Presentación de productos notables y factorización, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media.

1. RJAL
UNIDAD II: ALGEBRA
TEMA: PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACION
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
MATEMATICA BASICA
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
CONCETOS BASICOS
La palabra álgebra proviene del
vocablo árabe ilm al-ŷabr w’al
muqabala titulo en arábigo de
un libro escrito en el siglo IX
por el matemático árabe al-
Khwarizmi.
Traducido como ciencia de la
restauración y la reducción, lo
cual proviene de trasponer y
combinar términos semejantes
(de una ecuación).

3. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
CONCEPTOS BASICOS
El algebra “es la rama de la Matemática que
estudia la cantidad considerada del modo más
general posible”. (Aurelio Baldor)
A diferencia de la aritmética elemental, en
álgebra -para lograr la generalización- se
introducen además símbolos
(usualmente letras) para representar
parámetros (variables o coeficientes), o
cantidades desconocidas (incógnitas).

4. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Reales
Números Complejos
Números Racionales Números Irracionales
Números
Enteros
Números decimales
finitos e infinitos
periódicos
Números
Naturales
Negativos de los
números naturales
0
Números Imaginarios

5. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
CONCEPTOS BASICOS
Una expresión algebraica es una combinación de
símbolos, letras y números reales ligadas por las
operaciones fundamentales del algebra suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
Ejemplos : -4x +3y , (2a +3b)c, 5x2 + 3x - 2
3a + b
Un término es una expresión algebraica que consta de un
solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por
el signo + o –.
Ejemplos: 2b , 3xyz, 4cd
5x

6. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
CONCEPTOS BASICOS
Un Monomio es una expresión algebraica que consta de
un solo término.
Ejemplos: 5x, -4z, 2x3yz
Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de
mas de un término. Si tiene dos términos se le llama
binomio, si es de tres términos se le llama trinomio.
Ejemplos:
Binomios 2x - 3y, 2a2 – 5ab, 2x3 + xyz
3w
Trinomios 2a – 5b + z, -3a2 + 5a + 6

7. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
Se llaman productos notables a ciertos
productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple
inspección es decir sin verificar la
multiplicación.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplo: (2x + 3z2 )2 = (2x)2 + 2(2x)(3z2) + (3z2)2
= 4x2 + 12xz2 + 9z4
PRODUCTOS NOTABLES

8. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de la suma o de la (x + y)2
= x2
+ 2xy + y2
diferencia de dos cantidades (x - y)2
= x2
- 2xy + y2
Producto de la suma por la (x + y)(x - y) = x2
- y2
diferencia de dos cantidades
Producto de dos binomios de (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
de la forma (x + a)(x + b)
Producto de dos binomios de (ax+ b)(cx + d) = acx2
+ (ad + bc)x + bd
de la forma (ax + b)(cx + d)
Producto de un binomio por (x + y)( x2
- xy + y2
) = x3
+ y3
un trinomio (x - y)( x2
+ xy + y2
) = x3
- y3
Cubo de un binomio (x + y)3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
(x - y)3
= x3
- 3x2
y + 3xy2
- y3

9. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
Ejemplos:
1. (5x + 2y)2 = (5x)2 + 2(5x)(2y) + (2y)2
25x2 + 20xy + 4y2
2. (3m2 – 4n3)2 = (3m2)2 - 2(3m2)(4n3) + (4m3)2
= 9m4 + 24m2n3 + 16m6
3. (2x - 3y)3 = (2x)3– 3(2x)2(3y)+3(2x)(3y)2– (3y)3
= 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3
4. (n + 3)(n2 - 3n + 9) = n3 + 27
PRODUCTOS NOTABLES

10. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
5. (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x – 5(3)
= x2 + 2x - 15
6. (a + b)(a - b)(a2 – b2) = (a2 – b2) )(a2 – b2)
= (a2 – b2)2
= a4 - 2a2 b2 + b4
7. (8n - 6p)(7n - 10p) =
= (8)(7)n2 + [(8)(-10)+(-6)(7)] np + (-6)(-10)p2
= 56n2 -122pn + 60 p2
PRODUCTOS NOTABLES

11. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
8. (2a + 3b + c)(2a + 3b - c)
= [(2a + 3b) + c][(2a + 3b) - c]
= (2a + 3b)2 + c2
= 4a2 + 12ab + 9b2 – c2
PRODUCTOS NOTABLES

12. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Se llaman factorización al proceso de
expresar una expresión algebraica como
como el producto de dos o más factores.
1. Factor común monomio
ax + ay = a(x + y)
Ejemplo:
35m2n3 + 70m3 = 35m2 (n3 + 2m)
FACTORIZACION

13. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
FACTORIZACION
Factor común monomio ax+ ay = a(x + y)
Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)
2
x
2
- 2xy + y
2
= (x - y)
2
Diferencia de cuadrados x
2
- y
2
= (x + y)(x - y)
Trinomio de la forma x
2
+ bx + c = (x + A)(x + B)
x
2
+ bx + c donde A + B = b y A*B = c
Trinomio de la forma ax
2
+ bx + c = (Ax + B)(Cx + D)
ax
2
+ bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c
Suma o diferencia de cubos x
3
+ y
3
= (x + y)( x
2
- xy + y
2
)
x
3
- y
3
= (x - y)( x
2
+ xy + y
2
)

14. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
Ejemplos:
1. 8a2 b3 - 2ab2 + 4a3 = 2a(4ab3 – b2 + 2a2)
2. 16x2 - 9y2 = (4x + 3y)(4x- 3y)
3. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
4. (x2 + 6x + 9) - (y2 - 4y + 4)
= (x + 3)2 - (y - 2)2
= [(x+3) + (y-2)] [(x+3) - (y-2)]
= (x + y +1) (x – y + 5)
FACTORIZACION

15. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
Ejemplos:
5. x2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2)
6. 6x2 - 7x – 3 = 6(6x2) - 6(7x) - 6(3)
6
= 62x2 - 7(6x) - 18
6
= (6x - 9)(6x + 2)
(3)(2)
= (2x - 3)(3x + 1)
FACTORIZACION

16. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
7. 8x3 - 125 = (2x)3 - 53
= (2x - 5)[(2x)2 + 2x(5) + 52]
= (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)
8. 16x4 - y4 = (4x)2 - (y2)2 = (4x2 + y2)(4x2 - y2)
= (4x2 + y2)(2x - y)(2x + y)
9. 2a2x - 5a2y + 15by - 6bx
= (2a2x - 5a2y) - (6bx - 15by)
= a2(2x - 5y) - 3b(2x - 5y)
= (2x - 5y)(a2 - 3b)
FACTORIZACION

17. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
FACTORIZACION PRODUCTOS NOTABLES
Factor común monomio ax+ ay = a(x + y)
Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto x2
+ 2xy + y2
= (x + y)2
Cuadrado de la suma o de la
x2
- 2xy + y2
= (x - y)2
diferencia de dos cantidades
Diferencia de cuadrados x2
- y2
= (x + y)(x - y) Producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades
Trinomio de la forma x2
+ bx + c = (x + A)(x + B) Producto de dos binomios de
x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = c de la forma (x + A)(x + B)
Trinomio de la forma ax2
+ bx + c = (Ax + B)(Cx + D) Producto de dos binomios de
ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c de la forma (Ax + B)(Cx + D)
Suma o diferencia de cubos x3
+ y3
= (x + y)( x2
- xy + y2
) Producto de un binomio por
x3
- y3
= (x - y)( x2
+ xy + y2
) un trinomio
RESUMEN

18. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18
Productos notables
1. (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16)
2. (x + 3y + 2z – 4w) (x + 3y - 2z + 4w)
3. [2(x - 3y) + 5] [3(x - 3y) - 2]
4. (m2 + t2) (m4 - m2 t2 + t4)
EJERCICIOS PROPUESTOS

19. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19
Factorización
1. 4x3 + 4x2 + x
2. (x - y)2 + 2(x - y) - 24
3. 8x3/27 - y6/125
4. pa2 + (1-p)b2 - [pa + (1-p)b]2
5. 8x6 + 19x3 - 27
EJERCICIOS PROPUESTOS

20. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20
Algebra. Aurelio Baldor
Algebra y trigonometría con Geometría
Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.
Algebra y trigonometría.. Dennis Zill
Algebra y funciones elementales. Carlos J.
Walsh M.
EJERCICIOS PROPUESTOS

21. RJAL
01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ