03 fondations superficielles - solutionnaire (étudiants)

Cours de M
Mécanique des s
sols II – Été 2012
2

M. Karray & F. Ghobrial

Chapitre 0
03
Fondat
tions Supe
erficielles
Problèm 3.1
me
Pour les conditions du sol, de g
s
s
géométrie e de chargem
et
ment donné à la figur ci-dessou :
ées
re
us
(a) calc
culer le fact
teur de sécur contre l rupture d sol.
rité
la
du
(b) Si l remblayag de la sem
le
age
melle se fait uniquemen après une charge de 100kN ait a
t
nt
e
appliquée,
est- que le fa
-ce
acteur de séc
curité est mo
odifié?
(c) Si l nappe d’e est à 1.5 au lieu d 3.0m, est-ce que le fac
la
eau
5m
de
cteur de sécu
urité est mo
odifié?

Solutio
on
(a) La fo
ormule utilise pour l calcul d la capacité
le
de
porta
ante dans l’a
argile est:
=5

1 + 0.2
2

1 + 0.2

+

 Pour la rupture locale, on considère cu=30kPa (la
r
e
n
couch d’argile e
he
en-dessous de la semel
lle)
= 5 × 1 × 30 1 + 0.2

.
.

1 + 0.2

.

+ 16 × 1.5

Figure 1: Ca (a) du prob
as
blème 3.1

=2
204
Suppo
osons que µ
µ=1.0

Fondations Superficielles
s

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Cours de Mécanique des sols II – Été 2012

=

=

100
= 66.67
1.5
=

. .=


204
= .
66.67

 Pour la rupture générale, on considère une valeur moyenne de cu. (les deux couches d’argile
en-dessous et au-dessus de la semelle)1

.

=

(35 + 30) + (30 + 30)
= 31.25
4

= 5 × 1 × 31.25 1 + 0.2
. .=

=

.
.

=5

(b)

1.5
(1 + 0) + 16 × 1.5 = 211.5
1.5

= .

1 + 0.2

= 5 × 1 × 30 1 + 0.2

1 + 0.2
0
1.5

+

1 + 0.2

1.5
+0
∞

= 150
. .=

=

.

= .
Figure 2: Cas (b) du problème 3.1

(c) Non, on utilise la contrainte totale dans le calcul. Par conséquent, le niveau de la nappe ne
représente aucune importance.

1

Pour les étudiants acharnés
Au lieu d’utiliser seulement la moyenne arithmétique, on utilise la moyenne pondérée et puisque la zone d’influence
sous la semelle, Dmax, est dans l’ordre de 0.71B où B est la largeur de la semelle. Donc, Dmax=1.07m.

. (1è

. (2è

.

=

ℎ )=

ℎ

(35 + 30)
= 32.5
2

32.5 × 1.5 + 30 × 1.07
(1.5 + 1.07 )


′

)=

(30 + 30)
= 30.0
2

= 31.46

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Problème 3.2
La semelle montrée à la figure ci-dessous exerce au contact avec le sol une pression de 250 kPa.
Évaluer la sécurité de cette semelle contre la rupture.
1) Semelle filante.
2) Semelle carrée.

Solution
Ce cas représente le cas d’une couche d’argile en profondeur (Notes de cours, Page 23).


Page 3 de 14



(a) Semelle Filante

=

+

+

+

Nc=5.14

Où :

1+

D=1.5m

H=2.8m

Pour φ=35 : Nq=33

Abaque : φ =35 et

=

∴

N=34

=

× .

20 × 5.14 + 18 × 2.8

×

=0.168 Ks2.4

1+

2 × 1.5
tan 35
2.4
+ 18 × 1.5 = 375.42
2.8
2

1
× 18 × 2 × 34 + 18 × 1.5 × 33 = 1503
2

= 375.42
=

. .=

375.42
= .
250

(b) Semelle Carrée

=

=

∴

1 + 0.2

+
1
2

1+

2

1 − 0.4

20 × 5.14(1 + 0.2) + 18 × 2.8

tan

1+

+

+

1+

2 × 1.5
tan 35
(1 + 1) + 18 × 1.5 = 641.6
2.4
2.8
2

1
× 18 × 2 × 34(1 − 0.4) + 18 × 1.5 × 33 = 1258.2
2

= 641.6
. .=

=

641.6
= .
250


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Cours de M
Mécanique des s
2


Problèm 3.3
me
On prév
voit de con
nstruire une semelle r
rectangulair pour pre
re
endre une c
charge exce
entrée. On
dispose de 2.2m de largeur pou construir cette sem
ur
re
melle et on v
vous demande d’en déte
erminer la
longueu pour qu’elle puisse ré
ur
ésister à la rupture. Les conditions de chargem
s
s
ment, de géo
ométrie et
du sol en place sont illustrées sur la figure ci-dessous
e
s.

Solutio
on
=

+

+ 0.5

é

Pour φ =35°  Nc=
=46, Nq=33, Nγ=34
Bien qu le 1er term soit négl
ue
me
ligé, on calc
cule Nc
pour la formule de Sq qui vient après.
t
= 2.2 − 2 × 0.35 = 1.5 ,
2
=1+

=?

1.2

×

=

=1+

= 1 − 0.4 ×

×

Cette hy
ypothèse ve dire que l’on suppo une vale de Sq plu petite qu 1.2. Aprè que l’on
eut
e
ose
eur
us
ue
ès
calcule L il faut vér
L,
rifier si cette hypothèse est correct ou non.
e
e
te
∴

= 20 × 1.5 × 33 × 1 +

=9
990 1 +

1.076

s

1.5
1

×

+ 255 1 −

1
33
0.4 × 1.5
+ × (20 − 1 × 1.5 × 3 × 1 −
10)
34
2
46

0.6

= 990 +

5.326
1065

+ 255 −

153

= 12 +
245

26
912.32

Page 5 de 14


. .=

=


=3

×

×

= 1.5

1245 +

912.326

∴ 3 × 3000 = 1867.5 + 1368.489 
é

’ℎ

ℎè :

=1+

= 3000

= 4.09

1.5 33
×
= 1.263 > 1.2  ℎ
4.09 46

ℎè é

Donc on suppose que Sq=1.2. Cette hypothèse, en réalité, veut dire que l’on suppose une valeur
de Sq plus grand que 1.2, mais puisque la valeur de Sq doit ne pas dépasser 1.2, donc on utilise
une valeur de 1.2.
∴

1
0.4 × 1.5
= 20 × 1.5 × 33 × 1.2 + × (20 − 10) × 1.5 × 34 × 1 −
2
= 1188 + 255 1 −

. .=

=

0.6

= 1443 −

153

=3

×

×

= 1.5

1443 −

153

∴ 3 × 3000 = 2164.5 − 229.5 
Vérification de l’hypothèse :

=1+

= 3000

= .
.
.

×

= 1.25 > 1.2  ℎ

ℎè é

Problème 3.4
Un essai de plaque a été effectué dans un dépôt de sable à l’aide d’une plaque de 0.5m de côté.
La charge a été augmentée progressivement jusqu’à ce que la charge maximale de 600kN (charge
à la rupture) soit atteinte. Quelle serait la capacité portante d’une fondation de 2m x 2m.


Page 6 de 14



Solution
Plaque : 0.5x0.5m

Fondation : 2.0x2.0m

QP= 600 kN

QF= ? kN

Pour un dépôt du sable :
+
2

=

=
=

2 + 0.5
600
0.5 × 0.5 2 × 2
×

= 937.5

= 937.5 × (2 × 2) = 3750

Problème 3.5
Dans un dépôt de sable silteux, des essais de pénétration standard (SPT) ont fourni les valeurs
suivantes de N
Profondeur (m)

1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

10.5

12.0

Valeur de N

15

19

24

28

26

30

28

31

Le poids volumique de ce sable est 20kN /m³. Une semelle carrée de 2.5m x 2.5m est assise dans
ce dépôt à une profondeur de 2.5m.
Déterminer la capacité admissible pour cette semelle si le tassement maximum permis est de
15mm. Vérifier également la sécurité contre la rupture.

Solution
Du profile de SPT, les valeurs aux profondeurs de 3.0, 4.5, 6.0 et 7.5 sont utilisées dans le calcul.


Page 7 de 14



Prof. (m)

3.0

4.5

6.0

7.5

N

19

24

28

26

’v (kPa)

60

90

120

150

CN

1.16

1.02

0.93

0.85

Ncor.

22.04

24.48

26.04

22.1

= 0.77 log
.

.

.

.

1920

= 24.25,

= 23.67,

Notez que si l’on prend la valeur de N à 9.0m
(ce qui pourrait être correct), la valeur de
. sera aussi 24
.

(1) Approche de Meyerhof (1956)
> 1.2 →

=8

= 8 × 24 × 1.3

=

×

2.5 + 0.3
2.5

+ 0.3

= 313.1

= 1.3,

=

−

é

15
15
= 313.1 ×
= 187.86
25
25

(2) Approche de Peck et coll. (1974)
Pour D/B=1, B=2.5m et N=24 (la valeur corrigée)
La valeur de qadm261 kPa (à partir de l’abaque)

=

×

15
15
= 261 ×
= 156.6
25
25

(3) Vérification de la sécurité contre la rupture


Page 8 de 14



Pour N=24 coups   35°
=

+

+ 0.5

Pour φ =35° Nc=46, Nq=33, Nγ=34
Semelle Carrée  Sq=1.2, Sγ=0.6
= 0 + (20 × 2.5) × 33 × 1.2 + 0.5 × 20 × 2.5 × 34 × 0.6
= 2490
=

. .

=

2490
= 830
3

Problème 3.6
Une semelle de 4.5m x 4.5m sera soumise en son centre à une charge R=3000kN inclinée de 15° pa
rapport à la verticale avant que l’on procède au remplissage de l’excavation. Après le
remplissage la semelle sera soumise à une charge de 4000kN inclinée de 15°.
(a) Déterminer le facteur de sécurité contre le glissement avant le remplissage.
(b) Déterminer le facteur de sécurité contre la rupture après le remplissage.

Extra-travail :
(c) Déterminer le facteur de sécurité contre la rupture avant le remplissage.


Page 9 de 14



Solution
(1) Vérification du glissement avant le remplissage
×

. .=

. .=

× +

50 × 4.5 × 4.5 + (3000 cos 15) ×
3000 sin 15

0

= 1.304

(2) Vérification de la capacité portante après le remplissage
1 + 0.2

=5

=

= 1−

90

1 + 0.2

= 1−

= 5 × 1 × 50 1 + 0.2

15
90

2
4.5

×

+

×

= 0.694

1 + 0.2

4.5
× 0.694 + 20 × 2 × 0.694
4.5

= 254.63
=

4000
= 197.53
4.5 × 4.5

. .=

=

,

ℎ

è

4000

254.63
= 1.28
197.53

(3) Vérification de la capacité portante avant le remplissage
=5

1 + 0.2

1 + 0.2

×

+

×

Avant le remplissage (juste après la construction), le remblai du sable n’est pas encore mis alors
D=zéro.
= 5 × 1 × 50 1 + 0.2

0
4.5

1 + 0.2

4.5
× 0.694 + 20 × 0 × 0.694
4.5

= 208.2
=

3000
= 148.15
4.5 × 4.5


,

ℎ

è

3000

Page 10 de 14


. .=

=


208.2
= 1.4
148.15

Problème 3.8
Dimensionnez selon les règles de l’Art une semelle filante qui sera construite à 2.0m de
profondeur et qui devra transmettre au sol de fondation une charge de 300kN/m.l.

Solution
(1) Détermination de B
Prof. (m)

2.25

3.0

3.75

N

34

37

38

’v (kPa)

45

60

75

CN

1.26

1.16

1.08

Ncor.

42.68

42.88

41.21

.

.

= 42.25,
= 0.77 log


1920

Page 11 de 14



Notez que on va utiliser une valeur de N=42 dans toutes les itérations car quel que soit le
nombre de coups utilisé, la moyenne est toujours 42.
En général, il faut calculer dans chaque itération la profondeur 2.5B et calculer ensuite la
moyenne des N limités par cette profondeur.
 Supposons que B=1.0m  D/B=2
qadm=458.8 kPa
=

=

300

= 458.8 ⇒

= 0.654

 Supposons que B=0.65m  D/B=3.08
qadm=447 kPa
=

=

300

= 447 ⇒

= 0.67

Soit B=0.7m
Si l’on vérifie la profondeur 2.5B
∴ 2.5 = 2.5 × 0.7 = 1.75
 Il faut considérer les valeurs de N limitées entre 2,0m et 3,75m  Il faut utiliser les trois
valeurs de N déjà utilisées.
(2) Vérification de la sécurité contre la rupture
=

+

+ 0.5

Semelle Filante  Sq=1.0, Sγ=1.0
 Pour φ =39°  Nq=57.8, Nγ=70.8 (Par interpolation)
= 0 + (20 × 2) × 57.8 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 70.8 × 1.0
= 2807.6
=

. .

=

2807.6
≈ 936
3


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Cours de M
Mécanique des s
2


 Pour φ =38°  Nq=51.6, Nγ=
r
=61.6 (Par in
nterpolation
n)
= 0 + (20 × 2) × 51.6 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 61.6 × 1.0
= 2495.2
=


. .

.

=

≈ 831.7

Pour φ =37°  Nq=45.4, Nγ=52.4 (Par i
r
interpolation)
= 0 + (20 × 2) × 45.4 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 52.4 × 1.0
= 2182.8
=

. .

=

2182.8
≈ 727
7.6
3

Problèm 3.10
me
Si la charge transm
mise par la c
colonne à la semelle es la même d
a
st
dans chacun des 3 cas suivants ;
n
sans fai de calcul :
ire
ls
(a) Dit lequel de 3 cas suiv
tes
es
vants est le m
moins sécur
ritaire au po
oint de vue rupture.
(b) Dit lequel ta
tes
assera le plu
us.

Solutio
on
(a) La c
capacité por
rtante ultim dans le sa
me
able est calc
culée à l’aide de la form
e
mule suivant
te
=

+

s

+ 0.5

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Mettons 1 le poids volumique au-dessus du niveau de la fondation et 2 le poids volumique endessous du niveau de la fondation.
Nc, Nq et N sont constants pour les trois cas.
Sc, Sq et S sont aussi constants pour les trois cas.
cNcSc est égal à zéro (c=0)
Donc les seules variables sont 1D et 2B
Pour le cas 1, il y a deux possibilités pour la mise du remblai : soit le remblai est mis après la
mise de la charge Q (le cas le plus critique et qui sera considéré), soit le remblai est mis avant la
mise de la charge Q.
Cas 1

Cas 2

Cas 3

Remarques

[D]1

=

[D]2

=

[D]3

-

[1]1=1’

<

[1]2=1

>

[1]3=1’

[1]1 = [1]3

[1D]3

<

[1D]2

>

[1D]3

[1D]3 = [1D]3

2B

[2B]1

=

[2B]2

=

[2B]3

-

qult

[qult]1

<

[qult]2

>

[qult]3

[qult]1 = [qult]3

 1D

Donc, le cas le plus critique est le cas 3 ou le cas 1.
Notons que si l’on considère la mise du remblai avant la mise de Q, [D]1 sera plus élevé que [D]3
et [qult]1 sera plus élevé que [qult]3. Donc, le cas 3 sera seulement le cas le plus critique.
(b) En utilisant la méthode de Peck et coll. (1974), le tassement des cas 1, cas 2 et cas 3 est le
même bien que le niveau de la nappe ne soit pas le même. Ce niveau varie au-dessus du
niveau de la fondation. Ainsi, cette variation du niveau n’affecte pas la valeur de qadm
correspondant au tassement de 25mm puisque la valeur de B et de D/B.
Donc, la mise du remblai causera une sollicitation supplémentaire ce qui augmentera le
tassement. Ainsi, le cas 1 tassera le plus.

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