Aula 5 - Matemática

Etapa Pré Vestibular- Matemática
PRINCIPIOS DE CONTAGEM:
Princípio Aditivo:
Se existem m1 possibilidades de ocorrer um evento E1, m2
possibilidades de ocorrer um evento E2 e m3 para ocorrer o evento
E3, o número total de possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o
evento E2 ou o evento E3, será de:
m1 + m2 + m3 Possibilidades
O conectivo que caracteriza a aplicação do princípio aditivo da
contagem é o conectivo ou, que está associado à união de conjuntos.
풏 푨 ∪ 푩 = 풏 푨 + 풏 푩 − 풏(푨 ∩ 푩)
2
Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa
maranhaoprofissionaluresjp.blogspot.com

Etapa Pré Vestibular - Matemática
Princípio Aditivo:
Ex.: Estamos em São Luís e desejamos viajar para Salvador. Existem
três (3) empresas de ônibus e duas (2) companhias de avião que
fazem este trajeto. Escolhendo um (1) ônibus ou um (1) avião, de
quantas maneiras podemos realizar esta viagem?
3

Princípio Aditivo:
CARACTERÍSTICAS DO PRINCIPIO ADITIVO:
Representa a União entre conjuntos;
Lido pela expressão “OU”;
Eventos sucessivos são ditos dependentes e alternativos entre si.
Ex1: Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversões e brincar
em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao cinema e assistir
apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma de quantas maneiras
diferentes Adriana pode se divertir?
4

Ex2: Numa concessionária foram perdidas as etiquetas das chaves de cinco
carros. O número máximo de tentativas para identificar as chaves é?
a) 120
b) 24
c) 60
d) 10
e) 8
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1) Uma pesquisa, envolvendo 1.000 pessoas, verificou que todas estavam
contaminadas por um vírus X ou Y ou por ambos. Se havia 450 pessoas
contaminadas pelo vírus X e, dessas, 60 estavam contaminadas por ambos
os vírus, qual o número de pessoas contaminadas apenas pelo vírus Y?
a) 390
b) 490
c) 510
d) 550
e) 610
6

2) Uma pesquisa de opinião foi realizada com 50 pessoas. Essa pesquisa procurava
saber que veículos de comunicação (jornal, rádio ou televisão) essas pessoas
utilizam para tomar conhecimento das notícias diariamente. Após a pesquisa,
descobriu-se que:
• 41 pessoas utilizam televisão;
• 33 pessoas utilizam jornal;
• 30 pessoas utilizam rádio;
• 29 pessoas utilizam televisão e jornal;
• 25 pessoas utilizam televisão e rádio;
• 21 pessoas utilizam jornal e rádio;
• 18 pessoas utilizam os três veículos.
A quantidade de pessoas que não utilizam nenhum dos três veículos é
a) 4.
b) 1.
c) 0.
d) 2.
e) 3.
Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa 7

3) Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos
que pertencem a eles, sabe-se: que nenhum elemento pertence
simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem
simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem
simultaneamente aos conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem
simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de elementos
que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que
aqueles que pertencem apenas ao conjunto B; que o número de
elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a
menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B.
O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a
a) 46.
b) 31.
c) 24.
d) 17.
e) 12. Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa 8

4) Uma editora estuda as possibilidades de relançar as publicações: Iracema e
Lucíola. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado numa certa escola e concluiu
que entre 500 estudantes:
• 300 leram Iracema.
• 260 leram Lucíola.
• 40 não leram nenhum dos dois livros.
Quantos estudantes leram os dois livros?
a) 120
b) 50
c) 100
d) 60
e) 140
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Etapa Pré Vestibular - Física
5) Em uma escola, são conhecidos os seguintes dados sobre os alunos formados no
Ensino Médio, em certo ano:
Analisando o quadro acima, percebe-se que alguns dados não foram divulgados. Sabe-se
que o total dos alunos formados no Ensino Médio, nesse ano é de 632 e, desses, o número
de rapazes é 315. Sobre esta situação hipotética, assinale a alternativa correta.
a) O número de rapazes formados é maior do que o de moças formadas.
b) O número de rapazes aprovados em algum vestibular é maior do que o de moças
aprovadas em algum vestibular.
c) O número de rapazes que não fizeram vestibulares é maior do que o de moças que não
fizeram vestibular.
d) O número de todos os alunos aprovados em vestibular é inferior à soma dos reprovados
com os que não fizeram.
e) O número total de alunos aprovados em vestibular não atinge a metade dos alunos
formados nesse ano.
Rapazes Moças
Aprovados em algum vestibular 171 178
Reprovados nos vestibulares que fizeram 95
Não fizeram vestibular 52
10

6) Dos 100 pacientes de um hospital, 52 consomem o
medicamento A, 45 consomem o medicamento B e 41
consomem o medicamento C. Além disso, 16 consomem A
e B, 17 B e C e 20 consomem A e C. Há pacientes que
consomem os três medicamentos, mas 7 não consomem
nenhum desses remédios. O número total de pacientes que
consomem apenas um dos medicamentos é igual a
a) 47.
b) 53.
c) 56.
d) 60.
e) 63.
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7) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o
conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam
espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Quantos alunos
dessa escola não fala espanhol?
a) 600
b) 700
c) 500
d) 400
e) 300
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Princípio Multiplicativo
Sejam E1, E2, E3, ...En, um conjunto de eventos que podem ocorrer de
m1, m2, m3, ... mn maneiras diferentes. A quantidade de possibilidades
para os eventos E1 e E2 e E3 e .... e En é:
푚1 ∙ 푚2 ∙ 푚3 ∙ ⋯ ∙ 푚푛 possibilidades
O conectivo que caracteriza a aplicação do princípio multiplicativo da
contagem é o conectivo e, que está associado à intersecção entre
conjuntos.
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Ex.: Estamos em São Luís e desejamos viajar para Salvador. Existem três (3)
empresas de ônibus que fazem o trajeto até Brasília e duas (2) companhias de
avião que fazem o trajeto de Brasília a Salvador. Escolhendo um (1) ônibus e um (1)
avião, de quantas maneira podemos ir a Salvador passado por Brasília?
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CARACTERÍSTICAS DO PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
• Representa a Intersecção entre conjuntos;
• Lido pela expressão “E”, e no sentido adversativo por “MAS”;
• Eventos independentes, sucessivos e não alternativos.
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Para resolver questões adotando o Principio Multiplicativo devemos perceber duas
informações:
1º) Identificar se os elementos do grupo podem ou não se repetir.
2º) Identificar as características ou restrições do grupo formado.
Ex1: Quantos números formado por 2 algarismos podemos formar utilizando os
algarismos 6, 7 e 8?
16

Ex2: Quantos números formados por 3 algarismos distintos podemos
formar utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
17

Ex3: Quantos números ímpares formados por 3 algarismos distintos
podemos formar utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
18

Ex4: Quantos números pares ímpares formados por 3 algarismos
distintos podemos formar utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
e 8?
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Etapa Pré Vestibular - MATEMÁTICA
1) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um
desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não
desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das
modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou
Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o
número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
20

2. O Acre é um dos estados da Federação que possui o menor número de
automóveis do país. Os automóveis novos comprados naquele Estado recebem
atualmente placas que podem variar de MZN – 0000 até NAG – 9999. Quantas
placas diferentes podem ser confeccionadas respeitando esses limites
estabelecidos para o Estado do Acre?
a) 200.000
b) 170.000
c) 140.000
d) 220.000
e) 130.000
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3. La Boca é um bairro de Buenos Aires, localizado próximo ao porto, formado por
imigrantes das mais distintas origens, sobretudo de genoveses. Junto ao Bairro está
El Caminito – rua pitoresca e muito visitada pelos turistas – considerada um museu
a céu aberto, pois suas casas são todas com múltiplas cores associadas às sobras de
tintas que os marinheiros conseguiam dos navios no porto. A frente de uma das
construções que abrigavam várias famílias possui 8 portas dispostas lado a lado.
Dispondo de 3 diferentes cores, de quantas maneiras as portas poderão ser
pintadas, utilizando uma única cor por porta, e que portas lado a lado não fiquem
com a mesma cor?
a) 768
b) 512
c) 1.536
d) 384
e) 24
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4) Marli colocou cada um dos 6 objetos diferentes em uma prateleira do móvel,
representado abaixo, de modo que a arrumação de um dia nunca era a mesma dos
dias anteriores. Ela conseguiu fazer isso durante:
a) mais de 2 anos.
b) mais de 1 ano e meio e menos de 2 anos.
c) mais de 1 ano e menos de 1 ano e meio.
d) mais de 6 meses e menos de 1 ano.
e) menos de 6 meses
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5) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana
quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed
quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de
modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384
b) 382426
c) 43262
d) 7488
e) 2120
24

6) Em uma tribo indígena o pajé conversava com seu totem por meio de um
alfabeto musical. Tal alfabeto era formado por batidas feitas em cinco tambores de
diferentes sons e tamanhos. Se cada letra era formada por três batidas, sendo cada
uma em um tambor diferente, pode-se afirmar que esse alfabeto possuía:
a) 10 letras.
b) 20 letras.
c) 26 letras.
d) 49 letras.
e) 60 letras.
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7) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir
da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma
outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos
diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e
utilizando rodovias e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 20.
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8) Um número é chamado de palíndromo quando escrito normalmente ou de trás
para frente resulta no mesmo valor. Um exemplo é o número 58285. Outro
exemplo é 308803. Quantos números palíndromos de seis dígitos e que começam
com um dígito ímpar existem?
a) 600
b) 545
c) 234
d) 500
e) 864
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9) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou
não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8;
somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais
informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir
nenhuma. O valor de n é igual a:
a) 9
b) 15
c) 20
d) 24
e) 30
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10) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis
dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente
pela Internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica
recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada
um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso
das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada
letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era
proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração
no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do
novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de
melhora da alteração recomendada é
a)
626
106 b)
62!
10!
푐)
62! ∙4!
10!∙56!
d) 62! − 10! e) 626 − 106
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