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1. 1Sis. De Medición Angular

2. 2Sis. De Medición Angular
Sistema de Medición
Angular
Problema 1
Calcular: 𝑈 + 𝑁 + 𝐼
Si: 22,22° <> 𝑈°𝑁′𝐼′′
A) 17 B) 37 C) 47 D) 57
E) 67
Problema 2
Con los datos de la figura, hallar x.
A) -9 B) -8 C) -15 D) -12
E) -16
Problema 3
A y B son los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo T. Si (9𝑥 + 4) 𝑔
y
(8𝑥 + 22)0
son las medidas de A y B,
respectivamente. Hallar la medida del
menor ángulo T, en radianes.
A) 𝛑/2 rad B) 𝛑/7 rad C)
𝛑/4 rad
D) 𝛑/5 rad E) 𝛑/8 rad
Problema 4
Sean S0 y Cg y R rad. Las medidas de
un ángulo en grados sexagesimales,
centesimales y radianes,
respectivamente y tal que 1/S
– 1/C = R/4S. Hallar la medida de dicho
ángulo en radianes.
A) 3/4 𝛑 rad B) 2/5 𝛑 rad C)
3/5 𝛑 rad
D) 4/5 𝛑 rad E) 1/2 𝛑 rad
Problema 5
Se tiene los ángulos 𝛼 𝑦 𝜃 cuyos valores
se expresan de la siguiente forma.
𝛼 = (
2𝐾 + 3
5
)
0
𝑦 𝜃 = (
3𝐾 − 5
2
)
𝑔
Hallar K para que los ángulos 𝛼 𝑦 𝜃 sean
iguales.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3
E) 2
Problema 6
P y Q son los números que indican la
medida de un ángulo 𝜑 en minutos
sexagesimales y minutos centesimales
respectivamente. S y C son ángulos que
indican la medida de un ángulo
𝛼 en grados sexagesimales y grados
centesimales respectivamente. Si se
sabe que:
𝑃 = 2𝑆 − 18 𝑦 𝑄 = 2𝐶 + 20
Calcular (𝛼 + 𝜑) en grados
centesimales.
A) 35g B) 30g C)
40g
D) 41g E) 56g
Problema 7
Un ángulo mide S0 y Cg y R rad en los
sistemas sexagesimales, centesimal y
radial respectivamente. Si S y C son las
raíces de la ecuación.
6𝑥2
− 19𝑥 + 15 = 0
Calcular:
24𝑅
𝜋
+ 𝑆
A) 1,7 B) 1,8 C)
1,6
D) 1,4 E) 1,3
(
−50𝑥
9
) 𝑔
100g
x°

3. 3Sis. De Medición Angular
Problema 8
Siendo S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales de un
ángulo, para lo cual se cumple:
𝑆−13
2
=
𝐶−2
3
= 𝑥2𝑛
Hallar el valor de: 𝑀 = 4𝑥 + 𝑛; siendo x
un entero y además x>n.
A) 17 B) 12 C)
14
D) 20 E) 21
Problema 9
Los tres ángulos de un triángulo son
(
9𝑥
10
) grados sexagesimales, (𝑥 + 1)
radianes y (𝑥 + 2) grados centesimales.
El mayor de ellos expresado en
radianes, es.
A)
𝜋
100+𝜋
B)
100𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋+100
C)
50𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋+100
D)
10𝜋
2𝜋+150
E)
12𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋+100
Problema 10
De acuerdo al gráfico, calcular
9𝑎
𝑏+165
A) 2000 B) 1000 C)
5000
D) 2500 E) 4000
Problema 11
Si “a” y “b” son los números que indican
la cantidad de minutos sexagesimales y
segundos centesimales de un mismo
ángulo. Calcular el número de radianes
si:
𝑎 = 3𝑥 + 24 𝑦 𝑏 = 5000𝑥
A) 𝛑/300 B) 𝛑/100 C)
𝛑/400
D) 𝛑/200 E) 𝛑/500
Problema 12
El símbolo 𝑎𝑏̅̅̅ indica un número de dos
cifras, cuya primera cifra es a y la
segunda es b. dos ángulos cuyas
medidas son x e y son tales que:
(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ radianes equivale a (x +
y) grados sexagesimales; además
(180x – 180y) grados sexagesimales
equivale a 1980 radianes. Entonces; y/x,
cuando x e y están en grados
centesimales, será igual a:
A) 5 𝛑 – 10 B) 2 𝛑+20 C)
-10+ 𝛑
D) -10+
𝜋
90
E) 𝛑+5
Problema 13
Se tiene tres ángulos consecutivos cuya
suma es la cuarta parte de un ángulo
llano, sabiendo que se halla en
progresión aritmética y el mayor es igual
al cuadrado del primero. Hallar la razón
expresada en radianes.
A) 𝛑/18 B) 𝛑/36 C)
𝛑/10
D) 𝛑/5 E) 𝛑/4
Problema 14
Sea A el factor que convierte segundos
centesimales en minutos sexagesimales
y B el factor que convierte minutos
centesimales en segundos
sexagesimales. Calcular el valor de B/A.
A) 6000 B) 600 C) 60 D) 6
E) 1
Problema15
En un nuevo sistema de medición
angular, un ángulo de 𝛼 grados
sexagesimales mide 𝛼 − 3. Si un ángulo
de 𝛑 radianes mide 120 en el nuevo
sistema, halle 𝛼 − 3.
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4
E) 15
Problema 16
(2𝑏 − 30)°
𝛼 𝑚

4. 4Sis. De Medición Angular
Los números que representan la medida
de un ángulo en los sistemas
sexagesimales y centesimales son x100 y
x100+1 respectivamente. Halle el valor
del complemento del ángulo expresado
en radianes.
A) 4𝛑/15 B) 3𝛑/8 C)
9𝛑/20
D) 9𝛑/20 E) 3𝛑/11
Problema 17
De la figura expresar “x” en términos de
"𝛼" y "𝛽"
A) 𝛼 + 𝛽 + 360 B) 𝛼 − 𝛽 − 360
C) 𝛼 − 𝛽 D) 𝛼 + 𝛽
E) 𝛼 − 𝛽 + 360
Problema 18
Calcule x si se cumple:
[
(𝑥 + 3)0
5 𝑔
]
0
= [
(4𝑥 − 18)0
15 𝑔
]
𝑔
A) 48 B) 41 C) 42 D) 40
E) 39
Problema 19
Si los ángulos de un triángulo se
encuentran en progresión geométrica
de razón 2; calcular la medida del menor
ángulo en un sistema “M” de medición
angular, cuya unidad (1M) es la medida
de un ángulo central en una
circunferencia cuando el arco que
subtiende resulta ser la séptima parte
del radio de dicha circunferencia.
A) 6 𝛑 B) 𝛑 C) 4 𝛑 D) 5 𝛑
E) 2 𝛑
Problema 20
Si: 𝑥 = 𝐶 − 𝑆/9; 𝑦 = 𝑆 + 𝐶/10
Donde “S” y “C” representan los
números de grados en el sistema
sexagesimal y centesimal
respectivamente de un ángulo.
Hallar el valor en radianes con la
siguiente condición: 𝑋 𝑦
= 𝑌 𝑥
A) (
10
9
)
9 𝜋
180
B) (
10
9
)
10 𝜋
90
C)
(
10
9
)
5 𝜋
12
D) (
10
7
)
6 𝜋
10
E) (
10
9
)
10 𝜋
12
Problema 21
Hallar el ángulo, en radianes que
satisface la siguiente condición:
La medida geométrica de los números
que representan la medida de ese
ángulo, en grados centesimales y
sexagesimales multiplicada por la suma
de las inversas de los mismos es igual a
19/300 veces la semidiferencia de esos
números.
A) 𝛑√7 B) 𝛑√10 C)
𝛑√15
D) 𝛑√20 E) 𝛑√2
Problema 22
Si S y C son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un
mismo ángulo y cumplen:
𝑆 𝑔
=
(1 − 𝑥)0
(1 + 𝑥)2
𝑦 𝐶 𝑔
=
(1 − 𝑥) 𝑔
(1 − 𝑥)2
Calcule el valor de: 19x2
A) 1/141 B) 1/14 C)
1/19
D) 1/18 E) 1/15
Problema 23
Cuál es el valor de N (N > 0) si se cumple
la siguiente igualdad.
𝛼0
𝑥0
𝛽0

5. 5Sis. De Medición Angular
𝑁𝜋𝐶 − 10𝑅
𝑁𝜋𝑆 + 10𝑅
=
𝑁𝑆 + 𝐶
𝑁𝐶 + 𝑆
Donde S, C y R son los números que
representan la medida de un ángulo en
los sistemas sexagesimales, centesimal
y radial, respectivamente.
A) -1/2 B) 1 C) 2 D) 3
E) 4
Problema 24
Determine la medida de un ángulo de
radianes. Si S, C y R son lo
convencional, además A=B.
𝐴 = 𝑆 +
𝑆
𝑆 +
𝑆
𝑆 +
𝑆
𝑆 + 𝑆⋱
𝐵 = 𝐶 +
𝐶
𝐶 +
𝐶
𝐶 +
𝐶
𝐶 + 𝐶⋱
A) 361 𝛑/3600 B) 19 𝛑/3600 C)
30 𝛑/1500 D) 17 𝛑/1700 E)
36 𝛑/1200
Problema 25
Hallar la medida circular de un ángulo,
sabiendo que sus números de grados
sexagesimales, centesimales y radianes
se relacionan así
√100𝜋2 +
𝜋2
19
(𝑆 + 𝐶) +
𝜋𝑅
20
(𝐶 − 𝑆) =
32𝜋
3
A) 𝛑/7 B) 2 𝛑/3 C) 𝛑/3 D) 𝛑/4
E) 𝛑/2
Problema 26
Si los números de grados
sexagesimales (S) y centesimales (C)
que contiene un ángulo verifican que:
log 𝐶 𝑆 = 𝐾 log 𝑆 𝐶
Al hallar “S” se encontró, (
10
9
)
𝑛
. ¿Cuál
es el valor de n?
A)
𝑘
𝑘+2
B)
√𝑘
√𝑘−1
C)
𝑘
𝑘−1
D)
√𝑘
1−√𝑘
E)
𝑘
𝑘+1
Problema 27
Si un ángulo se expresa como a°b’ y
también como "𝐶𝑟𝑎𝑑". Calcular:
𝐸 = √
60𝑎 + 𝑏
12𝑐
A)
10
√ 𝜋
B)
20
√ 𝜋
C)
30
√ 𝜋
D)
12
√ 𝜋
E)
30
𝜋
Problema 28
Siendo S y C lo convencional para un
mismo ángulo, tales que cumple:
(𝑆 + 𝐶)(𝐶−𝑆)
= (𝐶 − 𝑆)(𝐶+𝑆)
Calcule el valor de:
𝐸 = √(𝑆 + 𝐶)2𝑆𝑆+𝐶
A) 14 B) 12 C) 19 D) 17
E) 15
Problema 29
Calcule “C” si cumple la igualdad:
36
𝑅
+ 1 = (1 +
1
𝑅
) (1 +
1
𝑅 + 1
) (1 +
1
𝑅 + 2
) … (1
+
1
𝑅 + 𝑆 − 1
)
Donde S, C y R lo convencional para un
mismo ángulo.
A) 40 B) 30 C) 50 D) 60
E) 70
Problema 30
Si 𝜃 = 1𝑎5̅̅̅̅̅0
𝑏3̅̅̅′
𝑐3̅̅̅′′
, es el suplemento del
complemento de 25,3925°; entonces el
valor de (a + b + c) es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
E) 7
Problema 31
Se define: < 𝑁 >= 3 + 𝑁
Halle la medida en el sistema
internacional de un ángulo que cumple:

6. 6Sis. De Medición Angular
< 𝑆 >= 𝑎 + 4, < 𝐶 >= 2𝑎 +
1
siendo S y C lo convencional para dicho
ángulo.
A)
𝜋
40
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
80
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
30
𝑟𝑎𝑑
Problema 32
El cuadrado de la medida geométrica de
los números que representan la medida
de un ángulo en sexagesimales y
centesimales es igual a 45 veces la
diferencia de los mismos. Halle la
medida de dicho ángulo en
centesimales.
A) 0g; 5g B) 0g; -5g C)
±5g
D) 0g; ±5 E) 0°; 10g
Problema 33
Siendo S y C los números que
representan la medida de un ángulo en
grados sexagesimales y centesimales, y
cumplen la igualdad.
𝐶(𝐶 − 1) + 𝑆(𝑆 − 1) = 2𝑆𝐶
Calcule la medida del ángulo en grados
sexagesimales.
A) 141° B) 151° C)
161°
D) 167° E) 171°
Problema 34
Para un cierto ángulo, se cumple:
2𝐶 − 4
3
=
2𝑆 − 26
2
= 𝑎 𝑏+1
Donde S y C son los números conocidos
del ángulo. Halle b/a, siendo { 𝑎, 𝑏} ∈ ℤ+
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/4
E) 5/4
Problema 35
Si se cumple que Ag=B0, entonces el
valor de:
𝐸 =
9(𝐴)° + 6(𝐵)′
(6𝐵) 𝑔 + (9𝐴) 𝑚
𝑒𝑠
A) 549/1010 B) 849/1010 C)
9/10
D) 1010/849 E) 1010/549
Problema 36
Dos ángulos positivos cumplen que la
diferencia del número de centesimales
de uno de ellos con el número de
minutos sexagesimales del otro es 400,
además el número de grados
centesimales del primero es y el grado
de número de grados sexagesimales del
segundo suman 10. Calcule la
diferencia de éstos en radianes.
A)
𝜋
96
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
8
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
12
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
46
𝑟𝑎𝑑
Problema 37
Sabiendo que S, C y R son los números
convencionales para un mismo ángulo
los cuales cumplen:
𝐶2
− 𝑆2
− 𝑅2
= 10𝑅 (
76
𝜋
−
𝜋
100
)
Calcule el número de radianes del
ángulo.
A)
𝜋
40
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
36
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
48
𝑟𝑎𝑑
Problema 38
En un nuevo sistema de medida angular
R, se establece que un grado R es
equivalente a un ángulo central que
subtiende un arco de longitud igual a la
quinta parte de la longitud del radio.
Halle la medida del ángulo recto en este
nuevo sistema.
A)
4𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 B)
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 C)
5𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
D)
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 E)
7𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
Problema 39

7. 7Sis. De Medición Angular
El número de grados sexagesimales de
un cierto ángulo y los 2/3 del número de
grados centesimales de otro ángulo
están en la relación de 9 a 10; además
dichos ángulos son suplementarios.
Calcule la medida del mayor ángulo.
A) 110° B) 102° C)
104°
D) 108° E) 111°
Problema 40
En un hexágono los ángulos internos
están en progresión aritmética y:
𝛼1 > 𝛼2 > 𝛼3 > 𝛼4 > 𝛼5 > 𝛼6
¿Cuánto medirá el cuarto ángulo 𝛼4
dado en radianes, si el mayor es igual a
125°?
A) 0,675𝜋 B) 0,6𝜋 C)
0,350𝜋
D) 0,340𝜋 E) 0,65𝜋
Problema 41
Calcular la longitud del radio de una
circunferencia en la que un ángulo
central, que comprende un arco que
mide 61𝜋/50m, tiene una medida en
grados centesimales representado por
un número entero y en grados
sexagesimales representada en la
forma 𝑥0
𝑥′
.
A) 5 B) 4 C) 6 D) 8
E) 3
Problema 42
Halle la medida en el sistema
sexagesimal de un ángulo mayor de una
vuelta, si en la siguiente ecuación R
representa el número de radianes que
mide dicho ángulo.
√
4𝑅
𝜋
+ √
9𝜋
𝑅
= 5
A) 670° B) 405° C)
360°
D) 120° E) 450°
Problema 43
La medida aritmética de los números
que expresan la medida de un ángulo
positivo en grados sexagesimales y
centesimales es a su diferencia como 38
veces el número de radianes de dicho
ángulo es a 5 𝛑. Hallar cuánto mide el
ángulo en radianes.
A) 4 𝛑 / 7 B) 3 𝛑 / 4 C)
𝛑 / 4
D) 5 𝛑 / 4 E) 4 𝛑 / 3
Problema 44
Sabiendo que M y N son ángulos
complementarios. Hallar M – N.
𝑀 =
𝑅𝐶
20
−
𝑅2
𝜋
, 𝑅 > 0; 𝑁 =
𝑅𝑆
30
−
7𝑅2
𝜋
A) 5 𝛑/4 B) 5 𝛑/8 C)
5 𝛑/2
D) 5 𝛑/4 E) 5 𝛑/3
Problema 45
Siendo S y C números convencionales
para un ángulo trigonométrico, el cuál
cumple la condición:
𝑆𝑒𝑛(𝐶 − 𝑆2)𝐶𝑠𝑐(2𝐶 − 5𝑆2) = 1;
𝐶 − 2𝑆2
≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
3
; 𝑘 ∈ ℤ
Calcular:
𝐾 = 𝑡𝑔(545°) + 𝐶𝑡𝑔(1085°)
Dar como respuesta un valor.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7
E) 9
Problema 46
Siendo S, C y R los números
convencionales tal que: (
𝐶+𝑆
𝐶−𝑆
)
𝑆
= 𝑅 𝐶
Calcular 𝑅10
A) 1010
B) 1910
C)
199
D) 129
E) 1510
Problema 47
Sean dos ángulos, el primero mide P
grados sexagesimales y el segundo Q
grados centesimales. La diferencia

8. 8Sis. De Medición Angular
numérica de estas medidas es 15. Si la
suma de estos ángulos en el sistema
sexagesimal es 129, los ángulos tal
como estaban medidos originalmente,
son:
A) 51 y 58 B) 67 y 50 C)
75 y 60
D) 70 y 64 E) 75 y 50