Este documento descreve um método para simular fluidos usando as leis de Hooke aplicadas a uma malha de partículas interligadas por molas. O objetivo é criar uma simulação convincente de uma superfície líquida de forma simplificada em comparação aos métodos baseados nas equações de Navier-Stokes. O método propõe modelar as interações entre as partículas usando a lei de Hooke para molas e integrar numericamente as equações de movimento ao longo do tempo.

1. Aplicac¸˜ao da Lei de Hooke para Simplificac¸˜ao e Renderizac¸˜ao
de Simulac¸˜ao F´ısica de L´ıquidos
Wanderson Felipe Vieira1
, Rodrigo Richard Gomes2
1
Instituto de Inform´atica – Pontif´ıcia Universidade de Minas Gerais (PUC MINAS)
Belo Horizonte – MG – Brasil
vieira.wanderson@gmail.com
Resumo. O trabalho em quest˜ao tem por fim apresentar os m´etodos utilizados
para simplificar e criar uma simulac¸˜ao animada de fluidos baseado no uso da
Lei de elasticidade e deformac¸˜ao de Hooke. Al´em de outras aplicac¸˜oes das leis
da f´ısica ser´a realizada uma abordagem sobre as ferramentas utilizadas e os
princ´ıpios de computac¸˜ao gr´afica necess´arios para a renderizac¸˜ao da animac¸˜ao
no computador.
1. Introduc¸˜ao
A representac¸˜ao de fluidos interagindo e recebendo forc¸as externas vem sendo um grande
desafio para a computac¸˜ao gr´afica desde que os pioneiros da ´area comec¸aram a buscar sua
adequada reproduc¸˜ao. Os processos dessas interac¸˜oes possuem um grau de alta complex-
idade para uma simulac¸˜ao de acordo com os fenˆomenos f´ısicos que as regem.
As equac¸˜oes matem´aticas que transcrevem as reac¸˜oes entre as part´ıculas de um
l´ıquido foram descritas por diversos f´ısicos como Newton, Euler, Bernoulli, Navier-
Stokes, entre outros. Considerando que a aplicac¸˜ao dessas equac¸˜oes baseia-se em um
estudo aprofundado sobre cada uma, pode-se afirmar que dependendo da aplicac¸˜ao da
simulac¸˜ao, essas ferramentas matem´aticas s˜ao demasiadamente complexas.
Diversos algoritmos prop˜oem uma aproximac¸˜ao sobre como simular de maneira
mais realista poss´ıvel as interac¸˜oes entre fluidos. A busca por realismo tem trazido resul-
tados satisfat´orios nos quesitos visuais e f´ısicos. Entretanto, para aplicac¸˜oes mais b´asicas
onde se busca apenas uma simulac¸˜ao que seja convincente da reac¸˜ao em fluidos, um al-
goritmo mais simples poderia ser aplicado.
Desta maneira a contextualizac¸˜ao do problema se foca em como realizar uma
simulac¸˜ao convincente da reac¸˜ao de uma superf´ıcie de um fluido simplificando os algorit-
mos do fenˆomeno f´ısico em quest˜ao e represent´a-la utilizando ferramentas de computac¸˜ao
gr´afica.
Como pode ser verificado nos trabalhos de Bonet e Madeira (1997) h´a a possi-
bilidade de se alcanc¸ar uma oscilac¸˜ao em uma ´unica part´ıcula utilizando o princ´ıpio das
leis das molas de Hooke. Assim, esse trabalho visa aplicar essas leis a fim de modelar
uma malha de part´ıculas interligadas por molas, as quais ser˜ao regidas pelas leis descritas
anteriormente com o intuito de se alcanc¸ar uma reac¸˜ao similar `a de fluidos.
1.1. Objetivos
Os objetivos gerais do artigo dizem respeito `a pesquisa e busca de uma soluc¸˜ao vi´avel para
a simplificac¸˜ao de uma superf´ıcie com as caracter´ısticas de um liquido qualquer, aplicando

2. os princ´ıpios das leis das molas de Hooke assim como a renderizac¸˜ao do fenˆomeno usando
as ferramentas gr´aficas do OpenGL e C++ como linguagem padr˜ao.
Os objetivos espec´ıficos dessa abordagem dizem respeito `a realizac¸˜ao do estudo
e comparac¸˜ao dos atuais m´etodos de simulac¸˜ao de fluidos existentes a fim de se chegar
`a uma definic¸˜ao das ferramentas matem´aticas utilizadas para a devida representac¸˜ao do
fenˆomeno em quest˜ao. Em seguida pretende-se modelar o algoritmo para realizar a
simulac¸˜ao da malha superficial do l´ıquido e a conex˜ao entre as part´ıculas do mesmo.
Ap´os o estudo e modelagem adequados, ser˜ao definida as ferramentas
matem´aticas para a aplicac¸˜ao de movimento a cada part´ıcula e consequentemente `a malha
que representa a superf´ıcie do l´ıquido, verificando as vari´aveis do sistema e realizando
ajustes para se alcanc¸ar o resultado mais satisfat´orio poss´ıvel.
Depois da implementac¸˜ao do algoritmo geral que definir´a os c´alculos matem´aticos
da simulac¸˜ao em quest˜ao, deve-se modelar o algoritmo de renderizac¸˜ao a fim de exibir
corretamente os resultados em tela. Por fim, com a visualizac¸˜ao do produto na tela ser´a
poss´ıvel realizar os experimentos da alterac¸˜ao de vari´aveis a fim de se analisar o compor-
tamento do produto final.
2. Referencial Te´orico
2.1. Simulac¸˜ao de Fluidos
Levando em considerac¸˜ao as leis da f´ısica que abordam o comportamento de fluidos,
pode-se verificar a grandeza de sua complexidade em um universo de projec¸˜oes, em que
os cientistas consideram In´ercia e Tens˜ao de Superf´ıcie como os escultores dos fluidos
[Yarin 2006].
A comunidade de computac¸˜ao gr´afica tem dedicado muito esforc¸o e pesquisa para
o entendimento e adequada representac¸˜ao dos fluidos a mais de trˆes d´ecadas. Os flu-
idos continuar˜ao sendo um tema importante, j´a que melhores algoritmos, mais r´apidos
e fisicamente mais precisos para a sua simulac¸˜ao e renderizac¸˜ao s˜ao desenvolvidos fre-
quentemente [Bojrab e Benes 2013].
A visualizac¸˜ao de l´ıquidos ´e um problema importante e desafiador que tem
aplicac¸˜oes nas ´areas de estudos cient´ıficos de fluidos, realidade virtual e entretenimento.
T´ecnicas de computac¸˜ao gr´afica para simular tais fenˆomenos f´ısicos s˜ao necess´arias nas
aplicac¸˜oes acima mencionadas. Essas t´ecnicas devem resolver os problemas de mode-
lagem e representac¸˜ao de fluidos [Adabala e Manohar 2002].
Os l´ıquidos em geral s˜ao substˆancias comuns, facilmente reconhecidas, por´em
de traduc¸˜ao complexa e demorada. Os seres humanos percebem os l´ıquidos atrav´es de
sua interac¸˜ao com a luz e o ambiente que o rodeia. O mais importante fenˆomeno de
iluminac¸˜ao quando a ´agua ´e processado pode ser grosseiramente classificados em reflex˜ao
especular, refrac¸˜ao, c´austicos, e sombra. Esses fenˆomenos, juntamente com a superf´ıcie
complexa de ´agua, lhe d˜ao uma aparˆencia ´unica e trabalhosa. [Bojrab e Benes 2013].
Para resolver os problemas de dinˆamica de fluidos em superf´ıcies livres s˜ao geral-
mente aplicadas as equac¸˜oes de Navier-Stokes. Essas equac¸˜oes podem ser usadas para
simular ondas nos l´ıquidos e sua movimentac¸˜ao em geral [Kunimatsu e Watanabe 2001].
Al´em disso podem ser usadas equac¸˜oes de ´aguas rasas que s˜ao a forma mais

3. simples das equac¸˜oes do movimento e podem ser usadas para descrever a estrutura
horizontal de uma atmosfera. Elas descrevem a evoluc¸˜ao de um fluido em resposta a
acelerac¸˜oes gravitacionais e rotacionais. As soluc¸˜oes das equac¸˜oes de ´aguas rasas repre-
sentam muitos tipos de movimento, incluindo ondas de Rossby e ondas in´ercia-gravidade
[Randall 2006].
Segundo Adabala e Manohar (2006), v´arias t´ecnicas s˜ao usadas para modelar e
processar um fluido numa cena, dependendo da necessidade da aplicac¸˜ao. O termo ”real-
ismo” tem sido associado a diferentes significados em computac¸˜ao gr´afica. No contexto
de imagens geradas por computadores ´e poss´ıvel distinguir trˆes tipos de realismo:
• Realismo F´ısico: A imagem fornece a mesma simulac¸˜ao visual como a cena,
baseada nas dinˆamicas das leis da f´ısica.
• Foto Realismo: A imagem produz a mesma resposta visual como a cena,
simulac¸˜oes de dinˆamica realismo tentar gerar aspecto visualmente convincente
de movimento, neste caso, s˜ao aplicadas t´ecnicas intuitivas que n˜ao satisfac¸am as
leis da f´ısica.
• Realismo Funcional: A imagem fornece a mesma informac¸˜ao visual como a cena.
O comportamento dinˆamico ´e criado, que transmite a informac¸˜ao de que um objeto
dinˆamico est´a presente, por exemplo; uma onda senoidal com amplitude variada
representando uma onda em animac¸˜ao aplicada
De acordo com Kunimatsu (2001) os custos de c´alculo e processamento para
a renderizac¸˜ao de uma simulac¸˜ao que aplique toda equac¸˜ao de Navier-Stokes ´e muito
alta. Caso o objetivo final seja somente uma representac¸˜ao convincente do fenˆomeno
em quest˜ao e dependendo do tamanho abstrato da simulac¸˜ao, outros m´etodos podem ser
aplicados.
Partindo para uma abordagem mais criativa, m´etodos de criac¸˜ao de superf´ıcies
deform´aveis se tornam um ponto de partida para um enfoque mais ousado do problema
em quest˜ao. Sistemas de molas podem fornecer um m´etodo simples, mas pr´atico, para
a modelagem de uma grande variedade de objetos incluindo pano, cabelo, s´olidos, al´em
de uma s´erie de outras superf´ıcies deform´aveis. Essa resoluc¸˜ao mais simplista baseia-se
em sistemas de malhas de molas regidas pela lei de Hooke. Al´em disso, a formulac¸˜ao de
otimizac¸˜ao de integrac¸˜ao de Euler e as leis de Newton devem ser utilizadas implicitamente
para alcanc¸ar os resultados. [Liu et al. 2013].
2.2. Aplicac¸˜ao das leis de Hooke e abstrac¸˜ao do modelo f´ısico
Sistemas de molas s˜ao conceitualmente mais simples e mais f´aceis de implementar do
que os modelos fisicamente mais consistentes derivados da mecˆanica de meios cont´ınuos,
utilizando o m´etodo de elementos finitos [Bonet e Wood 1997].
De acordo com a explicac¸˜ao de [Erleben et al. 2005] uma grande vantagem sobre
molas ´e que elas s˜ao f´aceis de simular. Molas tˆem um certo comportamento natural: se
estic´a-la ou comprimi-la, a tendˆencia ´e que ela regresse ao seu comprimento natural. A
forc¸a proporcionada por uma mola ´e dado pela Lei de Hooke:
F = −kx

4. Onde F ´e a forc¸a produzida pela, k determina a constante do material da mola que
determina a dureza, e x a variac¸˜ao do deslocamento inicial com o final. Ainda ´e proposto
que para mover massas conectadas por uma mola, devemos considerar a segunda lei de
Newton de conservac¸˜ao do movimento.
F = ma
Onde F ´e a forc¸a, m determina a massa do objeto, no caso da simulac¸˜ao das
part´ıculas interligadas por meio de molas, e a, sua acelerac¸˜ao.
Al´em disso, [Triana e Fajardo 2013] mencionam que o movimento harmˆonico
simples de um sistema de molas geralmente ´e fortemente determinado pelos parˆametros
geom´etricos da mola, ou seja, suas constantes que variam de acordo com o material e
diˆametro da mesma. Define-se ent˜ao constante el´astica como sendo o valor da relac¸˜ao
entre essa tens˜ao aplicada e a deformac¸˜ao por ela provocada.
Independentemente da aplicac¸˜ao de um sistema de molas ou outro m´etodo baseado
na mecˆanica de meios cont´ınuos, ´e importante a integrac¸˜ao num´erica de tempo para sim-
ular a dinˆamica do sistema. Os m´etodos de integrac¸˜ao mais simples s˜ao expl´ıcitas nas
t´ecnicas de Euler [Flannery et al. 2007].
Para efeitos de animac¸˜ao baseada em f´ısica, onde as preocupac¸˜oes de desempenho
s˜ao grandes, m´etodos expl´ıcitos muitas vezes n˜ao s˜ao suficientemente eficazes e apresen-
tam problemas de estabilidade. O trabalho de [Witkin e Baraff 1997] introduziu o m´etodo
de Euler impl´ıcito que oferece maior robustez para sistemas r´ıgidos. A soluc¸˜ao tradicional
num´erica de Euler emprega juntamente o m´etodo de Newton, que requer a soluc¸˜ao de um
sistema linear em cada iterac¸˜ao.
O m´etodo num´erico mais simples ´e chamado de m´etodo de Euler. Considerando
o valor inicial para x ser x0 = x0(t0) e a estimativa posterior de tempo ser (t0 + h), onde
h ´e o passo de tempo. O m´etodo de Euler simplesmente computa x(t0 + h) considerando
esse passo em uma direc¸˜ao derivativa.
x(t0 + h) = x0 + hx(t0)
Assim a oscilac¸˜ao da onda se baseara em uma aproximac¸˜ao da verdadeira curva e
seguir´a um padr˜ao poligonal. Deve-se se lembrar que o m´etodo de Euler n˜ao ´e fisicamente
preciso assim, os valores devem ser ajustados para que os mesmo n˜ao tendam para o
infinito [Witkin e Baraff 1997].
3. Computac¸˜ao gr´afica para simulac¸˜ao dos resultados
O principal objetivo da computac¸˜ao gr´afica ´e reproduzir da forma mais fiel poss´ıvel a
realidade percebida por n´os com toda a complexidade de fenˆomenos naturais que nos
cercam. A utilizac¸˜ao de meios de computac¸˜ao gr´afica com o intuito de representar e
manipular imagens e modelos de dados s˜ao de extrema importˆancia para o entendimento e
a simulac¸˜ao do problema em quest˜ao. Tratando-se de representac¸˜ao de fenˆomenos f´ısicos,
considera-se as aproximac¸˜oes adquiridas com as ferramentas de computac¸˜ao puramente
dependentes das aplicac¸˜oes dos algoritmos que ser˜ao representados [Darles et al. 2011].

5. Cada computador hoje tem um poderoso pipeline de gr´aficos 3D. Este ´e um sub-
sistema especial de software/hardware que desenha de forma eficiente primitivas, que s˜ao
os elementos b´asicos que formam um desenho 3D em perspectiva. Normalmente, esses
sistemas s˜ao otimizados para o processamento de triˆangulos 3D com v´ertices compartil-
hados. As operac¸˜oes b´asicas no pipeline mapeiam os locais de v´ertices 3D para serem
carregados em 2D na tela, al´em de sombrear os pol´ıgonos para que eles tenham um olhar
mais realista serem exibidos de maneira correta [Heer e Robertson 2007].
Uma s´erie de m´etodos s˜ao particularmente adequados para c´alculos na unidade de
processamento gr´afico (GPU). No caso de simulac¸˜ao de superf´ıcies, poder˜ao ser usadas
malhas que interligam os v´ertices a fim de criar pequenos triˆangulos ao longo do objeto
que se deseja formar. Ao se gerar o modelo geom´etrico, pode-se a partir da´ı trabalhar nas
func¸˜oes visuais e f´ısicas do objeto em si [Zhang et al. 2012].
3.1. Trabalhos Relacionados
O trabalho de [Robertson e Sherwin 1999] utiliza o mesmo princ´ıpio da simulac¸˜ao da su-
perf´ıcie por malhas interligadas, por´em o algoritmo ´e criado em cima de equac¸˜oes lapla-
cianas e c´alculos avanc¸ados. Os resultados encontrados s˜ao fisicamente mais precisos se
comparados com os esperados por esse trabalho. Outras sugest˜oes tamb´em sugerem a
mesma aplicac¸˜ao de malhas, interligando v´arias part´ıculas entre si com a utilizac¸˜ao de
arestas, porem calculam as interac¸˜oes usando Navier-Stokes que, como foi visto, ´e mais
custoso devido a complexidade dos c´alculos utilizados. Nota-se tamb´em que a realidade
alcanc¸ada com essa simulac¸˜ao ´e mais realista. [Kunimatsu e Watanabe 2001].
4. Metodologia
Essa pesquisa, de natureza aplicada, tem como objetivo explorar e gerar um algoritmo
que simplifique os j´a existentes para representac¸˜ao da movimentac¸˜ao de uma superf´ıcie
de um liquido qualquer. Conforme pode se verificar atrav´es de materiais de referˆencia,
parte da pesquisa tem cunho anal´ıtico, j´a que visa aplicar leis da f´ısica voltada para outros
fins, no caso em quest˜ao, o comportamento de molas, para reac¸˜ao das part´ıculas de uma
superf´ıcie que se comportar´a como l´ıquido.
Por se tratar de um fenˆomeno do qual se busca uma modelagem do algoritmo
de maneira qualitativa, os resultados esperados podem n˜ao ser conclusivos at´e a gerac¸˜ao
dos primeiros prot´otipos da interac¸˜ao entre duas ou mais part´ıculas. Dessa maneira uma
pesquisa experimental foi conduzida e para modelagem do algoritmo e renderizac¸˜ao con-
forme descrito anteriormente alguns passos foram seguidos a fim de se obter o produto
final.
Primeiramente ap´os decidir qual ser´a a base do algoritmo, um novo estudo apro-
fundado sobre a aplicac¸˜ao das leis das molas de Hooke sobre part´ıculas com massa ´e
necess´ario. A modelagem das equac¸˜oes gerais para oscilac¸˜ao de uma ´unica part´ıcula ´e re-
alizada a fim de se obter um prot´otipo do algoritmo aplicando as equac¸˜oes de uma ´unica
part´ıcula. Para agilizar o processo de prototipac¸˜ao, utilizou-se a linguagem Python para
programar os primeiros prot´otipos.
Ap´os o primeiro prot´otipo conclu´ıdo foi realizada a an´alise do comportamento da
part´ıcula (oscilac¸˜ao atrav´es do tempo) atrav´es dos valores gerados da posic¸˜ao da part´ıcula,
e poss´ıveis ajustes das vari´aveis foram realizados conforme necess´ario. Sequencialmente

6. foi realizada a agregac¸˜ao e prototipac¸˜ao de mais n´os ao n´o inicial assim como a verificac¸˜ao
e comparac¸˜ao das diferenc¸as ap´os a agregac¸˜ao.
A modelagem da malha da superf´ıcie interligando os n´os foi desenvolvida em
C++ utilizando uma lista foi utilizada para armazenar objetos do tipo ”N´o”, esse objeto
por vez ter´a seu pr´oprios ´ındices armazenados, al´em das posic¸˜oes dadas em coordenadas,
forc¸as resultantes do meio e atributos necess´arios para a simulac¸˜ao. A malha formar´a um
plano com os mesmos n´os uniformemente espac¸ados. Foi realizado o teste do prot´otipo,
verificando e ajustando o algoritmo quando necess´ario, al´em de verificar as propagac¸˜oes
de forc¸as entre os n´os e esboc¸ar gr´aficos comparativos entre as forc¸as recebidas em cada
n´o e suas respectivas oscilac¸˜oes.
Para a aplicac¸˜ao do algoritmo de renderizac¸˜ao utilizou-se a OpenGL a fim
de se obter o desenho gr´afico da malha em quest˜ao. Nessa etapa conceitos de
computac¸˜ao gr´afica ser˜ao amplamente aplicados, como inicializac¸˜ao dos v´ertices (n´os),
interligac¸˜ao das arestas aos v´ertices para formac¸˜ao da malha, ajuste das vari´aveis da GPU,
configurac¸˜ao de cˆamera, perspectiva, entre outros.
Com a renderizac¸˜ao da superf´ıcie visualmente acess´ıvel ´e poss´ıvel se verificar o
comportamento real do algoritmo renderizado na tela, nessa etapa pode-se visualizar os
resultados dos prot´otipos verificando a movimentac¸˜ao e reac¸˜ao das part´ıculas em quest˜ao.
Os dados ser˜ao analisados e ajustes ser˜ao feitos se necess´ario. Assim, com o algoritmo
funcionando corretamente, ser´a realizada a aplicac¸˜ao de cor, iluminac¸˜ao e reflexo na su-
perf´ıcie criada, nessa etapa diferentes t´ecnicas de iluminac¸˜ao ser˜ao testadas para gerar um
melhor aspecto `a simulac¸˜ao. Essas etapas ser˜ao descritas ao longo do artigo.
5. Criac¸˜ao da Simulac¸˜ao
5.1. An´alise e Prototipac¸˜ao de part´ıcula simples
Primeiramente foi realizada a modelagem na linguagem Python das equac¸˜oes gerais para
oscilac¸˜ao de uma ´unica part´ıcula a fim de se obter um prot´otipo do algoritmo aplicando
as equac¸˜oes de maneira separada.
O modelo de molas foi escolhido devido sua facilidade de simulac¸˜ao. Esses obje-
tos possuem um tamanho natural que podem ser comprimido ou esticado voltando ao seu
estado natural quando em estado de equil´ıbrio. Considerou-se ent˜ao uma ´unica part´ıcula
situada em um plano imagin´ario onde a massa da mesma est´a sendo sustentada por uma
mola perpendicular ao plano. Desta maneira, ser´a usada a lei de Hooke para atuar nessa
mola.
Para simular o movimento da part´ıcula, h´a a necessidade da aplicac¸˜ao de uma
forc¸a externa para retirar o sistema do equil´ıbrio, dessa maneira pode-se fazer uma
associac¸˜ao com a segunda lei de Newton que prop˜oe que quanto maior forc¸a ´e aplicada a
um objeto e quanto menos massa esse objeto possuir, maior ser´a sua acelerac¸˜ao. Fazendo
essa combinac¸˜ao entre as duas leis temos:
Fnewton = Fhooke ⇔ ma = −kx
a =
−k
m
x

7. Considerando ainda que todas as part´ıculas da superf´ıcie possuem a mesma massa
foi realizada a combinac¸˜ao do fator k/m em uma ´unica constante.
Figure 1. representac¸ ˜ao do modelo de interac¸ ˜ao entre part´ıcula e mola
Como visto no estudo de referˆencias, a determinac¸˜ao do valor da constante da
mola ´e baseada em experimentos que medem a quantidade que a mola de desloca de
acordo com a forc¸a aplicada em sua extremidade. Desta maneira, ´e poss´ıvel simular
uma mola levando em considerac¸˜ao a forc¸a aplicada com a quantidade que a extremidade
se desloca, no nosso caso como estamos incluindo outras vari´aveis em conjunto, foram
realizados experimentos para verificar como uma simples mola se comporta em diferentes
situac¸˜oes. Esses resultados ser˜ao discutidos em seguida.
Por se tratar de uma simplificac¸˜ao do fenˆomeno em quest˜ao e como n˜ao ´e
necess´aria uma f´ısica demasiadamente precisa, foi utilizada a forma mais simples da
integrac¸˜ao num´erica para determinar a posic¸˜ao da part´ıcula em cada frame da simulac¸˜ao.
Assumindo ent˜ao o m´etodo de Euler, que atendeu de maneira satisfat´oria o prop´osito do
primeiro prot´otipo, pode-se determinar a posic¸˜ao da part´ıcula em cada frame provinda da
acelerac¸˜ao aplicada no primeiro instante. Assim, para determinar a posic¸˜ao que a part´ıcula
assumir´a no frame seguinte, soma-se sua atual posic¸˜ao com sua atual velocidade, e con-
sequentemente soma-se `a sua pr´opria velocidade a acelerac¸˜ao do instante daquele frame,
desta maneira temos:
posicao.nova.da.particula = posicao.atual + velocidade
velocidade.nova.da.particula = velocidade.atual + aceleracao
Em complemento, considera-se a constante da mola igual a 0,025 e assume-se
que o x da f´ormula apresentada diz respeito a variac¸˜ao entre o tamanho original da mola
e a posic¸˜ao que ela se encontra naquele momento. Com isso obt´em-se o resultado da
oscilac¸˜ao da part´ıcula.
Durante o experimento foram testados diferentes constantes de rigidez da mola,
respons´avel pelas caracter´ısticas de oscilac¸˜ao. Algumas alterac¸˜oes dos valores fazem o
sistema se comportar de maneiras diferentes. Quando se diminui o valor dessa constante,
nota-se que a oscilac¸˜ao passa a ser consideravelmente menor `a medida que esse valor

8. diminui, a ponto do sistema n˜ao se mover devido ao excesso de rigidez. Em contra-
partida, aumentando-se o valor da constante, a oscilac¸˜ao passa a ganhar valores cada
vez maiores. Notou-se que esses valores devem ser alterados com cautela, uma vez que
o m´etodo de integral de Euler tende a ganhar energia fazendo a simulac¸˜ao ficar menos
precisa e consequentemente fazendo as part´ıculas assumirem valores de posic¸˜ao no eixo
vertical muito elevados.
Uma vez que a part´ıcula respondeu `a forc¸a aplicada oscilando seu valor vertical,
pode-se aplicar o fator de amortecimento, que ´e respons´avel por reestabelecer o equil´ıbrio
do sistema. Esse fator aplica uma forc¸a na direc¸˜ao oposta em que a mola se move com a
finalidade de desacelera-la. Assim a formula de acelerac¸˜ao ´e ajustada para:
a = −kx − (Famortecimento ∗ velocity)
Figure 2. Oscilac¸ ˜ao da part´ıcula prot´otipo
Pode-se notar no gr´afico que a part´ıcula assumiu as caracter´ısticas desejadas pela
modelagem.
5.2. Associac¸˜ao das part´ıculas
Ap´os verificar o correto funcionamento do sistema singular de mola e part´ıcula, foi real-
izada a associac¸˜ao com mais part´ıculas e molas conforme o modelo abaixo:
Figure 3. associac¸ ˜ao das part´ıculas com molas

9. Essa associac¸˜ao baseia-se na aplicac¸˜ao de uma forc¸a no n´o central que conse-
quentemente far´a a part´ıcula assumir uma nova posic¸˜ao no eixo vertical fazendo com que
as molas que ligam as part´ıculas vizinhas entendam. Essas por si, por sofrerem somente
influˆencia da decomposic¸˜ao das forc¸as verticais do sistema tamb´em ser˜ao puxadas para
baixo, formando uma reac¸˜ao em cadeia com as demais part´ıculas vizinhas. Podendo-se
ent˜ao definir as forc¸as atuantes em cada ponto.
Para o modelo acima calculamos a forc¸a resultante baseado no sistema singular de
part´ıcula e mola e no sistema interligado com as part´ıculas vizinhas. Para isso definimos
o modelo abaixo:
Figure 4. representac¸ ˜ao das forc¸as atuantes no ponto central
Nesse caso, para calcular as forc¸as resultantes exercidas na part´ıcula, considerou-
se que a acelerac¸˜ao ¯a sofrer´a influˆencia de Fa, que ´e a forc¸a de amortecimento da mola
que sustenta a part´ıcula e da decomposic¸˜ao da forc¸a vertical que as molas adjacentes Fme
e Fmd produzem sobre a part´ıcula central, essa decomposic¸˜ao baseia-se em calcular a
forc¸a exercida pela mola que conecta as duas part´ıculas Frma multiplicado pelo seno do
ˆangulo formado entre a superf´ıcie e a mola adjacente ∆y/x1. Nesse caso teremos:
Frma = [−k ∗ (x1 − x0)] ∗ senα
Sendo que
senα =
∆y
x1
Assim deve-se somar `a acelerac¸˜ao da part´ıcula essa forc¸a resultante vertical para
cada instante e para cada part´ıcula adjacente diretamente ligada `a ela. Lembrando que
a mesma forc¸a que a mola aplica na part´ıcula central ser´a aplicada no sentido oposto `a
part´ıcula adjacente. Al´em disso, como j´a citado anteriormente os valores e velocidade
s˜ao acrescidos pelo m´etodo de Euler, e para as part´ıculas adjacentes o valor de velocidade
deve ser atualizado em cada iterac¸˜ao. A partir desse ponto modelamos os conjuntos de
func¸˜oes para o algoritmo final em C++.

10. 5.3. Implementac¸˜ao da malha da superf´ıcie
Como descrito anteriormente, a simulac¸˜ao tem como objetivo demonstrar o fenˆomeno
em uma superf´ıcie inicialmente plana formada por part´ıculas posicionadas equidistantes
e interligadas por molas. Para os princ´ıpios de renderizac¸˜ao gr´afica considerou-se as
part´ıculas sendo os v´ertices e as molas sendo as arestas. Nesse caso cada v´ertice possui 6
arestas, ou molas, que interligam outros v´ertices e assim sucessivamente como no modelo
abaixo:
Figure 5. Concepc¸ ˜ao da malha da superf´ıcie e os n´os interligados ao central
O tamanho dessa malha n˜ao altera a simulac¸˜ao em si, mas nesse caso foi utilizada
uma malha de 50 X 50 v´ertices. Assim, quando aplica-se uma forc¸a no n´o central por
exemplo, esse n´o exerce uma forc¸a nos 6 n´os adjacentes, como visto anteriormente. Essa
forc¸a ent˜ao gerar´a uma reac¸˜ao em cadeia similar `a uma onda. Todas as part´ıculas atuar˜ao
umas nas outras, hora oscilando em uma direc¸˜ao, hora oscilando em outra direc¸˜ao. A
onda gerada ap´os a aplicac¸˜ao de forc¸a em um n´o propagar´a de maneira circular o que dar´a
um aspecto bem similar ao de uma gota caindo na superf´ıcie de um l´ıquido.
5.4. Renderizac¸˜ao dos algoritmos na tela
Ap´os determinar o comportamento do algoritmo, foi necess´ario aplicar algumas t´ecnicas
de renderizac¸˜ao para que fosse poss´ıvel a visualizac¸˜ao do produto final. Optou-se pela
utilizac¸˜ao do OpenGL que al´em de ser uma API livre, permite uma maior aproximac¸˜ao
com os recursos do hardware de v´ıdeo.
Para se obter o resultado na tela foi necess´ario definir algumas func¸˜oes no Ren-
dering Pipeline cujo detalhamento n˜ao ´e o objetivo desse artigo, mas em termos gerais
deve-se definir uma lista de exibic¸˜ao, que diz respeito aos v´ertices ou part´ıculas da su-
perf´ıcie. Realizar as operac¸˜oes pr´e-vertices, que pode ser resumida em operac¸˜oes que
convertem os v´ertices em primitivas de desenho em matrizes 4x4 de onde sair˜ao as co-
ordenadas que ser˜ao convertidas do 3D para a tela e devem ser realizados os c´alculos de
textura e iluminac¸˜ao.
Ap´os essa abordagem, deve-se definir a montagem de primitivas que pode se
resumir em c´alculos de perspectivas, determinac¸˜ao do que deve ser exibido ou n˜ao e
determinac¸˜ao dos pol´ıgonos formados pela interligac¸˜ao de trˆes v´ertices. No caso tratado,
ser˜ao desenhados atrav´es linhas onde realizou-se a entrada da coordenada dos v´ertices e os

11. interligamos por linhas que fecham os pol´ıgonos de trˆes em trˆes v´ertices nos fornecendo
uma malha formada por pequenos triˆangulos como no modelo visto acima.
Temos tamb´em que aplicar o shader em nossa superf´ıcie, esse shader ´e re-
spons´avel por produzir uma luz e sombra adequada ao nosso modelo, no nosso caso
estamos utilizando o vertex shader que calcula a direc¸˜ao em que a luz ambiente colide
com o v´ertice e direciona o reflexo apropriado `a quem o visualiza.
Ap´os definirmos essas configurac¸˜oes e algoritmos relacionados `a visualizac¸˜ao
temos como resultado uma simples superf´ıcie formada pela interligac¸˜ao dos v´ertices que
formam pol´ıgonos em toda a extens˜ao do modelo conforme abaixo:
Figure 6. Representac¸ ˜ao em tela da superf´ıcie do sistema
6. Resultados
Depois da realizac¸˜ao da prototipagem e a transcric¸˜ao do algoritmo para vers˜ao final in-
cluindo as bibliotecas matem´aticas e gr´aficas, foi poss´ıvel se obter um resultado simpli-
ficado do objeto em quest˜ao. Foram realizados alguns testes alterando os valores das
constantes do material e da forc¸a aplicada no ponto inicial conforme podemos observar
abaixo:
Figure 7. Resultados obtidos da simulac¸ ˜ao

12. No exemplo acima, considerou-se que a massa das part´ıculas que formam a su-
perf´ıcie da ´agua foram agrupadas na constante do material das molas que `as sustentam, ´e
poss´ıvel verificar que o comportamento do sistema depende diretamente do ajuste dessas
constantes que devem ser feitas de acordo com o resultado obtido. Como visto em estudo
pr´evio, havia um range de poss´ıveis valores para esses ajustes, ap´os alguns experimentos
chegou-se aos valores de 0,01 para o valor da constante das molas e 0,02 para a constante
de amortecimento do sistema.
Figure 8. Aplicac¸ ˜ao de forc¸a em trˆes pontos distintos
Tamb´em foram testados a aplicac¸˜ao de forc¸a em v´arios pontos distintos para ver-
ificar a atuac¸˜ao e propagac¸˜ao das ondas criadas em contato com outras ondas, o resul-
tado foi satisfat´orio, sendo que algumas ondas ao se colidirem atenuavam as forc¸as e at´e
mesmo a direc¸˜ao de propagac¸˜ao, comprovando a eficiˆencia do algoritmo para calcular as
forc¸as resultantes do sistema como um todo.
Al´em disso, pode-se verificar que alterando os valores das constantes ´e poss´ıvel
alterar as propriedades do liquido em quest˜ao. No exemplo abaixo, modificou-se a con-
stante das molas para 0,18, isso fez com que as forc¸as atuantes tanto na oscilac¸˜ao das
part´ıculas quanto das molas vizinhas aumentassem consideravelmente, fazendo com que
o sistema oscilasse com uma maior frequˆencia, dando um aspecto de um liquido de baixa
densidade. O mesmo foi realizado aumentando a constante de amortecimento do sis-
tema, essa constante como visto no algoritmo, ´e respons´avel por gerar uma forc¸a oposta
`a oscilac¸˜ao, desta forma quando se aumenta a forc¸a para 0,4 por exemplo, nota-se clara-
mente uma caracter´ıstica de ganho de densidade do liquido, aparentando um liquido mais
viscoso com ondas pequenas e pouco duradouras.

13. Figure 9. Resultado com o aumento da constante da mola para 0,18
Foi poss´ıvel tamb´em verificar as premissas de que os m´etodo integral de Euler
tende a ganhar energia, concluiu-se que quando se aplica uma constante da mola maior
que a constante de amortecimento o sistema passa a adotar uma caracter´ıstica de sempre
ganhar energia, j´a que o amortecimento n˜ao ´e mais capaz de diminuir a oscilac¸˜ao da
mola. Essa premissa tamb´em vale para o caso da constante de amortecimento n˜ao for
considerada durante a construc¸˜ao do algoritmo. H´a um ganho exponencial de energia que
faz o sistema todo assumir valores fora de escala e consequentemente a superf´ıcie entra
em colapso.
Figure 10. superf´ıcie em colapso utilizando constante da mola 1,5 vezes maior
que a constante de amortecimento.

14. 7. Conclus˜ao
Os estudos relacionados a renderizac¸˜ao de l´ıquidos e os algoritmos utilizados para simular
o fenˆomeno demonstram que para se alcanc¸ar tal sa´ıda, diversas abordagens podem ser
adotadas, al´em da utilizac¸˜ao e adaptac¸˜ao de distintas ferramentas matem´aticas e f´ısicas.
Nesse artigo pˆode-se, com ajuda de ferramentas f´ısicas e computacionais, propor uma
simulac¸˜ao convincente da superf´ıcie de um liquido qualquer reagindo `a uma aplicac¸˜ao
simples de forc¸as externas.
Deve-se salientar que o foco desta proposta n˜ao diz respeito `a aproximac¸˜ao da
realidade da simulac¸˜ao, mas sim, conseguir reproduzir o fenˆomeno com um baixo custo
computacional e facilidade de implementac¸˜ao. Verificou-se que o algoritmo gerado al´em
de ser mais simples do que os propostos por outros autores e ferramentas, pode ser adap-
tado para estudos de outros objetos e superf´ıcies deform´aveis.
O desempenho geral do sistema foi satisfat´orio em termos de iterac¸˜oes. Notou-se
que, como foi abordado somente a malha da superf´ıcie e n˜ao um volume como um todo, a
quantidade de c´alculos utilizados por frame de renderizac¸˜ao ´e consideravelmente menor
do que os outros trabalhos estudados, j´a que o n´umero de conex˜oes entre as part´ıculas
s˜ao menores. Neste caso as part´ıculas est˜ao conectadas somente com seus vizinhos ime-
diatos, o que gera um n´umero menor de vari´aveis a serem calculadas por frame. Como
o algoritmo pode ser aplicado com diferentes ferramentas, linguagens e bibliotecas, n˜ao
estamos tratando do desempenho relacionado `a essas tecnologias, mas sim dos c´alculos
necess´arios para atuar sobre o sistema de part´ıculas.
O aprendizado com a utilizac¸˜ao das t´ecnicas de computac¸˜ao gr´afica exigidas para
tal simulac¸˜ao, apesar de n˜ao ter sido foco de estudo, foi um ponto importante da abor-
dagem, pois v´arios conceitos matem´aticos foram aprimorados e um novo entendimento a
respeito da renderizac¸˜ao de elementos 3D foram absorvidos, como iluminac¸˜ao, cˆamera,
propriedades dos objetos em si.
8. Trabalhos Futuros
Com o estudo aprofundado sobre superf´ıcies com molas, pˆode-se verificar que o mesmo
princ´ıpio ´e utilizado para simulac¸˜ao de objetos com propriedades deformantes e tamb´em
para a simulac¸˜ao de tecidos em computac¸˜ao gr´afica. Desta maneira, pretende-se uma fu-
tura abordagem em algoritmos que consigam realizar tal simulac¸˜ao com foco na facilidade
de implementac¸˜ao do algoritmo e representac¸˜ao convincente do fenˆomeno de movimento
dos objetos estudados.

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