Apostila de equaçoes diferenciais

1. I
(Jj, Ó?J/!3;
~~u~ ... "T '3"f0
, .
~Mb:
~:i : t~/~-1 Era, : Ulfd6
{>a. : f/F.J/06 G-~: 03/et •
p. ~~c: taJ~
,
~l~)" a-t 5 .q,=-J>
~"l2t) = a, <l=l>
t'~): O' .q =~
"u.o.c;i.. ~,Q.!lNl<>:<J.
_ ~1Yiç& - é ~cto.
~~,
-&." 1) i.,.. j~'(ut~. ~ o
1.) (~~*'3) d.~ -t3t:-j) ~ ~o
3) d:ti _ dj ; '?!.-':J.
d~ ~
4) 'j'll", O
5} 'f!.'t _ ?>tfj =i. "..~ é
~
b) <Qi-+ f:J-f :. '2t ~
~b'j ~ .J
- c.~,tQ(l<Po:

2. ~--_ .. __
... ........... _-~- ----_._.~ .......
~~

3. I

4. ~ -
- ,~
~
a.Q....~o:, (jMlJ 'f>ÍiD ~~-
(f.
j= ~(t+ C.~e
j::: t:.i T C2, e?L.
'jn:: Ca, e ~ ~ &l1bstJw..n4.0 ~ ~ dif(
'j .: Jh.
CDOt:.
~~ (). ~.6((' .w- _c . . h<,n~)
~l~
~ + C. h<tt.~ _ '; ~~ ~ t)
~;'?t..,
c,~ c~~:: o
-
VU>o.a:,. (h/j~

5. 0..0 ~ cL.. ~IVJ}~~ c)UL cta.>-Q.­
~~ OO~~ ~x.i.aLJ.
"'­ 1í .k{ o.M~
/lOt...'1ÓÕ ~
Carmo ~ ~ ~ C!oMA~ vI'> ÓJ."i.~) u,w..G...."
M. ~ c.u."N~ Q.a.y'Q;:~) ~0-:)~.3 ~ A,..?~,
:)::: C. C(.
l
:;=j'~
~ d.t{ O~,~O~,l:,r'~
~O" ~ .L..{ ~oa.:oda. ã ..oo"...:OO~.
óJ j:: t. J}WfY..
» 'j.: Ci ~+c~
c.) ~::. Ci ((,2+ ~-+ C3
~) f j=< e. I)QN, ~
~ ';Jl:: e. COb ~ -+ ~~ Q ~~ow..-"-
j
1 /~~Q
= ~/ J)QM,y : ~. f)N., l.,
(
o~ '-Oo~âC.
~~ ) ')~ C.IJ~
~. dJ.{. Q~. !.~ eMA. : '&-~ I ~~. lj.: C.WÓ;1:...
.~
1. ' ~ ~I/."'S
'j' . (Pô $..
') .:- j). , /J(JJ'JJ-. ;; 'j ib ~ ,
Wllt..

6. b)· ;j.::- c1. ~+ c,<.
j'::. e.1: t~ .+ o
.'
)1
'j ~~ -P' ai~ ~ e.orM~e
C)
1
'):: tCi
b"~ ol

7. 'J':' 2--.
-}
® J;;ê+~-5
o. S3j d, =f~ d/t.
~ ~ ~j __ ~u~w,
,

8. ) =~j;
t~ _ ~(t//
i - ~ /
ct'f
ti)

9. ~t (t!l+-i) d({+ l)~~j) dj:::;o
, ~:2.-t 'j) dj :; - (-~~i) ck
Jj~) dj =S(-~~-1)d((
f+ f -~ -~ -*, + c1 S,1U~M ~~
~ 1 '1
j= ~2
di
-~-
'j
lnjl:: Si~ d~
l"lj I~ ~.i +c
-~
I
-)
~ ::
3ilt ~
d':l _ i
d~- Ô~+Q.

10. @ -( "" e1(.) J' jl ~ e~
l ~
j. 'j :: . e . ,
(I~ ect>.)
j. <b. x e-~
d~ t* €,?t..)
(!.-t~) . J' ti'j:; e~. dlf. .
j~ S
lij = e,~. ~~
'j):: J b~
hx~k~
d?L
1 ~d~= d')
di = ~l. doc
~
j ~ =J&f?i.. d({:
'j coo~
1--'_
..

11. fI: i cfv1. :t
G) j~ ~ ~ QV(
<tj
1 ri: - i 3
~ 1e
3 :> --..-.. Ok
j-- ';2,3:
® 1):: ~
j
..-...o~
~~ ~~---

12. 'j=~.~
l"f:: '=* ~t)
~+(t,'= ct.t~
~2 + .lrlli

13. <f ~ x.:.~ 2
d<t- ~ -: 1:::'
l ",,"..2 ). <t.-J"; - ,:3, d~
Sl,-t _l3 ~5 4z
~ 2
)
.) -:.2- á~ _ (~ái ~ (~
:t,2> ) 1;3 5 "It­
_~ ) ~á~ ~ j ~
+1.. _ ...Y ~ -::; ~'"' ~ -T C.
~t2
)
~.)l 4­ ~ ~j =-0
~"} 'j) -'- rf3-+j<: o
...

14. t + <td.*:: - Cf. ­
?é:.
lt.,.
: ~ ctd::. a. ~ - i -t )
- Cf..
~d::. ~l-i-t) - t
cf
<t di:= - i - 'J....i
<t ~X !.- :L~
d~
~ - i - ~.l ) dI(. = ~ ci i
d~ -
- .dJ
Cf.. t-i-'J...l)
ol~ _ d~
{--i-l-l) 2C.
l
u;: -2,
-1 .h - i - 2~) ~ .-) 1!. <:'1 ,?:>o~q(io ~~.
OLl _I/Q.
'-h ~ -i- ~i)) .: l.V') 1[.<:
- ­

15. ~-
; ................
I • r~ it.j. 'j' .. ,c'r~~=O
, ~.2,
~= - a::-'j
~'}
{+~dl ~ _ ~'J._ ~~<
«. ~·i) -~~"('ot~~ ~.:" ~so.,: f"
1-+ ~dt:: - eC - ~:t< _ ,«,.J'f'>' c:.. JA (U)~~cl..a -;, é ~ ~
't(.<t ~ &. ~~~~€._ y(.;: a.~
,~ fYV'...~ rw...U.:J o f'>(V., .'YV'. C'~
.. i-i-t2 )
}f.t
,
~~o::u.
- i _ ,,-2
t
- i _ 1;2 - t
:t
-i-l?- 1.2
t
7I.{t = ly0~Y (t d.~ _ - i - :L1:2
~-X -t
~~ I~/~ ~. t~::; l-1. - ·l.:~?) d.~
i: d*- .: ~((
l-i - 2..2) -:;z
u'" -i-~t2
u.' -= - :t·;tt :; -.(1,­
-l. .:n -1 _l.:~2 = ..V' ?$.. ~ Co
~
-1- .n - i _ ':Lt'2 ::;; .~ ((,C
4

16. I
cf> ~.~t _ 'j: {"" .~~_ j~ ,
~.j ;. ~ OC~-j~~ 'j
'j'~ ~-+)
<i..
{;- 1td.l: ~ (t~~.t f + ~.~
a...
t. ~ ~ d..:: ~--a::) t -t<)' -'c ~­
?L
~-t- ((dJ ~ Ji{ ~ - t )
~
i:+ ~d.; :: ~ -'r t
?tü1:: fi-? '-tX-X
'etdt ~ J(-~i)
~ T
~ dJc· = -.Jl, -1:i)1 ~?$..
dt -rcl~
j
,
V(:2) -)-;:
I
I
I
i~X
I
t)Je
o.h e
~l
'l~"',j~...
= t"" ~ + c.
.." (!. c, 1
.... , ...
"""' . .....
r

17. ~;'- 03NAIw,
2~ ~'.
j' :: o.i ~ -t ti' 1 + ~
~ ~ + . 'o~ . ) + Ce,
•
~:
) ~?t + 'oi"j 1- Ci
(l;t?C. + 'b~ J -t C2
L~L~~tm Ql Q. -tl~~.ha,
_N~~~Jw:v..d~ 'ro. , d.P.
,
~ =
-------------~----------------_ ..... _
...~

18. b.) t Q.l~) _
~t~)
6<.~
~WJD:
) )
i. -t :tj = t.-
)
j ::. ~
,- i
a
1.l _ ..j '2:.:+ 1.
- ~
='
;t;z. -+ '3
,
'1.,-1;- ~ l 'L+-! )
~'L*3
c' = 'J..:t+ 1 -+ { ':: ~+~ 4- ~'t-t 3
2't-t ?> ~X.+3
"L' = 41:. +- 5
~'I. -+ 3
~l .. 4't+ 5
<lsL ~t::.. -+ 3
t ~L;- i) <U. ;:. (-4 z.. +5) <!ex
ll:t-+ó) d't = d.~
C4t45 )
( (~1:-}? d't::. (d~
J (41.+5) )

19. :: i. ~-+ -l ..,, 4't+J =~
~ 8
, I
:: ~+c
fJf0.l.Â(~o.D :
,
ú) 1= ~((. - 3~ -+ lJ
-4~ + bj
('?) )= .!*j- ~
'<f-4- 'j - '3
, ~~- 3j+i
G> 'j~
4~-bj -3
I
j ~ a.- Ôj+~
-4~+ Gj
~::. ~- 5j)+ <4
-~~:z.t!.3~)
)
-'t -+ ~ ::; ?:, lz-t -4 )
- ';2.1;
l
-t ::. 3'i:. -+ <. -:l
- 'J.'t
_ ~l: ~t: + 1~ --41:
-~~
,
- ~ :: 1-':t - 2
- :Ll

20. ~
_1 ( -li). d.l':.= de!
1'l-t'~
5 ~1- d.<. ::. 5d~ .
tz-t 2.
:::
:::.
~tiÕD~:
;('t ~»)-:. ~ i.,,, :1-(~-<li)~~ - a~ <'-I
l~/ // 4'J- 1
--- ------ - --_._._-----_.. - - - - - - - - - _ _ __ _ - - - - - _ ___
... ... ... ... ... ......_~--

21. r~
.~
j::; a- ôj+.1
I <;t(t- 3:;=: ~
4~ - b;J- 3 ,
'a.-'3j:'L
)
j:: l~- ?>j}!
~a-3j)-3
)
-
1- 1;.: C -t 1.
3 Lt-3
~ -1:ó'l+3-iJ..
~~-3
rt· -1/= 1"'31:-+ '3 - 4l -t"G
I l' ~-3
-dt_ ~ -r+~
~-~
Q~ ~-3
- d~ (~-3] :; ~~
(- Z. -t 53)
- V j= -1
-'j~--1
.li
j:1
li

22. ~e"':: ~+::J-l
• ~+'j- 3
)
') .:: tlf.+'j) ... i ~-tj:: t.
(~i'j) -3 1 }
:1..-t J :: 't.
l i 1
t-1~ 1::-1­ J=t-1
l.- '3
r
-
z:.,! +i
t--i -+l- 3
1.-3
'.:r) _­
L :l:~-1
C-3
clt: ~ ~'l- 4
di - . ~-3
dI . (X-3) :: d<r.
(U-"O
1,- 3
(-) l - ~
r+ba c1l
)
-+- ( - i
j ~t-~
dtp ;;;
J
J~
- O -1
.!..! •
~
_lrdl
~ L~-4
: Jd(l.
.i t: _ 1 ln , ,t~ - -4 =: ?S:. -+ C
~ ~

23. ~~, (j·~~~~ru~ .
...
,
2: ~ (S:(t,J. .) c;:
f! ~~, ~j<) ~~ ~ ~_~3) 4j:o
M N

24. PQC~:)~
(i) ((1Y.)~ + Jtot:.~
<k-. ... (~- ~~'i ) dj =0
~ (~i J~ - -ê- -:r) c1j, + l 4Cj3 - u'j) cb:. ~ O
~.
I
't;w :o.. / ~b ~ 1Ib _.IY2JI 'j
~~. .

25. ,

26. ,
~-~@
~ tJtd( = ~~~1+]~~)9-l( : ) ~j dt.+ jjto6a:Jl(dt~y- :I('~~
t: ~,.".lu.:.. te.
S <l~:: ~ :061 ~ 'j ~
'Il
~ 5Jl~~:: ~ ( ~ ~j-+ JbtM:~);:: - (KJ)~l' j T ~~
bj bj
.J - ~ ~ M d!: ;: /}QJVtr.. - ~ 'Y<Mj -t a. J}QM i - ~ ~
çj
~ tI<k ~C

28. ~ '. .
.
, :....~
'J,4~'~'(2)
.
.' ":f,
~o.. , tL~. Ml!lj) ckt +- N (1. 1'1 ) d.'j ,0
<:.o IYV' '6 ~ b1J -. .c;: ~ NA.o t'K f. 1'1.
ej bi
L' Sooo ~oJi,~ i~r --l,"""'lÕO do. ~ "ne.:'
J~'e) dI(
Cóe.: Ú" _ CC)tJ
M.<.~; e. o-{~
5,::) ~l':. ~ ?l~) j QM,~ i..
'!.lTE~~1E.
~
~~ i~ ~'1:'l-E ...... w... ~ ',.
otQInIM ~ ~~
~~~OD:
(' ".-.~
@ ;~~ld~~~d.j=()
~/ i J
t-I
Õt.A i­ ~...,
6'1 b~
------------------~

29. j (~- "'5 v..d.IC.) li:) ; c
~1
S~ d~-t j llf d~-t j~<k
~~ + 'j~ + ~
""4 ~ :3
<t)~
~;: b tÂj. LY'j =- ?,,lf-J ~-t .,~ 'j'2&
'Gj ')''j
~-~
~j 'tS'~
r
U~L-
_ .... - . - _ . _......

30. •
) Wd~, ) a -.v.j • l '-"1
S tJt~5 -:. ~ l"1L~. .'1 ):: d.-2.
- ~j "'6:; :)
IJ- d
't;j
MJ... • '4 . -;q;i' - 4. # j
~ f4/
J V dM : : -fH.
u
Ú
1-t!
0..=
...'~ ~1
@ )d.,,- + l,e - '),.1--'1) 4j.;;;0
Ih d.1(.. ~ w d.1 :: o ,
u. 'j ::.~. ) + 'j ,I;li!t)
:. 0+
~~ ~j
'6';)
t""fI.;: <ilt. - '1
~
-b~

31. "
:sJ ~d~ ~
Çi
<6 (
ç'
-;2<)=: _ ~
?J- ~
1
lIJ- .t;JOJd1lC. :::: 1- ~ T ~...,
Gj if... ~
5id1 ::- 1
~~iD ~~:
'1< -+ 'j ,. Co
?J...

32. e 0<6. i' clf, dC ~'rW.Q
.. f"­
I
Â. (~) -; + (:, t ";c.' 'j+ c..llf-):: o
l ~7. i: '~1'/..~V.J'e..Y.~ =-__ fQde ~ 1u..o..1:.AJlV" ~o'ÍtY.k)
c.::::-.o "t:><:A..... í"CO: &.3 ' JJ..M- J e. 1. ~1'tV>O Y.de~eV.o~k)
~_JImn ~unGó.o <4.~OON'-CX~ t.tVQ..OJ d.e ~t"Y'I'Q,L'-O.. o,J~) ou. ê ~oJZG., .­
"~. li 'e&te:....,l Q ~<:&.. Co,"",~" i."'~G~ ~ c:b. """'-i~ -rc;ÕI>
~o~<t~;
( f>l~) j+ c.t~)) d~ ;.
­
~
M
~~""'~ {V,l
~,,-'c,JM,,) ~ ~ ae
I r
:'-1 vV
Q)
,
1

33. .
,..
-U -
::
-/t.
1.
D 0_
:. _ _ " --Qf. )
~
lnuW:ft~ ~~ ~ ~{ r' ~ ~;
~-:L-lj)d.~- ~dj:;O
~ ~
~ ~

34. @
~~ -t J - lta:.)l;L~:;; o
d~
l '-}- ( , -tIL) e~ ) cliL + «. J:;J'::- O
~ ----v---"
VI t0
ÓVI _ 1 .§Y:::j
6"~ - 6~
L J
€~
JWl~, ~dtk- ~"dt- )"-~ck
J..l:: iX. =-1> ck '" J~
j d.. ".: ) e<. d.t.:: li' J;. e:~
JMck ~ J - ~ l- .k -
<k
'j ~e~ + J e.-'( d~
S'A~=
go,;. S d"
u.
~.~- S" du.

35. ) -~
;J -'j- e.. :;;;0
~ - '1- é~= O
d?L
àj _ 'j- i,'lt d~ -= O
~d~ +~o
N
b!:::: O «M:: - i - o
f:1 ~j
~J =f. ~~
~(L ~::t
-1 - o
-
i

36. . .' -
" ) M
'j + p.., (~) j+ B(t.) ~ ::= o
EQUU(r ú .(;
•
Y
j 1
4 Àt~) )+- Bll:(.) j ;:0
~ ~qáo fb ~.
J ) 'JJWY.
Y, ~ A.
Q'-<.l. r(,,, 1_ Y'J~'Á ) 1 '. ",,",,..:;t../) ' .....:;) 'Itf'_ y" ";,I~.J. f~ l~_
"I
_V'
~ (:L_h.)'j . dj = d?,­
-I)
1 ,
i- n) . j . J .::: "l...
);
Ã,l
~ '"
i-""
J
-'~.
I D '
1."rO'1:";-~O.,{(Ür~(), ,!-,-',
1:; 1 ,,'r) - 'V A Cl:f.) '":1 -+ e. (''C'-) Qf.. ;,f~_ '"' J.e~ (
_.J -) -+ i;
=: O "'; .d )
i- '"
---­
~~------ ----------------------------- ----

37. >,
",-,
' "
,-v2- ,~"'f~'.Ã U>.~~
eLA. H{JT
1; ~.
do. ~'rMA
']= 1t:.3" ~l'j'J
':> ~ à.~ ~~ clUWca.do.E. J
~ ~"""yY'<).
_~ Q/AA'Ji:. J>.- ~w.alA ':1.: ~, . .} ..t~'J)
...
'j ~}<i~'o-If"'"
,~
~j).T~l)')
,
'J~p
~~p
q~
~ ti i ,; i"" doe
J(. ~~~Ui~ "VRJ'M: y~~ '( Jp + ~ + ~tf» d.t>
á:clp+ ~(f) ti f :;; o
t~-t ilf} ) ~p:; o
@or=o
() ~'rY1't'('() ~o: d r: O
5dp :; SO
'®
j)u'tB~U}.ndo ~ e.. ,p;!
1
_ .~,;~..~ ~u~~ <ro><>!

38. )
~-'" ~ ly)", o
r" ~(~)

39. ,
~=~
'j:: p~ - '-.Y f> (!)
dj. ~d.~+ ?dllt - -W
~)~ r ~ ~ ~
d2t.
~= ~ dl'~ ~.lf - ~
~~-.!.)d.f> =-0
p
h) ~) ~-.1 =- o
d.~:o
r
lI!.;:;J..
Jdf>~ Jo
r
~=c
f:: ~
S<l ~~ ~ ' 'à~( C:~/:;~W~€l
~ el.o
~~~õO ~OJ+'~ ;
) ~ ~

40. ,
~.::(>
~:: ~ -t
P
(f e ()
d'j::' ~d?-+ ~d~ + l d~
,
t'j.::~
=r ~ d,:< ~dlt.
~ ttdf+ i>~ + ; d~
-2i. -+ (2;P) cl.~ ~ o
clt,:; o c...~ tp.OO
~-+~~:::; o
Sclp~ JO e.,.f:; - ~
p:; c.
.;n/:- q.:n-~
?':. ...Y_1.if. 4:- ~<i ~ú.Áé >~.r~~li...~'
?::: ~Y. ~
).x(.. ~
'3::. ct, 'n"~ -+ K
'j:: <t:... ....Y.ne. - /lJ t+1t.)
~~. ~ '-~~ 'Ot. -t~'l ~
~ ~:f.o $~v...~

41. ,
.~;:: 'f>
'j:: ~~4 e,'P 1()
d'j:::.~dp+ ~d~ +l J~
1...':. t,o.ll o
~*-e.~.::O
e...~ ': - 1t;.
~nl::; Q1";n-~
t> ':. ....~- ~ 4- iO:- ~Uk ~ ~.r,;~I. u'V
?::: ....'V. ~
yn.. ?C.
'3':; &. .n ~:lIt. ~ K
~::; ~ .:n.nt ~ 8J t+ê(J
~1' 1t-.. t.'7-+:1C~>2L15a~
~ 1C..';'o ~~~

42. ?.,2/rte /9;.;1
J
;,,/
r
! >'1R;]ci('ç:.~, ("'IS'. ,'f,::íC(-,f-Jj!,i2,
~,~~ doô "'''CU,,~~,I)''UII) ~~ ""' r. ~ ~ <N.? ~,
~~~:T~"""'" 1<>'miQ.~ de ~"~"'<VJ ~~ <!Im j ~-
~QbO~~<1o QO~ ~~çéiD d..:1QNlMe(aJ ~b d~rmlftDÀ o... -(~~o..
ÓAb ~ytf~a.l) ()'>~~!NOiO 6Q ~~Q de. ~~ do..dvo.
t.'iI.' cB..;."",,,,,,,,,- o.. ~ <1.0.0 ~~ o,,~~ <k ~ao. ole. ,"""""",
00 ~)JA~" ,
-t? V ..U.f.. ,,': ... ;~: ' , "'~-;':'.".
~ 1
~. J+
,
J :;
~-- ­ ------ -

43. ·.71!' ..
1/ :% ~
~ ~. ~ ~do~QO Ol. ~~~o:
1"::; ~
~j
~;Z~
dét. ~
?i d~= ~~ ai
5~j dj=j1t d.tt
~f -:-lt(
~ ~
~):;
:1
j~ c..~
f/l~~:
}
~=-c. 'j=-~
i
J )
t!t
' :; ;~.li:. ". t:
j . !f. - ~~. ~ ::: o ~~:....!
,. 1 ': ,.,.. -- ".
~
'~,
- ::r d<J:. )
~ ~
(j) Q.>l~~
j~C*- d'1 = -7.t cht
j;; ')' X
,
J'j li') =-S?Ld.lt.
':
~
~.
i-.
'f=- -~4~ ~
~/l

44. i~c.
.(t.:~'"
1 i
'J~ J
l
.­J
:t3f.
,} ,':'?
1: ~i
(Lei , I
?/ 1.. ''j cc J~Y'
, -~~
.-.
','
"'): :::
~b(i
.J
'j- I
~ -
-1!.
R'J
;
.1­
.~.
1t?-~
í
l
.)
-1t d~ ~ ~'j di
J~'J d'j = -~ ~~
~·f:-~,(:
7­ a.
J<: - ~ ~
2..

45. JOQu~ ~ ~ WV/Io. (!.() ..",l:,,~
~"'" rOJ> '!OI'M ~ e.oNlb~ Ct. c.... .... c.", .
0>~õ." ~~.
RtZ( ~(
j ~ QL e -+ ~ .t, e """ '" +
.
j

46. -2 1.i1.1)~ v~ ~Y'Cw. ®
t il
~~:
,
~- 'J.j - 3j::; o ~. k{~~0-( ,
< "
R - ~~ - ~ ::: o
~. ~e~-atCA.
~?{
'ji:;; e 1
j;L:: e
R:t.~
)
~~
'j",,= e.. ~.;>'..u. ~~f.6 rr V ·Q4.

47. , ~
!;
R. - i. ::; ()
~~ ~
~:t .: i. ~1" e e
~: Q : ~~
-=~ '.)i::;
'õoL~~ r~f~'
"!.
1l~e.. .:=~ j;L;; -e..
-~
J
~fi
~-!
a ei e."~ -" C
e
-1t.. Ao So~~<í» ~.
j= :t
~~~
~ ~:Õo toJOe~'" otc~ ~~~ ~~eo """"-'li ~(). JQ.lI
~ >'(t'""- ~ ~~ -=..k~, CYf)J.~~CQ-1Oe. o. .oo~~Õ;;)
-&. ill + ~ j'-,- j' ~ <>
":)3 ~
l.. 4- l-R 4- "R =~
'R ( ~~ -+ ~'R -+ i.) :: o
~" =0
R~T -i
Q.~. - i
7/ 'NQÁy 4~dw:

48. r1/ r.o.­
J
- '--' tr I)) .) I
W 'j - aj + Ô1- j :; o
~.~~
":h.. ~ ~~
~l.3" (/'A!"?J..
i~~ (1.,2 e~
~.~:
t-
j = C1.. -+ C:t tJ.. t "" Ce, -ri O-?I..
i~~tr ~~~
_ ~O ~~ ~~ <>­ ~ c.cu.o.~(t_
-e

49. ,
v ", ®
".
•
~.
1- "'1
l }
-t"
'?>1:; o
"R:t - ~ R -t t 3 -:; O
~;; ~ ±. i lb- 5~'
~

51. )
J~
'ji -= I~ _ 31'r- ~ = D 7:.....:;- ~-37
-:6 (~~- 3 1 ) ) )
~:: ~ - 3i
3'1 } .:;:-,z,1T 2­
~ 1:: _ ~1 -'!- <­
.3
,
-~ +!l. ;; 3.z. -+ ~<.
....... :l.~
,
-- t: .: :
- ~z.
_~'_ ,?>~-f~.:t+ 4~
-l..~
..... ~': ~2
-.:t~
-~ ~4et-t<
dx./ '. -2.
- t l- ;n.) , d~ =- d.~
::t"4+ I~

52. .
. '.
iw%:;r.<>.-A """" ~...... 'i';':' Jk ~
_l~::~~~) ~~_~~~ ~_o~
'-Â. IV
__.
~ +~ ~NI_ t)~
ç;'~ ~~ 01 .~
:Li f -1

53. ~i' 'J)1'4' L~~
A L~ , ~f ~ --e (~) -t C l }f) -= o
()~ ~ ~o-d-L ~ -~~~ •..o<.y....Ro.
~ ~ ~-4- oM. ~.....l ~ ',.,,,,,-:f>-&
<>..
íifJ (""..j~f'~) "'" ~q..-::;.t.. ,...
<ôobÕ/.> ~ U 7 Md-t,,<:

54. .
,.
:.t~ df::-o <€) ~- ~ ': - Q
Sdi>" Ju ~: ~
. ~~e . ~
sJu)ôc eli $u~·J- ~ G)
~ :J _o: C&. - ~~ 'j ~ ?í. c~
. 2...
)-l: ,(
~
~ -;- ~< _ ~ _ ~z
s"L~ ~Il"L.J... '" '<
l) <: '::-O-j> 'i::: v
:z.) c= 2 - J::: J-l-4
) ) ~:: - Z. ~ '} ~ -2.-~ -1

56. ?1 J"j ~ ~ J~
;},5) cly
' ) ~ J,t
,~~ ~ ~ c
li- J.,
~ z
'j -:- ~+(
2..

57. V/(J 5/<3C:J
, -- ~un~<?1?ô 'h~ ~ 4:.~o
'" "-1 ,,-~
'1:- Q.~~c.eú" '-'<:.ct j-+ Ol t 'J -"* Q;L '1 + . . , ;:; o
) ii ) )
'j - :l.'j _ 3j : O
R~ - 'J.."«~ - 3 R =O
R l R;{.- ;.LR - '5) ~ o
2. d /
"--~
•

58. '.oi~ 1ê e 1~ .~.
i)) ) 7
j + ~ "j -t) :::'Y
R-'3~ :t~~* R.~o
R( R~4 ~~+-l)=o
.. .
R. ., 4. i ~ ~b.,s 2 "
2...
--~,-- _.~--

59. --~ +
uL'LJ-::: (L
-J~)d1
'-Al,);:. e
~. IA..t~ I ~
,I ~ i - -i. " M Fo
k~fo )fl ett: .. ­
(J41 rao..ul @ lÁ t' J
.t.AM- '
------)- C{W'~+- cf]J
'J -= t,. 'j ) -+ e1 ---#- 1/)0 ~ 1;
i =- f
'j '" ?L{'-t e l' )6)
t1~ .: ~ dp+ ?J.r.. + e.~ d t'
/J2~ ~ = i>
d'f -f> .:::1»~~~~--~-"
~=~~~+~+J~-
~dp+ i Jp~<l
(Í. -+ e~) d.f -:;. o

60. ~. - jl' Co 'J..'j'l_ "3/= o J ~~~
~l~t
~------------------------
~r:- ~~~~~...,.
-4t'3 - 'G-e!<-~~ ~
~ <. ~~3)~
lU ~ ,
J -t ~1 ~ i "'::>
R. ~ + ;J.-'fG' -4 R.;::- .::7
f2- (.p..2. -+ 2~.A· t ;:: 'l
R~ -: o
~1..,," - !..
R~::- -L

61. ., _ 1" ~ .2..- ~
~
4.'1 _ ~i~---;1:- ri .:: 0­
o.CL <S-­
--L _ o .- 1
= -?fÇ..
t ( ~t<.)
- ?1-
---
=.?:t..­
f'L- .1
.. r.J _
10
_.~~~~~
~ __ ---
J 1-~
dá<..
-..l
­ - .;..,,".
+
- .::­
- - ~ ~
M~ +~ Nd., ~ O
_1:1 +­ ~- j áx.. + .:i d'1 == Q
l,':1. ~ 1 õ­

62. 4lrO­
)
J -t j t C =-t'
Mdlt -I- f'J Ov~ ~
~/-II ~"'ÔIV =!> ~d L
CSj 6j ~h ~
cf jh/tiL
.a ti--'J': .e
__ jltlJ'j
!g",,/ J).{y).:: e

63. .á{.
t' ® ~~~:
71 .
~ 0.) -tlt1il r) : i.j3· f -,
) 9,./)
b) U:
re llV'j Q.
. ..

64. ~~.q
el ~ôO 'l:: -1
~)=~ z..
-43:.1' ~i
~;; l!la.- 3i)t'4 ~,)t
'L = ~ - ôj'
l
-t-l~ -'3;
, 1 l,fo
"t.,-a::.-?li .
'
, -1.:+ <.
~j ..
, ,
"j = -L-~
~
_t = 3L-t l ~ • 4Z.
-ll

65. ,
l 'õtt Q.) j-j =- {)
3~<-=L,
~tQ
di,~i .
~ ,~+Q,.
~&1;t:t) di ~ '1' cil.) .
5~=5~~
k"'il:: lY~ .. c.
i~H.
i" <:.' ]
~'j' ~ c(.-t':::):; o
(·i.,-d:--i
~: C::-~:, j) _ vw...v-.do ~~ ~. J.. t ~ .. ~. ~.
d!.
-tt ~JJ~ -~-~-!
~
~'" ~d:4:" .. I (-J.'}
Cf .
- i - ~ -:t
lt di '"
?clt::; - :i. 2-
~ dl,,< 7-1. -:L~
. Ji~~
U::;-!~l.l -Ih
J.J..I;l0 "n -~-tH '" bJ.. T"V.c..
2l(.·c

66. + ..... ';.
. .
li
l ~tt)~ T dj .: o
(.j.2-t '))
) (':11) jyJ-l.( i'+! )4 e<:
rt~+~< -r-o< +C J
I 'I
'1= ­ a...-<'
j . dI!"
Ji ~ d~ =- Lv" ~
-I
ct, = l,"'lil
-1
- -. ~- - -~ - -- - ---~--'--<-- - ~