1. Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Année Universitaire : 2012/2013
Matière : Statistique Descriptive I Module : METHODES QUANTITATIVE I
La Compagne Etudiante pour Résumer
les Cours et Organiser les Polycopies
Option : Science Economique et Gestion
Module : METHODES QUANTITATIVES I
Matière : Statistique Descriptive I
Semestre : 1
Type de document : Equations Statistiques
Remarque :
 Ce document présent les équations statistiques les plus utilisés dans l’examen, avec ses définitions et ses
interprétations ;
 Les interprétations doit être présenter au feuille d’examen ;
 Les formules et les unités statistiques doit être aussi préciser au feuille d’examen.
Année universitaire 2012-2013
Statistique Descriptive I – Equations Statistiques Page 1

2. Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Année Universitaire : 2012/2013
Matière : Statistique Descriptive I Module : METHODES QUANTITATIVE I
1- La moyenne arithmétique :
La moyenne arithmétique d’une série est égale à la somme des produits de chaque variable xi par le nombre
de fois où X elle est répétée (pondérer) sur l’effectif total.
La moyenne arithmétique de X notée est définie par :
k k
xi ni
X  ou X   f i xi
i 1 n i 1
k
Ci ni
Le cas d’une variable statistique continue : X 
i 1 n
Ci : le centre des classes
Interprétation :
X est le xi moyen obtenu par l’ensemble des n.
Le xi moyen est donnée par : X =……
2- La médiane (Me) :
a- Définition :
La médiane Me d’une variable statistique est la valeur numérique qui partage la série préalablement rangée
par ordre croissant ou décroissant en deux parties égales.
b- Calcul de la médiane :
 Le cas des effectifs impairs :
La valeur médiane est la valeur centrale entre deux parties égales.
 Le cas des effectifs pairs :
La valeur médiane est la moyenne des valeurs centrales.
 Dans le cas d’une variable statistique continue, la médiane existe toujours ;
La médiane divise la série de xi éléments en deux sous-ensembles égaux. La valeur se trouve dans la classe
[...-...[ qui est la classe médiane.
n  n 
 F (i  1)   F (i  1) 
M e  BI
 2  M e  BI   2 ( BS  BI )
BS  BI F (i )  F (i  1)  F (i )  F (i  1) 
 
 
BI = borne inferieur de la classe médiane
BS = borne supérieur de la classe médiane
F(i) = fréquence relative cumulée de la classe i
F (i-1) = fréquence relative cumulée de la classe i – 1
Statistique Descriptive I – Equations Statistiques Page 2

3. Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Année Universitaire : 2012/2013
Matière : Statistique Descriptive I Module : METHODES QUANTITATIVE I
Interprétation :
- Il y a n de ni qui ont un xi inférieur à Me et n des autres qui ont un xi supérieur à Me.
2 2
-( n x100) % des n qui ont un x inférieur à M et ( n x100) % ont un x supérieur à M . ( n x100 = pourcentage)
i i e i e
2 2 2
 Dans le cas d’une variable statistique discrète, la médiane peut ne pas exister ;
Le calcul de la médiane passe par la construction d'une colonne F(x) ou N(x) de façon à déterminer la
médiane telle que F(Me)=1/2=50% ou N(Me) = n/2
La médiane est la valeur xi qui correspond à la ligne la plus basse des deux.
Interprétation :
Me = ?, cela veut dire qu’il y a 50% (ou n/2) des ni ayant moins de Me des xi et 50% (ou n/2) des ni ayant plus
de Me des xi.
 Détermination graphique :
A partir de ce diagramme en bâtons, nous réalisons un diagramme représentant les effectifs cumulés en
fonction du nombre de xi. Le bâton qui situé au centre des autres bâtons c’est le bâton qui représente la valeur
médiane.
3- Le mode (Mo) :
Le mode Mo est la valeur maximale de la variable ou s’effectif le plus grand.
 Si la variable est discrète :
Le mode est bien défini : il correspond à la valeur Xi la plus fréquente dans un tableau ou un effectif plus
grand
 Si la variable est continue :
Le mode est défini par la classe modale qui correspond l’effectif plus grand.
M  L1  d 1
L  L 
O
d1  d 2 2 1
L1 = borne inférieur de la classe modale
L2 = borne supérieur de la classe modale
d1 = différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe inférieur à la classe modale
d2 = différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe supérieur à la classe modale
Interprétation :
La classe modale est Mo: c’est la classe à laquelle corresponde le plus grand effectif corrigé.
Statistique Descriptive I – Equations Statistiques Page 3

4. Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Année Universitaire : 2012/2013
Matière : Statistique Descriptive I Module : METHODES QUANTITATIVE I
4- La médiale (Ml) :
a- Définition :
La médiale Ml est la valeur qui partage la masse xi.ni en deux sous-ensembles égaux. Le calcul de la médiale
passe par la formule de l’interpolation linéaire en utilisant la colonne de fréquences relatives cumulées
croissantes F(x).
Remarque pour l’interprétation : Pour une distribution statistique donnée, la médiale est toujours : Ml ≥ Me
 0,5  F (i  1) 
M l
 BI  
 F (i)  F (i  1) ( BS  BI )

 
5- Étendue :
L’étendue est la différence entre la plus grand et la plus petite des valeurs possibles de la série. On écrit :
e = xmax – xmin
6- Intervalle interquartile (I) :
C’est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile. Il contient 50% des observations.
I= Q3 – Q1
er
1 quartile (Q1) : 0,25
2éme quartile (Q2) : 0,50
3éme quartile (Q3) : 0,75
Pour calculer les quartiles, on a utilisé l’interpolation linéaire :
Q L 0,25  f i L1 
 1 1
L2  L1 fi L2   fi L1 
0,25  fi L1 
Q1  L1  L2  L1 
fi L2   fi L1 
Remarque : On peut utiliser pour calculer Q3 : 0,75.
Interprétation :
50% des ni ont un xi compris entre Q3 et Q1 ; 25% des ni ont un xi inférieur à Q1 et 50% des ni ont un xi
supérieur à Q3.
Statistique Descriptive I – Equations Statistiques Page 4

5. Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Année Universitaire : 2012/2013
Matière : Statistique Descriptive I Module : METHODES QUANTITATIVE I
7- Écart absolue moyenne par rapport à la moyenne (e) :
C’est la moyenne arithmétique des écarts (en valeurs absolues) entre chacune des valeurs possibles de la
variable x et la moyenne arithmétique x. on note :

k
n xi  X k
e i 1 i
  f i xi  X
n i 1
Interprétation :
En moyenne : Les xi des ni s’écartent d’environ e de la moyenne arithmétique des xi
Remarque :
Nous pouvons définir aussi l’écart absolu par à la médiane qui s’écrit :

k
ni x i  M e k
e i 1
  f i xi  M e
n i 1
8- Variance (V(x)) :
C’est la moyenne arithmétique des carrés des écarts des valeurs X par rapport à leur moyenne arithmétique.

k
n x X   2
k
 
ou V ( x)     f i xi  X
2
V ( x)   2  i 1 i i 2
n i 1
9- Écart-type (σ) :
C’est la racine carrés positive de la variance.
  
2
 f x 
k
n xi  X k
2
 ou   X
i 1 i
i i
n i 1
10- Coefficient de variation (CV) :
Le coefficient de variation à la moyenne d’une distribution est le rapport de l’écart-type à la moyenne
arithmétique :

Cv 
X
Statistique Descriptive I – Equations Statistiques Page 5