1. Prof. Adriano Teixeira de Souza

2.  São estruturas de dados adequadas para a
representação de hierarquias.
 Uma árvore é composta por um conjunto de
nós.
 Existe um nó r, denominado raiz, que contém
zero ou mais subárvores, cujas raízes são
ligadas diretamente a r.
 A raiz se liga a um ou mais elementos, e cada
um destes forma uma nova subárvore. Esses
elementos são seus galhos ou filhos.

3.  Fundamentos básicos
◦ GRAU – número de subárvores de um nó.
◦ FOLHA – um nó que possui grau zero, ou seja,
não possui subárvores.
◦ FILHOS – são as raízes das subárvores de um
nó.
◦ Nó não terminal é um nó que não é uma folha
e é diferente da raiz.

4.  Fundamentos básicos
◦ A altura de uma árvore é o comprimento do
caminho mais longo da raiz até uma das
folhas.
◦ Uma árvore nula tem altura 0.
◦ Todos os nós são acessíveis a partir da raiz.
◦ Existe um único caminho entre a raiz e
qualquer outro nó.

5.  Formas de representação gráfica

6.  Árvore Binária: Uma árvore binária é uma
árvore que pode ser nula, ou então tem as
seguintes características:
◦ Existe um nó especial denominado raiz;
◦ Nenhum nó tem grau superior a 2 (dois), isto
é, nenhum nó tem mais de dois filhos;
◦ Existe um “senso de posição”, ou seja,
distingue-se entre uma subárvore esquerda e
uma subárvore direita.

7.  Atravessamento (ou caminhamento) de árvore
é a passagem de forma sistemática por cada
um de seus nós;
 Diferentes formas de percorrer os nós de uma
árvore:
◦ Pré-ordem ou prefixa (busca em
profundidade)
◦ Em ordem ou infixa (ordem central)
◦ Pós-ordem ou posfixa
◦ Em nível

8.  Pré-ordem (prefixa)
◦ visitar a raiz;
◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo
este caminhamento;
◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este
caminhamento.

9.  Atravessamento em ordem (infixa)
◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo
este caminhamento;
◦ visitar a raiz;
◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este
caminhamento.

10.  Atravessamento pós-ordem (posfixa)
◦ a) caminhar na subárvore à esquerda, segundo
este caminhamento;
◦ b) caminhar na subárvore à direita, segundo
este caminhamento;
◦ c) visitar a raiz.

11.  Atravessamento em nível
◦ Percorre-se a árvore de cima para baixo e da
direita para a esquerda.

12.  Árvore Estritamente Binária:
◦ É uma árvore binária na qual todo nó tem 0 ou
2 subárvores, ou seja, nenhum nó tem “filho
único”.

13.  Árvore Binária Cheia
◦ Todos os nós, exceto os do último nível,
possuem exatamente duas subárvores.
◦ Uma árvore binária cheia de altura h tem 2h –
1 nós.

14.  Árvore Degenerada
◦ Cada nó possui exatamente um filho, e a
árvore tem o mesmo número de níveis que de
nós

15.  Uma árvore é denominada árvore binária de
busca se:
◦ Todo elemento da subárvore esquerda é
menor que o elemento raiz;
◦ Nenhum elemento da subárvore direita é
menor que o elemento raiz;
◦ As subárvores direita e esquerda também são
árvores de busca binária.

16.  Busca
◦ Se o valor for igual à raiz, o valor existe na
árvore.
◦ Se o valor for menor do que a raiz, então deve
buscar-se na subárvore da esquerda, e assim
recursivamente, em todos os nós da
subárvore.
◦ Se o valor for maior que a raiz, deve-se buscar
na subárvore da direita, até alcançar-se o nó
folha da árvore, encontrando ou não o valor
requerido.

17.  Inserção
◦ Se a árvore estiver vazia, cria um novo no e
insere as informações do novo nó.
◦ Compara a chave a ser inserida com a chave
do nó analisado:
 Se menor, insere a chave na subárvore esquerda;
 Se maior, insere a chave na subárvore direita.

18.  Inserção
 Exemplo:
◦ Inserir os seguintes elementos: 7, 13, 20, 4, 1,
18, 5, 11 .

19.  Remoção
 A remoção de um nó é um processo mais
complexo. Para excluir um nó de uma árvore
binária de busca, há de se considerar três
casos distintos:
◦ Remoção na folha
◦ Remoção de um nó com um filho
◦ Remoção de um nó com dois filhos

20.  Remoção na folha
◦ A exclusão na folha é a mais simples, basta
removê-lo da árvore.

21.  Remoção de um nó com um filho
◦ Excluindo-o, o filho sobe para a posição do
pai.

22.  Remoção de um nó com dois filhos
◦ Neste caso, pode-se operar de duas maneiras
diferentes:
 Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo
valor sucessor (o nó mais à esquerda da
subárvore direita);
 Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo
valor antecessor (o nó mais à direita da
subárvore esquerda)

23.  Remoção de um nó com dois filhos
◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo
seu antecessor.

24.  Remoção de um nó com dois filhos
◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo
seu sucessor.

25.  Árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz
struct noArv {
int info;
struct noArv* esq;
struct noArv* dir;
};
typedef struct noArv NoArv;

26.  Árvore vazia representada por NULL:
NoArv* abb_cria (void)
{
return NULL;
}

27.  Imprime os valores da árvore em ordem crescente,
percorrendo os nós em ordem simétrica
void abb_imprime (NoArv* a)
{
if (a != NULL) {
abb_imprime(a->esq);
printf("%dn",a->info);
abb_imprime(a->dir);
}
}

28.  Explora a propriedade de ordenação da árvore
 Possui desempenho computacional proporcional à
altura
NoArv* abb_busca (NoArv* r, int v)
{
if (r == NULL)
return NULL;
else if (r->info > v)
return abb_busca (r->esq, v);
else if (r->info < v)
return abb_busca (r->dir, v);
else return r;
}

29.  recebe um valor v a ser inserido
 retorna o eventual novo nó raiz da (sub-)árvore
 para adicionar v na posição correta, faça:
◦ se a (sub-)árvore for vazia
 crie uma árvore cuja raiz contém v
◦ se a (sub-)árvore não for vazia
 compare v com o valor na raiz
 insira v na sae ou na sad, conforme o resultado da
comparação

30. NoArv* abb_insere (NoArv* a, int v)
{
if (a==NULL) {
a = (NoArv*)malloc(sizeof(NoArv));
a->info = v; é necessário atualizar os ponteiros para
a->esq = a->dir = NULL; as sub-árvores à esquerda ou à direita
quando da chamada recursiva da função,
} pois a função de inserção pode alterar
o valor do ponteiro para a raiz da (sub-)árvore.
else if (v < a->info)
a->esq = abb_insere(a->esq,v);
else /* v >= a->info */
a->dir = abb_insere(a->dir,v);
return a;
}

31. Cria
insere 6
insere 8
insere 4
insere 5
insere 2
insere 3
insere 1
insere 9
insere 7

32.  recebe um valor v a ser inserido
 retorna a eventual nova raiz da árvore
 para remover v, faça:
◦ se a árvore for vazia
 nada tem que ser feito
◦ se a árvore não for vazia
 compare o valor armazenado no nó raiz com v
 se for maior que v, retire o elemento da sub-árvore à
esquerda
 se for menor do que v, retire o elemento da sub-
árvore à direita
 se for igual a v, retire a raiz da árvore

33.  para retirar a raiz da árvore, há 3 casos:
◦ caso 1: a raiz que é folha
◦ caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho
◦ caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos

34.  Caso 1: a raiz da sub-árvore é folha da árvore
original
◦ libere a memória alocada pela raiz
◦ retorne a raiz atualizada, que passa a ser NULL

35.  Caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho
◦ libere a memória alocada pela raiz
◦ a raiz da árvore passa a ser o único filho da raiz

36.  Caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos
◦ encontre o nó N que precede a raiz na ordenação
◦ (o elemento mais à direita da sub-árvore à esquerda)
◦ troque o dado da raiz com o dado de N
◦ retire N da sub-árvore à esquerda
◦ (que agora contém o dado da raiz que se deseja retirar)
 retirar o nó N mais à direita é trivial, pois N é um nó folha ou
 N é um nó com um único filho (no caso, o filho da direita
nunca existe)

37. NoArv* abb_retira (NoArv* r, int v)
{
if (r == NULL)
return NULL;
else if (r->info > v)
r->esq = abb_retira(r->esq, v);
else if (r->info < v)
r->dir = abb_retira(r->dir, v);
else { /* achou o nó a remover */
/* nó sem filhos */
if (r->esq == NULL && r->dir == NULL) {
free (r);
r = NULL;
}
/* nó só tem filho à direita */
else if (r->esq == NULL) {
NoArv* t = r;
r = r->dir;
free (t);
}

38. /* só tem filho à esquerda */
else if (r->dir == NULL) {
NoArv* t = r;
r = r->esq;
free (t);
}
/* nó tem os dois filhos */
else {
NoArv* f = r->esq;
while (f->dir != NULL) {
f = f->dir;
}
r->info = f->info; /* troca as informações */
f->info = v;
r->esq = abb_retira(r->esq,v);
}
}
return r;
}