Este documento presenta un resumen de tres oraciones de un trabajo de investigación sobre la Fórmula de Inversión de Möbius. Introduce el contexto histórico de August Ferdinand Möbius, las funciones aritméticas relevantes como la función de Möbius, y explica que el objetivo principal es estudiar la Fórmula de Inversión de Möbius y sus aplicaciones en demostraciones de teoremas, polinomios irreducibles y teoría de sistemas dinámicos.

1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ<br />FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍAS<br />ESCUELA DE MATEMÁTICA<br />LA FORMULA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS<br />CIPRIANO BONILLA A.<br />CED: 8-826-1580<br />Trabajo presentado en el Seminario como opción para la obtención del Título de Licenciado en Matemática. <br />Ciudad Universitaria, Octavio Méndez Pereira<br />Panamá, 2011<br />DEDICATORIA<br />A mi familia y en especial a mi madre por sus esfuerzos y apoyo incondicional en cada etapa de mi vida.<br />A mis vecinos y amigos de la comunidad de La Gloria, dulce hogar, por ser la inspiración de querer ser alguien en la vida y ayudar a los demás.<br />AGRADECIMIENTO<br />Primeramente a Dios nuestro padre y creador de todo, por ayudarme en cada momento de mi vida.<br />Al Doctor Jaime Gutiérrez, profesor del Departamento de Matemática y encargado del Seminario que ha permitido desarrollar el presente trabajo, por su paciencia, ayuda y disponibilidad de brindar información y guía.<br />A todos y cada uno de mis compañeros del Cuarto año de la Licenciatura en Matemática por haberme ayudado y motivado a hacer este trabajo.<br />Índice<br />Introducción……………………………………………..………..1<br />August Ferdinand. Möbius.……………….……………………..2-5<br />Funciones aritméticas…………………………..……………....6-9<br />Convolución de Dirichlet o Producto de Dirichlet……..10-11<br />la Función de Möbius……………………………………...……12-17<br />la Formula de Inversión de Möbius……………………………18-23<br />Aplicaciones de la Formula de Inversión de Möbius<br />En la demostración de teoremas……………….……..24<br />En los polinomios irreducibles………………..…...25-27<br />En la teoría de los sistemas dinámicos……………28-29<br />Conclusiones y Recomendaciones…………………………………30<br />Bibliografía…………………………………………………..………31<br />RESUMEN<br />Este trabajo tiene como objetivo cumplir con uno de los requisitos establecidos por la Universidad para la obtención del título universitario.<br />Se pretende ampliar el nivel de conocimiento sobre La Fórmula de Inversión de Möbius,veremos algunas demostraciones (pruebas) y aplicaciones o usos que le podemos dar. Para esto necesitamos introducirnos en las Funciones Aritméticas, en las cuales no profundizaremos a fondo, ya que solo nos dedicaremos a dar la definición, algunos ejemplos y propiedades, haciendo rápida mención especial a la Convolución o Producto de Dirichlet el cual nos será de gran utilidad, nos enfocaremos más en la Función de Möbius a pesar de su arbitraria definición, esta función será de gran importancia, para entrar a nuestro enfoque de estudio “La Fórmula de Inversión de Möbius”.<br />Introducción<br />La Teoría de Números es una rama de la Matemática que estudia las propiedades de los enteros positivos 1; 2; 3;… o números naturales (Schroeder, 1990). Dichos números constituyeron el primer descubrimiento matemático y el interés en ellos es tan antiguo como la misma civilización. Los retos intelectuales de los problemas de la Teoría de Números han atraído a matemáticos notables desde el tiempo de Pitágoras (c. 540 a.c.) y el trabajo realizado en la búsqueda de soluciones a dichos problemas ha resultado en la creación de nuevas ramas de laMatemática. El desarrollo de las computadoras y las comunicaciones digitales ha mostrado que la Teoría de Números es capaz de dar respuestas inesperadas a problemas de aplicación práctica (Hardy y Wright, 1984).<br />La Teoría de Números es posiblemente el área más rica de laMatemática; en ellas confluyen las demás y de ella nacen muchas otras.<br />Estudiar la Teoría de Números es estudiar la obra de grandes genios que se dedicaron a ella y es una excelente forma de adquirir lo que se conoce como “madurez matemática”.<br />El tema principal de esta monografía es el estudio de La Fórmula de Inversión de Möbius y algunos temas relacionados con ella, pero que también tiene un interés por sí mismos, como lo es la Función de Möbius y las Funciones Aritméticas.<br />Es así como se pretende ser y proporcionar gran ayuda a aquellos que deseen incursionar en este bello tema de la Teoría de Números. Se presupone que el lector ya haya visto un curso en Teoría de Números, pues el objetivo principal es el de utilizar este trabajo como complemento de los textos tradicionales de Teoría de Números.<br />LA FORMÚLA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS<br />contexto histórico<br />August Ferdinand. Möbius.<br />Figura 1. August Ferdinand Möbius.La fórmula de inversión de, objeto de nuestro trabajo, es asociada al matemático alemán August Ferdinand Möbius.Nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta, Sajonia, ahora Alemania, y murió el 26 de septiembre de 1868 en Leipzig, Alemania. Fue hijo único de Johann Heinrich Möbius, un maestro de baile, quien falleció cuando August tenía tres años de edad. <br />Su madre era descendiente de Martín Lutero. Möbius fue educado en casa hasta los 13 años de edad y ya entonces mostraba interés en laMatemática. Fue a la universidad en Schulpforta en 1803. Se graduó en 1809 y se convirtió en estudiante de la Universidad de Leipzig. Su madre deseaba que estudiase leyes y, en efecto, comenzó a estudiar esa materia. Sin embargo, pronto descubrió que esto no lo satisfacía y en la mitad de su primer año decidió seguir sus propias preferencias en vez de las de su familia. Así comenzó a estudiar Matemática, Astronomía y Física. <br />El maestro que más influencia tuvo sobre Möbius durante su estancia en Leipzig fue el astrónomo y matemático Karl Mollweide, quien también es bien conocido por un cierto número de descubrimientos matemáticos, en particular, las relaciones trigonométricas de Mollweide, que descubrió entre 1807 y 1809, y la proyección conforme de mapas de Mollweide, es decir, que conserva ángulos. <br />En 1813, Möbius viajó a Göttingen, donde estudió Astronomía bajo la dirección de Gauss, quien era director del Observatorio en Göttingen y, por supuesto, considerado por muchos el más grande matemático de su época. Así, nuevamente Möbius pudo estudiar con un astrónomo, cuyos intereses eran de tipo matemático. De Göttingen, Möbius se fue a Halle, donde estudió con Johann Pfaff, maestro también de Gauss. Con Pfaff, Möbius estudió Matemática más que Astronomía, así que a estas alturas ya estaba trabajando sólidamente en ambas disciplinas. <br />En 1815, Möbius escribió su tesis doctoral sobre La ocultación de estrellas fijas, escrita originalmente en latín con el título “Decomputandisoccultationibusfixarum per planetas” y comenzó a trabajar en su Habilitación, que es un grado posterior al doctorado, que en muchas universidades de Europa central se exige para ocupar una plaza definitiva como profesor universitario. De hecho, mientras escribía este trabajo, hubo un intento de enrolarlo en el ejército prusiano. Möbius escribió: <br />“Ésta es la idea más horrible que he escuchado, y cualquiera que se aventure, ose, se atreva, inste y tenga la audacia de proponérmelo ya no estará seguro ante mi daga”.<br />Evitó el ejército y terminó su trabajo de Habilitación sobre Ecuaciones Trigonométricas. El interés de Mollweide en laMatemática era tal que había desocupado la cátedra de astronomía para ocupar la de Matemática en Leipzig, por lo que Möbius tenía grandes esperanzas de ser nombrado profesor de Astronomía ahí mismo. En efecto, ocupó la cátedra de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig en 1816. Su nombramiento inicial fue como Profesor Extraordinario. <br />Sin embargo, Möbius no fue promovido pronto a profesor titular. Parecía que no era un buen expositor en sus clases, por lo que no atraía estudiantes que pagaran cuota por sus clases, lo que le hacía la vida difícil. Se vio forzado a anunciar sus cursos como gratuitos, para que los estudiantes consideraran que valía la pena inscribirse en ellos. <br />Le ofrecieron una posición como astrónomo en Greifswald en 1816, y luego otra como matemático en Dorpat en 1819. Rechazó las dos, en parte por su convicción acerca de la alta calidad de la Universidad de Leipzig, y en parte por su lealtad hacia Sajonia. En 1825 Mollweide murió y Möbius aspiró a ser transferido a su cátedra de Matemática siguiendo la ruta que Mollweide había seguido antes. Sin embargo, éste no fue el caso y se prefirió a otro matemático para el puesto. <br />Hacia 1844 la reputación de Möbius como investigador le valió una invitación a la Universidad de Jena, y en esta etapa, también la Universidad de Leipzig le otorgó la titularidad en su puesto de profesor de Astronomía, la que claramente se merecía. <br />Desde los días de su primer nombramiento en Leipzig, Möbius también ocupó el puesto de Observador en el Observatorio en Leipzig. Se involucró en la reconstrucción del Observatorio y de 1818 hasta 1821 supervisó el proyecto. Visitó varios otros observatorios en Alemania antes de dar sus recomendaciones para el nuevo Observatorio. En 1820 se casó y de su matrimonio tuvo una hija y dos hijos. En 1848 fue nombrado director del Observatorio. <br />En 1844 Grossman visitó a Moebius. Le pidió que revisara su obra principal Die lineare Ausdehnungslehre, einneuerZweig der Mathematik(La Teoría de Expansión Lineal, una nueva rama de laMatemática) (1844), que contenía muchos resultados similares a los de Möbius. Aunque Möbius no comprendió la importancia de la obra de Grossman y no la revisó, lo convenció de someterla para un premio y, después de que Grossman lo ganó, en 1847 Möbius escribió una revisión de la participación que lo hizo ganar. Su relación con Grossman fue a todas luces conflictiva, su negativa a aceptar ese trabajo como tesis doctoral y remitirlo a otro matemático sin haberlo leído es una mancha. <br />Aunque su obra más famosa es en Matemática, Möbius publicó una obra importante en Astronomía, De ComputandisOccultationibusFixarum per Planetas (1815), concerniente a las ocultaciones de los planetas. También escribió Die Hauptsätze der Astronomie (Los principales postulados de la Astronomía)(1836) y Die Elemente der Mechanik des Himmels (Los elementos de la Mecánica Celeste) (1843). <br />Las publicaciones de Möbius, si bien no siempre original, eran presentaciones efectivas y claras. Sus contribuciones a laMatemática fueron descritas por su biógrafo Richard Baltzer como sigue: <br />“La inspiración para su investigación casi siempre la encontró en la rica fuente de su propia mente. Su intuición, los problemas que él mismo se planteaba y las soluciones que encontraba, todas exhibían algo extraordinariamente ingenioso, algo original en una forma espontánea. Trabajaba sin prisa, tranquilamente y solo. Su obra permaneció casi bajo llave hasta que todo se fue poniendo en su lugar. Sin premura, sin pompa y sin arrogancia, esperó a que los frutos de su mente maduraran. Sólo después de esa espera publicó sus obras perfeccionadas...”<br />Casi toda la obra de Möbius fue publicada en el CrelleJournal, la primera revista dedicada exclusivamente a publicar Matemática. La obra de Möbius de 1827 Der barycentrischeCalkül (El cálculo baricéntrico), sobre Geometría Analítica, se convirtió en un clásico e incluye muchos de sus resultados sobre Geometría Proyectiva y Geometría Afín. En ella introduce las coordenadas homogéneas y también discute transformaciones geométricas, en particular, transformaciones proyectivas. Introdujo una configuración ahora llamada red de Möbius, que ha jugado un importante papel en el desarrollo de la Geometría Proyectiva. <br />El nombre de Möbius está ligado con muchos importantes objetos matemáticos tales como la función de Möbius, que introdujo en su artículo de 1831 Übereinebesondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series) así como la fórmula de inversión de Möbius.[1]<br />La transformación de Möbius, importante en Geometría Proyectiva, no debe ser confundida con la transformación de Möbius de la Teoría deNúmeros, que también lleva su nombre.<br />1.2 Funciones Aritméticas<br />En teoría de números, una función aritmética es una función real o compleja ƒ(n), definida sobre el conjunto de los números naturales, que quot;
expresa alguna propiedad aritmética en función de nquot;
.[]Las funciones aritméticas de mayor interés son las que dependen de la factorización entre primos; además las funciones aritméticas juegan un papel importante en el estudio de las propiedades de la divisibilidad de los números enteros y la distribución de los primos.[2]<br />Definición 1.2.1: una función aritmética es una función f: N⟶(R o C). La mayor parte de las veces la imagen también estará dentro de ℕ, o al menos de ℝ. El conjunto de lasfunciones aritméticas se denota por F.<br />Funciones aritméticas notables:<br />Función unidad: u(n) = 1 para todo n∈ℕ.<br />Funciónidentidad: (n) = 1, si n=10, si n>1<br />τ(n) =d∣n1(número de divisores de n).<br />σ(n) = d∣nd(suma de los divisores de n).<br /> σa(n) = d∣nda, donde a ∈ℝ (funciones divisores).<br />Indicatriz de Euler: φ(n) = d≤nd,n=11 , (número de enteros positivos menores o iguales que n que son primos con n).<br />Na(n) = na, donde a ∈ℝ.<br />r(n) = a,b∈Z x Z; a2+b2=n.<br /> πn= p≤n 1(número de primos menores o iguales que n).<br />Función de Mangold: Λn= logp, si n= pm0, en otro caso. <br />Función de Liouville:λn= 1, si n=1;(-1)a1+…+ak, si n= p1a1…pkak.<br />Función de Möbius : μn= 1, si n=1;(-1)k, si n=p1p2…pkdistintos0, en otro caso.,<br />Operaciones entre funciones aritméticas.<br />La suma, la multiplicación y la división de funciones aritméticas están definidas de la forma usual es decir:<br />1.f+gn=fn+gn.<br />2.f*gn=fn*gn siendo*el símbolo usual de la multiplicación.<br />3.fgn=f(n)g(n) en donde g(n)≠0.<br />Funciones aditiva y multiplicativa<br />Una función aritmética f es:<br />Una función aditiva es un una aritmética (n) que va desde los enteros positivos n tales que cada vez que a y b son coprimos, la función del producto es la suma de las funciones.<br />f(ab) = f(a) + f(b).<br />Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva sif(ab) = f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos a y b, inclusive aquellos que no son coprimos.<br />Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.<br />A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativarelacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son coprimos se cumple lo siguiente:<br />g(ab) = g(a) × g(b).<br /> Ejemplo:<br /> La función g(n) = 2f(n) − f(1), φ, μ.<br />Completamente multiplicativa si f(ab) =f(a)f(b) para todos los números naturales a y b;<br />Ejemplo la función u, N,λ.<br />Observación. Toda función completamente multiplicativa es multiplicativa.<br />Ejemplo. La función fn=nzdonde z∈ C, la función idn=n y la función constante un=1 son ejemplos de funciones completamente multiplicativas.<br />Lema 1.2.1.Sif es una función multiplicativa entonces f1=1.<br />Demostración: como f es no nula, existe n∈N tal que f(n)≠0. Dado que fn=fn∙1=fnf(1), pues n,m=1, cancelando f(n) a ambos lados de la ecuación se tiene que fn=1.<br />Lema 1.2.2.Seanf y g funciones multiplicativas entonces fg es también una función multiplicativa. Si además g(n)≠0 , ∀n entonces fg también es una función multiplicativa.<br />Demostración. Es claro que fg1=1. Sean m,n=1, utilizando la propiedad de las funciones multiplicativas y la conmutatividad en los complejos tenemos que:<br />fgmn =fmngmn<br /> =fmfngmg(n)<br /> =fmgmfng(n)<br /> =fgmnfgmn.<br />Funciones aritméticas que son ni aditivas ni multiplicativas.<br />Hemos mencionados algunos ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas y multiplicativas. Aquí están algunos ejemplos que son ni aditivas ni multiplicativas:<br />r4(n), el número de maneras que n puede ser expresado como la suma de cuatro cuadrados de los números enteros no negativos, donde distinguimos entre diversas pedidos de los sumandos. Por ejemplo: <br />1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12, por lo tanto r4(1)=4. <br />P(n), Función de la partición - el número de representaciones de n como suma de los números enteros positivos, donde no distinguimos entre diversos pedidos de los sumandos. Por ejemplo: P(2 · 5) = P(10) = 42 y P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42. <br />π (n), Función de cuenta primera - el número de primos inferior o igual a un número dado n. Tenemos el π (1) = 0 y π (10) = 4 (primos debajo de 10 que son 2, 3, 5, y 7). <br />ω (n), el número de distintos primos que dividen a un número dado n. Tenemos el ω (1) = 0 y ω (20) = 2 (los primos que dividen a 20 que son 2 y 5). <br />Λ (n), función de von Mangold la cual se define para ser ln(p) si n es una energía del número entero de una prima p y 0 para todo el otro n. <br />1.3 Convolución de Dirichlet o Producto de Dirichlet.<br />Definición1.3.1.Sean f,g :N->C funciones aritméticas. Definimos su convolución de Dirichlet como una nueva función aritmética f*g :N->C dada por<br />f*gn=d∣nfdg(nd)<br />Esto puede escribirse equivalentemente:<br />f*gn=n=d1d2fd1g(d2)<br />(Llamando d1=d, d2=nd). Notamos que en esta expresión los roles de f y g son simétricos. En consecuencia, la convolución de Dirichlet es conmutativa, es decir:<br />f*g=g*f<br />Observación: se tiene que<br />f*I=I*f=f<br />Esto que la función aritmética I es el elemento neutro para la convolución de Dirichlet. Esto justifica la denominación que le hemos dado de “función aritmética identidad”.<br />Observación: la convolución de Dirichlet es asociativa, esto significa que si f,gy h son tres funciones aritméticas, entonces:<br />f*g*h=f*(g*h)<br />Prueba:<br />(f*g*h)n=d3f*gchd3=cd3d1d2=cfd1gd2h(d3)<br />=d1d2d3=nfd1fd2f(d3)<br />Si asociamos al revés (f*g*h)(n) llegaríamos a la misma expresión.<br />f*g*hn=d1c=nf(d1)(g*h)(c)<br />=d1c=nf(d1)d2d3=cgd2h(d3)<br />=d1d2d3=nfd1gd2hd3<br />=∙ ∙ ∙ =f*g*hn. ∎<br />Observación. También se verifica la propiedad distributiva con respecto a la suma usual de funciones aritméticas.<br />f*g+h=f*g+f+h<br />Donde g+h se define por:<br />g+hn=gn+hn<br />El hecho de que la convolución de Dirichlet verifique las propiedades usuales del producto, significa que el conjunto de las funciones aritméticas tiene estructura de anillo conmutativo con respecto a las operaciones de suma (usual) y convolución de Dirichlet.<br />Inversa de Dirichlet <br />Teorema 1.3.2: Si f es una función aritmética con f(1)≠0, entonces existe una única función aritmética f-1, llamada la inversa de Dirichlet definida de la siguiente manera: f*f-1=f-1*f=1, en donde f-1 esta dada por la formula de recurrencia :<br />f-1=1f(1) , f-1=-1f(1)d∣nfnd, para todo n>1.<br />Demostración:<br />Probaremos que dada f la ecuación f*f-1n=I(n)tiene una única solución para f-1evaluada en n. para n=1, definimosf1f-11=1, como f1≠0, entonces existe una única solución llamada f-1=1f(1).<br />Supongamos que f-1 esta dada definida para cada m<n y probemos que esta definida para n,<br />f*f-1n=I(n), o d∣nfndf-1d=0, luego,<br />f1f-1n+d∣nf(nd)f-1d=0<br />Si los valores de<br />f-1n=-1f1d∣nfndf-1d=0 ,<br />Ya que f1≠0, con lo cual se establece la existencia y la unicidad de f-1 dada por inducción.<br />1.4 Función de Möbius.<br />En el campo de la aritmética, la función μ (« mu » o « my ») de Möbius se define así: <br />Para todo número naturaln se considera su descomposición en factores primos:<br />Si n contiene un factor cuadrado, es decir si una de las potencias ri es superior o igual a dos, entonces se decide que μ(n) = 0. <br />Si no es el caso, n es «libre de cuadrado», y se define así la función: <br />Si n tiene un número par de factores primos, entonces μ(n) = 1.<br />Si n tiene un número impar de factores primos, entonces μ(n) = -1.<br />En ambos casos, n se escribe n=p1p2….pk (todos los ri son iguales a 1), y <br />μn=(-1)k.<br />La tabla para los 10 primeros números naturales seria:<br />n12345678910μ(n)1-1-10-11-1001<br />Tabla 1.4.1<br /> Otros ejemplos: <br />μ(1) = 1 porque 1 es un producto de cero factor primo (un producto vacío), y cero es par. <br />μ(18) = 0 porque 18 = 2×32 contiene el factor cuadrado 9. <br />μ(32) = 0 porque 32 = 25 contiene los cuadrados 4 = 22 y también 16 = 24. <br />μ(30) = -1 pues 30 = 2×3×5 es producto de tres (impar) primos distintos. <br />μ(77)= 1 pues 77 = 7×11 es un producto de dos (par) primos distintos. <br />Figura 2. Los 50 primeros valores de la función μ(n).<br />En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:<br />para todo número natural n.Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann. <br />Una propiedad dela función de Möbius: Si m y n son coprimos, entonces μ(m·n) = μ(m)·μ(n). Es la multiplicatividad condicional. <br />Prueba: Si m o n contiene un cuadrado, entonces el producto m·n también, y los dos miembros de la igualdad son iguales a cero. Si no, sea k y k' los números de factores de m y n. Entonces m·n tiene k + k' factores primos, todos distintos porque m y n son coprimos, y la igualdad se escribe sencillamente (-1) k + k' = (-1) k · (-1) k'. <br />Lema 1.4.1.La función de Möbius es multiplicativa pero no completamente multiplicativa. <br />Demostración. Veamos que μ es multiplicativa, para ello tomemos n,m∈Z+con n,m=1<br />i) Si n=1 entoces<br />μnm=μm<br />=1μ(m)<br /> =μ(1)μ(m)<br /> =μnμm.<br />Si m=1, idéntico.<br />ii) si existe p primo tal que p2n, entonces p2nm.<br />μnm=0<br />=0μ(m)<br /> =μnμm.<br />Si existe p primo tal que p2m, idéntico.<br />iii) Si n y m son libres de cuadrados, es decir n=p1∙ ∙ ∙ps y m=q1∙ ∙ ∙qr donde p1,∙ ∙ ∙,ps, q1,∙ ∙ ∙,qr son todos primos diferentes pues n,m=1. Se tiene que:<br />μnm=(-1)s+r<br />=(-1)s(-1)r<br />=μnμm.<br />Para ver que μ no es completamente multiplicativa, basta con tomar p primo y observar que:<br />μp2=0<br />Pero<br />μpμp=-1-1=1 . ∎<br />Muchas identidades aritméticas involucran sumas sobre los divisores positivos de un entero n∈N. Veamos un ejemplo:<br />Teorema 1.4.1. Para todo n∈N,<br />d∣nμd=In (*)<br />Prueba: Para n=1 el resultado es trivial, luego podemos suponer n>1. Al calcular la suma del enunciado, solo resultan no nulos los términos correspondientes a divisores de nque son el producto de primos distintos que aparezcan en la factorización de n. Luego, si n posee k factores primos distintos<br />d∣nμd=1+μ(pi1)+ μ(pi1pi2)+ ∙ ∙ ∙ + μ(pi1pi2∙ ∙ ∙ pik)<br />Donde pi1pi2∙ ∙ ∙ pij representa una elección de j factores primos distintos entre los k posibles. <br />Pero por definición de μ , μpi1pi2∙ ∙ ∙ pij=(-1)j , y hay (kj) elecciones posibles de j factores primos entre k. Queda pues:<br />d∣nμ(d)=1-k1+k2+∙ ∙ ∙ +-1kkk=1+-1kk=0<br />Utilizando el teorema del binomio de Newton. ∎<br />II Interés<br />La función de Möbius fue inventada para resolver sistemas particulares de ecuaciones. Para entenderlo, hay que introducir el producto de convolución entre dos sucesiones (o funciones sobre los enteros naturales): si f y g son sucesiones, se define su producto f*g así:<br />1.5 LA Fórmula de Inversión de Möbius.<br />La clásica fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más adelante a otras quot;
fórmulas de inversión de Möbiusquot;
<br />Vamos a demostrar que las funciones μ y 1 son inversas la una de la otra, es decir: μ * 1 = ε, concretamente: <br />Para n = 1 , y si n> 1, <br />Lo primero es obvio porque la suma vale μ (1) = 1. <br />Lo segundo se muestra por etapas: <br />Si n = p es primo entonces la suma es μ(1) + μ(p) = 1 – 1 = 0. <br />Si n = pr (r>1), la suma es μ(1) + μ(p) + μ(p2) + ... + μ( pr) = 1 – 1 + 0 + ... + 0 = 0. <br />Si n = a·b, con a y b coprimos, los divisores de a·b son de la forma d1·d2, con d1 y 2 coprimos. Como hipótesis de inducción admitimos el resultado para a y b (ambos superiores a 1). Luego:<br />La «inversión» del sistema anterior es, aplicando la fórmula: <br />Claro, se puede resolver el sistema quot;
paso a pasoquot;
y se hallará la misma solución. <br />Aplicada a la función fi de Euler, la inversión da como expresión: <br />Proposición 1.5.1: Forma del producto de la fórmula de inversión de Möbius. Si fn>0 para todo n y si a(n) es real, a(1)≠0entonces:<br />gn=d∣nf(d)a(nd)<br />Si i solo si:<br />fn=d∣ng(d)bnd<br />En donde b=a-1, es la inversa de Dirichlet.<br />Primera Prueba de la fórmula de inversión de Möbius a través de convolución de Dirichlet.<br />Tomando la función unidad:un=1 ∀ n∈N<br />μ*u=I<br />Como I es el neutro de la convolución de Dirichlet, esto significa que u y μ son elementos inversos para la convolución de Dirichlet. Podemos escribir esto simbólicamente como:<br />μ=u-1.<br />Queremos probar que:<br />Dado f,g :N->C funciones aritméticas. Entonces:<br />gn=d∣nf(d)∀n∈N (1)<br />Y solo si:<br />fn=d∣ng(d)μ(nd)=d∣ngndμd∀ n∈ N (2)<br />Prueba: En términos de convolución de Dirichlet, la ecuación (1) significa que<br />g=f*u<br />Convolucionando ambos miembros con μ, y utilizando la propiedad asociativa:<br />g*μ=f*u*μ=f*u*μ=f*I=f<br />Con lo que f=g*μ que es la afirmación (2).<br />Recíprocamente si vale (2), esto implica que f=g*μ y Convolucionando con u,<br />f*u=g*μ*u=g*μ*u=g .<br />Que es la afirmación (1). ∎<br />Segunda Prueba de la fórmula de inversión de Möbius<br />Nuestro deseo es mostrar que para<br />Fn=d∣nfd.<br />La transformación inversa de Möbius es<br />fn=d∣nμdF(nd),<br />Y viceversa. Nosotros notamos que<br />F(nd)=d'∣ndf(d')<br />e introduciendo esto sobre la ecuación, complaciendo:<br />fn=d∣nμdd'∣ndfd'.<br />Invirtiendo el orden de la sumatoria sobre d y d’, nosotros obtenemos:<br />fn=d'∣nfd'd'∣nd'μd,<br />Donde la primera suma es igual a cero, excepto para nd'=1, i.e.,d'=n (comprobar).<br />El inverso es comprobado similarmente.<br />Segunda fórmula de inversión de Möbius.<br />dejando<br />Gn=d∣ngd;<br />entonces<br />gn=d∣nG(d)μ(nd)<br />Y viceversa. La prueba resulta para la uno poniendo que: g=ef y G=eF<br />Lo derivado anteriormente, aplicándolo a esta fórmula;<br />d∣nd=n12d(n),<br />Donde d(n) es el número de divisores de n, llegando a obtener la curiosa representación de n2:<br />n2=d∣ndd(d)μ(nd)<br />Terceraformulade inversión de Möbius.<br />Para x>0, dejando:<br />Hx=n=1∞hnx. entonces<br />hx=n=1∞μnH(nx)<br />y viceversa, previendo<br />m,n│f(mnx)│<br />Converge.<br />Cuartafórmula de inversión de Möbius.<br />Para x>0, dejando:<br />Hx=n=1xh(xn) . entonces<br />hx=n=1xμnHxn.<br />Aplicaciones de la fórmula de inversión de Möbius<br />Para demostrar algunos teoremas.<br />Teorema 1.6.1. ∀ n∈Z+ , se tiene que<br />d∣nφd=n<br />Demostración: Por el corolario que dice que:<br />d∣nμ(d)d=φ(n)n<br />Tenemos que:<br />φn=d∣nμdnd .<br />Luego utilizando la fórmula de inversión de Möbius obtenemos el resultado buscado. ∎<br />Ejercicio 1.6.1: vamos a demostrar que:<br />n=d∣nμdσnd .<br />Dado que:<br />σn=d∣nd ,<br />Utilizando la fórmula de inversión de Möbius obtenemos que:<br />n=d∣nμdσnd .∎<br />En los polinomios irreducibles<br />Vamos a ver una bonita aplicación de la fórmula de inversión de Möbius en los polinomios irreducibles, en este caso la función de Möbius toma una posición de contador.<br />Para comprender mejor esto, veamos lo siguientes puntos:<br />Polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos.<br />Un método de construcción de extensiones de un cuerpo F es a través de la consideración de polinomios irreducibles en FX.<br />En el caso de ℚes relativamente simple, pues dado un entero positivo n existe un polinomio de grado n e irreducible sobre ℚ. En efecto, basta considerarp primo y f(x) = xn- p ∈Q[x]. En el caso de los cuerpos finitos la historia es más complicada pero también más emocionante. <br />Teorema 1.6.2.SeanF un cuerpo, m∈N,ygmx=xpm-x∈Fx. Entonces para enteros positivos n y d se tiene:<br />d∣n si y solo si gd(x)∣gn(x)<br />El resultado básico para demostrar la existencia de polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos, y el cual demostraremos como ejercicio, es el siguiente teorema.<br />Teorema sean p un númerod,k y n teros positivos, K=Fpk el cuerpo con pk elementos y hd(x) el producto de los polinomios monicos de grado d e irreducibles sobre K. Entonces:<br />xqn-x=d∣nfdx 1)<br />Donde el índice d del producto recorre los divisores positivos de n.<br />Aplicando la fórmula de inversión de Möbius:<br />gn=d∣nfd<br />Si y solo si<br />fn=d∣nμdg(nd),<br />Aplicándola a la ecuación 1) obtenemos <br />qn=gradoxqn-x=grado(d∣n)fdx=d∣nfdx=d∣ndc(d)<br />Donde c(d) indica la cantidad de polinomios mónicos irreducibles de grado d.<br />En resumen,<br />qn=d∣nfd(x)<br />Con la aplicación de la fórmula de inversión de Möbius, obtenemos:<br />ncn=d∣nμ(d)qnd=d∣nμ(nd)qd<br />Por lo tanto la cantidad c(n) de polinimios monicos e irreducibles de grado n esta dada por:<br />cn=1nd∣nμ(nd)qd<br />Esto obvio que c(n)≥1 y con esto hemos probado que dados n∈N y un cuerpo finito F, existe un polinomio irreducibles de grado n sobre F<br />Ejemplo 1.6.1:<br />Calcular la cantidad de polinomios de grado 3 y 4 mónicos e irreducibles que hay en un cuerpo de 212 Y 312 elementos.<br />cn=1nd∣nμ(nd)qd<br />C(3) para q=212<br />d=1, d=3<br />c3=13μ31212+μ(33)(212)3<br />=13-1212+2123<br />=132122122-1<br />=13212224-1.<br />C(4) para q=212<br />d=1, d=2, d=4<br />c4=14μ41212+μ422122+μ442124<br />=140212+-1224+1248<br />=14248-224<br />=246-222<br /> =222224-1.<br />C(3) para q=312<br />d=1, d=3<br />c3=13μ31312+μ(33)(312)3<br />=13-1312+3123<br />=13336-312<br />=335-311<br />=311[324-1].<br />C(4) para q=312<br />d=1, d=2, d=4<br />c4=14μ41312+μ423122+μ443124<br />=140312+-1324+1348<br />=14348-324<br />=346-322<br />=322[324-1].<br />En la teoría de los sistemas dinámicos.<br />Una prueba del Pequeño Teorema de Fermat de los Sistemas Dinámicos.<br />Vamos a desarrollar una prueba del pequeño Teorema de Fermat desde la teoría de los Sistemas Dinámicos, usamos la fórmula de inversión de Möbius para contar el número de orbitas periódicas de un sistema dinámico en la circunferencia para derivar el pequeño teorema de Fermat: <br />Proposición 1.6.1. Si a es un número entero y p un primo que no divide aa entonces:<br />ap-1≡1(mod p)<br />Prueba:<br />Sea la circunferencia S de un radio uno en el plano complejo y sea la familia de funciones a un parámetro:<br />fa : S-> S<br />fae2πit= e2πiat<br />Donde a∈Z+. Esta función está bien definida porque si t y s son tales que e2πity e2πis representan el mismo punto en S entoncese2πiat= e2πias.<br />Consideramos la semidinámica determinada por la iteración de esta familia de funciones en la circunferencia.<br />Dado un punto x en S, el conjunto Ox=fnx:n∈N<br />Es la órbita del punto x, donde fn denota la composición def con sí misma, n veces. Un punto x en S es periódico n, si n es el mismo número natural que satisfacefnx=x. En este caso el conjunto Ox es finito (tiene n elementos) y es llamado una órbita periódica de periodo n.<br />Para cada n∈N la función fa tiene puntos periódicos de todos los órdenes posibles, de hecho, el conjunto de los puntos de fa, de periodo que divide a n es <br />Pernfa=e2πikan-1:k∈N<br />En efecto: es claro que fe2πit=fe2πit+2πiky también es fácil ver<br />fan(e2πit)=e2anπit, de manera que e2πites periódico, de periodo n si y solo si<br />e2anπit= e2πit+2πik<br />Entonces e2πit=e2πikan-1donde k ϵ Z, entonces los puntos periódicos de periodo n fa son las (an-1)e-simas raíces de la unidad y contiene an-1 elementos.<br />Calculamos el número, Nn de orbitas periódicas de periodo n observando que<br />Ndd=an-1<br />Y aplicando la fórmula de inversión de Möbius a esta igualdad obtenemos:<br />Nn=1nd∣nμ(d)(and-1)<br />Cuando n es numero primo p, que no divide a a, obtenemos<br />Np=1p(μ1ap-1+μ(p)(a-1)<br />=1pap-a<br />=ap(ap-1-1)<br />Puesto que N(p) es un entero, y como p no divide a a, es necesariamente un factor de ap-1, lo cual prueba el teorema de Fermat.∎[5]<br />Conclusiones y Recomendaciones<br />En el trabajo anterior hemos podido apreciar algunos aspectos de la Teoría de los Números y el tipo de problemas que pretende resolver. Ne debe extrañar que ciertas funciones definidas sobre los naturales tengan en ella una importancia capital, tanto por su utilidad como por ser un objeto de estudio en sí mismas. Estas funciones, reales o complejas, son las funciones aritméticas.<br />Dentro de todas las funciones aritméticas hay unas que merecen especial atención por la importancia de sus propiedades y porque engloban a la mayoría de las funciones aritméticas interesantes: son las funciones multiplicativas.<br />Una de las funciones aritméticas más importantes en la teoría analítica de los números es la función de Möbius. Aunque la primera definición de la función pueda resultar algo artificial en un principio, aparece de manera natural cuando, por ejemplo, se trata de contar el número de primos menores que una cantidad dada.<br />El promover actividades adicionales a los cursos regulares en donde los estudiantes de matemática entren en contacto con temas como este, puede ser un factor motivador para compenetrarse en el mundo del conocimiento matemático.<br />Bibliografía<br />Bobadilla, H. Carrillo, Sistemas Dinámicos en la Circunferencia, Tesis profesional UNAM.<br />Carlos Camargo, Funciones Aritméticas, Universidad de Panamá, Panamá.<br />Vinogradov I. EditorialMIR. 1937. Fundamentos de la Teoría de los Números.<br />J. Cilleruelo y A. Córdoba. Mondadori 1992. “La teoría de los Números”.<br />Dudley. Underwood. W.H. Freeman and Co. 1978. “Elementary Number Theory San Francisco-California, 249 pp.<br />Leveque. William. J, Addison-Wesley publishing Reading.1977 “Fundamentals of Number Theory”. London- Amsterdam. 280 pp.<br />Apóstol T. Editorial Reverte. 1980. Introducción a la Teoría Analítica de los números. España<br />REFERENCIAS<br />http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mobius.html<br />wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_Aritm%C3%A9tica<br />http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_de_M%C3%B6bius.<br />http://www.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/documents/vol_23/23_3_dirichlet.pdf.<br />http://www.dynamics.unam.edu/users/citasHCC/UnaPruebaDelPequenoTeoremaDeFermatDeLosSistemasDinamicos.pdf<br />http://cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/tesis/aragon.pdf<br />