Este documento descreve uma pesquisa sobre números que se comportam como primos em subconjuntos dos inteiros gaussianos. Ele define os inteiros gaussianos, operações nesse conjunto, e conceitos como ideais e elementos primos. O trabalho principal caracteriza números que se comportam como primos em múltiplos de Z[i] e estabelece os teoremas fundamentais sobre esse assunto.

1. Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Caracterização dos Números que se
Comportam como Primos em Alguns
Subconjuntos dos Inteiros Gaussianos (Z[i])
Aldo Correia Saldanha
Agosto – 2011
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2. 2

3. 1 - Histórico e Objetivo
O presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em um
exercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I dessa Pós-
Graduação.
O exercício proposto era determinar quais são os números que se
comportam como números primos no conjunto dos números pares.
O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto de
múltiplos de números primos no conjunto dos números Naturais.
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4. Manuscrito com parte do enunciado da solução do problema inicial.
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5. Manuscrito com parte da demonstração do problema inicial.
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6. Um número p se comporta como primo em k.N quando o número de
divisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número de divisores
de um número primo em N, ou seja, dois divisores.
k Primos em k.N Divisores do menor primo em k.N
2 8, 12, 20, ... 2, 4
3 18, 27, 45, ... 3, 6
5 50, 75, 125, ... 5, 10
7 98, 147, 245, .. 7, 14
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7. Enunciado do primeiro teorema da monografia
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8. 8

9. Enunciado do principal teorema da monografia
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10. 2 – Conjunto dos Inteiros Gaussianos
O conjunto onde trabalharemos,
conhecido como Conjunto dos Inteiros
Gaussianos, tem esse nome porque foi
feita uma homenagem a um grande
matemático de nome Johann Friederich
Gauss.
Johann Friederich Gauss ( 1777 – 1855 )
nasceu em Burnswick, Alemanha e foi um
dos maiores matemáticos de todos os
tempos.
Sua preferência, no universo da
matemática, está sintetizada na seguinte
frase:
A MATEMÁTICA É A
RAINHA DAS CIÊNCIAS E A
ARITMÉTICA É A RAINHA
DA MATEMÁTCA.
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11. Anel dos Inteiros Gaussianos
• O conjunto dos Inteiros Gaussianos possui uma estrutura
algébrica conhecida como Anel .
• A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vasto
campo da Álgebra Abstrata.
• Gauss contribuiu para o desenvolvimento da teoria
estudando os inteiros algébricos.
• A teoria dos Anéis foi muito desenvolvida no final do século
XIX e início do século XX.
• A noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda década
do século 20.
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12. Definição de Anel
Sejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de
adição e multiplicação. A terna ( A , + , . ) será chamada de Anel se as
operações gozarem das seguintes propriedades:
ADIÇÃO
• A1 – A Adição é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a + ( b + c ) = a + ( b + c )
• A2 – A Adição é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a+b=b+a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Adição
Existe z є A tal que z + x = x , para todo x є A
• A4 – Existência do Elemento Simétrico para a Adição
Para todo a є A, existe a’ є A tal que a + a’ = z
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13. MULTIPLICAÇÃO
• A1 – A Multiplicação é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b . c )
• A2 – A Multiplicação é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a . b = b . a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação
Existe e є A, e ≠ 0 tal que e . x = x , para todo x є A
DISTRIBUTIVIDADE
•AM – A Multiplicação é distributiva com relação à Adição
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se
a.(b+c)=a.b+a.c
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14. 14

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16. 16

17. Definição de IDEAL
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19. Definição de Elemento PRIMO
Um elemento p não nulo e não invertível de um
Anel A é dito primo, se toda vez que p divide o
produto de dois elementos de A, p divide um dos
fatores.
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20. 20

21. Definição das Operações de Adição e Multiplicação no
Conjunto dos Inteiros Gaussianos ( Z[i] )
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22. Além de Anel, Z[ i ] é um Domínio de Fatoração Única ( DFU ).
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23. Função Norma
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24. Caracterização dos Elementos Invertíveis em Z[ i ]
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25. 3 – Números Primos em Z[ i ]
Considerações Preliminares
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26. 26

27. 27

28. 28

29. Caracterização dos Números Primos em p.Z[ i ]
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