2. DESARROLLO HISTÓTICO DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
Hipótesis atomista como mera especulación durante miles de años.
Tras las investigaciones cuantitativas de los químicos del siglo XIX, como Dalton, Proust y
Avogadro, el atomismo se convirtió en una hipótesis científica contrastable
empíricamente.
Experimentos entre 1900 y 1925 revelaron una serie de efectos físicos inesperados e
incompatibles con las leyes de la mecánica clásica (radioactividad, efecto fotoeléctrico..).
Una nueve teoría se hacía necesaria para dar cuenta de lo que se iba averiguando acerca
del mundo atómico.
3. APROXIMACIÓN A LA MECÁNICA
CUÁTICA
Heisenberg (Göttingen): mecánica de
matrices. Concepción mas positivista, que se
centró en las correlaciones entre
“observables” y renunció a ofrecer imagen
alguna de la estructura inobservable del
átomo.
Schrödinger (Zürich): mecánica ondulatoria. Describe la evolución temporal de una partícula
cuántica. Tiene para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la
mecánica clásica.
Dos versiones matemáticamente equivalentes en el sentido de predecir los mismos resultados para
los mismos experimentos.
4. AXIOMATIZACIÓN DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
Hilbert promovió la axiomatización de teorías físicas (incluso
incluyó esta tarea en su famosa lista de problemas abiertos
presentada en el congreso mundial de matemáticos).
Von Neumann llegó a Göttingen en plena crisis de fundamentos.
Objetivo de von Neumann: encontrar una formulación teórica unificada satisfactoria, de la cual las
versiones de Heisenberg y Schrödinger serían meras representaciones especiales.
Von Neumann se apoyó en trabajos previos de Hilbert (espacios de infinitas dimensiones).
En 1932 (von Neumann tenía entonces 29 años) publicó Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
(Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica) que se convirtió en la formulación canónica de
la mecánica cuántica.
5. FORMALIZACIÓN DE VON
NEUMANN
Espacio de Hilbert como estructura matemática
(infinidad de dimensiones, infinidad de estados
cuánticos).
A cada estado de un átomo o partícula o sistema cuántico en general corresponde un vector unitario
de ese espacio . (En la teoría de Heisenberg un estado cuántico se representaba mediante una matriz
infinita; de ahí sacó von Neumann su idea).
Las magnitudes medibles, “observables”, son representados mediante operadores, que transforman
vectores (estados) del espacio de Hilbert en otros vectores del mismo espacio.
Principio de incertidumbre de Heisenberg como consecuencia de la no-conmutatividad de algunos
operadores (el orden en el que se aplican tiene importancia)
6. PROFUNDIZACIÓN I: FORMALIZACIÓN
DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Los estados del sistema cuántico son representados por vectores unitarios llamados (estados)
que pertenecen a un Espacio de Hilbert complejo separable (llamado el espacio de estados) .
Como los vectores pueden ser sumados, los estados cuánticos pueden también ser sumados o
combinados linealmente, dando lugar a superposición de estados cuánticos.
Evolución temporal del estado : (ecuación de Schrödinger).
Un operador es una transformación lineal del espacio de Hilbert. El adjunto de un operador lineal
está definido por la ecuación = para cualesquiera .
Un operador es autoadjunto si es igual a su adjunto. (valores propios reales!).
Un operador es acotado si hay un número positivo tal que para todo
Un operador autoadjunto y acotado es llamado hermítico.
Los observables del sistema cuántico son representados por operadores hermíticos.
7. PROFUNDIZACIÓN II: FORMALIZACIÓN
DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Un observable de un sistema cuántico se representa mediante un único operador hermítico en su
espacio de Hilbert.
El espectro del operador contiene todos los posibles valores que pueden obtenerse como resultado
de la medición de ese observable.
Los estados propios de un observable son los estados tales que para algún número complejo c.
Dos operadores y conmutan si y sólo si Dos observables son compatibles si sus correspondientes
operadores conmutan. Si no conmutan, los observables son incompatibles.
