O documento descreve um plano de aula em 6 etapas para ensinar funções quadráticas. A primeira aula inclui pesquisas dos alunos e vídeos introdutórios. Nas aulas 2-3, os alunos constroem gráficos e relacionam a concavidade à inclinação da parábola. Nas aulas 4-5, eles aprendem a completar quadrados e representar funções na forma canônica. A sexta aula é uma revisão e avaliação final.

2. Antes da primeira aula sobre a
matéria solicitar uma pesquisa
aos alunos, em grupo, sobre a
história da função quadrática e
algumas aplicações desta
matéria.

3. Primeira aula: Visualização de vídeos e discussão sobre
as pesquisas feitas pelos alunos em grupo.
Apresentar os vídeos, “Esse tal de Bhaskara” e “(A Função do 2º Grau)
Matemática - Novo Telecurso - Ensino Médio - Aula 31”, para os alunos
com o objetivo de relembrar a equação polinomial do 2º grau e informar
todos os aspectos do tema do conteúdo a ser trabalhado, função polinomial
do 2º grau. Após isso, discutir os resultados das pesquisas realizadas pelos
grupos e ao final descrever definição da função e alguns exemplos.
Vídeos:
http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw
http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ
Obs.: Pedir aos alunos que providenciem para a próxima aula papel
quadriculado ou papel milimetrado.

4. Segunda aula: Construção de gráficos com papel
quadriculados a partir de tabela de pontos.
O professor deverá fazer exemplos com os alunos no
inicio da aula. Depois dividir a turma em grupos,
escolher exemplos de funções quadráticas do livro, 4
para cada grupo, e deixá-lo desenvolver os gráficos ao
final da aula cada grupo deverá expor seus gráficos na
sala.

5. Terceira aula: Relacionar a concavidade da parábola e
o coeficiente a; identificar o ponto (0,c) como o ponto
em que a parábola intersecta o eixo y; perceber que o
vértice da parábola corresponde ao ponto extremo da
função quadrática, utilizando o software Geogebra,
para isso a turma tem que estar no laboratório de
informática.

6. Iniciando o Geogebra, construção de funções
quadráticas

7. No campo “Entrada”, digite as funçôes abaixo:
f(x)=x^2-2*x+2
g(x)=2*x^2-3*x+4
h(x)=x^2-2*x-3
i(x)=-3*x^2-18*x-29
j(x)=-0,3*x^2+0,6*x+2,7

8. Observando a concavidade e o sinal do coeficiente a,
você seria capaz de relacioná-los?

9. Você seria capaz de escrever uma relação entre o
coeficiente c e a ordenada (y) do ponto de
interseção entre a parábola e o eixo y?

10. Peça para seus alunos responderem sobre cada função
marcada no Geogebra as perguntas abaixo:
Quais valores de x para os quais a função é crescente?
Quais valores de x para os quais a função é decrescente ?
Qual é ponto em que a função passa de crescente a decrescente (ou
de decrescente a crescente)?
Conjunto Imagem da Função Quadrática?
Ponto mais alto/baixo da parábola?
Reta x =____ que divide a parábola verticalmente em duas partes
iguais?
Questione o que eles observam a partir de suas respostas, e discutam o
assunto.

11. Na função quadrática, de forma geral f(x) = ax2 + bx + c e sempre representada
por uma parábola, o vértice é o ponto onde a função passa de crescente a
decrescente, se ela tem concavidade voltada para baixo, ou de decrescente a
crescente, se ela tem concavidade voltada para cima.
O vértice então será, nas parábolas com concavidade voltada para baixo, o ponto
mais alto da função – PONTO DE MÁXIMO – e a sua ordenada, yv, será o maior
valor assumido pela função quadrática – VALOR MÁXIMO. Da mesma maneira, se
a concavidade é voltada para cima, o vértice será o ponto mais baixo – PONTO DE
MÍNIMO – e sua ordenada, yv, será o menor valor assumido pela função – VALOR
MÍNIMO.

12. Na quarta aula o professor
deverá apresentar os slides a
seguir.

13. Uma maneira diferente de encontrar raízes
das funções quadráticas
Quando vimos a resolução da equação polinomial do 2º grau, calculava-
se as raízes através da fórmula de Bháskara. Agora vamos achar as
raízes sem recorrer a fórmula.
Resolvamos, então, as equações que aparecem abaixo, nesta ordem.
x2 –1 = 0
x2 + 4 = 0
Essas foram bem fáceis! Vamos agora tentar resolver essas...
(x – 5)2 = 0
(x + 3)2 = 0
E essas, como você resolveu?
Também não são difíceis, não?

14. Vamos às próximas.
(x – 2)2 – 1 = 0
(x + 4)2 – 8 = 0
Descreva sua resolução!
Mais algumas...
(x – 2)2 – 1 = 0
(x + 7)2 + 8 = 0
(x + 2)2 + 9 = 0
(x – 5)2 – 3 = 0
Houve algo diferente com alguma destas? Como você resolveu o problema?
Exemplos de resolução esperados.
(x – 2)2 – 1 = 0 → (x – 2)2 = 1 → x – 2 = +- √ 1 → x = 2 +- 1 → x= 1 ou x= 3
(x + 2)2 + 9 = 0 → (x + 2)2 = -9 → x + 2 = +- √(-9) , Não existe raiz real

15. Tente agora essas:
2(x – 1)2 – 4 = 0
3(x + 5)2 + 1 = 0
6(x – 2)2 – 10 = 0
12(x – 12)2 + 12 = 0
Para completar, só mais algumas...
–(x – 1)2 – 4 = 0
–2(x – 4)2 + 8 = 0
–3(x + 2)2 + 9 = 0
–7(x – 4)2 – 7 = 0
O que você percebeu em relação à resolução destas? O que elas
apresentam de diferente das anteriores? Como você resolveu esse
problema?

16. Agora, vamos conhecer uma técnica de resolução de equações
quadráticas conhecida por “completando quadrados”. Para isso,
vamos relembrar um importante produto notável:
Esse produto notável é conhecido como “quadrado da soma de dois
termos” ou “quadrado da diferença de dois termos”. O resultado
desta potência é conhecido como “trinômio quadrado perfeito”.
Seu desenvolvimento surge da multiplicação de
ou

17. Expressões
Termo a ser
acrescentado
Forma Fatorada
x2 – 4x + 4 x2 – 4x + 4 = (x – 2)2
x2 + 6x
x2 – 5x
x2 +3x
x2 - 8x + 2 + 14 x2 - 8x + 2 + 14 = x2 - 8x + 16 = (x – 4)2
x2 - 2x + 4 -3 x2 - 2x + 4 -3 = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2
x2 - 7x - 9
x2 + 13x -1
Sua tarefa neste momento é acrescentar termos às expressões abaixo
mostradas de maneira que eles se tornem trinômios quadrados perfeitos e
que possam ser escritos na forma fatorada ou .

18. Na quinta aula o professor
deverá mostrar os slides a
seguir.

19. Agora você já conhece uma ferramenta poderosíssima
em matemática e que poderá ajuda-lo em diversas outras
áreas da própria matemática. Vamos usá-la para achar
raízes de funções quadráticas, ou seja, para resolver
equações do 2º grau? A ideia é usar a técnica de
completar quadrados para reescrever a função
quadrática (ou a equação polinomial do 2º grau) da
maneira como aparece escrita no primeiro item desta
lista. Ao trabalho!

21. Generalizando esta ideia, podemos concluir que uma
função quadrática pode ser apresentada na forma geral,
que você já conhecia, dada por
f(x) = ax2 + bx + c
ou na forma canônica, dada por
f(x) = a(x – m)2 +k
Vamos agora observar os gráficos de algumas funções
quadráticas dadas na forma geral e na forma canônica.
Complete a tabela a seguir:

22. Função quadrática a b c m k Vértice

25. O que você percebeu? Debata com seus colegas e relate
aqui.
A seguir, responda às perguntas:
Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da
função quadrática a ela relacionada na forma geral?
Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da
função quadrática a ela relacionada na forma canônica?
Escreva a lei algébrica na forma canônica de uma função
quadrática que tem vértice (1,2) e a = 1.
Escreva a lei algébrica na forma geral da função quadrática
dada no item anterior.
Escreva a lei algébrica da função que tem vértice em (2,4) e
que intersecta o eixo y em y = 3. A seguir, determine suas
raízes, esboçando seu gráfico.

26. Sexta aula: Revisar cada ponto da matéria
através dos programas disponíveis no site
citado abaixo e ver como cada coeficiente
altera o gráfico da função.
Site
http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html

27. Sexta aula: Avaliação final
Avaliação dos alunos
Avaliação dos conhecimentos adquiridos no processo
de aprendizagem e da participação de cada um nas
atividades desenvolvidas durante o mesmo.

28. Referência Bibliográfica
Disponível em, < http://www.geogebra.org/cms/download>.
Acessado em 02/10/2013.
Disponível em, < http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-
br.html>. Acessado em 01/10/2013.
Disponível em,
http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw.
Acessado em 01/10/2013.
Disponível em,
http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ. Acessado
em 01/10/2013.