ Z é um valor arbitrário.
33

Uma vez obtido o valor de k, podemos substituir na equa¸cão (9):
x = b1 + m1k
x = b1 + m1[(b2 − b1)m−1
1 + m2t]
Calculado o valor de x em termos de t ∈ Z, obtemos uma
congruência X mod mmc(m1, m2), solu¸cão comum do par.
Esta mesma deve substituir as duas primeiras congruências do
sistema. Obtém-se, portanto, um sistema equivalente com uma
equa¸cão a menos.
Repetimos então este processo até, finalmente, obter a solu¸cão
geral do sistema.
33

Exemplo De Sistema Com Três Congruências
Exemplo.
Considere o sistema de congruências abaixo:
i)



3x ≡ 5 mod 4
2x ≡ 3 mod 5
4x ≡ 2 mod 3
⇓
ii)



x ≡ 5 · 3 mod 4
x ≡ 3 · 3 mod 5
x ≡ 2 · 4 mod 3
⇓
⇓
iii)



x ≡ 15 mod 4
x ≡ 9 mod 5
x ≡ 8 mod 3
⇓
iv)



x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
Note que os valores destacados em vermelho são os inversos
módulo mi dos seus respectivos ai, isto é, a1 = 3, a2 = 2, a3 = 4.
33

Solu¸cão Do Primeiro Par De Congruências
Separando as duas primeiras congruências do sistema (iv), temos:
iv)



x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 4 (a)
x ≡ 4 mod 5 (b)
Da congruência (a), temos que:
x = 3 + 4k, (10)
em que k ∈ Z é um valor arbitrário.
33

Solu¸cão Do Primeiro Par De Congruências
Levamos, então, esta expressão para a congruência (b):
x ≡ 4 mod 5
3 + 4k ≡ 4 mod 5
⇓
4k ≡ 1 mod 5
⇓
k ≡ 1 · 4 mod 5
⇓
k ≡ 4 mod 5.
Logo, obtemos k = 4 + 5t, onde t é um inteiro arbitrário.
33

Substituindo A Nova Congruência No Sistema
Substituindo k na equa¸cão (10), obtemos:
x = 3 + 4k
x = 3 + 4(4 + 5t)
x = 19 + 20t.
Da´ı, obtemos uma nova congruência:
X ≡ 19 mod 20. (11)
Substituindo o primeiro par por X no sistema (iv), obtemos um
sistema equivalente:
iv)



x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
=⇒
x ≡ 19 mod 20 (a)
x ≡ 2 mod 3 (b)
33

Solu¸cão Do Segundo Par De Congruências
Obtendo x da congruência (a) deste sistema, temos:
x = 19 + 20k (12)
Substituindo (12) na congruência (b):
x ≡ 2 mod 3
19 + 20k ≡ 2 mod 3
⇓
20k ≡ −17 mod 3
⇓
k ≡ 1 · 2 mod 3
⇓
k ≡ 2 mod 3.
33

Solu¸cão Final Do Sistema
Portanto, k = 2 + 3t e, substituindo na equa¸cão (12), temos:
x = 19 + 20k
x = 19 + 20(2 + 3t)
x = 59 + 60t
Portanto a solu¸cão geral do sistema é x = 59 + 60t. Em outras
palavras,
x ≡ 59 mod 60.
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Comentários
Comentários:
O exemplo resolvido é o mesmo encontrado em 7.70 [1] cujo
mesmo foi resolvido pelo método anterior. Vale ressaltar que a
solu¸cão que encontramos está na sua forma reduzida, porém é
congruente com a solu¸cão dos autores de [1], como esperávamos.
Contudo, em aplica¸cões, deve-se considerar qual solu¸cão particular
vai refletir corretamente a interpleta¸cão da forma aplicada.
33

Bibliografia
Bibliografia.
VIDIGAL A. e outros, (2009), Fundamentos de Álgebra,
Universidade Federal de Minas Gerais.
COUTINHO S.C., (2011), Números Inteiros e Criptografia RSA,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada.
SOMBRIO G. S., (2001), Teorema Chinês De Restos e Teorema
Da Aproxima¸cão, Universidade Federal de Santa Catarina.
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/
81876/179152.pdf.
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