O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
2. Um pouco de história... O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função. No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática. Leibniz
3. Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por Euler , que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas. Euler Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu: “ O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.” Hadamard
4. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES... As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas. Exemplos: o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em função (depende) do consumo; o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso. o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é função (depende) da velocidade média com que nada. Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão “é função” no sentido de depende .
5. O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.
6. Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções. Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil. Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática.
7. Função máquina transformadora Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y). Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.
11. Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x Beira-mar-Nacional x Aves-Benfica x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga x Estoril-Sporting x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x Beira-mar- Nacional x Aves-Benfica x Olhanense-Marítimo x Arouca-Braga x Estoril- Sporting x
12. Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta ; no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta . Dizemos que, no 1.º caso, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca. Assim podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma função , enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x Beira-mar-Nacional x Aves-Benfica x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga x Estoril-Sporting x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x Beira-mar- Nacional x Aves-Benfica x Olhanense-Marítimo x Arouca-Braga x Estoril- Sporting x
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15. Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca , quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto. Por exemplo , existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula , pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira. Função é toda a correspondência unívoca, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
16. Variáveis dependentes e independentes x , y Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010 Neste exemplo relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y). A cada localidade corresponde uma temperatura máxima. A temperatura máxima é função da localidade. Neste exemplo a variável dependente é numérica. X- variável independente (objectos) Y- variável dependente (imagens) Localidade x Temperatura máximas em ºC y Bragança 28 Porto 30 Penhas Douradas 29 Coimbra 35 Lisboa 37 Évora 41 Beja 42 Faro 35
17. Assim, podemos definir função de outra forma: Uma correspondência entre duas variáveis é função , se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.
18. LINGUAGEM DAS FUNÇÕES Exemplo: O diagrama seguinte estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países. Podemos , assim, estabelecer uma correspondência à qual chamamos f. Roma Lisboa Brasília Londres Brasil f Itália Inglaterra Esta correspondência representa uma função? Holanda Portugal A B
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21. Polícia Marítima 3908101 Polícia de segurança pública 3466141 3474730 Polícia judiciária 3574566 3535380 Polícia municipal 7268022 Exercícios: 1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações: A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica. Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).
22. 2. Observa cada das seguintes correspondências. Indica justificando: 2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função? 2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio, O contradomínio e o conjunto de chegada.
23. 3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta. 3.1 A correspondência entre cada pessoa e o número de seu cartão de cidadão. 3.3 quadriláteros triângulo círculo 3.2 Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores: Graus Celsius (ºC) 0 28 30 100 Graus Fahrenheit (ºF) 32 82.4 86 212
25. Observemos novamente a função, h, ao lado. Em linguagem corrente , é possível dizer, por exemplo: Ao número 2 corresponde a letra b. Ao número 3 corresponde a letra b; Ao nº 4 corresponde a letra c. Em linguagem matemática (SIMBÓLICA) , escrevemos: que se lê: “h de 2 é igual a b” Ou, a imagem do objecto 2, pela função h, é b. Ou, ao objecto 2, corresponde a imagem b, pela função h.
26. Significa : Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)? Significa : Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)?
27. Assim, Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x). Sendo x a variável independente e y a variável dependente.
29. Modos de representar uma função. As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.
30. Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas 1 3 5 A B g 0 1 2 3 1 3 5 0 2 4 6 Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos, A= {0, 1, 2, 3} e B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função g: A B, que a cada elemento de A faz corresponder o dobro de B. Represente a função dada através de um diagrama.
31. Funções representadas por tabelas A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes: Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 2 4 6 Dg D’g x y 0 0 1 2 2 4 3 6 Tabela horizontal Tabela vertical
32. Funções representadas graficamente Por exemplo , representemos graficamente a seguinte função: O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))
33. Será que todos os gráficos representam funções? Observemos os gráficos cartesianos seguintes : A cada objecto corresponde uma e uma só imagem. A cada elemento do do 1.º conjunto corresponde mais do que um elemento do 2.º conjunto. (A) (B) (C) (D)
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35. 1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10 2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5 3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25 Se n, representar, o nº de dias de aluguer c, representar o custo, em euros É possível escrever uma expressão, Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente? n é a variável independente e c é a variável dependente. ou Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa. n
36. Conclusão: As formas mais frequentes de represenatr uma função, são: Diagrama sagital ou de setas; Tabelas; Representação gráfica; Expressão algébrica. Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.” Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 6 12 18
37. Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções: A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações. Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto. Uma desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas). Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.
38. As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função. Electrocardiograma
41. O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora. Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho? Problema: Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 3,5 x R.: Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros. Resolução:
42. E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho? C.A. 2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas! 60 1 x 12 2 h:12 min corresponde 2,2 horas Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 2,2 x R.: Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos). E se demorasse apenas 1 hora e meia? Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 1,5 x R.: Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.
43. Observemos então a tabela com toda a informação anterior. 1.ª questão: A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê? O quociente entre as duas variáveis é sempre constante. 2.ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa? A constante de proporcionalidade é 1,5. Significa o preço de uma hora de trabalho. Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade directa. Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
44. 4.ª questão: Qual a expressão analítica desta função? Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca. 3.ª questão: Será que a correspondência estabelecida, representa uma função? Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma função de proporcionalidade directa . Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
45. 5.ª questão: Representa graficamente esta função? 0 Tempo (em horas) Quantia recebida (em euros) Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho. Por exemplo: Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia? Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
46. Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa? O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial. Conclusão: Toda a função f, que se pode representar por: ou ou Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade. O gráfico deste tipo de funções é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial. Função de proporcionalidade directa ou função linear
47. Exercício: Em muitos supermercados e talhos há balanças que marcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias. Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carne a 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo. A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo: a) Observa a tabela e completa: b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê? c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa? d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa? Peso (em gramas) x 100 200 250 300 600 1000 … Custo (em euros) y 1 2 2,50 3 6 10 …
51. Gráficos das funções do tipo x y=kx Exemplos: Representa graficamente a função f(x)=2x. Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________. Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos. A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores que atribuíres a x. Repara: x y=2x 0 1 -1,5 0 2 -3 C.A. Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.
52. Y=2x Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta. A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta. O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?
53. Representa a função . EXEMPLO: Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos). x y=2x 0 2 0 4 Y=2x
54. EXEMPLO: Representa a função . x y=2x 0 1 0 2 4 2 Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de pontos isolados.
55. Exercício : Representa graficamente a função Repara que não há qualquer restrição a impor a x , logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial. Graph Geogebra Graphmatica
56. DECLIVE DA RECTA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL. Y=2X Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades. A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K. Como determinar o declive de uma recta? Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar no caso das funções lineares. Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2. Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?
57. O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta. Exemplos: Representa o gráfico das funções f e g. f g Geogebra
58. Desafio… Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas? Determinar a equação da recta a partir da representação gráfica
59. Repara agora nas representações gráficas de algumas funções. Qual a expressão analítica de cada uma das funções? Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?
62. Grafmatica Exemplos de funções constantes: Representação gráfica: Conclusões: Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante. O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas). E quanto ao declive! O que pensas? Obviamente o declive de uma função constante é zero.