1. Critérios de paralelismo e de perpendicularidade

2. Certamente resolveste sem dificuldade os exercícios anteriores. No entanto se quisesses justificar algumas respostas já não seria assim tão fácil. Além disso, muitas vezes a própria figura não é muito clara para decidirmos qual a posição relativa. Vamos estudar, então critérios que são condições suficientes para garantir certas posições relativas. ?

3. Critério de paralelismo entre rectas e planos Como construir uma recta paralela ao plano ? Traçamos uma recta qualquer no plano . Imaginamos outro plano distinto de que contenha a recta s. Nesse plano, traçamos uma recta r paralela a s. Então: r //

4. Assim, podemos enunciar o seguinte critério: Se uma recta r não contida num plano , é paralela a uma recta s, desse plano, então é paralela ao plano. r s Também é verdade que: Se uma recta r (não contida no plano beta) é paralela a esse plano, existe pelo menos uma recta, s, paralela a r. Critério de paralelismo entre rectas e planos

5. Exercício: A figura representa um paralelepípedo rectângulo. Justifica que a recta EF é paralela à face [ABCD]. B C

6. Critério de paralelismo entre planos Como construir um plano paralelo a um plano dado? Traça-se uma recta paralela ao plano . Há uma infinidade de planos que contêm r. Mas, só um deles é paralelo a . É aquele que contém outra recta, s, também paralela a e concorrente com r. Então:

7. Dois planos distintos e são paralelos se num deles existem duas rectas concorrentes e paralelas ao outro plano. Critério de paralelismo entre planos

8. É fácil verificar que: Se um plano é paralelo a outro, todas as rectas de um deles são paralelas ao outro.

9. A figura representa o tronco de uma pirâmide. As rectas AB e CD contidas no plano CAB são paralelas ao plano EFG. Podes concluir que os planos considerados são paralelos? Exercício:

10. Observa a figura A recta r está contida no plano , é paralela ao plano e, no entanto os planos alfa e beta não são paralelos. As rectas r e s são paralelas, estão contidas no plano , cada uma delas é paralela ao plano e, no entanto, os planos alfa e beta não são paralelos. As rectas AB e BC são concorrentes em B, estão contidas no plano e são paralelas ao plano . Os planos são paralelos.

11. Critério de perpendicularidade entre recta e plano. Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então é perpendicular ao plano. são concorrentes. Para que uma recta seja perpendicular a um plano basta que seja perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano que passem pelo seu pé ( ponto onde a recta encontra um plano chama-se pé da recta) .

12. Critério de perpendicularidade entre recta e plano .

13. A recta AC é perpendicular à recta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria que ser perpendicular a duas rectas concorrentes e não a uma só. Podemos afirmar que a recta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano: BE e BC. Exemplo:

14. Critério de perpendicularidade entre planos. Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, então os dois planos são perpendiculares. Reparem que estes dois planos dividem o espaço em 4 regiões. A cada uma chama-se DIEDRO . DIEDRO é cada uma das quatro regiões em que fica dividido o espaço quando dois planos se intersectam. Se os quatro diedros forem iguais , os planos dizem-se PERPENDICULARES . Caso contrário, os planos são OBLÍQUOS.

16. Os planos são perpendiculares ao plano

17. GEOMETRIA EUCLIDIANA

18. … Vamos ver como se constrói uma geometria dedutiva. Tudo se passa como se se tratasse de um jogo. Num jogo qualquer, precisamos dos materiais com que vamos jogar e precisamos também de conhecer as regras do jogo. Com estas informações, o jogador pode desenvolver as suas jogadas. Na geometria “joga-se” com pontos, rectas, planos, … (os chamados termos primitivos). As “regras do jogo” são as proposições aceites sem demonstrações (os chamados axiomas). O “jogo” desenvolve-se partindo de conceitos e proposições já conhecidas e construindo novos conceitos (triângulos, circunferências,…) e novas propriedades (teoremas), usando as regras da lógica.