1. UNIDAD 3
ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE
INVERSIÓN
3.3 Método De La
Tasa Interna De Retorno

2.  Interpretación del valor de una TIR
 Cálculo de la Tasa Interna de Retorno para
un proyecto único
-Por medio del valor presente
-Por medio del valor anual
 Análisis incremental
-Comparación de alternativas mutuamente
excluyentes

4.  Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se
aplica al saldo no pagado de manera que la cantidad
prestada y el interés total del préstamo se pagan en su
totalidad con el ultimo pago.
 Desde la perspectiva de quien otorga el préstamo existe
un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo.
 La tasa de interés es el rendimiento sobre este saldo no
recuperado, de manera que la cantidad total y el interés
se recuperan en forma exacta con el último pago.

5.  Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa pagada sobre
el saldo no pagado de dinero obtenido en préstamo, o
la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una
inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el
saldo exactamente a cero con el interés considerado.
 También se le conoce con el nombre de:
-Tasa de Rendimiento (TR)
-Retorno sobre la Inversión (RSI)
-Índice de Rentabilidad (IR)

6.  Ejemplo:
El banco Wells Fargo prestó a un ingeniero recién
graduado $ 1 000.00 a i= 10% anual durante 4 años para
comprar equipo de oficina. Desde la perspectiva del banco
(el prestamista), se espera que la inversión en este joven
ingeniero produzca un flujo efectivo neto equivalente de
$315.47 por cada uno de los 4 años.
A= $ 1000 (A/P, 10%, 4)
A= $ 1000 (0.31547)=$315.47
Esto representa una tasa de rendimiento del 10% anual
sobre el saldo no recuperado.

7.  Determine la cantidad de la inversión no recuperada
para cada uno de los 4 años utilizando:
a) La tasa de rendimiento sobre el saldo no recuperado
(la base correcta)
b) La tasa de rendimiento sobre la inversión inicial
de $1 000
c) Explique por qué toda la inversión inicial de $1000 no
se recupera con el pago final del inciso b)

8. Determinar la cantidad de inversión no recuperada,
utilizando:
a) Tasa de rendimiento sobre el saldo no recuperado.
El pago o entrada final iguala el saldo
exactamente a cero con el interés considerado

9. Determinar la cantidad de inversión no recuperada,
utilizando:
b) Tasa de rendimiento sobre la cantidad inicial.
El rendimiento del 10 % se calcula siempre
sobre la inversión inicial de $ 1000.

10. c) Explique por qué toda la inversión inicial de $1000 no
se recupera con el pago final del inciso b)
Si se calcula un rendimiento del 10 % cada año sobre la
cantidad inicial de $1000 debe obtenerse un total de
$400 de interés.
Si se utiliza un rendimiento del 10% sobre el saldo no
recuperado solo se obtiene $261.88 de interés. Hay más
flujo de efectivo anual disponible para reducir el
préstamo restante cuando se aplica la tasa al saldo no
recuperado como en el inciso a)

11. Gráfica de los saldos no recuperados y tasa
derendimiento de 10% anual sobre una cantidad de
$1000

13. Para determinar la tasa de rendimiento en una serie de
flujo de efectivo se utiliza la ecuación TR con relaciones de
VP o VA. El valor presente de los costos o desembolsos VP D
se iguala al valor presente de los ingresos o recaudación
VP R .
VP D = VP R
0 = -VP D + VP R [7.1]
El enfoque del valor anual utiliza los valores VA en la misma
forma para resolver i.
VA D = VA R
0 = -VA D + VA R . [7.2]

14.  La determinación de la TR se consigue utilizando un
proceso de ensayo y error, o mediante funciones en la
hoja de cálculo.
 En algunos casos, más de un valor de TR puede
satisfacer la ecuación de VP o VA.

15. El valor de i que hace que estas ecuaciones numéricas
sean correctas se llama i*. Es la raíz de la relación TR.
Para determinar si la serie de flujo de efectivo de la
alternativa es viable, compare i* con la TMAR
establecida.
 Si i* ≥ TMAR, acepte la alternativa como
económicamente viable.
 Si i* < TMAR, la alternativa no es económicamente
viable.

16.  Una ecuación de valor presente constituye la base para
calcular la tasa de rendimiento cuando hay diversos
factores implicados.
 La base para los cálculos de la ingeniería económica es
la equivalencia, en los términos VP, VF o VA para una
i≥0% establecida.
 En los cálculos de la tasa de rendimiento, el objetivo
consiste en encontrar la tasa de interés i* a la cual los
flujos de efectivo son equivalentes.

17. Por ejemplo, si usted deposita $1,000 ahora y le prometen
un pago de $500 dentro de tres años y otro de $1,500
dentro de cinco años, la relación de la tasa de rendimiento
utilizando el factor VP es:
1000 = 500(P/F, i*,3) + 1500 (P/F, i*,5)
Debe calcularse el valor de i* para lograr que la igualdad
este correcta. Si se trasladan $1000 al lado derecho de la
ecuación, se tiene:
0 = -1000 + 500(P/F, i*,3) + 1500(P/F, i*,5)

18. La tasa de rendimiento siempre será mayor que cero si la
cantidad total de los ingresos es mayor que la cantidad
total de los desembolsos, cuando se considera el valor
del dinero en el tiempo.
Utilizando i* = 16.9%, se construye una gráfica similar a
la figura 7.1. Se mostrara que los saldos no recuperados
cada año, empezando con $-1000 en el año 1, se
recuperan exactamente por los ingresos de $500 y $1500
en los años 3 y 5.

19. Formas para determinar i*
i* utilizando ensayo y error manual. El procedimiento
general de emplear una ecuación básica en VP es el
siguiente:
1. Trace un diagrama de flujo de efectivo
2. Formule la ecuación de la Tasa de Rendimiento en la
forma de la ecuación [7.1]
3. Seleccione valores de i mediante ensayo y error hasta
que este equilibrada la ecuación.

20.  Al utilizar el método de ensayo y error para determinar
i*, es conveniente que en el paso 3 se acerque bastante
a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si es
combinar los flujos de efectivo, de tal manera que el
ingreso y los desembolsos pueden representarse por un
solo factor como P/F o P/A, es posible buscar la tasa de
interés (en las tablas) correspondiente al valor de ese
factor para n años.

21. El problema, entonces, es combinar los flujos de efectivo
en el formato de uno solo de los factores, lo cual se
realiza con el siguiente procedimiento:
1. Convierta todos los desembolsos en cantidades ya se
únicas (P o F) o cantidades uniformes (A). Por ejemplo,
si se desea convertir un valor A en un valor F,
simplemente multiplique por A el número de años n.
Es decir, si la mayoría de los flujos de efectivo son una
A y solo una pequeña cantidad es F, la F se debe
convertir en una A en lugar de hacerlo al revés.

22. 2. Convierta todos los ingresos en valores únicos o
uniformes.
3. Después de haber combinado los desembolsos y los
ingresos, de manera que se aplique el formato P/F, P/A
o A/F, se deben de utilizar las tablas de interés para
encontrar la tasa de interés aproximada a la cual se
satisface el valor P/F, P/A o A/F. La tasa obtenida es
una buena cifra aproximada para el primer ensayo.
 Es importante reconocer que la tasa de rendimiento
obtenida en esta forma es tan solo una estimación de la
tasa de rendimiento real, ya que ignora el valor del
dinero en el tiempo

23.  Ejemplo:
El ingeniero en sistemas de calefacción, ventilación y aire
acondicionado de una compañía que construye uno de
los edificios más altos del mundo (el centro financiero de
Shanghái, en la República Popular China) ha solicitado
que se gasten ahora $ 500,000 durante la construcción
en software y hardware para mejorar la eficiencia de los
sistemas de control ambiental. Con esto se espera
ahorrar $10,000 anuales durante 10 años en costos de
energía y $ 700,000al final de los 10 años en costos de
renovación de equipo. Encuentre la tasa de rendimiento a
mano.

24. Solución:
1. Construir Diagrama de Flujo:
2. Realizar la ecuación:
0 = −500,000 + 10,000 ������ ������ , ������ ∗ , 10 + 700,000(������ ������ , ������ ∗ , 10)

25. 3. Utilice el procedimiento de estimación con la finalidad
de determinar la i para el primer ensayo. Todo el
ingreso se considerara como una sola F en el año, de
manera que pueda utilizarse el facto ������ ������ . Se eligió el
factor ������ ������ porque la mayoría del flujo de efectivo
($700,000) ya se ajusta a ese factor y se minimizan
los errores creados por ignorar el valor del dinero
restante en el tiempo. Tan solo para la primer
estimación de i, defina P=$500,000, n=10 y
F=10(10,000)+700,000=800,000.
Ahora se establece que:
500,000= 800,000(������ ������ , ������, 10)
������ ������ , ������, 10) = 0.625

26. La i aproximada esta entre el 4% y 5%. Utilice el 5% como
el primer ensayo pues esta tasa aproximada para el
factor ������ ������ es menor que el valor verdadero cuando se
considera el valor del dinero en el tiempo. En i =5%, la
ecuación TR es:
0 = −500,000 + 10,000 ������ ������ , 5%, 10 + 700,000 ������ ������ , 5%, 10
0 > $6,946
El resultado es positivo, lo cual indica que el rendimiento
es mayor que un 5%.

27. Ensaye i = 6%
0 = −500,000 + 10,000 ������ ������ , 6%, 10 + 700,000 ������ ������ , 6%, 10
0 = $ − 35,519
Puesto que la tasa de interés es de 6% es muy alta,
interpole linealmente entre 5% y 6%
∗
6,946 − 0
������ = 5.00 + 1.0
6,946 − −35,519
= 5.00 + 0.16 = 5.16%

28.  Ejemplo:
Utilice cálculos de VA con el propósito de encontrar la tasa
de rendimiento para los flujos de efectivo del ejemplo
anterior.
Solución:
Las relaciones VA para desembolsos e ingresos se
formulan con la ecuación
������������ ������ = −500,000 ������ ������ , ������, 10
������������ ������ = 10,000 + 700,000 ������ ������ , ������, 10
0 = −500,000 ������ ������ , ������ ∗ , 10 + 10,000 + 700,000 ������ ������ , ������ ∗ , 10

29. La solución de ensayo y error genera los siguientes
resultados:
������������ ������ = 5%, 0 < $900
������������ ������ = 6%, 0 > $ − 4,826Por interpolación, ������ ∗ =
5.16%, ������������������������������ ������������������ ������������������������������ .
En conclusión para determinar ������ ∗ a mano elija VP, VA, o
cualquier otra ecuación de equivalencia. En general, es
mejor acostumbrarse a utilizar uno solo de los métodos
con la finalidad de evitar errores.

31.  Cuando se consideran dos o más alternativas
mutuamente excluyentes, la ingeniería económica es
capaz de identificar la alternativa que se considera
mejor económicamente.
Solo uno de los proyectos viables puede seleccionarse.
Cada proyecto viable es una alternativa.
 Se examina el procedimiento para emplear las técnicas
de tasa de rendimiento con la finalidad de identificar la
mejor.

32.  Ejemplo:
Suponga que una compañía utiliza una TMAR de 16%
anual, y que la compañía tiene $ 90 000 disponibles para
inversión y que se están evaluando dos alternativas (A y
B).
La alternativa A requiere una inversión de $ 50 000 y
tiene una tasa de rendimiento i* A de 35% anual. La
alternativa B requiere $ 85 000 y tiene una i* B de 29%
anual.

33. Si se selecciona la alternativa A, se invertirán $ 50 000 a
una tasa de 35% anual. Los $ 40 000 restantes se
invertirán a la TMAR de 16% anual. Por lo tanto si se
selecciona la alternativa A,
50 000 0.35 : 40 000 (0.16)
TR A Global = = 26.6%
90 000
Si se elige la alternativa B, se invertirán $ 85 000 que
producen 29% anual y los $ 5 000 restantes generaran
16 % anual. Ahora, el promedio ponderado es:
85 000 0.29 : 5 000 (0.16)
TR B Global = 90 000
= 28.3%

34.  Estos cálculos muestran que, aunque la i* para la
alternativa A es mayor, la alternativa B presenta la
mejor TR global para la inversión total de $ 90 000.
 Este simple ejemplo ilustra un hecho importante sobre
el método de la tasa de rendimiento para comparar
alternativas:

35. «Bajo algunas circunstancias, los valores de las TR de los
proyectos no proporcionan el mismo ordenamiento de
alternativas que los análisis de VP o VA. Esta situación
no ocurre si se realiza un análisis de la TR del flujo de
efectivo incremental»

36. CALCULO DEL FLUJO DE EFECTIVO
INCREMENTAL PARA ANÁLISIS CON TR
Es necesario preparar una tabulación del flujo de efectivo
incremental entre dos alternativas para preparar un
análisis TR incremental.
Tabla 8.1 Formato para tabulación de un flujo de efectivo incremental
Flujo de efectivo Flujo de efectivo
incremental
Año Alternativa A Alternativa B
(1) (2) (3) = (2) – (1)
Tome la convención de que entre dos alternativas, la que
tiene mayor inversión inicial se considerara como
alternativa B. Entonces, para cada año en el cuadro 8.1
Flujo de efectivo incremental = Flujo de efectivo B – Flujo de efectivo A

37.  Ejemplo:
Una compañía de herramientas y troqueles en Pittsburg
está considerando la compra de una prensa de perforación
con un software de lógica difusa para mejorar la precisión
y reducir el desgaste de herramientas. La compañía tiene
una oportunidad de comprar una maquina poco usada por
$15,000 o una nueva por $ 21,000. Puesto a que la nueva
máquina es de un modelo más moderno, se espera que su
costo de operación sea de $ 7,000 anuales, mientras que el
de la maquina más usada sería de $ 8,200. Se estima que
cada máquina tendrá una vida de 25 años con un valor de
salvamento de 5%. Tabule el flujo de efectivo incremental
de las 2 alternativas.

38. Solución:
El flujo de efectivo incremental se presenta tabulado en
el cuadro 8.2. Usando la ecuación (8.1) la resta realizada
es (nueva – usada), ya que la maquina nueva inicialmente
costara más. Los valores de salvamento en el año 25 se
han separado del flujo de efectivo ordinario para lograr
mayor claridad.
Cuando los desembolsos son los mismos para un número
de años consecutivos, solo para soluciones a mano, se
ahorra tiempo haciendo un solo listado de flujo de
efectivo, como se han hecho para los años 1 a 25. Sin
embargo, recuerde que se combinaron diversos años
cuando se realizó el análisis.

39.  Cuando se restan las columnas del flujo de efectivo, la
diferencia entre los totales de las dos series de flojo de
efectivo deben ser iguales al total de la columna de
flujo de efectivo incremental, lo cual solo servirá para
verificar las operaciones de suma y resta al preparar la
tabulación. No es una base para elegir una alternativa.

41.  Aquí se considera la elección entre alternativas
múltiples que son mutuamente excluyentes, utilizando
el método TR incremental. La aceptación de una
alternativa automáticamente excluye la aceptación de
cualquier otra. El análisis esta basado sobre relaciones
VP (o VA) para flujo de efectivos incrementales entre
dos alternativas a la vez.

42.  Para el análisis de TR de alternativas múltiples
mutuamente excluyentes, se utiliza los siguientes
criterios. Seleccione aquella alternativa que:
1. Exija la mayor inversión, y
2. Indique que se justifica la inversión adicional frente
a otra alternativa aceptable.

43.  Una regla importante para aplicar cuando se evalúan
alternativas múltiples con el método de TR incremental
es que una alternativa nunca debe compararse con
aquella para la cual no se justifica la inversión
incremental.

44. Los pasos para solución a mano o por computadora son
como sigue:
1. Ordene las alternativas desde la inversión inicial
menor hasta la mayor. Registre la estimación de flujo
de efectivos anual para cada alternativa de vida igual.
2. Solo para alternativa de ingreso: Calcule i* para la
primera alternativa. De hecho, esto hace a NH el
defensor, y a la primera alternativa, el retador.
Si i* ˂ TMAR, elimine la alternativa y vaya a la
siguiente.

45.  Repita esto hasta que i*≥ TMAR por primera vez, y
defina dicha alternativa como el defensor. La siguiente
alternativa es ahora el retador. Vaya al paso 3. (Nota:
Aquí es donde la solución por hoja de calcula por
computadora puede ser un rápido asistente. Primero
calcule la i* para todas las alternativas, usando la
función TIR, y seleccione como el defensor la primera
para la cual i≥ TMAR. Demonícela como el defensor y
vaya al paso 3.)

46. 3 .Determine el flujo de efectivo incremental entre el
retador y el defensor utilizando la relación:
Flujo de efectivo incremental:
flujo de efectivo retador – flujo de efectivo defensor
Establezca la relación TR
4.Calcule Δi* para la serie de flujos de efectivo
incremental utilizando una ecuación basada en VP o en
VA. (VP se utiliza con mayor frecuencia.)

47. 5. Si Δi* ≥ TMAR, el retador se convierte en el defensor y
se elimina el defensor anterior. Por el contrario, si
Δi*˂ TMAR, se descarta el retador y el defensor
permanece contra el próximo retador.
6. Repita los pasos 3 a 5 hasta que solamente quede una
alternativa. Esta es la seleccionada.

48.  Ejemplo 8.6
Caterpillar Corporation quiere construir una instalación para
almacenaje de piezas de repuesto cerca de Phoenix, Arizona.
Un ingeniero de planta ha identificado cuatro diferentes
opciones de ubicación. En la tabla se detallan el costo inicial
de edificación de cimientos y prefabricación, asi como las
estimaciones de flujo de efectivo neto anual. La serie de este
flujo de efectivo neto anual varia debido a diferencias en
mantenimiento, costos de mano de obra, cargos de
transporte, etcétera. Si la TMAR es de 10%, utilice el análisis
de TR incremental para seleccionar la mejor ubicación desde
el punto de vista económico.

49.  Solución
Todos los sitios tienen una vida de 30 años y todos son
alternativas de ingreso. Se aplica el procedimiento
bosquejado líneas arriba.
1. En la tabla 8.6 se ordenan las alternativas por costo
inicial creciente.
2. Compare la ubicación C con la alternativa de no
hacer nada. La relación TR incluye solo el factor P/A.
0=-190 000 + 19 500 (P/A,‫)03,*ﭑ‬

50.  La columna 1 de la tabla 8.6 presenta el valor del factor
calculando (P/A,Δ‫ )03,*ﭑ‬de 9.7436 y de Δ‫ﭑ‬c* = 9.63%.
Puesto que 9.63% < 10%, se elimina la ubicación C. Ahora
la corporación es A contra no hacer nada, y la columna 2
muestra que Δ‫ﭑ‬A*= 10.49%, lo cual elimina la alternativa
de no hacer nada; el defensor es ahora A y el retador es
B.
3. La serie de flujo de efectivo incremental, la columna 3,
y Δ‫ *ﭑ‬para una comparación B a A se determina a partir
de:
0=-275 000 – (-200 000)+(35 000 – 22 000)(P/A, Δ‫)03,*ﭑ‬
= -75 000 + 13 000(P/A, Δ‫)03,*ﭑ‬

51. 4. De acuerdo con la tabla de interés, de debe buscar el
factor P/A en la TMAR, que es (P/A,10%,30) = 9.4269.
Ahora, cualquier valor P/A mayor que 9.4269 indica que
Δ‫ *ﭑ‬será inferior al 10% y es inaceptable. El factor P/A
es 5.7692, de modo que B es aceptable. Para fines de
referencia, Δ‫.%82.71 =*ﭑ‬
5. La alternativa B se justifica incrementalmente (nuevo
defensor), eliminando asi la alternativa A.

52. 6. Al comparar D con B (pasos 3 y 4) se genera la relación VP;
0=-75 000 + 7 000 (P/A, Δ‫ )03,*ﭑ‬y un valor P/A de
10.7143(Δ‫ .)%55.8 = *ﭑ‬Se elimina la ubicación D y solo
permanece la alternativa B, que se elige .

53. Una alternativa siempre debe compararse
incrementalmente con una alternativa aceptable y la
alternativa de no hacer nada puede resultar la única
aceptable. Como C no estuvo justificada en este
ejemplo, la ubicación A no fue comparada con C. Por lo
tanto, si la comparación de B con A no hubiera indicado
que B se justificara incrementalmente, entonces la
comparación de D con A habría sido la correcta, en
lugar de la D con B.
Para demostrar que tan importante es aplicar
apropiadamente el método de TR, considere lo
siguiente. Si inicialmente se calcula la ‫ *ﭑ‬de cada
alternativa, los resultados por alternativas ordenadas
son los siguientes:

54.  Ahora aplique solo el primer criterio establecido; es
decir, se realiza la inversión mas grande cuya TMAR es
de 10% o mas. Se selecciona la ubicación D. Pero, como
se demostró antes, esta es la selección equivocada, ya
que la inversión adicional de $75 000 por encima de la
ubicación B no obtendrá la TMAR. De hecho, esta
obtendrá solamente 8.55%.

55. …FIN