Fstm deust mip-e141_cee_chap_iv_quadripôles

Cours exposé
FSTM : DEUST - MIP E141 : Circuits Électriques et Électroniques
email : nasser_baghdad @ yahoo.fr
UNIVERSITEHASSANIICASABLANCA–FACULTEDESSCIENCESETTECHNIQUESMOHAMMEDIA
DEUST-MIP–MODULE:E141–CIRCUITSÉLECTRIQUESETÉLECTRONIQUES
PR.A.BAGHDAD-DEPARTEMENTGENIEELECTRIQUE
Pr . A. BAGHDAD 1

FSTM : DEUST - MIP E141 : Circuits Électriques et Électroniques Pr . A. BAGHDAD 2
Contenu du programme
Chapitre I : Généralités
Chapitre II : Régime continu
Chapitre III : Régime alternatif sinusoïdal
Chapitre IV : Les quadripôles
Chapitre V : Les filtres passifs
Chapitre VI : Les diodes
Chapitre VII : Le transistor bipolaire
Chapitre VIII : L’amplificateur opérationnel
Partie A
Circuits électriques
Partie B
Circuits électroniques

Chapitre IV

Sommaire

1°) Convention de signe
2°) Matrices caractéristiques du même quadripôle
3°) Détermination des paramètres caractéristiques des matrices
4°) Propriétés des quadripôles passifs
5°) Propriétés des quadripôles passifs et symétriques
6°) Relations entre les paramètres des matrices du même quadripôle
7°) Association des quadripôles
8°) Modélisation électrique du quadripôle
9°) Applications

1°) Convention de signe
Par convention :
■ Les flèches des courants électriques sont entrantes.
■ Les flèches des tensions électriques sont dirigées vers le haut.
Circuit
un élément ou
plusieurs en association
Quadripôle (Q)
i1
i2
v1 v2
Entrée Sortie
► Un quadripôle est un montage électronique possédant 4 bornes : deux bornes
d’entrée et deux bornes de sortie.
► Il s’agit en général un montage qui va traiter (filtrer, amplifier, …) un signal d’entrée
(tension ou/et courant) et fournir un signal de sortie (tension ou/et courant) en
conséquence.

► Ces matrices caractéristiques du même quadripôle ont pour rôle de relier les
grandeurs électriques entre elles. Il existe six types de matrices :
■ Matrice chaîne directe (a)
■ Matrice chaîne inverse (ai) ou matrice de transfert (T)
■ Matrice impédance (z)
■ Matrice admittance (y)
■ Matrice hybride directe (h)
■ Matrice hybride inverse (g)
Quadripôle (Q)
i1
i2
v1 v2
Entrée Sortie
2°) Matrices caractéristiques du même quadripôle

3°) Détermination des paramètres caractéristiques des matrices
 











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

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
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
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

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 
 
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i
i
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i
v
B
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S
v
i
C
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v
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v
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i
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
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
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
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
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





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


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













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.
)0(
.
2
)0(2
1
)0(2
1
2
)0(2
1
)0(2
1
2
2
2
2
► Détermination des paramètres A, B, C, D (ou coefficients) de la matrice chaîne
directe :
► Ces paramètres expriment les relations en transmittance (entrée/sortie ou
sortie/entrée).
Matrice chaîne directe (a)
► On exprime les grandeurs électriques de sortie en fonction des grandeurs électriques
d’entrée.

► On exprime les grandeurs électriques d’entrée en fonction des grandeurs électriques
de sortie, elle est appelée également matrice de transfert.
 









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




































1221212
1121112
112
112
1
1
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1211
1
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:
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ou
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i
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TT
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ii
ii
ii
ii
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 
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
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



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.
)0(
.
1
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2
22
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2
12
1
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2
21
)0(1
2
11
1
1
1
1
► Détermination des paramètres Ai, Bi, Ci, Di (ou coefficients) de la matrice chaîne
inverse (ou de transfert) :
► Ces paramètres expriment les relations en transmittance (entrée/sortie ou
sortie/entrée).
    1
 iaa
Matrice chaîne inverse (ai) ou de transfert (T)

► On exprime les tensions en fonction des courants.
 

















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

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

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




2221212
2121111
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1
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1211
2
1
2
1
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:
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équationsdSystème
i
i
zz
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i
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z
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v
ematriciellEcriture
 
 
 
 
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i
v
z
i
v
z
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i
v
z
i
v
z
i
i
i
i
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



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









































)0()0( 1
)0(2
2
22
)0(2
1
12
2
)0(1
2
21
)0(1
1
11
1
1
2
2
► Détermination des paramètres z11, z12, z21, z22 (ou coefficients) de la matrice
impédance :
► Ces paramètres expriment les relations en impédance.
Matrice impédance (z)

► On exprime les courants en fonction des tensions.
 































2221212
2121111
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1
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1211
2
1
2
1
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:
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vyvyi
équationsdSystème
v
v
yy
yy
v
v
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i
i
ematriciellEcriture
 
 
 
 
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S
v
i
y
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v
i
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S
v
i
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S
v
i
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v
v
v
v
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
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
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
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
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

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





)0()0( 1
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2
22
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1
12
2
)0(1
2
21
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1
11
1
1
2
2
► Détermination des paramètres y11, y12, y21, y22 (ou coefficients) de la matrice
admittance :
► Ces paramètres expriment les relations en admittance. Ces relations sont utiles
lors de l'étude des transistors à effet de champ (TEC).
1
)()( 
 yz
Matrice impédance (y)

► On exprime le croisement entre les courants et les tensions.
 




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





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
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


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










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2121111
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1211
2
1
2
1
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vhihi
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équationsdSystème
v
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hh
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
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

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1
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2
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)0(2
1
12
2
)0(1
2
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)0(1
1
11
1
1
2
2
► Détermination des paramètres h11, h12, h21, h22 (ou coefficients) de la matrice
hybride directe :
► Ces relations sont utiles lors de l'étude des transistors bipolaires (TB).
Matrice hybride directe (h)

► On exprime en inverse le croisement entre les courants et les tensions.
 































2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
2
1
:'
:
igvgv
igvgi
équationsdSystème
i
v
gg
gg
i
v
g
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i
ematriciellEcriture
 
 
 
 
CCenQduentréev
i
v
g
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i
i
g
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US
v
v
g
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v
i
g
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i
i
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
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

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



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



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



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
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

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

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


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












)0(
.
)0(
.
1
)0(2
2
22
)0(2
1
12
2
)0(1
2
21
)0(1
1
11
1
1
2
2
► Détermination des paramètres g11, g12, g21, g22 (ou coefficients) de la matrice hybride
inverse :
► Ces relations sont rarement utilisées pour l'étude des transistors.
1
)()( 
 gh
Matrice hybride inverse (g)

4°) Propriétés des quadripôles passifs
► Un quadripôle passif est dit réciproque, car le principe de réciprocité de maxwell lui
est applicable.
► Ce principe permet de trouver des relations supplémentaires entre les paramètres de
la même matrice, et par conséquent, la réduction de la recherche à trois paramètres au
lieu de quatre.
2112
2112
2112
2112
:
:
:tan
:
1:
1:
gginversehybrideMatrice
hhdirectehybrideMatrice
yyceadmitMatrice
zzimpédanceMatrice
CBDAaavecainversechaîneMatrice
CBDAaavecadirectechaîneMatrice
iiiiii






Relations de passivité réciprocité

Théorème de réciprocité de Maxwell
éréciprocitpassivitéderelations
Expérience n°1 : calcul de i Expérience n°2 : calcul de i’
(Q)e i (Q) ei’
'ii 

5°) Propriétés des quadripôles passifs et symétriques
► Ces quadripôles possèdent des symétries géométriques et électriques.
► Les deux accès d'un quadripôle symétrique sont indiscernables : les indices
Correspondant 1 et 2 des paramètres des différentes matrices sont donc permutables
sans changement.
► En appliquant le principe de permutation des indices, on trouve, en plus des
relations de passivités réciprocités, des relations supplémentaires de symétrie.
► La recherche des paramètres des matrices se réduit cette fois - ci à moitié.
21122211
21122211
2211
2211
1:
1:
:tan
:
:
:
gggggavecginversehybrideMatrice
hhhhhavechdirectehybrideMatrice
yyceadmitMatrice
zzimpédanceMatrice
DAinversechaîneMatrice
DAdirectechaîneMatrice
ii






Relations de symétrie

Principe de permutation des indices des grandeurs électriques
tinversemenetvparremplacéserav
tinversemenetiparremplacéserai
21
21
1 2
et Relations de passivité - réciprocitéRelations de symétrie

6°) Relations entre les paramètres des matrices du même quadripôle
Connaissant les paramètres d’une matrice, on peut en déduire les paramètres des
autres matrices du même quadripôle.
Relations de conversion
           
                          
                          
                          
                          
                          
                           





hfgyfgzfgTfgafgg
gfhyfhzfhTfhafhh
gfyhfyzfyTfyafyy
gfzhfzyfzTfzafzz
gfThfTyfTzfTafTT
gfahfayfazfaTfaa
ghyzTa

Exemple de calcul : (a) = [(y)]
 
 
 





























IIiDvCi
IiBvAv
équationsdSystème
i
v
DC
BA
i
v
a
i
v
ematriciellEcriture
221
221
2
2
2
2
1
1
:'
:  
 
 






























2
1
:'
:
2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
2
1
vyvyi
vyvyi
équationsdSystème
v
v
yy
yy
v
v
y
i
i
ematriciellEcriture
  





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





















11
22
21
21
11
21
2121
22
11
1
yy
y
y
y
y
y
y
yy
y
a

7°) Association des quadripôles Relation
d’association
Désignation Schéma Propriétés
série (z) = (z’) + (z’’)
parallèle (y) = (y‘) + (y’’)
parallèle -
série
(g) = (g’) + (g’’)
série -
parallèle
(h) = (h’) + (h’’)
cascade
(a) = (a’) . (a’’)
(T) = (T’’) . (T’)
(z’)
(z’’)
(y’)
(y’’)
(g’)
(g’’)
(h’)
(h’’)
(T’) (T’’)
(a’) (a’’)
(z) ?
(y) ?
(g) ?
(h) ?
(a) ?
(T) ?

(a’) (a’’)
i’1 i’2
v’1 v’2
i’’1 i’’2
v’’1 v’’2
i1
v1
i2
v2
Entrée Sortie
i1 = i’1
v1 = v’1
i2 = i’’2
v2 = v’’2
Intermédiaire
i’2 = - i’’1
v’2 = v’’1
(a) = (a’) . (a’’)
Démonstration :

8°) Modélisation électrique du quadripôle
Matrice hybride directe (h) :
 





























2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
2
1
:'
:
vhihi
vhihv
équationsdSystème
v
i
hh
hh
v
i
h
i
v
ematriciellEcriture
i1
i2
v1 v2
Entrée Sortie
121 ih
~
h11
h22
212 vh
h11 : impédance (ou résistance) d ’entrée
h12 : coefficient de transfert en tension inverse
h21 : coefficient de transfert en courant directe
h22 : admittance (ou conductance) de sortie
Remarque : le transfert est modélisé par un générateur physique lié.

Matrice admittance (y) :
y11 : admittance (ou conductance) d ’entrée
y12 : admittance de transfert (ou transconductance) inverse
y21 : admittance de transfert (ou transconductance) direct
y22 : admittance (ou conductance) de sortie
Remarque : le transfert est modélisé par un générateur physique lié.
 































2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
2
1
:'
:
vyvyi
vyvyi
équationsdSystème
v
v
yy
yy
v
v
y
i
i
ematriciellEcriture
i1
i2
v1 v2
Entrée Sortie
y22
212
vy
y11
121 vy

FSTM : DEUST - MIP E141 : Circuits Électriques et Électroniques 25Pr . A. BAGHDAD
9°) Applications
Exemple n°1
Calculer les différentes matrices caractéristiques du quadripôle en T suivant :
            




































..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
ghyzaa i
(Té)
R
v2
i1 i2
Rv1
R

Solutions :
    
   
    






 














































2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
3
1
3
1
3
2
2
2
21
32
21
32
R
Rg
R
R
h
RR
RRy
RR
RR
z
R
R
a
R
R
a i
QPRS

Exemple n°2
Calculer les différentes matrices caractéristiques du quadripôle :
            




































..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
ghyzaa i
(Pi)
R v2
i1 i2
R
v1
R

Solutions :
    
   
    






 

















































22
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
21
12
3
2
3
33
2
23
2
23
2
R
Rg
R
R
h
RR
RRy
RR
RR
z
R
R
a
R
R
a i
QPRS

(Té)
R
v2
i1 i2
Rv1
R
(Pi)
R’ v2
i1 i2
R’
v1
R’
RR 3'
(Té)
R’
v2
i1 i2
R’v1
R’
(Pi)
R v2
i1 i2
R
v1
R
3
'
R
R 

1°) Introduction : schéma du principe
2°) Différentes amplifications (ou gains)
3°) Différentes impédances
4°) Différentes impédances et admittances de transfert
5°) Calcul des caractéristiques fondamentales du quadripôle en fonction des
paramètres des matrices
6°) Applications
7°) Principe de dualité

1°) Introduction : schéma du principe
Circuit
(composant )
ou
(plusieurs composants)
Quadripôle (Q)
Source
(eg, Rg)
Dipôle (D)
actif
Charge
(RL)
Dipôle (D)
passif
i1
i2
v1 v2
Bornes
d’entrée
Bornes
de sortie
Représentation symbolique
complexe
Configuration générale
On considère la configuration générale d’un quadripôle inséré entre :
■ en amont un générateur de f.e.m. eg et de résistance interne Rg ;
■ en aval une charge de résistance RL.

2°) Différentes amplifications
Quadripôle (Q)
i1 i2
v1 v2
1°) Amplification en tension
vvv j
v
j
vv egeA
v
v
A 
 12
1
2
Quadripôle actif : gv > 1 c-à-d V2 > V1  gain en tension
Quadripôle passif gv < 1 c-à-d V2 < V1  perte de tension (chute de tension)
φv déphasage de la tension de sortie v2 par rapport à la tension d’entrée v1.
2°) Amplification en courant
Quadripôle actif : gi > 1 c-à-d I2 > I1  gain en courant
Quadripôle passif gi < 1 c-à-d I2 < I1  perte de courant
φi déphasage du courant de sortie i2 par rapport au courant d’entrée i1.
iii j
i
j
ii egeA
i
i
A 
 12
1
2

Quadripôle (Q)
i1 i2
v1 v2
3°) Amplification en puissance
Quadripôle actif : gp > 1 c-à-d P2 > P1  gain en puissance
Quadripôle passif gp < 1 c-à-d P2 < P1  perte de puissance
φp déphasage est nul.
ivivpp ggAA
i
i
v
v
P
P
gA 
1
2
1
2
1
2

3°) Différentes impédances
1
1
:'Im
i
v
Zentréedpédance E 
ZS? ou Ys?
Circuit
Quadripôle (Q)
i1 i0
v1 u0
Rg
u0
(eg = 0)
Générateur
fictif (u0, i0)
00
0
:Im








ge
S
i
u
Zsortiedepédance
00
0
1
:Im








v
S
i
u
Zsortiedepédance
ZS? ou Ys?
Circuit
Quadripôle (Q)
i1 i0
v1 u0
u0
(v1 = 0)
Générateur
fictif (u0, i0)
ou

   COECCEC ZZZtiquecaractérispédance  :Im
 
01
1
2 







i
COE
i
v
Z
(ZE)co?
i2
Circuit
Quadripôle (Q)
i1
v1 v2
Rg
eg
co
i2 = 0
i1
(ZE)cc?
 
01
1
2 







v
CCE
i
v
Z
Circuit
Quadripôle (Q)
v1 0
Rg
eg
cc
v2 = 0
i2

4°) Différentes impédances et admittances de transfert
► Les impédances et admittances de transfert sont particulières, parmi elles:
sortiedegrandeur
entréedgrandeur
inverseTransfert
entréedgrandeur
sortiedegrandeur
directeTransfert
'
'


TDEv
TI
TIE
i
TD
i
E
TI
EvTD
ZZAv
v
v
i
v
i
YinversetransfertdeceAdmit
ZZ
A
v
i
i
i
v
i
YdirectetransfertdeceAdmit
A
Z
i
i
i
v
i
v
Zinversetransfertdepédance
ZA
i
v
v
v
i
v
Zdirectetransfertdepédance
11
:tan
1
:tan
:Im
:Im
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2






► Transfert directe et transfert inverse :
Circuit
Quadripôle (Q)
i1 i2
v1 v2
Entrée Sortie

5°) Calcul des caractéristiques fondamentales du quadripôle en fonction des
paramètres des matrices
i1 i2
Quadripôle (Q)
Générateur
(eg, Rg)
Charge
(RL)
v1 v2
??
1
2
1
1
v
v
HA
i
v
Z vE 
 
 
 
 
 4:arg
3:
2
1
:
2222
11
1221212
1121112
1
1
2221
1211
1
1
2
2
vYiouiZveCh
iZevgénérateur
iTvTi
iTvTv
soit
i
v
TT
TT
i
v
T
i
v
Quadripôle
LL
gg
































221
2
2212
22121
2
1
)arg(
:1:
Tv
v
TalorséchnonfiltreZSi
ZTT
Z
TsoitTaonQPRlesPour
ZTT
TZ
v
v
T
L
L
L
L
L






Matrice de transfet (T)

i1 i2
Quadripôle (Q)
Générateur
(eg, Zg)
Charge
(ZL)
v1 v2
??
1
2
1
1
v
v
HA
i
v
Z vE 
 
 
 
 
 4:arg
3:
2
1
:
2222
11
2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
2
1
vYiouiZveCh
iZevgénérateur
vhihi
vhihv
soit
v
i
hh
hh
v
i
h
i
v
Quadripôle
LL
gg































  L
L
L
L
v
L
L
L
E
Zhh
Zh
Yhh
h
hY
h
h
hv
v
HAtensionenionAmplificat
Zh
Zhh
h
hY
h
hh
i
v
Zentréedpédance










11
21
11
21
22
21
11
12
1
2
22
2112
11
22
21
1211
1
1
1
:
1
:'Im
Matrice hybride directe (h)

6°) Applications
Exemple n°1
Rg R
v2
i1 i2
Rv1~eg
R
RL
?????
?????


TITDTITDC
SEpiv
YYZZZ
ZZggg
Hypothèse : Rg = RL = R
Calculer les différentes :
- amplifications.
- impédances.
- impédances et admittances de transfert.

Solutions :
RZ
Y
RZ
YR
g
Z
Z
R
ZgZRZ
R
Z
R
Zggg
TD
TI
TI
TD
i
E
TIEvTDC
SEpiv
31
5
11
5
3
3
3
5
3
5
15
1
3
1
5
1



Exemple n°2
Calculer les différentes :
- amplifications.
- impédances.
- impédances et admittances de transfert.
?????
?????


TITDTITDC
SEpiv
YYZZZ
ZZggg
Hypothèse : Rg = RL = R
Rg
R v2
i1 i2
R
v1~eg
R RL

RZ
Y
RZ
YR
g
Z
Z
R
ZgZ
R
Z
R
Z
R
Zggg
TD
TI
TI
TD
i
E
TIEvTDC
SEpiv
51
3
11
3
53
5
3
5
3
15
1
5
1
3
1


Solutions :

7°) Principe de dualité







T
TéPi
yz
GR
série
iv

//
Le dual dans les deux sens est :
En appliquant le principe de dualité, en déduire les caractéristiques fondamentales
du montage en Pi à partir de celui en Té et inversement.
Exercice :

Fin du chapitre IV

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