matematicas

1. FUNCIÓN CONSTANTE Y FUNCIÓN LINEAL.
Función constante.
La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable
independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece
constante.
Sea f (x) = c . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el
contradominio es únicamente el real c.
Ejemplo 1.
La función f(x) = 4 es una función constante porque independientemente del valor de
x el valor de la función siempre es 4.
Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de
la forma ( x, f(x)) frecuentemente en una tabla.
Ejemplo 2.
La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:
x f(x)
-1 3
0 3
1 3
2 3
1.5 3
5
3
2
La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es:

2. 5
4
3
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
Ejemplo 3.
Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica.
x f(x)
-3 -2
-1.75 -2
-1 -2
0 -2
1 -2
2.99 -2
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
Una función constante f(x) = c :
· tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,
· tiene como gráfica una línea horizontal,
· nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0,
· cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c),
· es aquella en que el exponente máximo de la x es cero,
Nota. Dado que x0 = 1 , entonces ( ) f x = 4x0 = 4(1) = 4 .

3. Función lineal.
La función lineal es aquella que siempre crece ( o decrece ) “lo mismo”. Esto es, para
dos intervalos de la misma magnitud de la variable independiente ( x ), los cambios
correspondientes en la variable dependiente ( f(x) ) son iguales.
La ecuación que representa una función lineal es de la forma f (x) = mx + b , que
también se puede escribir Ax + By + C = 0 .
El dominio de las funciones lineales es el conjunto de todos los reales ¡ , y el
contradominio es también el conjunto de todos los reales ¡ .
Ejemplo 4.
Sea la ecuación f (x) = 2x -1. Su representación tabular es:
x f(x)
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
4 7
Consideremos dos intervalos de la misma magnitud en la variable independiente, de x1 =
-1 a x2 = 1, y de x3 = 2 a x4 = 4. Los cambios correspondientes en la variable
dependiente son iguales:
f f
f f
- - = - - =
- = - =
(1) ( 1) 1 ( 3) 4
(4) (2) 7 3 4
como se muestra en la siguiente tabla
Dx x f(x) Df ( x)
2 1 x - x = 2 -1 -3
2 1 f (x ) - f (x ) = 4
1 1
4 3 x - x = 2 2 3
4 3 f (x ) - f (x ) = 4
4 7
La representación gráfica de la función es la siguiente:

4. 7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0 1 2 3 4
-1
-2
Observe que la tangente de a , esto es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, se
puede calcular como
cat opuesto f x
cat adyacente x
tan a = . = D ( ) = 4 =
2
D
. 2
a este valor se le denomina pendiente de la recta y frecuentemente se representa por la
letra m, que es una medida de la inclinación de la recta. Nótese que esta constante
aparece como coeficiente de la variable x en la ecuación f (x) = 2x -1.
Cuando x = 0 , f (x = 0) = -1, como se ve en la representación tabular; este par
ordenado ( 0, -1 ) es el punto de intersección de la recta con el eje y . Al valor de y
cuando x = 0 se le denomina ordenada al origen y frecuentemente se representa por la
letra b, que es la distancia de la intersección de la recta al origen. Nótese que esta
constante aparece como término independiente en la ecuación f (x) = 2x -1.
Sea f (x) = mx + b una función lineal, al coeficiente de la x se le llama pendiente (m), y
al término independiente se le llama ordena al origen (b) y es la intersección con el eje y.
Ejemplo 5.
-3
a

5. 6
5
4
3
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
En la siguiente gráfica la ordenada al origen b = 2 está indicada con un punto azul.
Analizando la figura, si partiendo del punto azul me muevo 2 unidades a la derecha y 3
unidades hacia arriba, vuelvo a quedar en un punto sobre la recta. La pendiente
- D D = = = =
2 1
2 1
( ) 3
2
y y m y f x
x - x D x D
x
es la razón, o cociente, entre el cambio en y y el cambio en x.
Dado que la ecuación general de la recta es
f (x) = mx + b
Entonces la ecuación de la recta graficada es
( ) 3 2
f x = x +
2
Se dice que una función es creciente en un intervalo si para toda 2 1 x > x dentro del
intervalo, 2 1 f (x ) > f (x )
Es decreciente si para toda 2 1 x > x dentro del intervalo, 2 1 f (x ) < f (x )
En el caso de las funciones lineales, éstas son crecientes cuando la pendiente es positiva y
decrecientes cuando la pendiente es negativa.

6. Ejemplo 6.
Sean los puntos A (3,2) y B (4,5) encontrar la ecuación de la recta que los une.
La pendiente de la recta es:
m = - = =
5 2 3 3
4 -
3 1
Dado que la pendiente es positiva, la función es creciente.
Recordando que f (x) = mx + b , entonces, f (x) - mx = b . Así, sustituyendo las
coordenadas (x, f (x)) de cualquiera de los dos puntos y el valor de m se obtiene la
ordenada al origen.
( )
5 ( 3) ( 4) 5 12 7
b f x mx
b
= -
= - = - = -
La ecuación que describe dicha recta es f (x) = 3x - 7 .
Ejemplo 7.
La recta que pasa por el punto A(2,1), y que tiene una pendiente de m = -5, tiene la
siguiente ecuación:
( )
( )
f x = mx +
b
b f x mx
b
f x x
= -
= - - = + =
( ) ( )
1 5 2 1 10 11
( )
= - +
5 11
y su gráfica se muestra en la figura.

7. 4 0
3 0
2 0
10
0
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 10
- 2 0
Como la pendiente es negativa la función es decreciente.
Se puede ver que las gráficas de todas las funciones lineales cruzan una sola vez el eje x
en el punto de coordenadas ( x, 0 ) denominado intersección con el eje x o raíz.
Para encontrar este punto, se sustituye f (x) = 0 y despejamos x.
0 5 11
11
5
x
x
= - +
=
Entonces esta recta cruza al eje x en el punto
11, 0
5
æ ö
çè ÷ø
y al eje y en (0, 11) .
Una función lineal f (x) = mx + b
· es aquella en que el exponente máximo de la x es uno,
· tiene como gráfica una línea recta,
· cruza una vez el eje x, cuando f(x) = 0,
· cruza una vez el eje y en el punto (0, b),
· la función es creciente cuando la pendiente es positiva y decreciente cuando es
negativa.